图形的折叠问题
1. （2015荆州，8．）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 剪纸问题．
分析： 根据题意直接动手操作得出即可．
解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选A ．
2、（2015•绵阳12．（3分））如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ）
点评： 本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．
3、（2015•铜仁市8．（4分））如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角
11线BD 翻折，点C 落在点C 处，BC 交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
4、（2015•毕节市8．（3分））如图，已知D 为△ABC 边AB 的
中点，E 在AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．
若∠B=65°，则∠BDF 等于（ ）
A ． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5°
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD
，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
解答： 解：∵△DEF 是△DEA 沿直线DE 翻折变换而来，
∴AD=DF，
∵D 是AB 边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
∴∠B=∠BFD ，
∵∠B=65°，
∴∠BDF=180°﹣∠B ﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．
故选：B ．
点评： 本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
5、（2015鄂州市，8. ）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，
BC=12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折
叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（ ）
A ． B ． C ． D ．
【答案】
D.
考点：翻折问题.
6、（2015•湖北12．（3分））如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，
将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）
A ． AF=AE B． △ABE ≌△AGF C． EF=2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 设BE=x，表示出CE=8﹣x ，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt △ABE 中，利用勾股定理列出方程求出x ，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF ，然后求出∠AEF=∠AFE ，根据等角对等边可得AE=AF，过点E 作EH ⊥AD D ． AF=EF
于H ，可得四边形ABEH 是矩形，根据矩形的性质求出EH 、AH ，然后求出FH ，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x ，
∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，
∴AE=CE=8﹣x ，
222中国教%育出&@版网^]在Rt △ABE 中，AB +BE=AE，
222即4+x=（8﹣x ）
解得x=3，
∴AE=8﹣3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE=∠CEF ， [ww#&%w.@zz~step.com]
∴∠AEF=∠AFE ，
∴AE=AF=5，
∴A 正确；
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
，
∴△ABE ≌△AGF （HL ），
∴B 正确；
过点E 作EH ⊥AD 于H ，则四边形ABEH 是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，
在Rt △EFH 中，EF=2
∴C 正确；
∵△AEF 不是等边三角形，
∴EF≠AE， 来源中教网^%&~]中国教^#育出~&版%网 ， 来源中国^&@教育出版网~]
故D 错误；
故选：D ．
中国&^教育出#*版网
点评： 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE 的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
7、（2015•北海12．（3分））如图，在矩形OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线OB 折叠后，点A 与点D 重合，OD 与BC 交于点E ，则点D 的坐标是（ ）
来&#源:*中国教育出版网
，） D ． （，） A ． （4，8） B ． （5，8） C ． （
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
专题： 计算题．
分析： 由四边形ABCD 为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL 得到直角三角形BOC 与直角三角形BOD 全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE 中，设CE=x，表示出OE ，利用勾股定理求出x 的值，确定出CE 与OE 的长，进而由三角形COE 与三角形DEF 相似，求出DF 与EF 的长，即可确定出D 坐标．
解答： 解：∵矩形ABCD 中，OA=8，OC=4，
∴BC=OA=8，AB=OC=4，
由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB ，∠ODB=∠BAO=90°，
在Rt △CBP 和Rt △DOB 中，
，
∴Rt △CBP ≌Rt △DOB （HL ），
∴∠CBO=∠DOB ，
∴OE=EB，
设CE=x，则EB=OE=8﹣x ，
在Rt △COE 中，根据勾股定理得：（8﹣x ）2=x2+42，
解得：x=3， 来@源中教^#%网~]
∴CE=3，OE=5，DE=3，
过D 作DF ⊥BC ，可得△COE ∽△FDE ， ∴=
=，即
==，
解得：DF=
∴DF+OC=则D （
故选C ．
，，EF=， +4=，CF=3+=， ），
点评： 此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．来源~:中*%国@教育出版网
8、（2015•桂林9．（3分））如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=12，AD ⊥BC 于D ，点E 、F 分别在AB 、AC 边上，把△ABC 沿EF 折叠，使点A 与点D 恰好重合，则△DEF 的周长是（ ）
A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的性质可得EF 为△ABC 的中位线，△AEF ≌△DEF ，分别求出EF 、DE 、DF 的长度，即可求得周长．
解答： 解：由折叠的性质可得，△AEF ≌△DEF ，EF 为△ABC 的中位线，
∵AB=10，AC=8，BC=12，
∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，
∴△DEF 的周长=5+4+6=15．
故选B ．
点评： 本题考查了翻折变换，解答本题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，来&源~^:@中教网*]来源#~^%中教网*]
它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9、（2015玉林，11．3分）（2015•玉林）如图，ABCD 是矩形纸
片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D
恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则等于（ ）
A ．
C ． 1.5 D ． B ．2
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，从而AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，得到∠CAB=30°，∠ACB=60°，进一步得到∠BCE=
所以BE=
得到BE=，，再证明△AOE ≌△COF ，得到OE=OF，所以四边形AECF 为菱形，所以AE=CE，，即可解答．
解答： 解：∵ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上， ∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=
∴BE= ，
∵AB ∥CD ，
∴∠OAE=∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE ≌△COF ，
∴OE=OF，
∴EF 与AC 互相垂直平分，
∴四边形AECF 为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=
∴， =2，
故选：B ．
点评：本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形的性质得到∠CAB=30°，进而得到BE=，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题．
10、（2015•湖北12．（3分））如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，
BC=8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）
A ． AF=AE B． △ABE ≌△AGF C． EF=2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 设BE=x，表示出CE=8﹣x ，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt △ABE 中，利用勾股定理列出方程求出x ，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF ，然后求出∠AEF=∠AFE ，根据等角对等边可得AE=AF，过点E 作EH ⊥AD 于H ，可得四边形ABEH 是矩形，根据矩形的性质求出EH 、AH ，然后求出FH ，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x ，
∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，
∴AE=CE=8﹣x ，
222 D ． AF=EF 中国教%育出&@版网^]在Rt △ABE 中，AB +BE=AE，
222即4+x=（8﹣x ）
解得x=3，
∴AE=8﹣3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE=∠CEF ， [ww#&%w.@zz~step.com]
∴∠AEF=∠AFE ，
∴AE=AF=5，
∴A 正确；
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
，
∴△ABE ≌△AGF （HL ），
∴B 正确；
过点E 作EH ⊥AD 于H ，则四边形ABEH 是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，
在Rt △EFH 中，EF=2
∴C 正确；
∵△AEF 不是等边三角形，
∴EF≠AE， 来源中教网^%&~]中国教^#育出~&版%网 ， 来源中国^&@教育出版网~]
故D 错误；
故选：D ．
中国&^教育出#*版网
点评： 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，
勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE 的
长度是解题的关键，也是本题的突破口．
11、（2015•郴州8．（3分））如图，在矩形ABCD 中，
AB=3，将△ABD 沿对角线BD 对折，得到△EBD ，DE 与BC 交
于点F ，∠ADB=30°，则EF=（ ）
A ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 利用翻折变换的性质得出：∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE 的长．源&:中国教育%^出版网来 B ． 2 C ． 3 D． 3
解答： 解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，
可得∠4=∠5=60°，
∵AB=DC=BE=3，
∴tan60°===，[[email protected]*.#%com&]
解得：EF=
故选：A ．
．
点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．
12、（2015•无锡10．（2分））如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F的长为（ ）
把△ABE 沿AE 折叠，当点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上
时，则点B′到BC 的距离为（ ）
A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4 D ．4或5
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD 于M ．设DM=B′M=x，
22则AM=7﹣x ，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7﹣x ）=25﹣x ，通过解方
程求得x 的值，易得点B′到BC 的距离．
解答： 解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD 于M ．
∵点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上，
∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x
，
又由折叠的性质知AB=AB′=5， 来源@^:z&zs*te#p.com]来源@#:^中教&网%]
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM =AB′﹣B′M
22即（7﹣x ）=25﹣x ，
解得x=3或x=4，
则点B′到BC 的距离为2或1．
故选：A ． 中国#&教育出版网@~]222
点评： 本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△AMB′和等腰直角△B′DM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．
14、（2015•滨州17．（4分））如图，在平面直角坐标系
中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后
端点D 恰好落在边OC 上的点F 处．若点D 的坐标为（10，8），
则点E 的坐标为 （10，3） ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质． [www.%@z&zste^#p.com]
分析： 根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF 中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x ，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E 的坐标． 解答： 解：∵四边形A0CD 为矩形，D 的坐标为（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE 折叠，使D 落在BC 上的点F 处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt △AOF 中，OF=
∴FC=10﹣6=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x ，
222222在Rt △CEF 中，EF =EC+FC，即（8﹣x ）=x+4，
中国教^&%育出版网来源:%中国@教育出&版网=6， 解得x=3，
即EC 的长为3．
∴点E 的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．
点评： 本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
15、（2015•泰安20．（3分））如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，
将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB=6，BC=4，则FD 的长为（ ）
A ．2 B ．4 C ． D ．2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据点E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF 和△EGF 全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC 、BF ，然后在Rt △BCF 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD 中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，
，
∴Rt △EDF ≌Rt △EGF （HL ），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x ，
222在Rt △BCF 中，（4）+（6﹣x ）=（6+x），
解得x=4．
故选：B ．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
二：填空题
1、（2015•潜江13．（3分））如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A=26°，则∠CDE=
2、（2015荆州，16．）如图，矩形ABCD 中，OA 在x 轴上，OC
y 轴上，且OA =2，AB =5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ′C ，AB ′交y
于D 点，则B ′
点的坐标为 （，） ． 在轴
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
分析： 作B ′E ⊥x 轴，设OD =x ，在Rt △AOD 中，根据勾股定理列方程，再由△ADO ∽△AB ′E ，求出B ′E 和OE ．
解答： 解：作B ′E ⊥x 轴，
易证AD =CD ，
设OD =x ，AD =5﹣x ，
222在Rt △AOD 中，根据勾股定理列方程得：2+x =（5﹣x ），
解得：x =2.1，
∴AD =2.9，
∵OD ∥B ′E ，
∴△ADO ∽△AB ′E ， ∴
∴
解得：B ′E =
AE =
∴OE =
∴B ′（， ﹣2=，． ）． ，）．
， ， ， 故答案为：（
点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD 是解决问题的关键．
3、（2015绥化，21. ）在矩形ABCD 中 ，AB =4 , BC =3 , 点P 在AB 上。若将△DAP 沿DP 折叠 ，使点A 落在矩形对角线上的A 处 ，则AP 的长为__________.
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：分类讨论．
分析：分两种情况探讨：点A 落在矩形对角线BD 上，点A 落在矩形对角线AC 上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
解答：
解：①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
设AP=x，则BP=4﹣x ，
222∵BP =BA′+PA′，
∴（4﹣x ）=x+2，
解得：x=，
∴AP=；
②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，
根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，
∴△DAP ∽△ABC ， ∴
∴AP=， =
=． 222
故答案为：或．
点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的
判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．
4、（2015•泰州16．（3分））如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P
为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE=OD，
则AP 的长为 4.8 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
分析： 由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA 证明△ODP ≌△OEG ，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x ，DG=x，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
解答： 解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP ≌△EBP ，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP 和△OEG 中，
，
∴△ODP ≌△OEG （ASA ），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x ，DG=x，
∴CG=8﹣x ，BG=8﹣（6﹣x ）=2+x，
222根据勾股定理得：BC +CG=BG，
222即6+（8﹣x ）=（x+2），
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为：4.8．
点评： 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
（2015•枣庄18．（4分））如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解析式为 y=﹣x+ ．
（2015•成都14．（4分））如图，在▱ABCD 中，AB=
点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为 3 ．
，AD=4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，
考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
分析： 由点B 恰好与点C 重合，可知AE 垂直平分BC ，根据勾股定理计算AE 的长即可． 解答： 解：∵翻折后点B 恰好与点C 重合，
∴AE ⊥BC ，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴AE===3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE 垂直平分BC 是解决问题的关键
（2015•达州14．（3分））如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上，点D 落在D′处，C′D′交AE 于点M ．若AB=6，BC=9，则AM 的长为
分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为．
三：解答题
1、（2015年浙江衢州8分）如图1，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使顶点A 落在DC 上的点A '处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处，再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处，如图2.
（1）求证：EG =CH ；
（2
）已知AF =，求AD 和AB 的长
.
【答案】解：（1）证明：由折叠知：AE =AD =EG , BC =CH .
∵由矩形ABCD 知：AD =BC ，
∴EG =CH .
（2）如答图，
∠ADE =45︒, ∠FGE =∠A =90︒, AF =，∴DG DF =2.
∴AD =2.
由折叠知：∠1=∠2, ∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90︒, ∠2+∠4=90︒.
∵∠1+∠AFE =90︒，∴∠3=∠AFE .
又∵∠A =∠B =90︒，
由（1）可得，AE =BC ，
∴∆EFA ≌∆CEB (AAS ). ∴AF =BE .
∴AB =AE +BE =2=2+
【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；等腰直角三角形的判定和性质；全等
三角形的判定和性质．
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得EG =AE =AD =BC =CH .
（2）判断∆ADG 和∆DFG 都是等腰直角三角形，即可，由AD =AF +
DE 求得AD =2；由AAS 证明∆EFA ≌∆CEB ，得到AF =BE ，从而由AB =AE +BE 求
得AB =2+
2、（2015贵阳，25．）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD=3．
（1）求MP 的值；
（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等
于多少时，△MEF 的周长最小？
（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，
GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算
结果保留根号）
来源:zzs^tep%.~com@&]
考点： 几何变换综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；
（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E交AB 于点F ，利用两点之间线段最短可得点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则AM=AD﹣MP ﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF ；
（3）如图2，由（2）知点M′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER=2，连接M′R交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG 的周长最小，在Rt △M′RN中，利用勾股定理计算出M′R=5，易得四边形MEQG 的最小周长值是7+5． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=4，∠D=90°，
∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，
∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°， 中国教育&出^*@版网#]
∴MP==5；
（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E交AB 于点F ，则点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，
∵AM=AD﹣MP ﹣PD=12﹣5﹣3=4，
∴AM=AM′=4，
∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，
∴∠CEP=∠MEP ，
而∠CEP=∠MPE ，
∴∠MEP=∠MPE ，
∴ME=MP=5， 来源^~&:中教网@%]来源:@中%#&教网^]
在Rt △ENM 中，MN=∴NM′=11，
∵AF ∥ME ，
∴△AFM′∽△NEM′， ∴即AF==，即
=，解得AF===3， ， 时，△MEF 的周长最小；
（3）如图2，由（2）知点M′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER=2，连接M′R交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，
∵ER=GQ，ER ∥GQ ，
∴四边形ERGQ 是平行四边形，
∴QE=GR，
∵GM=GM′，
∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG 的周长最小，
在Rt △M′RN中，NR=4﹣2=2， M′R==5，
∵ME=5，GQ=2，
∴四边形MEQG 的最小周长值是7+5．
点评： 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．
来源:%中教网@#~*]
3、（2015•湘潭22．（6分））如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，
△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．
（1）求证：△BDE ∽△BAC ；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．
将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解析式为 y=﹣x+ ．
（2015•成都14．（4分））如图，在▱ABCD 中，AB=
点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为 3 ． ，AD=4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，
考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
分析： 由点B 恰好与点C 重合，可知AE 垂直平分BC ，根据勾股定理计算AE 的长即可． 解答： 解：∵翻折后点B 恰好与点C 重合，
∴AE ⊥BC ，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴AE=
故答案为：3． ==3．
点评： 本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE 垂直平分BC 是解决问题的关键
C′上，点D
落在D′处，C′D′交
AE 于点M ．若AB=6，BC=9，则AM 的长为
分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为．
图形的折叠问题
1. （2015荆州，8．）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 剪纸问题．
分析： 根据题意直接动手操作得出即可．
解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：
故选A ．
2、（2015•绵阳12．（3分））如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ）
点评： 本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．
3、（2015•铜仁市8．（4分））如图，在矩形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角
11线BD 翻折，点C 落在点C 处，BC 交AD 于点E ，则线段DE 的长为（ ）
4、（2015•毕节市8．（3分））如图，已知D 为△ABC 边AB 的
中点，E 在AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．
若∠B=65°，则∠BDF 等于（ ）
A ． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5°
考点： 翻折变换（折叠问题）． 分析： 先根据图形翻折不变性的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD
，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
解答： 解：∵△DEF 是△DEA 沿直线DE 翻折变换而来，
∴AD=DF，
∵D 是AB 边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
∴∠B=∠BFD ，
∵∠B=65°，
∴∠BDF=180°﹣∠B ﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．
故选：B ．
点评： 本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
5、（2015鄂州市，8. ）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，
BC=12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折
叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF =（ ）
A ． B ． C ． D ．
【答案】
D.
考点：翻折问题.
6、（2015•湖北12．（3分））如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，
将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）
A ． AF=AE B． △ABE ≌△AGF C． EF=2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 设BE=x，表示出CE=8﹣x ，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt △ABE 中，利用勾股定理列出方程求出x ，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF ，然后求出∠AEF=∠AFE ，根据等角对等边可得AE=AF，过点E 作EH ⊥AD D ． AF=EF
于H ，可得四边形ABEH 是矩形，根据矩形的性质求出EH 、AH ，然后求出FH ，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x ，
∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，
∴AE=CE=8﹣x ，
222中国教%育出&@版网^]在Rt △ABE 中，AB +BE=AE，
222即4+x=（8﹣x ）
解得x=3，
∴AE=8﹣3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE=∠CEF ， [ww#&%w.@zz~step.com]
∴∠AEF=∠AFE ，
∴AE=AF=5，
∴A 正确；
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
，
∴△ABE ≌△AGF （HL ），
∴B 正确；
过点E 作EH ⊥AD 于H ，则四边形ABEH 是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，
在Rt △EFH 中，EF=2
∴C 正确；
∵△AEF 不是等边三角形，
∴EF≠AE， 来源中教网^%&~]中国教^#育出~&版%网 ， 来源中国^&@教育出版网~]
故D 错误；
故选：D ．
中国&^教育出#*版网
点评： 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE 的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
7、（2015•北海12．（3分））如图，在矩形OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线OB 折叠后，点A 与点D 重合，OD 与BC 交于点E ，则点D 的坐标是（ ）
来&#源:*中国教育出版网
，） D ． （，） A ． （4，8） B ． （5，8） C ． （
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
专题： 计算题．
分析： 由四边形ABCD 为矩形，利用矩形的性质得到两对边相等，再利用折叠的性质得到OA=OD，两对角相等，利用HL 得到直角三角形BOC 与直角三角形BOD 全等，利用全等三角形对应角相等及等角对等边得到OE=EB，在直角三角形OCE 中，设CE=x，表示出OE ，利用勾股定理求出x 的值，确定出CE 与OE 的长，进而由三角形COE 与三角形DEF 相似，求出DF 与EF 的长，即可确定出D 坐标．
解答： 解：∵矩形ABCD 中，OA=8，OC=4，
∴BC=OA=8，AB=OC=4，
由折叠得到OD=OA=BC，∠AOB=∠DOB ，∠ODB=∠BAO=90°，
在Rt △CBP 和Rt △DOB 中，
，
∴Rt △CBP ≌Rt △DOB （HL ），
∴∠CBO=∠DOB ，
∴OE=EB，
设CE=x，则EB=OE=8﹣x ，
在Rt △COE 中，根据勾股定理得：（8﹣x ）2=x2+42，
解得：x=3， 来@源中教^#%网~]
∴CE=3，OE=5，DE=3，
过D 作DF ⊥BC ，可得△COE ∽△FDE ， ∴=
=，即
==，
解得：DF=
∴DF+OC=则D （
故选C ．
，，EF=， +4=，CF=3+=， ），
点评： 此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．来源~:中*%国@教育出版网
8、（2015•桂林9．（3分））如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=12，AD ⊥BC 于D ，点E 、F 分别在AB 、AC 边上，把△ABC 沿EF 折叠，使点A 与点D 恰好重合，则△DEF 的周长是（ ）
A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的性质可得EF 为△ABC 的中位线，△AEF ≌△DEF ，分别求出EF 、DE 、DF 的长度，即可求得周长．
解答： 解：由折叠的性质可得，△AEF ≌△DEF ，EF 为△ABC 的中位线，
∵AB=10，AC=8，BC=12，
∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，
∴△DEF 的周长=5+4+6=15．
故选B ．
点评： 本题考查了翻折变换，解答本题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，来&源~^:@中教网*]来源#~^%中教网*]
它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
9、（2015玉林，11．3分）（2015•玉林）如图，ABCD 是矩形纸
片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D
恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则等于（ ）
A ．
C ． 1.5 D ． B ．2
考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，从而AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，得到∠CAB=30°，∠ACB=60°，进一步得到∠BCE=
所以BE=
得到BE=，，再证明△AOE ≌△COF ，得到OE=OF，所以四边形AECF 为菱形，所以AE=CE，，即可解答．
解答： 解：∵ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上， ∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，
∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=
∴BE= ，
∵AB ∥CD ，
∴∠OAE=∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
∴△AOE ≌△COF ，
∴OE=OF，
∴EF 与AC 互相垂直平分，
∴四边形AECF 为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=
∴， =2，
故选：B ．
点评：本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形的性质得到∠CAB=30°，进而得到BE=，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题．
10、（2015•湖北12．（3分））如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，
BC=8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是（ ）
A ． AF=AE B． △ABE ≌△AGF C． EF=2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 设BE=x，表示出CE=8﹣x ，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt △ABE 中，利用勾股定理列出方程求出x ，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF ，然后求出∠AEF=∠AFE ，根据等角对等边可得AE=AF，过点E 作EH ⊥AD 于H ，可得四边形ABEH 是矩形，根据矩形的性质求出EH 、AH ，然后求出FH ，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x ，
∵沿EF 翻折后点C 与点A 重合，
∴AE=CE=8﹣x ，
222 D ． AF=EF 中国教%育出&@版网^]在Rt △ABE 中，AB +BE=AE，
222即4+x=（8﹣x ）
解得x=3，
∴AE=8﹣3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF ，
∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，
∴∠AFE=∠CEF ， [ww#&%w.@zz~step.com]
∴∠AEF=∠AFE ，
∴AE=AF=5，
∴A 正确；
在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，
，
∴△ABE ≌△AGF （HL ），
∴B 正确；
过点E 作EH ⊥AD 于H ，则四边形ABEH 是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，
在Rt △EFH 中，EF=2
∴C 正确；
∵△AEF 不是等边三角形，
∴EF≠AE， 来源中教网^%&~]中国教^#育出~&版%网 ， 来源中国^&@教育出版网~]
故D 错误；
故选：D ．
中国&^教育出#*版网
点评： 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，
勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE 的
长度是解题的关键，也是本题的突破口．
11、（2015•郴州8．（3分））如图，在矩形ABCD 中，
AB=3，将△ABD 沿对角线BD 对折，得到△EBD ，DE 与BC 交
于点F ，∠ADB=30°，则EF=（ ）
A ．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 利用翻折变换的性质得出：∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE 的长．源&:中国教育%^出版网来 B ． 2 C ． 3 D． 3
解答： 解：如图所示：由题意可得：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，
可得∠4=∠5=60°，
∵AB=DC=BE=3，
∴tan60°===，[[email protected]*.#%com&]
解得：EF=
故选：A ．
．
点评： 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．
12、（2015•无锡10．（2分））如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F的长为（ ）
把△ABE 沿AE 折叠，当点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上
时，则点B′到BC 的距离为（ ）
A ．1或2 B ．2或3 C ．3或4 D ．4或5
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD 于M ．设DM=B′M=x，
22则AM=7﹣x ，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7﹣x ）=25﹣x ，通过解方
程求得x 的值，易得点B′到BC 的距离．
解答： 解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD 于M ．
∵点B 的对应点B′落在∠ADC 的角平分线上，
∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x
，
又由折叠的性质知AB=AB′=5， 来源@^:z&zs*te#p.com]来源@#:^中教&网%]
∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM =AB′﹣B′M
22即（7﹣x ）=25﹣x ，
解得x=3或x=4，
则点B′到BC 的距离为2或1．
故选：A ． 中国#&教育出版网@~]222
点评： 本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△AMB′和等腰直角△B′DM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．
14、（2015•滨州17．（4分））如图，在平面直角坐标系
中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后
端点D 恰好落在边OC 上的点F 处．若点D 的坐标为（10，8），
则点E 的坐标为 （10，3） ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质． [www.%@z&zste^#p.com]
分析： 根据折叠的性质得到AF=AD，所以在直角△AOF 中，利用勾股定理来求OF=6，然后设EC=x，则EF=DE=8﹣x ，CF=10﹣6=4，根据勾股定理列方程求出EC 可得点E 的坐标． 解答： 解：∵四边形A0CD 为矩形，D 的坐标为（10，8），
∴AD=BC=10，DC=AB=8，
∵矩形沿AE 折叠，使D 落在BC 上的点F 处，
∴AD=AF=10，DE=EF，
在Rt △AOF 中，OF=
∴FC=10﹣6=4，
设EC=x，则DE=EF=8﹣x ，
222222在Rt △CEF 中，EF =EC+FC，即（8﹣x ）=x+4，
中国教^&%育出版网来源:%中国@教育出&版网=6， 解得x=3，
即EC 的长为3．
∴点E 的坐标为（10，3），
故答案为：（10，3）．
点评： 本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
15、（2015•泰安20．（3分））如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，
将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB=6，BC=4，则FD 的长为（ ）
A ．2 B ．4 C ． D ．2
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据点E 是AD 的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF 和△EGF 全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC 、BF ，然后在Rt △BCF 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
解答： 解：∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD 中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
∵在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，
，
∴Rt △EDF ≌Rt △EGF （HL ），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6﹣x ，
222在Rt △BCF 中，（4）+（6﹣x ）=（6+x），
解得x=4．
故选：B ．
点评： 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC是解题的关键．
二：填空题
1、（2015•潜江13．（3分））如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 在AB 边上，将△CBD 沿CD 折叠，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A=26°，则∠CDE=
2、（2015荆州，16．）如图，矩形ABCD 中，OA 在x 轴上，OC
y 轴上，且OA =2，AB =5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ′C ，AB ′交y
于D 点，则B ′
点的坐标为 （，） ． 在轴
考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
分析： 作B ′E ⊥x 轴，设OD =x ，在Rt △AOD 中，根据勾股定理列方程，再由△ADO ∽△AB ′E ，求出B ′E 和OE ．
解答： 解：作B ′E ⊥x 轴，
易证AD =CD ，
设OD =x ，AD =5﹣x ，
222在Rt △AOD 中，根据勾股定理列方程得：2+x =（5﹣x ），
解得：x =2.1，
∴AD =2.9，
∵OD ∥B ′E ，
∴△ADO ∽△AB ′E ， ∴
∴
解得：B ′E =
AE =
∴OE =
∴B ′（， ﹣2=，． ）． ，）．
， ， ， 故答案为：（
点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD 是解决问题的关键．
3、（2015绥化，21. ）在矩形ABCD 中 ，AB =4 , BC =3 , 点P 在AB 上。若将△DAP 沿DP 折叠 ，使点A 落在矩形对角线上的A 处 ，则AP 的长为__________.
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：分类讨论．
分析：分两种情况探讨：点A 落在矩形对角线BD 上，点A 落在矩形对角线AC 上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
解答：
解：①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，
∵AB=4，BC=3，
∴BD=5，
根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=2，
设AP=x，则BP=4﹣x ，
222∵BP =BA′+PA′，
∴（4﹣x ）=x+2，
解得：x=，
∴AP=；
②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，
根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，
∴△DAP ∽△ABC ， ∴
∴AP=， =
=． 222
故答案为：或．
点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的
判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．
4、（2015•泰州16．（3分））如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，P
为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE=OD，
则AP 的长为 4.8 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
分析： 由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA 证明△ODP ≌△OEG ，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x ，DG=x，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
解答： 解：如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP ≌△EBP ，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP 和△OEG 中，
，
∴△ODP ≌△OEG （ASA ），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x ，DG=x，
∴CG=8﹣x ，BG=8﹣（6﹣x ）=2+x，
222根据勾股定理得：BC +CG=BG，
222即6+（8﹣x ）=（x+2），
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为：4.8．
点评： 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
（2015•枣庄18．（4分））如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （3，0），连接AB ，将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解析式为 y=﹣x+ ．
（2015•成都14．（4分））如图，在▱ABCD 中，AB=
点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为 3 ．
，AD=4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，
考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
分析： 由点B 恰好与点C 重合，可知AE 垂直平分BC ，根据勾股定理计算AE 的长即可． 解答： 解：∵翻折后点B 恰好与点C 重合，
∴AE ⊥BC ，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴AE===3．
故答案为：3．
点评： 本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE 垂直平分BC 是解决问题的关键
（2015•达州14．（3分））如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上，点D 落在D′处，C′D′交AE 于点M ．若AB=6，BC=9，则AM 的长为
分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为．
三：解答题
1、（2015年浙江衢州8分）如图1，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使顶点A 落在DC 上的点A '处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处，再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处，如图2.
（1）求证：EG =CH ；
（2
）已知AF =，求AD 和AB 的长
.
【答案】解：（1）证明：由折叠知：AE =AD =EG , BC =CH .
∵由矩形ABCD 知：AD =BC ，
∴EG =CH .
（2）如答图，
∠ADE =45︒, ∠FGE =∠A =90︒, AF =，∴DG DF =2.
∴AD =2.
由折叠知：∠1=∠2, ∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90︒, ∠2+∠4=90︒.
∵∠1+∠AFE =90︒，∴∠3=∠AFE .
又∵∠A =∠B =90︒，
由（1）可得，AE =BC ，
∴∆EFA ≌∆CEB (AAS ). ∴AF =BE .
∴AB =AE +BE =2=2+
【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；等腰直角三角形的判定和性质；全等
三角形的判定和性质．
【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得EG =AE =AD =BC =CH .
（2）判断∆ADG 和∆DFG 都是等腰直角三角形，即可，由AD =AF +
DE 求得AD =2；由AAS 证明∆EFA ≌∆CEB ，得到AF =BE ，从而由AB =AE +BE 求
得AB =2+
2、（2015贵阳，25．）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD=3．
（1）求MP 的值；
（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等
于多少时，△MEF 的周长最小？
（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，
GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算
结果保留根号）
来源:zzs^tep%.~com@&]
考点： 几何变换综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；
（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E交AB 于点F ，利用两点之间线段最短可得点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则AM=AD﹣MP ﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF ；
（3）如图2，由（2）知点M′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER=2，连接M′R交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG 的周长最小，在Rt △M′RN中，利用勾股定理计算出M′R=5，易得四边形MEQG 的最小周长值是7+5． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=4，∠D=90°，
∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，
∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°， 中国教育&出^*@版网#]
∴MP==5；
（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E交AB 于点F ，则点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，
∵AM=AD﹣MP ﹣PD=12﹣5﹣3=4，
∴AM=AM′=4，
∵矩形ABCD 折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，
∴∠CEP=∠MEP ，
而∠CEP=∠MPE ，
∴∠MEP=∠MPE ，
∴ME=MP=5， 来源^~&:中教网@%]来源:@中%#&教网^]
在Rt △ENM 中，MN=∴NM′=11，
∵AF ∥ME ，
∴△AFM′∽△NEM′， ∴即AF==，即
=，解得AF===3， ， 时，△MEF 的周长最小；
（3）如图2，由（2）知点M′是点M 关于AB 的对称点，在EN 上截取ER=2，连接M′R交AB 于点G ，再过点E 作EQ ∥RG ，交AB 于点Q ，
∵ER=GQ，ER ∥GQ ，
∴四边形ERGQ 是平行四边形，
∴QE=GR，
∵GM=GM′，
∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG 的周长最小，
在Rt △M′RN中，NR=4﹣2=2， M′R==5，
∵ME=5，GQ=2，
∴四边形MEQG 的最小周长值是7+5．
点评： 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握折叠的性质和矩形的性质；会利用轴对称解决最短路径问题；会运用相似比和勾股定理计算线段的长．
来源:%中教网@#~*]
3、（2015•湘潭22．（6分））如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，
△ACD 沿AD 折叠，使得点C 落在斜边AB 上的点E 处．
（1）求证：△BDE ∽△BAC ；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD 的长度．
将△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，折痕所在的直线交y 轴正半轴于点C ，则直线BC 的解析式为 y=﹣x+ ．
（2015•成都14．（4分））如图，在▱ABCD 中，AB=
点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为 3 ． ，AD=4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，
考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
分析： 由点B 恰好与点C 重合，可知AE 垂直平分BC ，根据勾股定理计算AE 的长即可． 解答： 解：∵翻折后点B 恰好与点C 重合，
∴AE ⊥BC ，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴AE=
故答案为：3． ==3．
点评： 本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE 垂直平分BC 是解决问题的关键
C′上，点D
落在D′处，C′D′交
AE 于点M ．若AB=6，BC=9，则AM 的长为
分别以EA ，EB 为折痕将两个角（∠D ，∠C ）向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为．