导数与函数的单调性
知识点
1、若在（a , b ）内，______________,则函数在此区间为增函数，_________是函数增区间.
2、若在（a , b ）内，______________,则函数在此区间为减函数，_________是函数减区间.
题型一、利用导数研究函数的单调性
例1、求下列函数的单调区间
x 2
-2x +5（1）f (x )=x -（2）f (x ) =2x 2-ln x ． 2 3
例2、（1）函数y =x ln x 的单调递减区间是（ ）
A ．(e -1, +∞)
（2）、函数f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是（ ）
A. (-∞, 2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2, +∞)
B ．(-∞, e -1) C ．(0, e -1) D ．(e , +∞)
（3）函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） A. (π3π2, 2) B.(-ππ, ) C.(π, 2π) D.(0,π) 22
2（4）函数f (x ) ＝x －2ln x 的递减区间是 ( )
A ．(0,1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1) ，(0,1) D．[－1,0) ，(0,1]
题型二、已知单调性求字母范围
例1、（1）若函数f (x ) ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．
（2）已知函数f （x ）=ax-x +x-5在（-∞，+∞）上是单调递增函数，求a 的取值范围__________
例2、（1）若函数y ＝x －ax ＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________
3（2) 若函数 f (x ) ＝ax －3x 在(－1,1) 上单调递减，则实数a 的取值范围是
3232
A ．a
（3）、已知函数f (x ) ＝x ＋mx ＋ln x 是单调增函数，则m 的取值范围是( )
A ．m >－2 B．m ≥－22 C．m 2 D．m 2
(4) 已知函数f (x ) ＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．
1－x (5)已知函数f (x ) ＝ln x ，若函数f (x ) 在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范2ax
围为______________．
（6）若函数f(x)=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围（ ）
A 、（-∞，-2] B 、（-∞，-1） Ｃ、[2,+ ∞） D 、[1, +∞）
13122例3、(1)设f (x ) ＝－＋x ＋2ax ，若f (x ) 在(，＋∞)上存在单调递增区间，则实数a 323
111的取值范围为( ) A．a >－ B．a D．不存在 999
(2)、若函数 f(x)＝2x －ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k ＋1) 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________ .
32(3) 设函数f(x)＝ax -x (a >0)在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是( ) 21
3
11A ．a ＞1 B．0＜a ＜1 C、 0＜a ＜ D.＜a ＜1 22
4、已知a ∈R ，函数f (x ) ＝(－x ＋ax )e (x ∈R ，e 为自然对数的底数) ．
(1)当a ＝2时，求函数f (x ) 的单调递增区间；
(2)若函数f (x ) 在(－1,1) 上单调递增，求a 的取值范围．
总结：①求函数单调区间的步骤_________________________________________________ ②已知单调性求字母范围解题方法_____________________________
2x
题型三、导数与函数图像联系
31、（1）函数y =f (x ) 在定义域(-,3) 内可导，其图象如图所示，2
记y =f (x ) 的导函数为y =f '(x ) , 则不等式f '(x ) ≤0的解集为________________
（2）．已知函数y =f (x ) ，其导函数y =f '(x ) 的图象如右图，则
y =f (x ) ：______________
A ．在(-∞，0) 上为减函数 B ．在x=0处取得最大值
C ．在（4，+∞）上为减函数 D ．在x=2处取得最小值
（3）、设函数f (x ) 在定义域内可导，y =f (x ) 的图像如图，
则导函数f ' (x ) 的图像可能是（）
A B C D
（4）、如果函数y ＝f(x)的图象如下图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )
（5）在R 上可导的函数f (x ) 的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x ) ＜0的解集为( ) ． A ．(－∞，－1) ∪(0,1)B．(－1,0) ∪(1，＋∞)
C ．(－2，－ 1) ∪(1,2)D．(－∞，－2) ∪(2，＋∞)
题型四、※构造函数思想
例1、（1）已知x>1，证明不等式x>1n(1+x)
（2）. 证明不等式e x >1+x (x ≠0)
例2、（1）若0
A 、e
（2）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，f '(x )＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（ ）
A 、(-1,1) B、(-1，+∞) C、(-∞,-1) D、(-∞,+∞)
（3）若y =f (x )在x >0上可导，且满足：xf /x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1 B 、e x 2-e x 1x 1e x 2 D 、x 2e x 10恒成立，又常数a , b 满足a >b >0, 则下列不等式一定成立的是（ ）
A. bf (a )>af (b )B. af (a )>bf (b )C. bf (a )
f (x ) 是定义在R 上的偶函数, 当x
等式xf (x ) >0的解集为（ ）
A ．(-4, 0) (4, +∞) B．(-4, 0) (0, 4)
（5）、 C ．(-∞, -4) (4, +∞) D ．(-∞, -4) (0, 4)
f (x ) 的定义域为R ，f (0) =2，对任意的x ，f (x ) +f '(x ) >1, 则不等式
e x ⋅f (x ) >e x +1的解集为_____________
（6）已知f (x ) 是定义在(-∞, +∞) 上的函数，导函数f (x )
f (0) B. f (2) e 2011f (0)
2C. f (2) >e f (0) f (2011) e f (0) f (2011) >e
（7）、设f (x ), g (x )分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且g (x )≠0，当x
f '(x )g (x )-f (x )g '(x )>0，且f (-2)=0，则不等式f (x )g (x )
（8）、设函数f (x ) 的导数为f '(x ) ，对任意x ∈R 都有f (x )>f '(x ) 成立，则( )
A 、3f (ln2) >2f (ln3) B 、3f (ln2) =2f (ln3) C 、3f (ln2)
（9）、设函数f (x ) 在R 上的导函数为f '(x ), 且2f (x ) +x f '(x ) >x 2, 下面不等式在R 上恒成立的是（ ）
A 、f (x ) >0 B 、f (x ) x D 、f (x )
3、设函数f (x ) =13x -(1-a ) x 2+4ax +24a ，其中常数a>1 3
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
4、已知函数f (x ) =12x -ax +(a -1) ln x , a >1. 2
（I ）讨论函数f (x ) 的单调性；
（II ）证明：若a
f (x 1) -f (x 2) >-1. x 1-x 2
5、已知函数f (x)=ln(x+1) -ax +1-a 1(a≥) x +12
（1）当函数y =f(x)在（1,f(1)）处的切线与直线l:y=-2x+1平行时，求a 的值
（2）求f (x)单调区间
6、设f (x ) =e x (ax 2+x +1) ，且曲线y=f（x ）在x=1处的切线与x 轴平行。
（1）求a 的值，并讨论f （x ）的单调性；
（2）证明：当θ∈[0, π
2]时，|f (cosθ) -f (sinθ) |
课堂巩固训练
1、函数f (x ) =x -3x +1是减函数的区间为( )
（Ａ）(2,+∞) （Ｂ）(-∞,2) （Ｃ）(-∞,0) （Ｄ）(0,2)
2、函数f (x ) =1+x -sin x 在(0, 2π) 上是（）
A 增函数 B 减函数
C 在(0, π) 上递减，在(π, 2π) 上递增 D 在(0, π) 上递增，在(π, 2π) 上递减
ln x 3、函数f (x ) ＝( ) ． x
A ． [e，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，e] D ． [0,1]
4、函数y =x +x ln x 的单调递减区间是
A ．(-∞, e ) -232B ．(0,e ) -2C ．(e , +∞) -2D ．(e , +∞) 2
5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f '（x ）≥0，则必有（ ）
A.f （0）＋f （2）
C. f（0）＋f （2）≥2f （1） D. f（0）＋f （2）>2f （1）
6、函数f (x )=kx -x 在R 内是减函数，则k 的取值范围是________________ 3
37、已知a >0，函数f (x ) =x -ax 在区间[1, +∞)上是单调增函数，则a 的最大值是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
导数与函数的单调性
知识点
1、若在（a , b ）内，______________,则函数在此区间为增函数，_________是函数增区间.
2、若在（a , b ）内，______________,则函数在此区间为减函数，_________是函数减区间.
题型一、利用导数研究函数的单调性
例1、求下列函数的单调区间
x 2
-2x +5（1）f (x )=x -（2）f (x ) =2x 2-ln x ． 2 3
例2、（1）函数y =x ln x 的单调递减区间是（ ）
A ．(e -1, +∞)
（2）、函数f (x ) =(x -3) e x 的单调递增区间是（ ）
A. (-∞, 2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2, +∞)
B ．(-∞, e -1) C ．(0, e -1) D ．(e , +∞)
（3）函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） A. (π3π2, 2) B.(-ππ, ) C.(π, 2π) D.(0,π) 22
2（4）函数f (x ) ＝x －2ln x 的递减区间是 ( )
A ．(0,1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1) ，(0,1) D．[－1,0) ，(0,1]
题型二、已知单调性求字母范围
例1、（1）若函数f (x ) ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．
（2）已知函数f （x ）=ax-x +x-5在（-∞，+∞）上是单调递增函数，求a 的取值范围__________
例2、（1）若函数y ＝x －ax ＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________
3（2) 若函数 f (x ) ＝ax －3x 在(－1,1) 上单调递减，则实数a 的取值范围是
3232
A ．a
（3）、已知函数f (x ) ＝x ＋mx ＋ln x 是单调增函数，则m 的取值范围是( )
A ．m >－2 B．m ≥－22 C．m 2 D．m 2
(4) 已知函数f (x ) ＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．
1－x (5)已知函数f (x ) ＝ln x ，若函数f (x ) 在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范2ax
围为______________．
（6）若函数f(x)=kx-lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k 的取值范围（ ）
A 、（-∞，-2] B 、（-∞，-1） Ｃ、[2,+ ∞） D 、[1, +∞）
13122例3、(1)设f (x ) ＝－＋x ＋2ax ，若f (x ) 在(，＋∞)上存在单调递增区间，则实数a 323
111的取值范围为( ) A．a >－ B．a D．不存在 999
(2)、若函数 f(x)＝2x －ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k ＋1) 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是__________ .
32(3) 设函数f(x)＝ax -x (a >0)在(0,2)上不单调，则a 的取值范围是( ) 21
3
11A ．a ＞1 B．0＜a ＜1 C、 0＜a ＜ D.＜a ＜1 22
4、已知a ∈R ，函数f (x ) ＝(－x ＋ax )e (x ∈R ，e 为自然对数的底数) ．
(1)当a ＝2时，求函数f (x ) 的单调递增区间；
(2)若函数f (x ) 在(－1,1) 上单调递增，求a 的取值范围．
总结：①求函数单调区间的步骤_________________________________________________ ②已知单调性求字母范围解题方法_____________________________
2x
题型三、导数与函数图像联系
31、（1）函数y =f (x ) 在定义域(-,3) 内可导，其图象如图所示，2
记y =f (x ) 的导函数为y =f '(x ) , 则不等式f '(x ) ≤0的解集为________________
（2）．已知函数y =f (x ) ，其导函数y =f '(x ) 的图象如右图，则
y =f (x ) ：______________
A ．在(-∞，0) 上为减函数 B ．在x=0处取得最大值
C ．在（4，+∞）上为减函数 D ．在x=2处取得最小值
（3）、设函数f (x ) 在定义域内可导，y =f (x ) 的图像如图，
则导函数f ' (x ) 的图像可能是（）
A B C D
（4）、如果函数y ＝f(x)的图象如下图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )
（5）在R 上可导的函数f (x ) 的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x ) ＜0的解集为( ) ． A ．(－∞，－1) ∪(0,1)B．(－1,0) ∪(1，＋∞)
C ．(－2，－ 1) ∪(1,2)D．(－∞，－2) ∪(2，＋∞)
题型四、※构造函数思想
例1、（1）已知x>1，证明不等式x>1n(1+x)
（2）. 证明不等式e x >1+x (x ≠0)
例2、（1）若0
A 、e
（2）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，f '(x )＞2，则f(x)＞2x+4的解集为（ ）
A 、(-1,1) B、(-1，+∞) C、(-∞,-1) D、(-∞,+∞)
（3）若y =f (x )在x >0上可导，且满足：xf /x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1 B 、e x 2-e x 1x 1e x 2 D 、x 2e x 10恒成立，又常数a , b 满足a >b >0, 则下列不等式一定成立的是（ ）
A. bf (a )>af (b )B. af (a )>bf (b )C. bf (a )
f (x ) 是定义在R 上的偶函数, 当x
等式xf (x ) >0的解集为（ ）
A ．(-4, 0) (4, +∞) B．(-4, 0) (0, 4)
（5）、 C ．(-∞, -4) (4, +∞) D ．(-∞, -4) (0, 4)
f (x ) 的定义域为R ，f (0) =2，对任意的x ，f (x ) +f '(x ) >1, 则不等式
e x ⋅f (x ) >e x +1的解集为_____________
（6）已知f (x ) 是定义在(-∞, +∞) 上的函数，导函数f (x )
f (0) B. f (2) e 2011f (0)
2C. f (2) >e f (0) f (2011) e f (0) f (2011) >e
（7）、设f (x ), g (x )分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且g (x )≠0，当x
f '(x )g (x )-f (x )g '(x )>0，且f (-2)=0，则不等式f (x )g (x )
（8）、设函数f (x ) 的导数为f '(x ) ，对任意x ∈R 都有f (x )>f '(x ) 成立，则( )
A 、3f (ln2) >2f (ln3) B 、3f (ln2) =2f (ln3) C 、3f (ln2)
（9）、设函数f (x ) 在R 上的导函数为f '(x ), 且2f (x ) +x f '(x ) >x 2, 下面不等式在R 上恒成立的是（ ）
A 、f (x ) >0 B 、f (x ) x D 、f (x )
3、设函数f (x ) =13x -(1-a ) x 2+4ax +24a ，其中常数a>1 3
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。
4、已知函数f (x ) =12x -ax +(a -1) ln x , a >1. 2
（I ）讨论函数f (x ) 的单调性；
（II ）证明：若a
f (x 1) -f (x 2) >-1. x 1-x 2
5、已知函数f (x)=ln(x+1) -ax +1-a 1(a≥) x +12
（1）当函数y =f(x)在（1,f(1)）处的切线与直线l:y=-2x+1平行时，求a 的值
（2）求f (x)单调区间
6、设f (x ) =e x (ax 2+x +1) ，且曲线y=f（x ）在x=1处的切线与x 轴平行。
（1）求a 的值，并讨论f （x ）的单调性；
（2）证明：当θ∈[0, π
2]时，|f (cosθ) -f (sinθ) |
课堂巩固训练
1、函数f (x ) =x -3x +1是减函数的区间为( )
（Ａ）(2,+∞) （Ｂ）(-∞,2) （Ｃ）(-∞,0) （Ｄ）(0,2)
2、函数f (x ) =1+x -sin x 在(0, 2π) 上是（）
A 增函数 B 减函数
C 在(0, π) 上递减，在(π, 2π) 上递增 D 在(0, π) 上递增，在(π, 2π) 上递减
ln x 3、函数f (x ) ＝( ) ． x
A ． [e，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，e] D ． [0,1]
4、函数y =x +x ln x 的单调递减区间是
A ．(-∞, e ) -232B ．(0,e ) -2C ．(e , +∞) -2D ．(e , +∞) 2
5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f '（x ）≥0，则必有（ ）
A.f （0）＋f （2）
C. f（0）＋f （2）≥2f （1） D. f（0）＋f （2）>2f （1）
6、函数f (x )=kx -x 在R 内是减函数，则k 的取值范围是________________ 3
37、已知a >0，函数f (x ) =x -ax 在区间[1, +∞)上是单调增函数，则a 的最大值是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3