1．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245, z ≥245, 求初三年级中女生比男生多的概率. 解：（1）
x
=0.19 2000
∴ x =380
（2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
48
⨯500=12 名 2000
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 y +z =500 ，且 y , z ∈N , 基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、„„（255，245）共11个
事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
∴
2. 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10．
把这6名学生的得分看成一个总体． （Ⅰ）求该总体的平均数；
P (A ) =
511
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解：（Ⅰ）总体平均数为
1
(5+6+7+8+9+10) =7.5． 6
（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”． 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6) ，(5，7) ，(5，8) ，(5，9) ，(510)，，
(6，7) ，(6，8) ，(6，9) ，(610)，，(7，8) ，(7，9) ，(7，9) ，(810)，，(910)，．共10) ，(8，
15个基本结果．
9) ，(510)，，(6，8) ，(6，9) ，(610)，，(7，8) ，(7，9) ．事件A 包括的基本结果有：(5，共
有7个基本结果． 所以所求的概率为P (A ) =
3. 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A ，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，1 C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A 1被选中的概率；
（Ⅱ）求B 1和C 1不全被选中的概率．
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
7
． 15
Ω={(A 1，B 1，C 1) ，(A 1，B 1，C 2) ，(A 1，B 2，C 1) ，(A 1，B 2，C 2) ，(A 1，B 3，C 1) ，
(A 1，B 3，C 2) ，(A 2，B 1，C 1) ，(A 2，B 1，C 2) ，(A 2，B 2，C 1) ，(A 2，B 2，C 2) ， (A 2，B 3，C 1) ，(A 2，B 3，C 2) ，(A 3，B 1，C 1) ，(A 3，B 1，C 2) ，(A 3，B 2，C 1) ， (A 3，B 2，C 2) ，(A 3，B 3，C 1) ，(A 3，B 3，C 2) }
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则
M ={(A 1，B 1，C 1) ，(A 1，B 1，C 2) ，(A 1，B 2，C 1) ，
(A 1，B 2，C 2) ，(A 1，B 3，C 1) ，(A 1，B 3，C 2) }
事件M 由6个基本事件组成， 因而P (M ) =
61
=． 183
（Ⅱ）用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，
由于N ={(A ，B 1，C 1) ，(A 2，B 1，C 1) ，(A 3，B 1，C 1) }，事件N 有3个基本事件组1成， 所以P (N ) =
3115
=，由对立事件的概率公式得P (N ) =1-P (N ) =1-=． 18666
4. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题
.
（I ）求全班人数及分数在[80, 90)之间的频数；
（II ）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[80, 90)间的矩形的高； （III ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽
取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.
解：（I ）由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为2，频率为0. 008⨯10=0. 08, 全班人数为
2
=25. 0. 08
„„„„3分
所以分数在[80, 90)之间的频数为25-2-7-10-2=4 （II ）分数在[50, 60)之间的总分为56+58=114；
分数在[60, 70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；
„„„„5分
（III ）将[80, 90)之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数
编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6） （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6） （4，5），（4，6） （5，6）共15个， „„„„12分 其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， „„„„14分
故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是
9
=0. 6 15
„„„„15分
5. 袋子中装有编号为a , b 的2个黑球和编号为c , d , e 的3个红球，从中任意摸出2个球。
（1）写出所有不同的结果；
（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； （3）求至少摸出1个黑球的概率.
解：（1）ab , ac , ad , ae , bc , bd , bc , cd , ce , de . 3分
（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，
则事件A 饮食的基本事件为ac , ad , ae , bc , be , ，共6个基本事件，所以
P (A ) =
6
=0. 6 8分 10
答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0. 6 （3）记“至少摸出1个黑球”为事件B ，
则事件B 包含的基本事件为ab , ac , ad , ae , bc , bd , be ，共7个基本事件， 所以P (B ) =
7
=0. 7 10
答：至少摸出1个黑球的概率为0. 7 13分
6. 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.
（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.
解：（Ⅰ）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，
任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），„„„„„„„2分
其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），„„„„„„„4分
所以P (A ) =
1
. „„„„„„„6分 2
（Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到3”，
每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果. „„„„„„„8分[来源:学§科§网]
事件B 包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个基本结果. „„„„„„„10分
所以所求事件的概率为P (B ) =
7. 一汽车厂生产A,B,C 三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如下表(单位:辆):
舒适型 标准型
轿车A 100 300
轿车B 150 450
轿车C z 600
7
. „„„„„„„12分 16
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆, 其中有A 类轿车10辆. （1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本. 将该样本看成一个
总体, 从中任取2辆, 求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆, 经检测它们的得分如下:9.4,
8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆, 由题意得, z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车, 因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个
5010
=, 所以n=2000. n 100+300
容量为5的样本, 所以
400m
=, 解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型10005
轿车, 分别记作S 1,S 2;B 1, B 2,B 3, 则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共10个, 其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B 1), (S1, B 2) , (S1, B 3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2), 所以从中任取2辆, 至少有1辆舒适型轿车的概率为
7. 10
1
(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2) =9, 8
(3)样本的平均数为x =
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数, 总的个数为8, 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
6
=0. 75. 8
【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容, 涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题. 要读懂题意, 分清类型, 列出基本事件, 查清个数., 利用公式解答.
8. 设有关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0．
1，2三个数中任取的一个数，（Ⅰ）若a 是从01，，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，求上述方程有实根的概率．
，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方（Ⅱ）若a 是从区间[0
程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程a 2+2ax +b 2=0有实根”．
当a >0，b >0时，方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b ． （Ⅰ）基本事件共12个：
(0，，，0) (01) ，，，(02) (10) ，，(11，) ，(12) ，，，，，(20) (21) ，，，，，，(22) (30) (31) ，，(32) ．其中第一个数表示
a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A ) =
93
=． 124
，b ) |0≤a ≤3，0≤b ≤2． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为(a
，b ) |0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ． 构成事件A 的区域为(a
{}
{}
1
3⨯2-⨯22
2． 所以所求的概率为==
3⨯23
1．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. (1)求x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245, z ≥245, 求初三年级中女生比男生多的概率. 解：（1）
x
=0.19 2000
∴ x =380
（2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
48
⨯500=12 名 2000
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 y +z =500 ，且 y , z ∈N , 基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、„„（255，245）共11个
事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个
∴
2. 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：
5，6，7，8，9，10．
把这6名学生的得分看成一个总体． （Ⅰ）求该总体的平均数；
P (A ) =
511
（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解：（Ⅰ）总体平均数为
1
(5+6+7+8+9+10) =7.5． 6
（Ⅱ）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”． 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5，6) ，(5，7) ，(5，8) ，(5，9) ，(510)，，
(6，7) ，(6，8) ，(6，9) ，(610)，，(7，8) ，(7，9) ，(7，9) ，(810)，，(910)，．共10) ，(8，
15个基本结果．
9) ，(510)，，(6，8) ，(6，9) ，(610)，，(7，8) ，(7，9) ．事件A 包括的基本结果有：(5，共
有7个基本结果． 所以所求的概率为P (A ) =
3. 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A ，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，1 C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A 1被选中的概率；
（Ⅱ）求B 1和C 1不全被选中的概率．
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
7
． 15
Ω={(A 1，B 1，C 1) ，(A 1，B 1，C 2) ，(A 1，B 2，C 1) ，(A 1，B 2，C 2) ，(A 1，B 3，C 1) ，
(A 1，B 3，C 2) ，(A 2，B 1，C 1) ，(A 2，B 1，C 2) ，(A 2，B 2，C 1) ，(A 2，B 2，C 2) ， (A 2，B 3，C 1) ，(A 2，B 3，C 2) ，(A 3，B 1，C 1) ，(A 3，B 1，C 2) ，(A 3，B 2，C 1) ， (A 3，B 2，C 2) ，(A 3，B 3，C 1) ，(A 3，B 3，C 2) }
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则
M ={(A 1，B 1，C 1) ，(A 1，B 1，C 2) ，(A 1，B 2，C 1) ，
(A 1，B 2，C 2) ，(A 1，B 3，C 1) ，(A 1，B 3，C 2) }
事件M 由6个基本事件组成， 因而P (M ) =
61
=． 183
（Ⅱ）用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，
由于N ={(A ，B 1，C 1) ，(A 2，B 1，C 1) ，(A 3，B 1，C 1) }，事件N 有3个基本事件组1成， 所以P (N ) =
3115
=，由对立事件的概率公式得P (N ) =1-P (N ) =1-=． 18666
4. 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题
.
（I ）求全班人数及分数在[80, 90)之间的频数；
（II ）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[80, 90)间的矩形的高； （III ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽
取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.
解：（I ）由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为2，频率为0. 008⨯10=0. 08, 全班人数为
2
=25. 0. 08
„„„„3分
所以分数在[80, 90)之间的频数为25-2-7-10-2=4 （II ）分数在[50, 60)之间的总分为56+58=114；
分数在[60, 70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；
„„„„5分
（III ）将[80, 90)之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数
编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6） （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6） （4，5），（4，6） （5，6）共15个， „„„„12分 其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， „„„„14分
故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是
9
=0. 6 15
„„„„15分
5. 袋子中装有编号为a , b 的2个黑球和编号为c , d , e 的3个红球，从中任意摸出2个球。
（1）写出所有不同的结果；
（2）求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； （3）求至少摸出1个黑球的概率.
解：（1）ab , ac , ad , ae , bc , bd , bc , cd , ce , de . 3分
（2）记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，
则事件A 饮食的基本事件为ac , ad , ae , bc , be , ，共6个基本事件，所以
P (A ) =
6
=0. 6 8分 10
答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0. 6 （3）记“至少摸出1个黑球”为事件B ，
则事件B 包含的基本事件为ab , ac , ad , ae , bc , bd , be ，共7个基本事件， 所以P (B ) =
7
=0. 7 10
答：至少摸出1个黑球的概率为0. 7 13分
6. 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.
（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率.
解：（Ⅰ）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，
任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4），„„„„„„„2分
其中数字之和大于7的是（1、3、4），（2、3、4），„„„„„„„4分
所以P (A ) =
1
. „„„„„„„6分 2
（Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到3”，
每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共16个基本结果. „„„„„„„8分[来源:学§科§网]
事件B 包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共7个基本结果. „„„„„„„10分
所以所求事件的概率为P (B ) =
7. 一汽车厂生产A,B,C 三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如下表(单位:辆):
舒适型 标准型
轿车A 100 300
轿车B 150 450
轿车C z 600
7
. „„„„„„„12分 16
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆, 其中有A 类轿车10辆. （1） 求z 的值.
（2） 用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本. 将该样本看成一个
总体, 从中任取2辆, 求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆, 经检测它们的得分如下:9.4,
8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆, 由题意得, z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车, 因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个
5010
=, 所以n=2000. n 100+300
容量为5的样本, 所以
400m
=, 解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型10005
轿车, 分别记作S 1,S 2;B 1, B 2,B 3, 则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3) 共10个, 其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B 1), (S1, B 2) , (S1, B 3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2), 所以从中任取2辆, 至少有1辆舒适型轿车的概率为
7. 10
1
(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2) =9, 8
(3)样本的平均数为x =
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数, 总的个数为8, 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
6
=0. 75. 8
【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容, 涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题. 要读懂题意, 分清类型, 列出基本事件, 查清个数., 利用公式解答.
8. 设有关于x 的一元二次方程x 2+2ax +b 2=0．
1，2三个数中任取的一个数，（Ⅰ）若a 是从01，，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，求上述方程有实根的概率．
，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方（Ⅱ）若a 是从区间[0
程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程a 2+2ax +b 2=0有实根”．
当a >0，b >0时，方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b ． （Ⅰ）基本事件共12个：
(0，，，0) (01) ，，，(02) (10) ，，(11，) ，(12) ，，，，，(20) (21) ，，，，，，(22) (30) (31) ，，(32) ．其中第一个数表示
a 的取值，第二个数表示b 的取值．
事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A ) =
93
=． 124
，b ) |0≤a ≤3，0≤b ≤2． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为(a
，b ) |0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ． 构成事件A 的区域为(a
{}
{}
1
3⨯2-⨯22
2． 所以所求的概率为==
3⨯23