2015年长宁区初三数学教学质量检测试卷
（考试时间100分钟，满分150分） 2015.4
一、单项选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 将抛物线 A.
y =x 2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是( )
2
y =(x -3)
； B.
y =(x +3)
2
； C.
y =x 2-3； D. y =x 2+3.
2. 下列各式中，与 A.
3是同类二次根式的是( )
-1 ； B. 6 ； C. ； D. .
3. 一组数据: 5,7,4,9,7的中位数和众数分别是( )
A. 4,7 ； B. 7,7 ； C. 4,4 ； D. 4,5 . 4. 用换元法解方程:
y y 2-35y
时，如果设，那么原方程可化为( ) x =+=22
y -3y 2y -3
A
D
A. C.
2x 2-5x +2=0； B. x 2-5x +1=0；
2x 2+5x +2=0； D. 2x 2-5x +1=0.
E
5. 在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形. 其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有( )
A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个.
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，对角线AC 、BD 交于点O ，AO =CO ，∠AOD
=∠ADO ，E 是DC 边的中点. 下列结论中，错误的是( ) A.
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算:98. 计算:9. 方程
-1
B
C
第6题图
OE =
1111
AD ； B. OE =OB ； C. ；OE =OC ； D. OE =BC . 2222
．
3
2
(-m n )．
2x +3=1的解是
2
10. 若关于x 的二次方程x +ax +a +3=0有两个相等的实数根，则实数a 11. 从数字1,2,3,4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数的概
率是 ▲ ．
12. 2015年1月份，某区体委组织 “迎新春长跑活动”，现将报名的男选手分 成: 青年组、中年组、老年组. 各组人数所占比例如图所示，已知青年
组120人，则中年组的人数是 ▲ ． 13. 已知
=
k =2=6，那么实数k ．
14. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是5和3，若O 1O 2=2，则两圆的位置关系 是
15. 已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为 60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为 16. 已知线段AB =10，P 是线段AB 的黄金分割点(AP ﹥PB ) ，则AP ． 17. 请阅读下列内容:
我们在平面直角坐标系中画出抛物线
第15题图
y =x 2+1和双曲线y =
2
2
，如图 x
所示，利用两图像的交点个数和位置来确定方程x +1=
2
有一个正 x
实数根，这种方法称为利用函数图像判断方程根的情况. 请用图像法判 断方程-
(x -3)2+4=2的根的情况．
x
第17题图
18. 如图，△ABC ≌△DEF （点A 、B 分别与点D 、E 对应），AB =AC =5，
BC =6，△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B
向C 移动（点E 不与B 、C 重合），DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE = ▲ .
三、解答题:（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
2(m +1. 5) ≥5, ⎧⎪解不等式组⎨5，并将解集在数轴上表示出来 .
m
20．（本题满分10分）
先化简，再求代数式的值:
21．（本题满分10分）
卸货后返回甲地. 设汽车从甲地出发x （h ）时，汽车与甲地的距离为y （km y 与x 的关系如图所示. 根据图像回答下列问题:
（1）汽车在乙地卸货停留 （h ）；
（2）求汽车返回甲城时y 与x 的函数解析式，并写出定义域；
第18题图
2⎫a ⎛a +2
-÷⎪2
a +1⎭1-a ⎝1-a
，其中a =-1.
h ）
（3）求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离. 22．（本题满分10分）
sin B 如图，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且AD =4，
联结DE ，求cot
23．（本题满分12分）
=
4
. 若E 是AC 边上的点，且满足AE :EC =2:3，5
E
∠ADE
的值.
B
第22题图
D
C
如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE =AF ，AC 和EF 交于点O ，延长AC 至点G ，使得AO =OG ，联结EG 、FG . （1）求证: BE =DF ；
（2）求证:四边形AEGF 是菱形.
24．（本题满分12分）
如图，已知抛物线
y =x 2-2tx +t 2-2的顶点A 在第四象限，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，C 是线段
AB 上一点(不与A 、B 重合) ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，并交抛物线于点P . （1）若点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，求点P 的坐标；
（2）若直线AP 交y 轴负半轴于点E ，且AC =CP ，求四边形OEPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于2S 时 ，求t 的值.
第24题图
25．（本题满分14分）
如图，已知矩形ABCD ，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O 与AD 、AB 、BC 三边都相切，与DC 交于点E 、F 。已知点P 、Q 、R 分别从D 、A 、B 三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P 、Q 、R 的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q 到达点B 时停止运动，P 、R 两点同时停止运动. 设运动时间为t （单位:s）. （1）求证: DE =CF ；
（2）设x = 3，当△P AQ 与△QBR 相似时，求出t 的值；
（3）设△P AQ 关于直线PQ 对称的图形是△P A'Q ，当t 和x 分别为何值时，点A' 与圆心O 恰好重合，求出符合条件的t 、x 的值.
第25题图
2015年初三数学教学质量检测试卷参考答案
一、单项选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A ；2. D ；3. B ；4. A ；5. B ；6. D .
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
15； 8. m 6n 2； 9. -1； 10. 6或-2； 11. ； 12. 40； 13. ±3； 14. 内切；
123
11
15. 10；16. 55-5； 17. 2正根，1负根； 18. 1或.
6
7.
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 19．（本题满分（10分）
+3≥5⎧⎪2m 解:⎨3（3分）
m
⎩2
化简得 ⎨
（2分）
⎧m ≥1
（3分）
⎩m
∴不等式组的解集是1≤m
⎛a +22(1-a )⎫a
（2分） -⎪÷2⎪
⎝1-a 1+a 1-a ⎭1-a
⎛a +22-2a ⎫1-a
（2分） -⨯22⎪a 1-a 1-a ⎝⎭
=
=
3a 1-a
⨯（2分）
a 1-a 2
3=（2分） 1+a
=
33
=（2分）
21．（本题满分10分） 解:（1）0.5；（2分）
（2）设y =kx +b (k ≠0) （1分） 把（2.5，120）和（5，0）分别代入
得⎨
⎧120=2. 5k +b
，
⎩0=5k +b
h ）
解得⎨
⎧k =-48
（3分）
⎩b =240
∴解析式为y =-48x +240(2. 5≤x ≤5). （1分） （3）当 x = 4时，y =-48⨯4+240=48 （2分）
∴这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离48 km. （1分） 22．（本题满分10分）
解: 作EF ⊥AD 于点F . （1分） ∵AD ⊥BC ∴∠ADB =90° 在Rt △ABD 中，AD =4， sin B =AD 4
AB =5
∴AB =5 ∴BD =
AB 2-AD 2=3
∵等腰△ABC ∴AB =AC ∴AC =5
∵AD ⊥BC ∴DB =DC ∴DC =3 （4分） ∵EF ⊥AD AD ⊥BC ∴EF //BC
∴
AE AC =EF DC =AF
AD ∵
AE EC =2
3
AC =5 DC =3 ∴EF =6812
5 AF =5 DF =5
（4分）
∴在Rt △EFD 中，cot ∠ADE =
DF
EF =2（1分） .
23．（本题满分12分） 证：（1）∵正方形ABCD ∴AB =AD ∠B =∠D =90°
在Rt △ABD 和Rt △ACD 中
⎧⎨
AB =AD
⎩AE =AF
∴△ABE ≌△ADF ∴BE =DF . （5分）
（2）∵正方形ABCD ∴BC =CD
∵ BE =DF ∴CE =CF ∴△ECF 是等腰三角形
∵正方形ABCD ∴AC 平分∠BCD ∴AC ⊥EF 且EO =OF
A
F
B
D C
第22题图
∵AO =OG
∴四边形AEGF 是平行四边形（5分） ∵AC ⊥EF
∴四边形AEGF 是菱形. （2分） 24．（本题满分12分）
解：（1）y =x 2-2tx +t 2-2=(x -t )-2 ∴A （t ，-2）（2分）
2
∵点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点 ∴t =2 （1分） ∴y =(x -2)-2
2
∴P （1，-1）. （1分）
（2）据题意，设C （x ，-2）（0
(x -t AC = t -x ，PC =(x -t ) 2 （1分）
∵AC =PC ∴t-x =(x -t ) ∵x
2
PC AC
= ∴EB = t EB AB
1113
(OE +DP ) ⨯OD =(3-t )(t -1) =-t 2+2t -（1
（3）S ∆ADE =DP ⨯AB =⨯1⨯t =t （1分）
222
1123
∵ S ∆ADE =2S ∴t =2(-t +2t -)
222
3
解得t 1=，t 2=2（不合题意）
23
∴ t =. （2分）
2
∴S =
25．（本题满分14分）
（1）证:作OH ⊥DC 于点H ，设⊙O 与BC 边切于点G ，联结OG . （1分）
∴∠OHC=90° ∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6，OG ⊥BC
∴∠OGC=90°
∵矩形ABCD ∴∠C =90°
∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG
∵OG =6 ∴CH =6 （1分）
∵矩形ABCD ∴AB =CD 第25题图(1)
∵AB =12 ∴CD =12
∴DH =C D ﹣CH =6 ∴DH = CH
∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH （2分） ∴DE =CF . （1分）
（2）据题意，设DP =t ，P A =10-t ，AQ =3t ，QB =12-3t ，BR =1.5t （0
∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△P AQ 与△QBR 相似，则有 ①
AP AQ 10-t 3t 14
= t = （2分） =
5QB BR 12-3t 1. 5t
AP AQ 10-t 3t
= t =269-14或t 2=-269-14（舍）（2分） =
BR QB 1. 5t 12-3t 1
②
（3）设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ，联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形
又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 （1分） ∴MN 垂直平分OA
∵△P AQ 与△P A'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA
∴MN 与PQ 重合 （1分）
∴ MA = P A = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分） ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = ∴当t = 4 和x =
(P )
第25题图(2)
3
（1分） 2
3
时点A' 与圆心O 恰好重合. 2
2015年长宁区初三数学教学质量检测试卷
（考试时间100分钟，满分150分） 2015.4
一、单项选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 将抛物线 A.
y =x 2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是( )
2
y =(x -3)
； B.
y =(x +3)
2
； C.
y =x 2-3； D. y =x 2+3.
2. 下列各式中，与 A.
3是同类二次根式的是( )
-1 ； B. 6 ； C. ； D. .
3. 一组数据: 5,7,4,9,7的中位数和众数分别是( )
A. 4,7 ； B. 7,7 ； C. 4,4 ； D. 4,5 . 4. 用换元法解方程:
y y 2-35y
时，如果设，那么原方程可化为( ) x =+=22
y -3y 2y -3
A
D
A. C.
2x 2-5x +2=0； B. x 2-5x +1=0；
2x 2+5x +2=0； D. 2x 2-5x +1=0.
E
5. 在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形. 其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有( )
A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个.
6. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，对角线AC 、BD 交于点O ，AO =CO ，∠AOD
=∠ADO ，E 是DC 边的中点. 下列结论中，错误的是( ) A.
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算:98. 计算:9. 方程
-1
B
C
第6题图
OE =
1111
AD ； B. OE =OB ； C. ；OE =OC ； D. OE =BC . 2222
．
3
2
(-m n )．
2x +3=1的解是
2
10. 若关于x 的二次方程x +ax +a +3=0有两个相等的实数根，则实数a 11. 从数字1,2,3,4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数的概
率是 ▲ ．
12. 2015年1月份，某区体委组织 “迎新春长跑活动”，现将报名的男选手分 成: 青年组、中年组、老年组. 各组人数所占比例如图所示，已知青年
组120人，则中年组的人数是 ▲ ． 13. 已知
=
k =2=6，那么实数k ．
14. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是5和3，若O 1O 2=2，则两圆的位置关系 是
15. 已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为 60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为 16. 已知线段AB =10，P 是线段AB 的黄金分割点(AP ﹥PB ) ，则AP ． 17. 请阅读下列内容:
我们在平面直角坐标系中画出抛物线
第15题图
y =x 2+1和双曲线y =
2
2
，如图 x
所示，利用两图像的交点个数和位置来确定方程x +1=
2
有一个正 x
实数根，这种方法称为利用函数图像判断方程根的情况. 请用图像法判 断方程-
(x -3)2+4=2的根的情况．
x
第17题图
18. 如图，△ABC ≌△DEF （点A 、B 分别与点D 、E 对应），AB =AC =5，
BC =6，△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B
向C 移动（点E 不与B 、C 重合），DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE = ▲ .
三、解答题:（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
2(m +1. 5) ≥5, ⎧⎪解不等式组⎨5，并将解集在数轴上表示出来 .
m
20．（本题满分10分）
先化简，再求代数式的值:
21．（本题满分10分）
卸货后返回甲地. 设汽车从甲地出发x （h ）时，汽车与甲地的距离为y （km y 与x 的关系如图所示. 根据图像回答下列问题:
（1）汽车在乙地卸货停留 （h ）；
（2）求汽车返回甲城时y 与x 的函数解析式，并写出定义域；
第18题图
2⎫a ⎛a +2
-÷⎪2
a +1⎭1-a ⎝1-a
，其中a =-1.
h ）
（3）求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离. 22．（本题满分10分）
sin B 如图，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且AD =4，
联结DE ，求cot
23．（本题满分12分）
=
4
. 若E 是AC 边上的点，且满足AE :EC =2:3，5
E
∠ADE
的值.
B
第22题图
D
C
如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE =AF ，AC 和EF 交于点O ，延长AC 至点G ，使得AO =OG ，联结EG 、FG . （1）求证: BE =DF ；
（2）求证:四边形AEGF 是菱形.
24．（本题满分12分）
如图，已知抛物线
y =x 2-2tx +t 2-2的顶点A 在第四象限，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，C 是线段
AB 上一点(不与A 、B 重合) ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，并交抛物线于点P . （1）若点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，求点P 的坐标；
（2）若直线AP 交y 轴负半轴于点E ，且AC =CP ，求四边形OEPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于2S 时 ，求t 的值.
第24题图
25．（本题满分14分）
如图，已知矩形ABCD ，AB =12 cm，AD =10 cm，⊙O 与AD 、AB 、BC 三边都相切，与DC 交于点E 、F 。已知点P 、Q 、R 分别从D 、A 、B 三点同时出发，沿矩形ABCD 的边逆时针方向匀速运动，点P 、Q 、R 的运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，当点Q 到达点B 时停止运动，P 、R 两点同时停止运动. 设运动时间为t （单位:s）. （1）求证: DE =CF ；
（2）设x = 3，当△P AQ 与△QBR 相似时，求出t 的值；
（3）设△P AQ 关于直线PQ 对称的图形是△P A'Q ，当t 和x 分别为何值时，点A' 与圆心O 恰好重合，求出符合条件的t 、x 的值.
第25题图
2015年初三数学教学质量检测试卷参考答案
一、单项选择题:（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. A ；2. D ；3. B ；4. A ；5. B ；6. D .
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
15； 8. m 6n 2； 9. -1； 10. 6或-2； 11. ； 12. 40； 13. ±3； 14. 内切；
123
11
15. 10；16. 55-5； 17. 2正根，1负根； 18. 1或.
6
7.
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 19．（本题满分（10分）
+3≥5⎧⎪2m 解:⎨3（3分）
m
⎩2
化简得 ⎨
（2分）
⎧m ≥1
（3分）
⎩m
∴不等式组的解集是1≤m
⎛a +22(1-a )⎫a
（2分） -⎪÷2⎪
⎝1-a 1+a 1-a ⎭1-a
⎛a +22-2a ⎫1-a
（2分） -⨯22⎪a 1-a 1-a ⎝⎭
=
=
3a 1-a
⨯（2分）
a 1-a 2
3=（2分） 1+a
=
33
=（2分）
21．（本题满分10分） 解:（1）0.5；（2分）
（2）设y =kx +b (k ≠0) （1分） 把（2.5，120）和（5，0）分别代入
得⎨
⎧120=2. 5k +b
，
⎩0=5k +b
h ）
解得⎨
⎧k =-48
（3分）
⎩b =240
∴解析式为y =-48x +240(2. 5≤x ≤5). （1分） （3）当 x = 4时，y =-48⨯4+240=48 （2分）
∴这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离48 km. （1分） 22．（本题满分10分）
解: 作EF ⊥AD 于点F . （1分） ∵AD ⊥BC ∴∠ADB =90° 在Rt △ABD 中，AD =4， sin B =AD 4
AB =5
∴AB =5 ∴BD =
AB 2-AD 2=3
∵等腰△ABC ∴AB =AC ∴AC =5
∵AD ⊥BC ∴DB =DC ∴DC =3 （4分） ∵EF ⊥AD AD ⊥BC ∴EF //BC
∴
AE AC =EF DC =AF
AD ∵
AE EC =2
3
AC =5 DC =3 ∴EF =6812
5 AF =5 DF =5
（4分）
∴在Rt △EFD 中，cot ∠ADE =
DF
EF =2（1分） .
23．（本题满分12分） 证：（1）∵正方形ABCD ∴AB =AD ∠B =∠D =90°
在Rt △ABD 和Rt △ACD 中
⎧⎨
AB =AD
⎩AE =AF
∴△ABE ≌△ADF ∴BE =DF . （5分）
（2）∵正方形ABCD ∴BC =CD
∵ BE =DF ∴CE =CF ∴△ECF 是等腰三角形
∵正方形ABCD ∴AC 平分∠BCD ∴AC ⊥EF 且EO =OF
A
F
B
D C
第22题图
∵AO =OG
∴四边形AEGF 是平行四边形（5分） ∵AC ⊥EF
∴四边形AEGF 是菱形. （2分） 24．（本题满分12分）
解：（1）y =x 2-2tx +t 2-2=(x -t )-2 ∴A （t ，-2）（2分）
2
∵点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点 ∴t =2 （1分） ∴y =(x -2)-2
2
∴P （1，-1）. （1分）
（2）据题意，设C （x ，-2）（0
(x -t AC = t -x ，PC =(x -t ) 2 （1分）
∵AC =PC ∴t-x =(x -t ) ∵x
2
PC AC
= ∴EB = t EB AB
1113
(OE +DP ) ⨯OD =(3-t )(t -1) =-t 2+2t -（1
（3）S ∆ADE =DP ⨯AB =⨯1⨯t =t （1分）
222
1123
∵ S ∆ADE =2S ∴t =2(-t +2t -)
222
3
解得t 1=，t 2=2（不合题意）
23
∴ t =. （2分）
2
∴S =
25．（本题满分14分）
（1）证:作OH ⊥DC 于点H ，设⊙O 与BC 边切于点G ，联结OG . （1分）
∴∠OHC=90° ∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6，OG ⊥BC
∴∠OGC=90°
∵矩形ABCD ∴∠C =90°
∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG
∵OG =6 ∴CH =6 （1分）
∵矩形ABCD ∴AB =CD 第25题图(1)
∵AB =12 ∴CD =12
∴DH =C D ﹣CH =6 ∴DH = CH
∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH （2分） ∴DE =CF . （1分）
（2）据题意，设DP =t ，P A =10-t ，AQ =3t ，QB =12-3t ，BR =1.5t （0
∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△P AQ 与△QBR 相似，则有 ①
AP AQ 10-t 3t 14
= t = （2分） =
5QB BR 12-3t 1. 5t
AP AQ 10-t 3t
= t =269-14或t 2=-269-14（舍）（2分） =
BR QB 1. 5t 12-3t 1
②
（3）设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ，联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形
又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 （1分） ∴MN 垂直平分OA
∵△P AQ 与△P A'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA
∴MN 与PQ 重合 （1分）
∴ MA = P A = 10-t = 6 ∴ t = 4 （1分） ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = ∴当t = 4 和x =
(P )
第25题图(2)
3
（1分） 2
3
时点A' 与圆心O 恰好重合. 2