12.3 乘法公式
一、基础训练
1．下列运算中，正确的是（ ）
A ．（a+3）（a －3）=a2－3 B ．（3b+2）（3b －2）=3b2－4
C ．（3m －2n ）（－2n －3m ）=4n2－9m 2 D ．（x+2）（x －3）=x2－6
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A ．（x+1）（1+x） B ．（1
2a+b）（b －1
2a ）
C ．（－a+b）（a －b ） D ．（x 2－y ）（x+y2）
3．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n+1）（3n －1）－（3－n ）（的整数是（ ）
A ．3 B ．6 C ．10 D ．9
4．若（x －5）2=x2+kx+25，则k=（ ）
A ．5 B ．－5 C ．10 D ．－10
5．9.8×10.2=________;
6．a 2+b2=（a+b）2+______=（a －b ）2+________．
7．（x －y+z）（x+y+z）=________;
8．（a+b+c）2=_______．
9．（1
2x+3）2－（1
2x －3）2=________．
10．（1）（2a －3b ）（2a+3b）； （2）（－p 2+q）（－p 2－q ）；
（3）（x －2y ）2； （4）（－2x －1
2y ）2．
11．（1）（2a －b ）（2a+b）（4a 2+b2）；
（2）（x+y－z ）（x －y+z）－（x+y+z）（x －y －z ）．
3+n）
12．有一块边长为m 的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n ，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？
二、能力训练
13．如果x 2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（
A ．4 B ．2 C ．－2 D ．±2
14．已知a+1
a =3，则a 2+1
a 2，则a+的值是（ ）
A ．1 B ．7 C ．9 D ．11
15．若a －b=2，a －c=1，则（2a －b －c ）2+（c －a ）2的值为（ ）
A ．10 B ．9 C ．2 D ．1
16．│5x－2y│·│2y－5x│的结果是（ ）
A ．25x 2－4y 2 B ．25x 2－20xy+4y2
C ．25x 2+20xy+4y2 D ．－25x 2+20xy－4y 2
17．若a 2+2a=1，则（a+1）2=_________．
三、综合训练
18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a 2+b2；
（2）若已知a+b=10，a 2+b2=4，ab 的值呢？
19．解不等式（3x －4）2>（－4+3x）（3x+4）．
）
20．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
…
（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n 行的式子，并说明你的结论是正确的．
参考答案
1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D 项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，而应是多项式乘多项式．
2．B 点拨：（a+b）（b －a ）=（b+a）（b －a ）=b2－a 2．
3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n 2－1），故能被10整除．
4．D 点拨：（x －5）2=x2－2x×5+25=x2－10x+25．
5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10－0.2）（10+0.2）=10－0.2=100－0.04=99.96．
6．（－2ab ）；2ab
7．x 2+z2－y 2+2xz
点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，然后运用完全平方公式．
8．a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
点拨：把三项中的某两项看做一个整体，运用完全平方公式展开．
1119．6x 点拨：把（x+3）和（x －3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）222
111112－（x －3）2=（x+3+x －3）[x+3－（x －3）]=x·6=6x． 22222
10．（1）4a 2－9b 2；（2）原式=（－p 2）2－q 2=p4－q 2．
点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a ，b ．
（3）x 4－4xy+4y2；
111 （4）解法一：（－2x －y ）2=（－2x ）2+2·（－2x ）·（－y ）+（－y ）222
12=4x2+2xy+y 2． 4
111 解法二：（－2x －y ）2=（2x+y ）2=4x2+2xy+y 2． 224
点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．
11．（1）原式=（4a 2－b 2）（4a 2+b2）=（4a 2）2－（b 2）2=16a4－b 4．
点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进行恰当的组合．
（2）原式=[x+（y －z ）][x－（y －z ）]－[x+（y+z）][x－（y+z）]
=x2－（y －z ）2－[x2－（y+z）2]
=x2－（y －z ）2－x 2+（y+z）2
=（y+z）2－（y －z ）2
=（y+z+y－z ）[y+z－（y －z ）]
=2y·2z=4yz．
点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．
12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2－mn －mn+n2=m2－2mn+n2． 解法二：如图（2），剩余部分面积=（m －n ）2．
∴（m －n ）2=m2－2mn+n2，此即完全平方公式．
点拨：解法一：是用边长为m 的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n 的正方形．
解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m －n ）的正方形面积．做此类题要注意数形结合．
13．D 点拨：x 2+4x+k2=（x+2）2=x2+4x+4，所以k 2=4，k 取±2．
14．B 点拨：a 2+112=（a+）－2=32－2=7． 2a a
15．A 点拨：（2a －b －c ）2+（c －a ）2=（a+a－b －c ）2+（c －a ）2=[（a －b ）+（a －c ）] 2+（c －a ）2=（2+1）2+（－1）2=9+1=10．
16．B 点拨：（5x －2y ）与（2y －5x ）互为相反数；│5x－2y│·│2y－5x│=（5x －2y ）2=25x2－20xy+4y2．
17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1，然后把a 2+2a=1整体代入上式．
18．（1）a 2+b2=（a+b）2－2ab ．
∵a+b=3，ab=2，
∴a 2+b2=32－2×2=5．
（2）∵a+b=10，
∴（a+b）2=102，
a 2+2ab+b2=100，∴2ab=100－（a 2+b2）．
又∵a 2+b2=4，
∴2ab=100－4，
ab=48．
点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+b）、ab 、（a 2+b2）三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．
19．（3x －4）2>（－4+3x）（3x+4），
（3x ）2+2×3x·（－4）+（－4）2>（3x ）2－42，
9x 2－24x+16>9x2－16，
－24x>－32．
4 x
点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．
20．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2
（2）n 2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．
证明：∵n 2+[n（n+1）] 2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+n2+2n+1
=n2+n2（n 2+2n+1）+n2+2n+1
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1．
而[n（n+1）+1] 2=[n（n+1）] 2+2n（n+1）+1
=n2（n 2+2n+1）+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
所以n 2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．
12.3 乘法公式
一、基础训练
1．下列运算中，正确的是（ ）
A ．（a+3）（a －3）=a2－3 B ．（3b+2）（3b －2）=3b2－4
C ．（3m －2n ）（－2n －3m ）=4n2－9m 2 D ．（x+2）（x －3）=x2－6
2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A ．（x+1）（1+x） B ．（1
2a+b）（b －1
2a ）
C ．（－a+b）（a －b ） D ．（x 2－y ）（x+y2）
3．对于任意的正整数n ，能整除代数式（3n+1）（3n －1）－（3－n ）（的整数是（ ）
A ．3 B ．6 C ．10 D ．9
4．若（x －5）2=x2+kx+25，则k=（ ）
A ．5 B ．－5 C ．10 D ．－10
5．9.8×10.2=________;
6．a 2+b2=（a+b）2+______=（a －b ）2+________．
7．（x －y+z）（x+y+z）=________;
8．（a+b+c）2=_______．
9．（1
2x+3）2－（1
2x －3）2=________．
10．（1）（2a －3b ）（2a+3b）； （2）（－p 2+q）（－p 2－q ）；
（3）（x －2y ）2； （4）（－2x －1
2y ）2．
11．（1）（2a －b ）（2a+b）（4a 2+b2）；
（2）（x+y－z ）（x －y+z）－（x+y+z）（x －y －z ）．
3+n）
12．有一块边长为m 的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，小路的宽为n ，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，验证了什么公式？
二、能力训练
13．如果x 2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（
A ．4 B ．2 C ．－2 D ．±2
14．已知a+1
a =3，则a 2+1
a 2，则a+的值是（ ）
A ．1 B ．7 C ．9 D ．11
15．若a －b=2，a －c=1，则（2a －b －c ）2+（c －a ）2的值为（ ）
A ．10 B ．9 C ．2 D ．1
16．│5x－2y│·│2y－5x│的结果是（ ）
A ．25x 2－4y 2 B ．25x 2－20xy+4y2
C ．25x 2+20xy+4y2 D ．－25x 2+20xy－4y 2
17．若a 2+2a=1，则（a+1）2=_________．
三、综合训练
18．（1）已知a+b=3，ab=2，求a 2+b2；
（2）若已知a+b=10，a 2+b2=4，ab 的值呢？
19．解不等式（3x －4）2>（－4+3x）（3x+4）．
）
20．观察下列各式的规律．
12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；
…
（1）写出第2007行的式子；
（2）写出第n 行的式子，并说明你的结论是正确的．
参考答案
1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D 项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，而应是多项式乘多项式．
2．B 点拨：（a+b）（b －a ）=（b+a）（b －a ）=b2－a 2．
3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n 2－1），故能被10整除．
4．D 点拨：（x －5）2=x2－2x×5+25=x2－10x+25．
5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10－0.2）（10+0.2）=10－0.2=100－0.04=99.96．
6．（－2ab ）；2ab
7．x 2+z2－y 2+2xz
点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，然后运用完全平方公式．
8．a 2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
点拨：把三项中的某两项看做一个整体，运用完全平方公式展开．
1119．6x 点拨：把（x+3）和（x －3）分别看做两个整体，运用平方差公式（x+3）222
111112－（x －3）2=（x+3+x －3）[x+3－（x －3）]=x·6=6x． 22222
10．（1）4a 2－9b 2；（2）原式=（－p 2）2－q 2=p4－q 2．
点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a ，b ．
（3）x 4－4xy+4y2；
111 （4）解法一：（－2x －y ）2=（－2x ）2+2·（－2x ）·（－y ）+（－y ）222
12=4x2+2xy+y 2． 4
111 解法二：（－2x －y ）2=（2x+y ）2=4x2+2xy+y 2． 224
点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．
11．（1）原式=（4a 2－b 2）（4a 2+b2）=（4a 2）2－（b 2）2=16a4－b 4．
点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，先进行恰当的组合．
（2）原式=[x+（y －z ）][x－（y －z ）]－[x+（y+z）][x－（y+z）]
=x2－（y －z ）2－[x2－（y+z）2]
=x2－（y －z ）2－x 2+（y+z）2
=（y+z）2－（y －z ）2
=（y+z+y－z ）[y+z－（y －z ）]
=2y·2z=4yz．
点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．
12．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2－mn －mn+n2=m2－2mn+n2． 解法二：如图（2），剩余部分面积=（m －n ）2．
∴（m －n ）2=m2－2mn+n2，此即完全平方公式．
点拨：解法一：是用边长为m 的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n 的正方形．
解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m －n ）的正方形面积．做此类题要注意数形结合．
13．D 点拨：x 2+4x+k2=（x+2）2=x2+4x+4，所以k 2=4，k 取±2．
14．B 点拨：a 2+112=（a+）－2=32－2=7． 2a a
15．A 点拨：（2a －b －c ）2+（c －a ）2=（a+a－b －c ）2+（c －a ）2=[（a －b ）+（a －c ）] 2+（c －a ）2=（2+1）2+（－1）2=9+1=10．
16．B 点拨：（5x －2y ）与（2y －5x ）互为相反数；│5x－2y│·│2y－5x│=（5x －2y ）2=25x2－20xy+4y2．
17．2 点拨：（a+1）2=a2+2a+1，然后把a 2+2a=1整体代入上式．
18．（1）a 2+b2=（a+b）2－2ab ．
∵a+b=3，ab=2，
∴a 2+b2=32－2×2=5．
（2）∵a+b=10，
∴（a+b）2=102，
a 2+2ab+b2=100，∴2ab=100－（a 2+b2）．
又∵a 2+b2=4，
∴2ab=100－4，
ab=48．
点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2中（a+b）、ab 、（a 2+b2）三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．
19．（3x －4）2>（－4+3x）（3x+4），
（3x ）2+2×3x·（－4）+（－4）2>（3x ）2－42，
9x 2－24x+16>9x2－16，
－24x>－32．
4 x
点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．
20．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2
（2）n 2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．
证明：∵n 2+[n（n+1）] 2+（n+1）2
=n2+n2（n+1）2+n2+2n+1
=n2+n2（n 2+2n+1）+n2+2n+1
=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1．
而[n（n+1）+1] 2=[n（n+1）] 2+2n（n+1）+1
=n2（n 2+2n+1）+2n2+2n+1
=n4+2n3+n2+2n2+2n+1
=n4+2n3+3n2+2n+1，
所以n 2+[n（n+1）] 2+（n+1）2=[n（n+1）+1] 2．