§2.2 热力学第一定律对理想气体的应用
2．2．1、等容过程 P =T 气体等容变化时，有恒量，而且外界对气体做功W =-p ∆V =0。根据
热力学第一定律有△E=Q。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高；反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。
Q =∆E =n ⋅C V ∆T =
C V =(i ⋅V ⋅∆p 2 式中 Q ∆E i ) v ==⋅R ∆T ∆T 2。
2．2．1、等压过程
V =T 气体在等压过程中，有恒量，如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自
由移动。
根据热力学第一定律可知：气体等压膨胀时，从外界吸收的热量Q ，一部分用来增加内能，温度升高，另一部分用于对外作功；气体等压压缩时，外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能，都转化为向外放出的热量。且有
W =-p ∆V =-nR ∆T
Q =nC p ∆T
∆E =nC v ∆T =i ⋅p ∆V 2
定压摩尔热容量C p 与定容摩尔热容量C V 的关系有C p =C v +R 。该式表明：1mol 理想气体等压升高1K 比等容升高1k 要多吸热8.31J ，这是因为1mol 理想气体等压膨胀温度升高1K 时要对外做功8.31J 的缘故。
2．2．3、等温过程
气体在等温过程中，有pV =恒量。例如，气体在恒温装置内或者与大热源想
接触时所发生的变化。
理想气体的内能只与温度有关，所以理想气体在等温过程中内能不变，即△E =0，因此有Q=-W。即气体作等温膨胀，压强减小，吸收的热量完全用来对外界做功；气体作等温压缩，压强增大，外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。
2．2．4、绝热过程
气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来，或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换，这些都可视作绝热过程。
pV =T 理想气体发生绝热变化时，p 、V 、T 三量会同时发生变化，仍遵循恒
量。根据热力学第一定律，因Q=0，有
W =∆E =nC v ∆T =i (p 2V 2-p 1V 1) 2
这表明气体被绝热压缩时，外界所作的功全部用来增加气体内能，体积变小、温度升高、压强增大；气体绝热膨胀时，气体对外做功是以减小内能为代价的，此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。
例：0.020kg 的氦气温度由17℃升高到27℃。若在升温过程中，①体积保持不变，②压强保持不变；③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量，吸收的热量，外界对气体做的功。
气体的内能是个状态量，且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的增量是相同的且均为：
∆E =nC v ∆T =5⨯1. 5⨯8. 31⨯10=623J
① 等容过程中 W =0，Q =∆E =623J
② 在等压过程中 Q =nC P ∆T =n (C V +R ) ∆T
=5⨯2. 5⨯8. 31⨯10=1. 039⨯103J
W =∆E -Q =-416J
③ 在绝热过程中 Q =0，W =∆E =623J
1mol 温度为27℃的氦气，以100m ⋅s 的定向速度注入体积为15L 的真空容器中，容器四周绝热。求平衡后的气体压强。
平衡后的气体压强包括两部分：其一是温度27℃，体积15L 的2mol 氦气的压强p 0；其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△T 所导致的附加压强△-1p 。即有
p =p 0+∆p =n ⋅R R ∆T T 0+n ⋅V V
氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量：
13mv 2=n ⋅R ∆T 22 RT 0v 2
p =n ⋅+M 535=(3. 3⨯10+1. 7⨯10) P ≈3. 3⨯10P a V 3V a ∴
2．2．5、其他过程
理想气体的其他过程，可以灵活地运用下列关系处理问题。
气态方程： pV =n R T
热力学第一定律： ∆E =W +Q =nC V ⋅∆T
功：W=±(ρ-V 图中过程曲线下面积)
过程方程：由过程曲线的几何关系找出过程的P ～V 关系式。若某理想气体经历V-T 图中的双曲线过程，其过程方程为：
2pV =C VT=C 或者
2．2．6、绝热过程的方程
绝热过程的状态方程是
u u P 1V 1=P V 2 其中 u =C p /C v
2．2．7、循环过程
系统由某一状态出发，经历一系列过程又回到原来状态的过程，称为循环过程。热机循环过程在P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图2-2-1) 。系统经过循环过程回到原来状态，因此△E=0。
由图可见，在ABC 过程中，系统对外界作
正功，在CDA 过程中，外界对系统作正功。在
热机循环中，系统对外界所作的总功：
W '=(P-V图中循环曲线所包围的面积) 而且由热力学第一定律可知：在整个循环中系统图2-2-1
绕从外界吸收的热量总和Q 1，必然大于放出的热量总和Q 2，而且
Q 1-Q 2=W '
热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义为
η=Q W '=1-2
Q 1Q 1＜1
例1一台四冲程内燃机的压缩比r =9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温度为
327℃，在larm=10KPa 压强下的体积为V 0，如图2-2-2所示，从1→2是绝热压
缩过程；2→3混合气体燃爆，压强加倍；从3→4活塞外推，气体绝热膨胀至体积9. 5V 0；这是排气阀门打开，压强回到初始值larm(压缩比是气缸最大与最小体
积比，γ是比热容比) 。(1)确定状态1、2、3、4的压强和温度；(2)求此循环的热效率。
分析：本题为实际热机的等容加热循环——奥托循环。其热效率取决于压缩比。
解：对于绝热过程，有p V '=恒量，结合状态方程，有TV
(1)状态1，p 1=1atm ，T 1=300K r -1恒量。
T 2V 0γ-1=T 1(rV 0) γ-1
得 T 2=300⨯2. 461=738. 3K ，p 2=23. 38atm
. 6K 在状态3，p 3=2p 2=46. 76atm ，T 3=2T 2=1476
γ-1T (γV ) =T 3V 0 40用绝热过程计算状态4，由 γ-1
得 T 4=600K , p 4=2atm 。
(2)热效率公式中商的分母是2→3过程中的吸热，这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变，不做功，所以吸收的热量等于气体内能的增加，即C V m (T 3-T 2) ，转化为功的有用能量是2→3过程吸热与4→1过程放热之差：
C V m (T 3-T 1) +C V m (T 4-T 1)
热效率为：
η=
C V m (T 1+T 3-T 2-T 4) T -T =1+41C V m (T 3-T 2) T 3-T 2绝热过程有：
T 4V 4γ-1=T 3V 3γ-1, T 1V 1γ-1=T 2V 2γ-1 0图2-2-2 0因为 V 4=V 1, V 2=V 3
T 4T 3T T 1V 1=η=1-1=(2) γ-1=() γ-1=r 1-γ
T 2, 而 T 2V 1r 故 T 1T 2,
1-γη=1-r 因此 。
热效率只依赖于压缩比，η=59.34%，实际效率只是上述结果的一半稍大些，因为大量的热量耗散了，没有参与循环。
§2.2 热力学第一定律对理想气体的应用
2．2．1、等容过程 P =T 气体等容变化时，有恒量，而且外界对气体做功W =-p ∆V =0。根据
热力学第一定律有△E=Q。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高；反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。
Q =∆E =n ⋅C V ∆T =
C V =(i ⋅V ⋅∆p 2 式中 Q ∆E i ) v ==⋅R ∆T ∆T 2。
2．2．1、等压过程
V =T 气体在等压过程中，有恒量，如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自
由移动。
根据热力学第一定律可知：气体等压膨胀时，从外界吸收的热量Q ，一部分用来增加内能，温度升高，另一部分用于对外作功；气体等压压缩时，外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能，都转化为向外放出的热量。且有
W =-p ∆V =-nR ∆T
Q =nC p ∆T
∆E =nC v ∆T =i ⋅p ∆V 2
定压摩尔热容量C p 与定容摩尔热容量C V 的关系有C p =C v +R 。该式表明：1mol 理想气体等压升高1K 比等容升高1k 要多吸热8.31J ，这是因为1mol 理想气体等压膨胀温度升高1K 时要对外做功8.31J 的缘故。
2．2．3、等温过程
气体在等温过程中，有pV =恒量。例如，气体在恒温装置内或者与大热源想
接触时所发生的变化。
理想气体的内能只与温度有关，所以理想气体在等温过程中内能不变，即△E =0，因此有Q=-W。即气体作等温膨胀，压强减小，吸收的热量完全用来对外界做功；气体作等温压缩，压强增大，外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。
2．2．4、绝热过程
气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来，或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换，这些都可视作绝热过程。
pV =T 理想气体发生绝热变化时，p 、V 、T 三量会同时发生变化，仍遵循恒
量。根据热力学第一定律，因Q=0，有
W =∆E =nC v ∆T =i (p 2V 2-p 1V 1) 2
这表明气体被绝热压缩时，外界所作的功全部用来增加气体内能，体积变小、温度升高、压强增大；气体绝热膨胀时，气体对外做功是以减小内能为代价的，此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。
例：0.020kg 的氦气温度由17℃升高到27℃。若在升温过程中，①体积保持不变，②压强保持不变；③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量，吸收的热量，外界对气体做的功。
气体的内能是个状态量，且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的增量是相同的且均为：
∆E =nC v ∆T =5⨯1. 5⨯8. 31⨯10=623J
① 等容过程中 W =0，Q =∆E =623J
② 在等压过程中 Q =nC P ∆T =n (C V +R ) ∆T
=5⨯2. 5⨯8. 31⨯10=1. 039⨯103J
W =∆E -Q =-416J
③ 在绝热过程中 Q =0，W =∆E =623J
1mol 温度为27℃的氦气，以100m ⋅s 的定向速度注入体积为15L 的真空容器中，容器四周绝热。求平衡后的气体压强。
平衡后的气体压强包括两部分：其一是温度27℃，体积15L 的2mol 氦气的压强p 0；其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△T 所导致的附加压强△-1p 。即有
p =p 0+∆p =n ⋅R R ∆T T 0+n ⋅V V
氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量：
13mv 2=n ⋅R ∆T 22 RT 0v 2
p =n ⋅+M 535=(3. 3⨯10+1. 7⨯10) P ≈3. 3⨯10P a V 3V a ∴
2．2．5、其他过程
理想气体的其他过程，可以灵活地运用下列关系处理问题。
气态方程： pV =n R T
热力学第一定律： ∆E =W +Q =nC V ⋅∆T
功：W=±(ρ-V 图中过程曲线下面积)
过程方程：由过程曲线的几何关系找出过程的P ～V 关系式。若某理想气体经历V-T 图中的双曲线过程，其过程方程为：
2pV =C VT=C 或者
2．2．6、绝热过程的方程
绝热过程的状态方程是
u u P 1V 1=P V 2 其中 u =C p /C v
2．2．7、循环过程
系统由某一状态出发，经历一系列过程又回到原来状态的过程，称为循环过程。热机循环过程在P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图2-2-1) 。系统经过循环过程回到原来状态，因此△E=0。
由图可见，在ABC 过程中，系统对外界作
正功，在CDA 过程中，外界对系统作正功。在
热机循环中，系统对外界所作的总功：
W '=(P-V图中循环曲线所包围的面积) 而且由热力学第一定律可知：在整个循环中系统图2-2-1
绕从外界吸收的热量总和Q 1，必然大于放出的热量总和Q 2，而且
Q 1-Q 2=W '
热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义为
η=Q W '=1-2
Q 1Q 1＜1
例1一台四冲程内燃机的压缩比r =9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温度为
327℃，在larm=10KPa 压强下的体积为V 0，如图2-2-2所示，从1→2是绝热压
缩过程；2→3混合气体燃爆，压强加倍；从3→4活塞外推，气体绝热膨胀至体积9. 5V 0；这是排气阀门打开，压强回到初始值larm(压缩比是气缸最大与最小体
积比，γ是比热容比) 。(1)确定状态1、2、3、4的压强和温度；(2)求此循环的热效率。
分析：本题为实际热机的等容加热循环——奥托循环。其热效率取决于压缩比。
解：对于绝热过程，有p V '=恒量，结合状态方程，有TV
(1)状态1，p 1=1atm ，T 1=300K r -1恒量。
T 2V 0γ-1=T 1(rV 0) γ-1
得 T 2=300⨯2. 461=738. 3K ，p 2=23. 38atm
. 6K 在状态3，p 3=2p 2=46. 76atm ，T 3=2T 2=1476
γ-1T (γV ) =T 3V 0 40用绝热过程计算状态4，由 γ-1
得 T 4=600K , p 4=2atm 。
(2)热效率公式中商的分母是2→3过程中的吸热，这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变，不做功，所以吸收的热量等于气体内能的增加，即C V m (T 3-T 2) ，转化为功的有用能量是2→3过程吸热与4→1过程放热之差：
C V m (T 3-T 1) +C V m (T 4-T 1)
热效率为：
η=
C V m (T 1+T 3-T 2-T 4) T -T =1+41C V m (T 3-T 2) T 3-T 2绝热过程有：
T 4V 4γ-1=T 3V 3γ-1, T 1V 1γ-1=T 2V 2γ-1 0图2-2-2 0因为 V 4=V 1, V 2=V 3
T 4T 3T T 1V 1=η=1-1=(2) γ-1=() γ-1=r 1-γ
T 2, 而 T 2V 1r 故 T 1T 2,
1-γη=1-r 因此 。
热效率只依赖于压缩比，η=59.34%，实际效率只是上述结果的一半稍大些，因为大量的热量耗散了，没有参与循环。