《博弈与社会》第一次作业
（注意：请大家在3月25日课前提交本次作业！）
1、最靠谱的队友
不久前，国内外很多网站都在显著位置报道了以下新闻：约翰·霍普金斯大学的计算机教授Peter Fröhlich一直奉行“以考试成绩最高分为100、按分布曲线依次给出最终成绩”的政策，岂料去年秋学期，他三门课程的学生们全体在期末考试弃考，以全员零分的结果来挑战这一政策。教授思考再三，称赞了学生们的团结精神，给了所有人A。有网友评论说，这个事例是人们通过合作成功打破“囚徒困境”的尝试。另有一些网友惊呼，这些同学对于彼此而言真是最靠谱的队友。
（1）请问，为什么Peter Fröhlich教授的给分策略会让学生陷入“囚徒困境”？
（2）你认为，在这个事件中，学生为什么可以打成合作，成功突破“囚徒困境”？
（3）如果Peter Fröhlich教授坚持想要用以上策略给分，那么你能否给教授支个招，让学生自愿参加考试，重回“囚徒困境”？
2、一锤定音？
新一代“江南才子”唐伯狮、文征白和祝枝海参加由华府组织的绘画大赛，他们提交的画作分别为《百鸟朝凤图》、《万壑争秀图》和《小鸡吃米图》。绘画大赛的评委会由华太师和他的两个儿子华文、华武组成，他们将决定哪幅作品获得优胜。三位评委对三幅画作的偏好迥然相异，对于每位评委而言，每幅画作胜出对他们带来的效用分别如下所示：
评委
华太师 华文 华武
获得
效用
比赛规则规定，所有评委分别进行独立保密投票，一人一票，少数服从多数。如果出现平局，华太师投票的作品将获奖。让我们分析一下三位评委的博弈：
（1）请画出博弈的战略矩阵。
（2）请问，在进行投票时，每一位评委存在着严格被占优战略或弱被占优战略吗？
（3）用重复剔除被占优战略的方法对上述博弈进行分析。你预测哪位“才子”的作品将获得优胜？
（4）有记者在对大赛进行报道时进行“吐槽”，说比赛规则太黑暗了，很明显华太师比其他两位评委更有发言权，因此他偏爱的唐伯狮几乎就是内定的优胜。将你预测的结果和华太师的偏好进行比较。你认为在这个博弈中，这位记者的评论有道理吗？
3、Braess悖论
在交通规划中，增加道路建设往往被视为缓解交通拥堵的有效方法。但在1968年的一篇论文中，数学家Dietrich Braess却提出了一个令人惊讶的观点，即：在个人独立选择路径的情况下，为某路网增加额外的通行能力，有时非但不能缓解拥堵，反而会导致路网整体运行效率的降低。本习题将向你介绍这一著名的悖论。 3 2 1 百鸟朝凤图万壑争秀图小鸡吃米图万壑争秀图小鸡吃米图百鸟朝凤图小鸡吃米图 百鸟朝凤图 万壑争秀图
如上图，假设有假4000
名司机需要从名从A地驶往B地。对于每每位司机，
都都有两条行驶驶路径可选选：A-C-B或A-D –B
。其中，AD路路段和CB路段的通行速路速度都不受车车辆总数的影影响，经过过这两个路段段都必须耗时时
45
分钟。但
但通过AC路段和路DB路段的时间则路则由本路段上上行驶的车车辆决定。具具体来说，如果路段上行驶
驶的车辆总数数为x，则通通过路段的时时间为x/100。
（1）假设所有司司机的目标都都是通行时间间最小化，他们们同时选择行行驶路径，则则在纳什均衡衡下，他们们的行驶时间间将是多少？
（2））现在政府为为了缓解交通通拥堵，决定定在CD之间间修建一条通通路。经过这这条通路，司机可以从从C点直达D（为简化其其间，假设由C到D的时
时间为
）
。请
请问，在此条条通路建成后后，纳什均均衡将发生怎怎样的改变？通路能如政府府所预料的那
那样，缓解交交通拥堵吗？？
4、奶奶茶之战I
奶茶MM和奶茶和GG正在为争夺市正市场而展开激
激战。奶茶市场场的需求曲线线是P=a-bQQ，其中P是市场中奶奶茶的价格，Q是整个市市场中奶茶的
的供给量。由由于市场中只只有这两家生生产奶茶，因此Q就等等于两人分别别供应的奶茶茶数量之和。两人生产一一杯奶茶的成成本都是c（这里c
（1）（Cournot竞争，或产量竞量竞争）奶茶茶MM和奶茶茶GG想通过过奶茶的供应应量来进行PKP。他们们同时选择自自己提供的奶奶茶数量Q1和Q2，以求得得最大的利润润。请问这次次竞争博弈的纳什均衡衡是什么？这这个均衡是否可以由重复剔除被占优战战略的过程达达到？
（2）（Bertrand竞争，或价格竞格竞争）奶茶茶MM和奶茶茶GG都同时时喜欢上了价价格战的方式式，即不是是选择产量而而是选择奶茶茶的价格。这下可乐坏了顾顾客，他们总总是光顾价格格更低的那家家店。当然然，如果两家家价格一样，顾顾客就会任选选一家店购买买。请问，在在这个价格战战的博弈中，纳什均衡衡又是什么？给出均衡时时两家的产量，市场的价格格，以及利润润状况。这个个均衡是否可可以由重复复剔除被占优优战略的过程程达到？
（3）（Hotelling竞争，或区区位竞争）奶奶茶MM和奶奶茶GG在长长街之上分别别摆出了自己己的奶茶摊摊。为方便起起见，假设整整条街的长度为1，街道左左端的坐标为为0，右端坐坐标为1，顾顾客在整条条街上均匀分分布。为争夺这这些顾客，奶奶茶MM和奶奶茶GG展开开了“位置战战”和“价格战战”。他们们首先同时决决定各自摊位位的摆放位置a和1-b，其其中0≤a，b≤1，（也就是说说奶茶MM的摊
，位距距离街左端距距离为a，奶茶茶GG的摊位位距离街右端端距离为b。不失一般的的，假设1-b>a）
然后后同时决定奶奶茶的价格P1、P2。两人人生产奶茶的单位成本都是是c。
2）。 街街道上的顾客客可以决定在在哪一家购买买奶茶。购买买后，他获得的的效用为10-Pi-tx（i=1，
其中Pi是奶茶的价格，tx是交通成本（这里，x是他距离进行消费的奶茶店的距离，t是单位交通成本）。
（i）假设城管规定奶茶GG和奶茶MM的摊位位置（a和1-b）必须是固定的。这时，他们只能通过价格战来争取消费者。请求出他们各自面对的需求曲线（也就是奶茶价格和销售量的关系）。在均衡状态下，两人的价格、消费量和利润。
（ii）城管决定放松对摊位的管理。这样，为了争夺市场，奶茶MM和奶茶GG都可以改变设摊地点（即他们可以选择a和b）。在给定设摊地点后，他们再同时决定奶茶售价P1和P2。请问：在均衡时，两人选择的设摊位置各是什么？有人说，对于有缘人，无论是向左走，还是向右走，他们终究总会在一起。在我们的故事中，这种说法对吗？
5、38个目击者
在美国的法制史上，有个被称为“38个目击者”的著名案例：1964 年3月13日夜，在美国纽约郊外某公寓前，一位叫朱诺比的女子在回家途中遇刺。其间，尽管她大声求救，并且至少有38位目击者看到了犯罪经过或听到了呼救，但竟没有一人拨打电话。本题将通过一个博弈模型来对这个案例进行分析。
假设朱诺比在街道上遭遇劫匪并大声呼救，周围至少有n个目击者听到了呼救。当听到呼救后，目击者可以选择报警或漠视。如果选择报警，他需要支付的成本为c。只要有一个人报警，朱诺比就会得救，所有目击者会因此而获得效用v。而如果没有人报警，则所有目击者都只能获得效用0。
（1）当我们考虑所有目击者的同时决策博弈时，这个博弈有纯战略纳什均衡吗？
（2）这个博弈有混合战略纳什均衡吗？如果有，请解出来。
（3）假设每个目击者独立决定是否报警，请计算至少有一个人报警的概率，并回答这个概率如何随着n变动。这个结果对你有什么启示？
* 如果读者对“38个目击者”这个故事感兴趣，可以进一步阅读Rosenthal.A,1964，Thirty-Eight Witnesses，New York: McGraw-Hill。
《博弈与社会》第一次作业
（注意：请大家在3月25日课前提交本次作业！）
1、最靠谱的队友
不久前，国内外很多网站都在显著位置报道了以下新闻：约翰·霍普金斯大学的计算机教授Peter Fröhlich一直奉行“以考试成绩最高分为100、按分布曲线依次给出最终成绩”的政策，岂料去年秋学期，他三门课程的学生们全体在期末考试弃考，以全员零分的结果来挑战这一政策。教授思考再三，称赞了学生们的团结精神，给了所有人A。有网友评论说，这个事例是人们通过合作成功打破“囚徒困境”的尝试。另有一些网友惊呼，这些同学对于彼此而言真是最靠谱的队友。
（1）请问，为什么Peter Fröhlich教授的给分策略会让学生陷入“囚徒困境”？
（2）你认为，在这个事件中，学生为什么可以打成合作，成功突破“囚徒困境”？
（3）如果Peter Fröhlich教授坚持想要用以上策略给分，那么你能否给教授支个招，让学生自愿参加考试，重回“囚徒困境”？
2、一锤定音？
新一代“江南才子”唐伯狮、文征白和祝枝海参加由华府组织的绘画大赛，他们提交的画作分别为《百鸟朝凤图》、《万壑争秀图》和《小鸡吃米图》。绘画大赛的评委会由华太师和他的两个儿子华文、华武组成，他们将决定哪幅作品获得优胜。三位评委对三幅画作的偏好迥然相异，对于每位评委而言，每幅画作胜出对他们带来的效用分别如下所示：
评委
华太师 华文 华武
获得
效用
比赛规则规定，所有评委分别进行独立保密投票，一人一票，少数服从多数。如果出现平局，华太师投票的作品将获奖。让我们分析一下三位评委的博弈：
（1）请画出博弈的战略矩阵。
（2）请问，在进行投票时，每一位评委存在着严格被占优战略或弱被占优战略吗？
（3）用重复剔除被占优战略的方法对上述博弈进行分析。你预测哪位“才子”的作品将获得优胜？
（4）有记者在对大赛进行报道时进行“吐槽”，说比赛规则太黑暗了，很明显华太师比其他两位评委更有发言权，因此他偏爱的唐伯狮几乎就是内定的优胜。将你预测的结果和华太师的偏好进行比较。你认为在这个博弈中，这位记者的评论有道理吗？
3、Braess悖论
在交通规划中，增加道路建设往往被视为缓解交通拥堵的有效方法。但在1968年的一篇论文中，数学家Dietrich Braess却提出了一个令人惊讶的观点，即：在个人独立选择路径的情况下，为某路网增加额外的通行能力，有时非但不能缓解拥堵，反而会导致路网整体运行效率的降低。本习题将向你介绍这一著名的悖论。 3 2 1 百鸟朝凤图万壑争秀图小鸡吃米图万壑争秀图小鸡吃米图百鸟朝凤图小鸡吃米图 百鸟朝凤图 万壑争秀图
如上图，假设有假4000
名司机需要从名从A地驶往B地。对于每每位司机，
都都有两条行驶驶路径可选选：A-C-B或A-D –B
。其中，AD路路段和CB路段的通行速路速度都不受车车辆总数的影影响，经过过这两个路段段都必须耗时时
45
分钟。但
但通过AC路段和路DB路段的时间则路则由本路段上上行驶的车车辆决定。具具体来说，如果路段上行驶
驶的车辆总数数为x，则通通过路段的时时间为x/100。
（1）假设所有司司机的目标都都是通行时间间最小化，他们们同时选择行行驶路径，则则在纳什均衡衡下，他们们的行驶时间间将是多少？
（2））现在政府为为了缓解交通通拥堵，决定定在CD之间间修建一条通通路。经过这这条通路，司机可以从从C点直达D（为简化其其间，假设由C到D的时
时间为
）
。请
请问，在此条条通路建成后后，纳什均均衡将发生怎怎样的改变？通路能如政府府所预料的那
那样，缓解交交通拥堵吗？？
4、奶奶茶之战I
奶茶MM和奶茶和GG正在为争夺市正市场而展开激
激战。奶茶市场场的需求曲线线是P=a-bQQ，其中P是市场中奶奶茶的价格，Q是整个市市场中奶茶的
的供给量。由由于市场中只只有这两家生生产奶茶，因此Q就等等于两人分别别供应的奶茶茶数量之和。两人生产一一杯奶茶的成成本都是c（这里c
（1）（Cournot竞争，或产量竞量竞争）奶茶茶MM和奶茶茶GG想通过过奶茶的供应应量来进行PKP。他们们同时选择自自己提供的奶奶茶数量Q1和Q2，以求得得最大的利润润。请问这次次竞争博弈的纳什均衡衡是什么？这这个均衡是否可以由重复剔除被占优战战略的过程达达到？
（2）（Bertrand竞争，或价格竞格竞争）奶茶茶MM和奶茶茶GG都同时时喜欢上了价价格战的方式式，即不是是选择产量而而是选择奶茶茶的价格。这下可乐坏了顾顾客，他们总总是光顾价格格更低的那家家店。当然然，如果两家家价格一样，顾顾客就会任选选一家店购买买。请问，在在这个价格战战的博弈中，纳什均衡衡又是什么？给出均衡时时两家的产量，市场的价格格，以及利润润状况。这个个均衡是否可可以由重复复剔除被占优优战略的过程程达到？
（3）（Hotelling竞争，或区区位竞争）奶奶茶MM和奶奶茶GG在长长街之上分别别摆出了自己己的奶茶摊摊。为方便起起见，假设整整条街的长度为1，街道左左端的坐标为为0，右端坐坐标为1，顾顾客在整条条街上均匀分分布。为争夺这这些顾客，奶奶茶MM和奶奶茶GG展开开了“位置战战”和“价格战战”。他们们首先同时决决定各自摊位位的摆放位置a和1-b，其其中0≤a，b≤1，（也就是说说奶茶MM的摊
，位距距离街左端距距离为a，奶茶茶GG的摊位位距离街右端端距离为b。不失一般的的，假设1-b>a）
然后后同时决定奶奶茶的价格P1、P2。两人人生产奶茶的单位成本都是是c。
2）。 街街道上的顾客客可以决定在在哪一家购买买奶茶。购买买后，他获得的的效用为10-Pi-tx（i=1，
其中Pi是奶茶的价格，tx是交通成本（这里，x是他距离进行消费的奶茶店的距离，t是单位交通成本）。
（i）假设城管规定奶茶GG和奶茶MM的摊位位置（a和1-b）必须是固定的。这时，他们只能通过价格战来争取消费者。请求出他们各自面对的需求曲线（也就是奶茶价格和销售量的关系）。在均衡状态下，两人的价格、消费量和利润。
（ii）城管决定放松对摊位的管理。这样，为了争夺市场，奶茶MM和奶茶GG都可以改变设摊地点（即他们可以选择a和b）。在给定设摊地点后，他们再同时决定奶茶售价P1和P2。请问：在均衡时，两人选择的设摊位置各是什么？有人说，对于有缘人，无论是向左走，还是向右走，他们终究总会在一起。在我们的故事中，这种说法对吗？
5、38个目击者
在美国的法制史上，有个被称为“38个目击者”的著名案例：1964 年3月13日夜，在美国纽约郊外某公寓前，一位叫朱诺比的女子在回家途中遇刺。其间，尽管她大声求救，并且至少有38位目击者看到了犯罪经过或听到了呼救，但竟没有一人拨打电话。本题将通过一个博弈模型来对这个案例进行分析。
假设朱诺比在街道上遭遇劫匪并大声呼救，周围至少有n个目击者听到了呼救。当听到呼救后，目击者可以选择报警或漠视。如果选择报警，他需要支付的成本为c。只要有一个人报警，朱诺比就会得救，所有目击者会因此而获得效用v。而如果没有人报警，则所有目击者都只能获得效用0。
（1）当我们考虑所有目击者的同时决策博弈时，这个博弈有纯战略纳什均衡吗？
（2）这个博弈有混合战略纳什均衡吗？如果有，请解出来。
（3）假设每个目击者独立决定是否报警，请计算至少有一个人报警的概率，并回答这个概率如何随着n变动。这个结果对你有什么启示？
* 如果读者对“38个目击者”这个故事感兴趣，可以进一步阅读Rosenthal.A,1964，Thirty-Eight Witnesses，New York: McGraw-Hill。