一．简要回答以下问题（20分）
1．差分格式的基本特征
相容性，稳定性，收敛性，守恒性，有界性，真实性，精确性
2．差分格式的稳定性和收敛性的关系
对于适定的线性微分方程的初值问题，与之相容的差分方程稳定的充分必要条件是差分格式收敛。
3．显格式和隐格式
显格式：离散方程的解可以直接求解
隐格式：离散方程的解需要通过求解线性代数方程组的形式来获得
隐格式具有较高的稳定性
4．列举四种常用的流体力学数值计算模型（方法）
边界元法，有限差分法，有限体积法，有限元法，有限分析法，谱方法等
5．二阶偏微分方程有那些基本类型，试举例说明 ∂2u ∂2u 椭圆型方程：2+2=0 ∂x ∂y
∂2u ∂u 抛物型方程：2+=0 ∂y ∂x
∂2u ∂2u 双曲型方程：2-2=0 ∂x ∂y
二．写出函数u (x , y , t ) 在时间t 附近的泰勒展开式（仅对时间项）（保留到3阶）（15分）
∂u (x , y , t ) 1∂2u (x , y , t ) 1∂3u (x , y , t ) 2u (x , y , t +∆t ) =u (x , y , t ) +∆t +(∆t ) +(∆t ) 3+O ((∆t ) 4) 23∂t 26∂t ∂t
三．分别写出微分a ∂u (x , y ) 的UDS ，CDS ，FDS ，BDS 差分格式（15分） ∂x
UDS ：a ∂u a +a u i -u i -1a -a u i +1-u i =+ ∂x 2∆x 2∆x
u -u i -1∂u =a i +1 ∂x 2∆x
u -u i -1∂u =a i ∂x ∆x
u -u i ∂u =a i +1 ∂x ∆x CDS ：a BDS ：a FDS ：a
四．采用有限体积法离散下列积分方程（假设数值网格为等距网格）（15分）
∂φ(x , y , t ) ⎰∂t dV =Γn ⋅∇φds
n +1n φP -φP ∆x ∆y =Γ∆y n ∆x n n n n (φE +φW -2φP ) +Γ(φN +φS n -2φP ) ∆t ∆x ∆y
五．给出圆球无粘性绕流的定解条件（15分）
⎧⎪∇2φ=0
⎨⎪∂φ
⎩∂n =-Un
x
六．采用有限差分法离散对流扩散方程，并分析其稳定性。（20分）
∂φ(x , t )
∂t =a ∂φ
∂x -Γ∂2φ
∂x 2
采用BTCS 格式离散可得
φn +1n
i -φ2(φn +1n +1) -Γσ(φn +1n +1n +1
i =as
i +1-φi -1i +1+φi -1-2φi ) （1）
采用V on.newmann 方法分析其稳定性，误差方程为
εn +1
i -as n +1
2(εεn +1n +1n +1n +1n
i +1-i -1) -Γσ(εi +1+εi -1-2εi ) =εi （2）
设ε=Ae ikx ，差分方程稳定的充分必要条件是放大因子
A n +1
G =k 1
A n =
k 1-ias sin θ+2Γσ(1-cos θ)
即
-ias sin θ+2Γσ(1-cos θ) =(1+4Γσsin 2θ22
2) +a s 2sin 2θ>1
由于Γ>0，（4）式无条件成立，即差分格式无条件稳定 4）（
一．简要回答以下问题（20分）
1．差分格式的基本特征
相容性，稳定性，收敛性，守恒性，有界性，真实性，精确性
2．差分格式的稳定性和收敛性的关系
对于适定的线性微分方程的初值问题，与之相容的差分方程稳定的充分必要条件是差分格式收敛。
3．显格式和隐格式
显格式：离散方程的解可以直接求解
隐格式：离散方程的解需要通过求解线性代数方程组的形式来获得
隐格式具有较高的稳定性
4．列举四种常用的流体力学数值计算模型（方法）
边界元法，有限差分法，有限体积法，有限元法，有限分析法，谱方法等
5．二阶偏微分方程有那些基本类型，试举例说明 ∂2u ∂2u 椭圆型方程：2+2=0 ∂x ∂y
∂2u ∂u 抛物型方程：2+=0 ∂y ∂x
∂2u ∂2u 双曲型方程：2-2=0 ∂x ∂y
二．写出函数u (x , y , t ) 在时间t 附近的泰勒展开式（仅对时间项）（保留到3阶）（15分）
∂u (x , y , t ) 1∂2u (x , y , t ) 1∂3u (x , y , t ) 2u (x , y , t +∆t ) =u (x , y , t ) +∆t +(∆t ) +(∆t ) 3+O ((∆t ) 4) 23∂t 26∂t ∂t
三．分别写出微分a ∂u (x , y ) 的UDS ，CDS ，FDS ，BDS 差分格式（15分） ∂x
UDS ：a ∂u a +a u i -u i -1a -a u i +1-u i =+ ∂x 2∆x 2∆x
u -u i -1∂u =a i +1 ∂x 2∆x
u -u i -1∂u =a i ∂x ∆x
u -u i ∂u =a i +1 ∂x ∆x CDS ：a BDS ：a FDS ：a
四．采用有限体积法离散下列积分方程（假设数值网格为等距网格）（15分）
∂φ(x , y , t ) ⎰∂t dV =Γn ⋅∇φds
n +1n φP -φP ∆x ∆y =Γ∆y n ∆x n n n n (φE +φW -2φP ) +Γ(φN +φS n -2φP ) ∆t ∆x ∆y
五．给出圆球无粘性绕流的定解条件（15分）
⎧⎪∇2φ=0
⎨⎪∂φ
⎩∂n =-Un
x
六．采用有限差分法离散对流扩散方程，并分析其稳定性。（20分）
∂φ(x , t )
∂t =a ∂φ
∂x -Γ∂2φ
∂x 2
采用BTCS 格式离散可得
φn +1n
i -φ2(φn +1n +1) -Γσ(φn +1n +1n +1
i =as
i +1-φi -1i +1+φi -1-2φi ) （1）
采用V on.newmann 方法分析其稳定性，误差方程为
εn +1
i -as n +1
2(εεn +1n +1n +1n +1n
i +1-i -1) -Γσ(εi +1+εi -1-2εi ) =εi （2）
设ε=Ae ikx ，差分方程稳定的充分必要条件是放大因子
A n +1
G =k 1
A n =
k 1-ias sin θ+2Γσ(1-cos θ)
即
-ias sin θ+2Γσ(1-cos θ) =(1+4Γσsin 2θ22
2) +a s 2sin 2θ>1
由于Γ>0，（4）式无条件成立，即差分格式无条件稳定 4）（