第25卷第5期
2009年10月大 学 数 学COLLEGE M AT H EM AT ICS V ol. 25, l . 5Oct. 2009
多项式带余除法的差商表示
刘智秉1, 许业英2, 陈剑军1
(1. 九江学院理学院, 江西九江332005; 2. 九江学院图书馆, 江西九江332005)
[摘 要]利用差商和多项式插值理论, 给出了两个多项式相除的商式和余式的差商表达式.
[关键词]牛顿多项式; 插值; 差商
[中图分类号]O 174. 42 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2009) 05-0165-02
1 引 言
多项式理论是高等代数的基本内容之一. 设f (x ) 为m 次多项式, q(x ) 为n 次多项式, 则存在两个多项式p (x ) 和r(x ) , 使得
f (x ) =p (x ) q(x ) +r (x ) (0[5r
成立, 称为多项式的带余除法, 并分别称p (x ) 和r(x ) 为商式和余式, 其中5r 表示r (x ) 的次数. 当q (x ) =a(x -x 1) , (x -x n ) 时, 本文利用牛顿插值多项式及其余项, 同时给出商式和余式的差商表达式.
下面先简单介绍一下多项式插值:设给定数据{(x k , f (x k ) ) }n k =1, 其中节点x k , k =1, 2, , , n 互不相同, 求多项式N (x ) , 次数5N [n -1, 且满足插值条件N (x k ) =f (x k ) , k =1, 2, , , n, 则称N (x ) 为插值多项式. 我们知道, 插值多项式存在且唯一, 下面给出牛顿插值多项式的构造.
21, , , 记f (x ) 的各阶差商为f [x 1]=f (x 1) , f [x 1, x 2]=x 2-x 1
f [x 1, x 2, , , x k ]=
构造牛顿多项式
N (x ) =f (x 1) +f [x 1, x 2](x -x 1) +, +f [x 1, , , x n ](x -x 1) , (x -x n -1). (1. 2)
可以验证满足插值条件N (x k ) =f (x k ) , k =1, 2, , , n, 并称多项式(1. 2) 为牛顿插值多项式, 而且
f (x ) =N (x ) +f [x , x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x 1-x 2) , (x -x n ) .
即R(x ) =f [x , x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x -x 2) , (x -x n ) 为插值余项.
为方便起见, 引入记号
X i (x ) =则
N (x ) =j 1k -2k 1k -2k -1. x k -x k -1(1. 3) (x -x i ) (x -x i +1) , (x -x j ) , 1, n i [j , i >j , (1. 4)
(1. 5) k =1E -1f [x 1, x 2, , , x k ]X k 1(x ).
2 定理及证明
对多项式带余除法(1. 1) , 如果除式多项式q(x ) =a(x -x 1) , (x -x n ) (a X 0) , 当m
[收稿日期]2006-11-24
[基金项目]九江学院科研项目
166大 学 数 学 第25卷引理 当f (x ) 为m 次多项式时, f [x , x 1, x 2, , , x n ]为m -k 次多项式(m \k) .
证 x =x 1是f (x ) -f (x 1) 的零点, 所以f [x , x 1]=1是m -1次多项式; 假设f [x , x 1, x 2, x -x 1
, , x k -1]为m -k +1次多项式, 则由于x =x k 是f [x , x 1, , , x k -1]-f [x 1, , , x k -1, x k ]的零点, 从而
1k -11k -1k x -x k
的分子分母约去一个公因子x -x k , 使之成为m -k 次多项式. f [x , x 1, x 2, , , x k ]=
定理 对于多项式带余除法(1. 1) , q(x ) =a(x -x 1) , (x -x n ) (a X 0) , 当m \n 时, 则有余式r (x ) =k=1E n -1f [x 1, x 2, , , x k ]X k 1(x ) , 商式p (x ) =f [x , x 1, x 2, , , x n ].a
证 由New ton 多项式插值公式(1. 2) 和(1. 3) 知,
f (x ) =f (x 1) +f [x 1, x 2](x -x 1) +, +f [x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x -x 2) , (x -x n -1)
+f [x , x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x -x 2) , (x -x n )
=
n k=1E n f [x 1, x 2, , , x k ]X 1(x ) +f [x , x 1, x 2, , , x n ]X 1(x ) (2. 1)
k -1k -1n =r (x ) +p (x ) q(x ) , 其中r(x ) =
p (x ) =k =1E f [x 1, x 2, , , x k ]X 1(x ) , 且0[5r [n -1
n -1式q(x ) 除f (x ) 的余式为r (x ) =E f [x 1, x 2, , , x k ]X k 1(x ) , 商式为p (x ) =f [x , x 1, x 2, , , x n ].a k=1
3 实例说明
下面举一个实例说明上述方法的具体计算过程.
例 设有多项式f (x ) =x -2x +1, q(x ) =x +3x +2, 求q(x ) 除f (x ) 的商式和余式.
解 x 1=-1, x 2=-2, 计算出f (x ) 的各阶差商f (x 1) =0, f [x 1, x 2]=-9. 根据定理得, 余式为r(x ) =0-9(x +1) =-9x -9, 商式
+9112p (x ) =f [x , x 1, x 2]===x 2-3x +5. x -x 2x +2
可以验证得f (x ) =p (x ) q(x ) +r (x ) .
[参 考 文 献]
[1] 北京大学数学力学系几何与代数教研室. 高等代数[M ]. 北京:人民教育出版社, 1978.
[2] 李庆扬, 等. 数值分析(第四版) [M ].北京:清华大学出版社, 2001. 42422
Expressions of Polynomial Division with Residu e as Divided Differences
L I U Zhi -bing 1, X U Ye -y ing 2, CH EN J ian -j un 1
(1. Colleg e of Science, Jiujiang U niv ersit y, Jiujiang Jiangx i 332005, China;
2. L ibrar y, Jiujiang U niv ersity , Jiujiang Jiangx i 332005, China)
Abstract:By using t he divided differ ences and interpolatio n polynomia l, ex pressions of quotient and r emainder o f po ly no mial div isio n as divided differ ences is g iven.
Key words:New ton . s polynomial; interpolation; div ided difference
第25卷第5期
2009年10月大 学 数 学COLLEGE M AT H EM AT ICS V ol. 25, l . 5Oct. 2009
多项式带余除法的差商表示
刘智秉1, 许业英2, 陈剑军1
(1. 九江学院理学院, 江西九江332005; 2. 九江学院图书馆, 江西九江332005)
[摘 要]利用差商和多项式插值理论, 给出了两个多项式相除的商式和余式的差商表达式.
[关键词]牛顿多项式; 插值; 差商
[中图分类号]O 174. 42 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2009) 05-0165-02
1 引 言
多项式理论是高等代数的基本内容之一. 设f (x ) 为m 次多项式, q(x ) 为n 次多项式, 则存在两个多项式p (x ) 和r(x ) , 使得
f (x ) =p (x ) q(x ) +r (x ) (0[5r
成立, 称为多项式的带余除法, 并分别称p (x ) 和r(x ) 为商式和余式, 其中5r 表示r (x ) 的次数. 当q (x ) =a(x -x 1) , (x -x n ) 时, 本文利用牛顿插值多项式及其余项, 同时给出商式和余式的差商表达式.
下面先简单介绍一下多项式插值:设给定数据{(x k , f (x k ) ) }n k =1, 其中节点x k , k =1, 2, , , n 互不相同, 求多项式N (x ) , 次数5N [n -1, 且满足插值条件N (x k ) =f (x k ) , k =1, 2, , , n, 则称N (x ) 为插值多项式. 我们知道, 插值多项式存在且唯一, 下面给出牛顿插值多项式的构造.
21, , , 记f (x ) 的各阶差商为f [x 1]=f (x 1) , f [x 1, x 2]=x 2-x 1
f [x 1, x 2, , , x k ]=
构造牛顿多项式
N (x ) =f (x 1) +f [x 1, x 2](x -x 1) +, +f [x 1, , , x n ](x -x 1) , (x -x n -1). (1. 2)
可以验证满足插值条件N (x k ) =f (x k ) , k =1, 2, , , n, 并称多项式(1. 2) 为牛顿插值多项式, 而且
f (x ) =N (x ) +f [x , x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x 1-x 2) , (x -x n ) .
即R(x ) =f [x , x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x -x 2) , (x -x n ) 为插值余项.
为方便起见, 引入记号
X i (x ) =则
N (x ) =j 1k -2k 1k -2k -1. x k -x k -1(1. 3) (x -x i ) (x -x i +1) , (x -x j ) , 1, n i [j , i >j , (1. 4)
(1. 5) k =1E -1f [x 1, x 2, , , x k ]X k 1(x ).
2 定理及证明
对多项式带余除法(1. 1) , 如果除式多项式q(x ) =a(x -x 1) , (x -x n ) (a X 0) , 当m
[收稿日期]2006-11-24
[基金项目]九江学院科研项目
166大 学 数 学 第25卷引理 当f (x ) 为m 次多项式时, f [x , x 1, x 2, , , x n ]为m -k 次多项式(m \k) .
证 x =x 1是f (x ) -f (x 1) 的零点, 所以f [x , x 1]=1是m -1次多项式; 假设f [x , x 1, x 2, x -x 1
, , x k -1]为m -k +1次多项式, 则由于x =x k 是f [x , x 1, , , x k -1]-f [x 1, , , x k -1, x k ]的零点, 从而
1k -11k -1k x -x k
的分子分母约去一个公因子x -x k , 使之成为m -k 次多项式. f [x , x 1, x 2, , , x k ]=
定理 对于多项式带余除法(1. 1) , q(x ) =a(x -x 1) , (x -x n ) (a X 0) , 当m \n 时, 则有余式r (x ) =k=1E n -1f [x 1, x 2, , , x k ]X k 1(x ) , 商式p (x ) =f [x , x 1, x 2, , , x n ].a
证 由New ton 多项式插值公式(1. 2) 和(1. 3) 知,
f (x ) =f (x 1) +f [x 1, x 2](x -x 1) +, +f [x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x -x 2) , (x -x n -1)
+f [x , x 1, x 2, , , x n ](x -x 1) (x -x 2) , (x -x n )
=
n k=1E n f [x 1, x 2, , , x k ]X 1(x ) +f [x , x 1, x 2, , , x n ]X 1(x ) (2. 1)
k -1k -1n =r (x ) +p (x ) q(x ) , 其中r(x ) =
p (x ) =k =1E f [x 1, x 2, , , x k ]X 1(x ) , 且0[5r [n -1
n -1式q(x ) 除f (x ) 的余式为r (x ) =E f [x 1, x 2, , , x k ]X k 1(x ) , 商式为p (x ) =f [x , x 1, x 2, , , x n ].a k=1
3 实例说明
下面举一个实例说明上述方法的具体计算过程.
例 设有多项式f (x ) =x -2x +1, q(x ) =x +3x +2, 求q(x ) 除f (x ) 的商式和余式.
解 x 1=-1, x 2=-2, 计算出f (x ) 的各阶差商f (x 1) =0, f [x 1, x 2]=-9. 根据定理得, 余式为r(x ) =0-9(x +1) =-9x -9, 商式
+9112p (x ) =f [x , x 1, x 2]===x 2-3x +5. x -x 2x +2
可以验证得f (x ) =p (x ) q(x ) +r (x ) .
[参 考 文 献]
[1] 北京大学数学力学系几何与代数教研室. 高等代数[M ]. 北京:人民教育出版社, 1978.
[2] 李庆扬, 等. 数值分析(第四版) [M ].北京:清华大学出版社, 2001. 42422
Expressions of Polynomial Division with Residu e as Divided Differences
L I U Zhi -bing 1, X U Ye -y ing 2, CH EN J ian -j un 1
(1. Colleg e of Science, Jiujiang U niv ersit y, Jiujiang Jiangx i 332005, China;
2. L ibrar y, Jiujiang U niv ersity , Jiujiang Jiangx i 332005, China)
Abstract:By using t he divided differ ences and interpolatio n polynomia l, ex pressions of quotient and r emainder o f po ly no mial div isio n as divided differ ences is g iven.
Key words:New ton . s polynomial; interpolation; div ided difference