中国校外教育下旬刊教学方法
试论复合函数单调性的判断方法
◇卢翼飞
对于复合函数, 判断其单调性是数学中的一个重点知识, 也是一个难点问题. 要判断一个复合函数的单调性往往使学生感到困
惑. 笔者从多年的教学实践中发现, 出现这个问题的主要原因是, 没有真正地理解单调函数和复合函数, 认为减函数与减函数复合还是减函数, 增函数与增函数复合还是增函数; 再则没有掌握一定的判断方法. 本文主要探讨如何化繁为简, 把复合函数的单调性问题化为基本函数的单调性问题.
复合函数 单调性 判断方法
判断定理:设y =f (u ) (u ∈M ) , u =φ(x ) (x ∈Q , u ∈N , N ∈M )
①y=f (u ) , u =φ(x ) 都是增函数或都是减函数的, 则y =f [φ(x ) ]为增函数;
②若y =f (u ) , u =φ(x ) 一个是增函数另一个是减函数, 则y =f [φ(x ) ]为减函数.
证明:①若y =f (u ) , u =f φ(x ) 都是增函数, 在所讨论的区间里任意选取x x =φ(x ) 是增函数, 所以φ(x
②若y =f (u ) 是增函数, u =φ(x ) 是减函数, 在所讨论的区间里任意选取x x =φ(x ) 是减函数, 所以φ(x >φ(x , 即u 1和x 2, 且x 1u 为y =f (u ) 是增函数, 所以f (u f (u , 即f [φ(x ]>f [φ2, 又因1)>2) 1) (x ], 从而y =f [φ(x ) ]是减函数. 用类似的方法可以证明若y =f (u ) 是减2) 函数, u =φ(x ) 是增函数时, y =f [φ(x ) ]也是减函数.
例1. 求函数y =a r c s i n (s i n x ) 的增减性.
解析:该函数的定义域是-∞
+2k π, +2k π) 上是增函数, 在+2k π, 数,
2k π,
3
π+2k π上是减函数, 在2
2
π+2k π, π+2k 上是增函数. 3
当x =2k π±π时, f (x ) 取极大值-1, 当x =2k π时, 取极大值3, 当x =2k π23
π时, f (x ) 取极小值(k ∈Z ) . 32
定理推广:设y =f f f x ) ]}由n 个函数f x ) (i =1, 2, 3, Λ, n ) n {n -1[Λ1(1(复合而成. ①若f x ) (i =1, 2, 3, Λ, n ) 中减函数的个数是偶数, 则y =f i (n {f f x ) ]}为增函数; ②若f x ) (i =1, 2, 3, Λ, n ) 中减函数的个数是n-1[Λ1(i (奇数, 则y =f n {f f x ) ]}为减函数; n -1[Λ1(
证明:①当n =2时, 由判断定理可知命题成立; 假设当n =k 时命题成立. 如果f x ) (i =1, 2, 3, Λ, k +1) 中减函数的个数是偶数, 构成的复合函数是:i (y =f f f x ) ]}, 若y =f u ) 是增函数, 则f (x ) (i =1, 2, 3, Λ, k +1{k [Λ1(k +1(i
k ) 中减函数的个数仍是偶数. 由归纳假设u =f f f x ) ]是增函数, 由k {k+1[Λ1(判断定理可知:
y =f f f x ) ]}是增函数. 若y =f u ) 是减函数, 则f x ) (i =k +1{k [Λ1(k +1(i (1, 2, 3, Λ, k ) 中减函数的个数仍是奇数. 由归纳假设u =f f f x ) ]}k {k -1[Λ1(是减函数, 由判断定理可知:
y =f f f x ) ]}也是增函数. k +1{k [Λ1(
同理可证:f x ) (i =1, 2, 3, Λ, k +1) 中减函数的个数是奇数, 那么, y =i (f f [Λf x ) ]}是减函数. 这说明n =k +1时命题成立. 由数学归纳法可k +1{k 1(知命题对n >2的一切自然数都成立.
由定理的推广得到:在所讨论的区间里, 复合函数的单调性, 可以通过构成复合函数的各函数中减函数的个数来确定.
例3. f (x ) =a (0πa π1) , y =a 由n 个f (x ) 复合而成, 讨论其增减性.
2
2
x 解析:该函数的定义域是-∞
x
x
a Λa
数. 由定理1可知:
y =a r c s i n (s i n x ) 在(3π
+2k π) 上是减函数. 2
例2. 求函数y =2c o s x +c o s 2x 的增减性和极值.
解:该函数的定义域是-∞
因为f (x +2π) =2c o s (x +2π) +2c o s (x +2π) -1=2c o s x +2s o c x -1=f (x ) 所以f (x ) 是周期函数, 其周期是2π, 则只需要在[-π, π]的区间讨论. 123y =2u +2u -1=2(u ) 在
22
2
2
2
2
如果n 是偶数, 那么, y =a 在(-∞
例4. 求函数y =1g
.
2
a Λa
x
a Λa
x
-1, 上是减函数, 在2
解析:函数的定义域是-x +2x +8 0, 即-2πx π4, y=1g =1g u , u , v =-x +2x +8复合而成. y =1g u 和u 22
都是增函数, v =-x +2x +8=-(x -1) +9, 在(-2, 1]上是增函数, 在
2
1
, 1上是增函数. 2
21
u =c o s x 在[-π,0]上是增函数, -π≤x≤, -1≤U≤;
[1, 4) 上是减函数.
所以y =l g
(-2, 1]上是增函数, [1, 4) 在上是减函数.
所以f (x ) 在f (x ) 在
-π, 221
π上是减函数, π≤x ≤0, ≤u≤1; 3函数在x =1时有最大值, y 1g 3. 最大值=
从这个定理我们可以看出, 对于比较复杂的复合函数的单调性, 可以将其分解为只要讨论简单的基本函数的单调性就可以了, 这种思路清楚、方法简单, 特别是对于中学生很管用。
参考文献:
[1]汪浩. 数学分析. 上海科技出版社, 2001. 6. [2]傅海伦. 数学教育概论. 北京科学出版社, 2004.
[3]侯建军. 谈高职数学教学中应用能力的培养. 职业教育研究,
2006. 5.
[4]孙本旺. 数学分析中的典型例题和解题方法. 湖南科学技术出版
社, 2001. 7.
(作者单位:湖南岳阳职业技术学院)
2
π,0上是增函数. 21
u =c o s x 在[0, π]上是减函数, 0≤x ≤π, ≤u ≤1; 所以f (x )
32在
221
0, 上是减函数, π≤x≤π,-1≤u≤, f (x ) 在32
2
π, 上是增函数.
2
f (x ) 在x =±π, x =0时取极大值, f (±x ) =-1, f (0) =3, 在x π时取极小值, f (±-π+2k π,2
3
π) -3
, 由周期性2f (x ) 在
2
π+2k 上是减函数, 在33
π+2k π,2k 上是增函2
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中国校外教育下旬刊教学方法
试论复合函数单调性的判断方法
◇卢翼飞
对于复合函数, 判断其单调性是数学中的一个重点知识, 也是一个难点问题. 要判断一个复合函数的单调性往往使学生感到困
惑. 笔者从多年的教学实践中发现, 出现这个问题的主要原因是, 没有真正地理解单调函数和复合函数, 认为减函数与减函数复合还是减函数, 增函数与增函数复合还是增函数; 再则没有掌握一定的判断方法. 本文主要探讨如何化繁为简, 把复合函数的单调性问题化为基本函数的单调性问题.
复合函数 单调性 判断方法
判断定理:设y =f (u ) (u ∈M ) , u =φ(x ) (x ∈Q , u ∈N , N ∈M )
①y=f (u ) , u =φ(x ) 都是增函数或都是减函数的, 则y =f [φ(x ) ]为增函数;
②若y =f (u ) , u =φ(x ) 一个是增函数另一个是减函数, 则y =f [φ(x ) ]为减函数.
证明:①若y =f (u ) , u =f φ(x ) 都是增函数, 在所讨论的区间里任意选取x x =φ(x ) 是增函数, 所以φ(x
②若y =f (u ) 是增函数, u =φ(x ) 是减函数, 在所讨论的区间里任意选取x x =φ(x ) 是减函数, 所以φ(x >φ(x , 即u 1和x 2, 且x 1u 为y =f (u ) 是增函数, 所以f (u f (u , 即f [φ(x ]>f [φ2, 又因1)>2) 1) (x ], 从而y =f [φ(x ) ]是减函数. 用类似的方法可以证明若y =f (u ) 是减2) 函数, u =φ(x ) 是增函数时, y =f [φ(x ) ]也是减函数.
例1. 求函数y =a r c s i n (s i n x ) 的增减性.
解析:该函数的定义域是-∞
+2k π, +2k π) 上是增函数, 在+2k π, 数,
2k π,
3
π+2k π上是减函数, 在2
2
π+2k π, π+2k 上是增函数. 3
当x =2k π±π时, f (x ) 取极大值-1, 当x =2k π时, 取极大值3, 当x =2k π23
π时, f (x ) 取极小值(k ∈Z ) . 32
定理推广:设y =f f f x ) ]}由n 个函数f x ) (i =1, 2, 3, Λ, n ) n {n -1[Λ1(1(复合而成. ①若f x ) (i =1, 2, 3, Λ, n ) 中减函数的个数是偶数, 则y =f i (n {f f x ) ]}为增函数; ②若f x ) (i =1, 2, 3, Λ, n ) 中减函数的个数是n-1[Λ1(i (奇数, 则y =f n {f f x ) ]}为减函数; n -1[Λ1(
证明:①当n =2时, 由判断定理可知命题成立; 假设当n =k 时命题成立. 如果f x ) (i =1, 2, 3, Λ, k +1) 中减函数的个数是偶数, 构成的复合函数是:i (y =f f f x ) ]}, 若y =f u ) 是增函数, 则f (x ) (i =1, 2, 3, Λ, k +1{k [Λ1(k +1(i
k ) 中减函数的个数仍是偶数. 由归纳假设u =f f f x ) ]是增函数, 由k {k+1[Λ1(判断定理可知:
y =f f f x ) ]}是增函数. 若y =f u ) 是减函数, 则f x ) (i =k +1{k [Λ1(k +1(i (1, 2, 3, Λ, k ) 中减函数的个数仍是奇数. 由归纳假设u =f f f x ) ]}k {k -1[Λ1(是减函数, 由判断定理可知:
y =f f f x ) ]}也是增函数. k +1{k [Λ1(
同理可证:f x ) (i =1, 2, 3, Λ, k +1) 中减函数的个数是奇数, 那么, y =i (f f [Λf x ) ]}是减函数. 这说明n =k +1时命题成立. 由数学归纳法可k +1{k 1(知命题对n >2的一切自然数都成立.
由定理的推广得到:在所讨论的区间里, 复合函数的单调性, 可以通过构成复合函数的各函数中减函数的个数来确定.
例3. f (x ) =a (0πa π1) , y =a 由n 个f (x ) 复合而成, 讨论其增减性.
2
2
x 解析:该函数的定义域是-∞
x
x
a Λa
数. 由定理1可知:
y =a r c s i n (s i n x ) 在(3π
+2k π) 上是减函数. 2
例2. 求函数y =2c o s x +c o s 2x 的增减性和极值.
解:该函数的定义域是-∞
因为f (x +2π) =2c o s (x +2π) +2c o s (x +2π) -1=2c o s x +2s o c x -1=f (x ) 所以f (x ) 是周期函数, 其周期是2π, 则只需要在[-π, π]的区间讨论. 123y =2u +2u -1=2(u ) 在
22
2
2
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2
如果n 是偶数, 那么, y =a 在(-∞
例4. 求函数y =1g
.
2
a Λa
x
a Λa
x
-1, 上是减函数, 在2
解析:函数的定义域是-x +2x +8 0, 即-2πx π4, y=1g =1g u , u , v =-x +2x +8复合而成. y =1g u 和u 22
都是增函数, v =-x +2x +8=-(x -1) +9, 在(-2, 1]上是增函数, 在
2
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, 1上是增函数. 2
21
u =c o s x 在[-π,0]上是增函数, -π≤x≤, -1≤U≤;
[1, 4) 上是减函数.
所以y =l g
(-2, 1]上是增函数, [1, 4) 在上是减函数.
所以f (x ) 在f (x ) 在
-π, 221
π上是减函数, π≤x ≤0, ≤u≤1; 3函数在x =1时有最大值, y 1g 3. 最大值=
从这个定理我们可以看出, 对于比较复杂的复合函数的单调性, 可以将其分解为只要讨论简单的基本函数的单调性就可以了, 这种思路清楚、方法简单, 特别是对于中学生很管用。
参考文献:
[1]汪浩. 数学分析. 上海科技出版社, 2001. 6. [2]傅海伦. 数学教育概论. 北京科学出版社, 2004.
[3]侯建军. 谈高职数学教学中应用能力的培养. 职业教育研究,
2006. 5.
[4]孙本旺. 数学分析中的典型例题和解题方法. 湖南科学技术出版
社, 2001. 7.
(作者单位:湖南岳阳职业技术学院)
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π,0上是增函数. 21
u =c o s x 在[0, π]上是减函数, 0≤x ≤π, ≤u ≤1; 所以f (x )
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0, 上是减函数, π≤x≤π,-1≤u≤, f (x ) 在32
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π, 上是增函数.
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f (x ) 在x =±π, x =0时取极大值, f (±x ) =-1, f (0) =3, 在x π时取极小值, f (±-π+2k π,2
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π) -3
, 由周期性2f (x ) 在
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π+2k 上是减函数, 在33
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