2015年上海中考压轴题重点解析

1. 点G 是∆ABC 的重心，GD //BC , 则S ∆AD G :S ∆ABC =( C ) (A ) 、2:3 ；(B ) 、4:9；(C ) 、2:9；(D ) 、无法确定

2. 为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a 米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测

_____

角仪的高度为h 米，那么铁塔的高度为米；a tan α+h 3. 已知D,E 分别是∆ABC 的边AB,AC 上的点，若DE //BC ，且S ∆ADE =S 梯形DBCE , 则

=DB

4. 已知D 是∆ABC 的边AB 的中点，点E 在BC 的边上，且BE :EC =1:3,ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，则

= AC

5. 在∆ABC 中，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠B , 过点A 作AE //CB 交CD 的延长线于点E ，那么图中相似三角形共有对；4

第8题第7题第5题第6题

6. 在∆ABC 中，过点O 的直线l 将∆ABC 分∠ACB =90 , AC =4, BC =3, O 是AB 的中点，割成两个部分，若其中的一个部分与∆ABC 相似，在满足条件的直线l 共有条；3

7. 点M 是∆ABC 内的一点，过点M 分别作直线平行于∆ABC 的各边，所形成的三个小三角形∆1, ∆2, ∆3（图中阴影部分）的面积分别是1,4和16，则∆ABC 的面积是；49 8. 如图所示抛物线是二次函数y =ax 2-3x +a 2-1的图像，那么a 的值是；-1 9. 二次函数y =-2(x -2) 2-2的图形与y 轴的交点的纵坐标是

10. 已知在∆ABC 中，AB =4, AC =3将∆ABC 绕点A 旋转某个角度后，使得点B 落在点B 1

处，点C 落在点C 1处，这时，若BB 1=2, 则CC 1=；3/2

AB =20, AC =12, BC =16, 点D 是射线BC 上的一点11. 已知在∆ABC 中，（不与点B 重合），

_____

连接AD ，如果∆ACD 与∆ABC 相似，那么BD =

★第三组训练

1、如图（1），AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积．当AB ∥CD 时，有

S △DMC ＝

S ∆DAC +S ∆DBC

①

（3），若AB 与CD 时，S △DAC 和S 何种相等明你的结

（1）如图（2），若图（1）中AB ∥CD 时，①式是否成立？请说明理由．（2）如图图（1）中相交于点O DMC 与S △△DBC 有关系？证论．

【等腰三角形的分类讨论】

∆A B 中已知在，

∠A =45 , AB =7, t ∠B a =

n P ,D 分，动点3

别在射线AB,AC 上，且∠DPA =∠ACB , 设

AP =x , ∆PCD 的面积为y

(1)、求∆ABC 的面积；

(2)、当动点P ,D 分别在边AB,AC 上时，求y 关于x 的解析式，并写出函数的定义域； (3)、如果∆ABC 是以PD 为腰的等腰三角形，求线段AP 的长。

【等腰三角形的讨论练习】

1、如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向作匀速运动，MN 交OB 于点P ． (1)求证：MN ∶NP 为定值； (2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．

【抛物线的综合题解题总结】

1、已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。（1）求点C 的坐标；

（2）若抛物线y =ax 2+bx （a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM

为等腰梯形？若存在，请求出

此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

[答案]

x 轴，垂足为H ∵、解：（1）过点C 作CH ⊥在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB

＝2

∴OB ＝4，OA ＝2由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝23∴∠COH ＝600，OH ＝，CH ＝3 ∴C 点坐标为（，3）

（2）∵抛物线y =ax 2+bx （a ≠0）经过C （3，3）、A （23，0）两点

⎧⎧a =-13=a +b ⎪

∴ 解得：⎨ ⎨2

⎩b =2⎪⎩0=2a +23b

)

()

∴此抛物线的解析式为：y =-x 2+2x

（3）存在。因为y =-x 2+23x 的顶点坐标为（，3）即为点C

x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t MP ⊥

∴P （3t ，t ）

作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E 把x =

3⋅t 代入y =-x 2+2x 得：y =-3t +6t

∴ M（3t ，-3t 2+6t ），E （，-3t 2+6t ）同理：Q （，t ），D （3，1）

要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD 即3--3t 2+6t =t -1，解得：t 1=

()

，t 2=1（舍）

∴ P点坐标为（

3，） 33

∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（

2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝

44，） 33

x +1，点C 的坐标为(–4，4

0) ，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q(x，y) 在抛物线上，点P(t，0) 在x 轴上． (1) 写出点M 的坐标；

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；

② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．

【答案】 (1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB = OC = 4， ∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是2和– 2，代入y =

x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2) ， 4

∴M (0，2) ， ---2分 (2) ① 过点Q 作QH ⊥ x轴，设垂足为H ，则HQ = y ，HP = x–t ， HQP ∽△OMC ，得：由△

y x -

=, 即： t = x – 2y , 24

∵ Q(x,y) 在y = 分

1212

x +1上， ∴ t = –x + x –2. ---242

当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2

∴x 的取值范围是x ≠ 1±, 且x ≠± 2的所有实数. ---2

分

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P 在线段OC 上，

∵ CM∥PQ ，CM = 2PQ ， ∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(

x +1)，解得x = 0 ， 4

∴t = –

0+ 0 –2 = –2 . --- 2分 2

2）当CM

PQ ， 2

∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即

x +1=2⨯2，解得： x = ±2. ---2分 4

当x = –2时，得t = –

(2) 2–2–2 = –8 –2, 2

当x =23时，得t =2–8.

2、N 的坐标分别为1）已知点M ，（0，，（0，－1），点P 是抛物线y =求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y =-1的相切；

x 上的一个动点．（1）4

（2）设直线PM 与抛物线y =

x 的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：4

∠PNM =∠QNM ．

【答案】

解：（1）设点P 的坐标为(x 0,

x 0) ，则 4

x 0+1; 4

又因为点P 到直线y =-1的距离为

1212x 0-(-1) =x 0+1， 44

所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y =-1相切．（得4分）（2）如图，分别过点P ，Q 作直线y =-1的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM ＝QR ．

因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线y =-1，所以，PH ∥MN ∥QR ，于是

QM MP =， RN NH QR PH

=， RN HN

所以

因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．

于是∠HNP =∠RNQ ，从而∠PNM =∠QNM （得6分）

【坐标系中的圆的综合】

1、如图，已知直线y = －m (x－4) （m ＞0）与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以OA 为直径作半圆，圆心为C. 过A 作x 轴的垂线AT ，Ｍ是线段OB 上一动点（与O 点不重合），过M 点作半圆的切线交直线AT 于N ，交AB 于F ，切点为P . 连结CN 、CM. （1）证明：∠MCN=90°；（4分）

（2）设OM ＝x ，AN ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（5分）（3）若OM=1，当m 为何值时，直线AB 恰好平分梯形OMNA 的面积. （6

分）

【答案】

解（1）证明：∵AT ⊥AO ，OM ⊥AO ，AO 是⊙C 的直径, ∴AT 、OM 是⊙C 的切线．

又∵MN 切⊙C 于点P ∴∠CMN=2OMN ，∠CNM=2ANM ∵OM ∥AN ∴∠ANM ＋∠OMN =180°

1111

∴∠CMN ＋∠CNM =2∠OMN ＋2∠ANM =2∠OMN ＋2∠ANM )=90°，∴∠CMN=90° （2）由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3 = 90 0，∴∠1 =∠3；

OM OC

∴Rt △MOC ∽Rt △CAN AC = AN ∵直线y=－m(x – 4)交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，

x 24∴A （4，0）， ∴AC =CO = 2∵ OM= x，AN = y， ∵2 = y ∴y = x ∵ OM = 1，∴ AN =y = 4，此时S 四边形ANMO = 10∵直线AB 平分梯形ANMO 的面积，∴ 15

△ANF 的面积为5 过点F 作FG ⊥AN 于G ，则2FG ·AN=5，∴FG= 2∴点F 的横坐标为5334－2= 2 ∵M 1）N 4） ∴直线MN 的解析式为y= 4x ＋1 ∵（0，，（4，17317

F 点在直线MN 上，∴ F 点的纵坐标为y= 8 ∴ F （28 ∵点F 又在直线y=－m(x17317

－4) 上 ∴8=－m(24) ∴m= 20

2、(本题12分）如图，已知直线y =-2x +12分别与y 轴，x 轴交于A ，B 两点，点M 在y 轴上，以点M 为圆心的M 与直线AB 相切于点D ，连结MD. (1)求证：∆ADM ∽∆AOB ; (2)如果

⎛529⎫

的半径为M 的坐标，并写出以 -, ⎪为顶点，且过点M

⎝22⎭

的抛物线的解析式;

(3)在（2）的条件下，试问此抛物线上是否存在点P ，使得以P 、A 、M 三点为顶点的三角形与∆AOB 相似，如果存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标，如果不存在，请说明理由。

【上海历年考题综合】

1、已知：

∠MAN =60，点

射线AM 上，AB =4（如图10）．P 为直线AN 动点，以BP 为边作三角形BPQ （点

B 在

上一等边

B ，P ，Q 按顺时针排列），O 是△BPQ 的外心．

（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在∠MAN 的平分线上；

P =x ，（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设A

AC AO =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D 在射线AN 上，AD =2，圆I 为△ABD 的内切圆．当△BPQ 的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．

解：【答案】

证明：如图4，连结OB ，OP ，

O 是等边三角形BPQ 的外心，∴OB =OP ， 1分

圆心角∠BOP =

360

=120． 3

当OB 不垂直于AM 时，作OH ⊥AM ，OT ⊥AN ，垂足分别为H ，T ．由∠HOT +∠A +∠AHO +∠ATO =360，且∠A =60，

∠AHO =∠ATO =90，∴∠HOT =120．

∴∠BOH =∠POT ． 1分

∴Rt △BOH ≌Rt △POT ． 1分

∴OH =OT ．∴点O 在∠MAN 的平分线上．

1分

当OB ⊥AM 时，∠APO =360-∠A -∠BOP -∠OBA =90．即OP ⊥AN ，∴点O 在∠MAN 的平分线上．

综上所述，当点P 在射线AN 上运动时，点O 在∠MAN 的平分线上．

图4

（2）解：如图5，

图5

AO 平分∠MAN ，且∠MAN =60，

∴∠BAO =∠PAO =30．

1分

由（1）知，OB =OP ，∠BOP =120，

∴∠CBO =30

∴∠CBO =∠PAC ． ∠BCO =∠PCA

∴∠AOB =∠APC ． 1分 ∴△ABO ∽△ACP ．

，

∴AB AO =．∴AC AO =AB AP ．∴y =4x ． 1分 AC AP

定义域为：x >0． 1分

2分（3）解：①如图6，当BP 与圆I

相切时，AO =

②如图7，当BP 与圆I

相切时，AO =； 1分

③如图8，当BQ 与圆I 相切时，AO =0． 2分

【计算证明说理题综合小结】

2、如图，一把“T 型”尺（图8），其中MN ⊥OP ，将这把“T 型”尺放置于矩形ABCD 中（其中AB=4,AD=5），使边OP 始终经过点A ，且保持OA=AB，“T 型”尺在绕点A 转动的过程中，直线MN 交边BC 、CD 于E 、F 两点.(图9)

（1）试问线段BE 与OE 的长度关系如何？并说明理由；

（2）当△CEF 是等腰直角三角形时, 求线段BE 的长；

（3）设BE=x,CF=y，试求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域.

4、已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ．

（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AE ＝2MD ；

（2）如图2，当∠ABC ＝60°时，则线段AE 、MD 之间的数量关系为__________________；（3）在（2）的条件下，延长BM 到P ，使MP ＝BM ，连接CP ，若AB ＝7，AE ＝2，求tan ∠ACP 的值．

E C D （图1） B D （图2）

2015年上海中考压轴题重点解析

1. 点G 是∆ABC 的重心，GD //BC , 则S ∆AD G :S ∆ABC =( C ) (A ) 、2:3 ；(B ) 、4:9；(C ) 、2:9；(D ) 、无法确定

2. 为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部a 米的地方，用测角仪测得塔顶的仰角为α，已知测

_____

角仪的高度为h 米，那么铁塔的高度为米；a tan α+h 3. 已知D,E 分别是∆ABC 的边AB,AC 上的点，若DE //BC ，且S ∆ADE =S 梯形DBCE , 则

=DB

4. 已知D 是∆ABC 的边AB 的中点，点E 在BC 的边上，且BE :EC =1:3,ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，则

= AC

5. 在∆ABC 中，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠B , 过点A 作AE //CB 交CD 的延长线于点E ，那么图中相似三角形共有对；4

第8题第7题第5题第6题

10. 已知在∆ABC 中，AB =4, AC =3将∆ABC 绕点A 旋转某个角度后，使得点B 落在点B 1

处，点C 落在点C 1处，这时，若BB 1=2, 则CC 1=；3/2

AB =20, AC =12, BC =16, 点D 是射线BC 上的一点11. 已知在∆ABC 中，（不与点B 重合），

_____

连接AD ，如果∆ACD 与∆ABC 相似，那么BD =

★第三组训练

1、如图（1），AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 和S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积．当AB ∥CD 时，有

S △DMC ＝

S ∆DAC +S ∆DBC

①

（3），若AB 与CD 时，S △DAC 和S 何种相等明你的结

（1）如图（2），若图（1）中AB ∥CD 时，①式是否成立？请说明理由．（2）如图图（1）中相交于点O DMC 与S △△DBC 有关系？证论．

【等腰三角形的分类讨论】

∆A B 中已知在，

∠A =45 , AB =7, t ∠B a =

n P ,D 分，动点3

别在射线AB,AC 上，且∠DPA =∠ACB , 设

AP =x , ∆PCD 的面积为y

(1)、求∆ABC 的面积；

(2)、当动点P ,D 分别在边AB,AC 上时，求y 关于x 的解析式，并写出函数的定义域； (3)、如果∆ABC 是以PD 为腰的等腰三角形，求线段AP 的长。

【等腰三角形的讨论练习】

【抛物线的综合题解题总结】

（2）若抛物线y =ax 2+bx （a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM

为等腰梯形？若存在，请求出

此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

[答案]

x 轴，垂足为H ∵、解：（1）过点C 作CH ⊥在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB

＝2

∴OB ＝4，OA ＝2由折叠知，∠COB ＝300，OC ＝OA ＝23∴∠COH ＝600，OH ＝，CH ＝3 ∴C 点坐标为（，3）

（2）∵抛物线y =ax 2+bx （a ≠0）经过C （3，3）、A （23，0）两点

⎧⎧a =-13=a +b ⎪

∴ 解得：⎨ ⎨2

⎩b =2⎪⎩0=2a +23b

)

()

∴此抛物线的解析式为：y =-x 2+2x

（3）存在。因为y =-x 2+23x 的顶点坐标为（，3）即为点C

x 轴，设垂足为N ，PN ＝t ，因为∠BOA ＝300，所以ON ＝3t MP ⊥

∴P （3t ，t ）

作PQ ⊥CD ，垂足为Q ，ME ⊥CD ，垂足为E 把x =

3⋅t 代入y =-x 2+2x 得：y =-3t +6t

∴ M（3t ，-3t 2+6t ），E （，-3t 2+6t ）同理：Q （，t ），D （3，1）

要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CE ＝QD 即3--3t 2+6t =t -1，解得：t 1=

()

，t 2=1（舍）

∴ P点坐标为（

3，） 33

∴ 存在满足条件的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形，此时P 点的坐为（

2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝

44，） 33

x +1，点C 的坐标为(–4，4

0) ，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q(x，y) 在抛物线上，点P(t，0) 在x 轴上． (1) 写出点M 的坐标；

(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；

② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．

【答案】 (1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB = OC = 4， ∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A，B 的横坐标分别是2和– 2，代入y =

x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2) ， 4

∴M (0，2) ， ---2分 (2) ① 过点Q 作QH ⊥ x轴，设垂足为H ，则HQ = y ，HP = x–t ， HQP ∽△OMC ，得：由△

y x -

=, 即： t = x – 2y , 24

∵ Q(x,y) 在y = 分

1212

x +1上， ∴ t = –x + x –2. ---242

当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2

∴x 的取值范围是x ≠ 1±, 且x ≠± 2的所有实数. ---2

分

② 分两种情况讨论：

1）当CM > PQ时，则点P 在线段OC 上，

∵ CM∥PQ ，CM = 2PQ ， ∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(

x +1)，解得x = 0 ， 4

∴t = –

0+ 0 –2 = –2 . --- 2分 2

2）当CM

PQ ， 2

∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即

x +1=2⨯2，解得： x = ±2. ---2分 4

当x = –2时，得t = –

(2) 2–2–2 = –8 –2, 2

当x =23时，得t =2–8.

2、N 的坐标分别为1）已知点M ，（0，，（0，－1），点P 是抛物线y =求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y =-1的相切；

x 上的一个动点．（1）4

（2）设直线PM 与抛物线y =

x 的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：4

∠PNM =∠QNM ．

【答案】

解：（1）设点P 的坐标为(x 0,

x 0) ，则 4

x 0+1; 4

又因为点P 到直线y =-1的距离为

1212x 0-(-1) =x 0+1， 44

因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线y =-1，所以，PH ∥MN ∥QR ，于是

QM MP =， RN NH QR PH

=， RN HN

所以

因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．

于是∠HNP =∠RNQ ，从而∠PNM =∠QNM （得6分）

【坐标系中的圆的综合】

（2）设OM ＝x ，AN ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（5分）（3）若OM=1，当m 为何值时，直线AB 恰好平分梯形OMNA 的面积. （6

分）

【答案】

解（1）证明：∵AT ⊥AO ，OM ⊥AO ，AO 是⊙C 的直径, ∴AT 、OM 是⊙C 的切线．

又∵MN 切⊙C 于点P ∴∠CMN=2OMN ，∠CNM=2ANM ∵OM ∥AN ∴∠ANM ＋∠OMN =180°

1111

∴∠CMN ＋∠CNM =2∠OMN ＋2∠ANM =2∠OMN ＋2∠ANM )=90°，∴∠CMN=90° （2）由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3 = 90 0，∴∠1 =∠3；

OM OC

∴Rt △MOC ∽Rt △CAN AC = AN ∵直线y=－m(x – 4)交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，

x 24∴A （4，0）， ∴AC =CO = 2∵ OM= x，AN = y， ∵2 = y ∴y = x ∵ OM = 1，∴ AN =y = 4，此时S 四边形ANMO = 10∵直线AB 平分梯形ANMO 的面积，∴ 15

△ANF 的面积为5 过点F 作FG ⊥AN 于G ，则2FG ·AN=5，∴FG= 2∴点F 的横坐标为5334－2= 2 ∵M 1）N 4） ∴直线MN 的解析式为y= 4x ＋1 ∵（0，，（4，17317

F 点在直线MN 上，∴ F 点的纵坐标为y= 8 ∴ F （28 ∵点F 又在直线y=－m(x17317

－4) 上 ∴8=－m(24) ∴m= 20

⎛529⎫

的半径为M 的坐标，并写出以 -, ⎪为顶点，且过点M

⎝22⎭

的抛物线的解析式;

【上海历年考题综合】

1、已知：

∠MAN =60，点

射线AM 上，AB =4（如图10）．P 为直线AN 动点，以BP 为边作三角形BPQ （点

B 在

上一等边

B ，P ，Q 按顺时针排列），O 是△BPQ 的外心．

（1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在∠MAN 的平分线上；

P =x ，（2）当点P 在射线AN 上运动（点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设A

AC AO =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D 在射线AN 上，AD =2，圆I 为△ABD 的内切圆．当△BPQ 的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．

解：【答案】

证明：如图4，连结OB ，OP ，

O 是等边三角形BPQ 的外心，∴OB =OP ， 1分

圆心角∠BOP =

360

=120． 3

当OB 不垂直于AM 时，作OH ⊥AM ，OT ⊥AN ，垂足分别为H ，T ．由∠HOT +∠A +∠AHO +∠ATO =360，且∠A =60，

∠AHO =∠ATO =90，∴∠HOT =120．

∴∠BOH =∠POT ． 1分

∴Rt △BOH ≌Rt △POT ． 1分

∴OH =OT ．∴点O 在∠MAN 的平分线上．

1分

当OB ⊥AM 时，∠APO =360-∠A -∠BOP -∠OBA =90．即OP ⊥AN ，∴点O 在∠MAN 的平分线上．

综上所述，当点P 在射线AN 上运动时，点O 在∠MAN 的平分线上．

图4

（2）解：如图5，

图5

AO 平分∠MAN ，且∠MAN =60，

∴∠BAO =∠PAO =30．

1分

由（1）知，OB =OP ，∠BOP =120，

∴∠CBO =30

∴∠CBO =∠PAC ． ∠BCO =∠PCA

∴∠AOB =∠APC ． 1分 ∴△ABO ∽△ACP ．

，

∴AB AO =．∴AC AO =AB AP ．∴y =4x ． 1分 AC AP

定义域为：x >0． 1分

2分（3）解：①如图6，当BP 与圆I

相切时，AO =

②如图7，当BP 与圆I

相切时，AO =； 1分

③如图8，当BQ 与圆I 相切时，AO =0． 2分

【计算证明说理题综合小结】

（1）试问线段BE 与OE 的长度关系如何？并说明理由；

（2）当△CEF 是等腰直角三角形时, 求线段BE 的长；

（3）设BE=x,CF=y，试求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域.

4、已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边的中点，点F 是AB 边上一点，点E 在线段DF 的延长线上，∠BAE ＝∠BDF ，点M 在线段DF 上，∠ABE ＝∠DBM ．

（1）如图1，当∠ABC ＝45°时，求证：AE ＝2MD ；

E C D （图1） B D （图2）

2015年上海中考压轴题重点解析

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