门源一中高二复习试题------解析几何
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1(2010·苏州模拟) 若ab
⎝a 0⎫⎭的直线PQ 的倾斜角的取值
是 ( )A. ⎛πππ
⎝0，2⎭ B. ⎛⎝2π⎫⎭ C. ⎛⎝－π，－2⎭
D. ⎛π
⎝－2，0⎫⎭
2．当a 为任意实数时，直线(2a +3) x +y -4a +2=0恒过定点P ，则
过点P 的抛物线的标准方程是
A ．x 2=32y 或y 2
=-
1
2
x B
．
x 2=-32y
或
y 2=
12
x
C ．y 2
=32x 或x 2
=-
1
2
y D ．
y 2=-32x
或
x 2
=12
y
3．设双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线与直线
x=
2
围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y)为该区域内的一个动点，则目标函数z =3x -2y 的取值范围为
（ ）
A ．[0,
22] B ．[2322, 2
] C ．[
252
2, 2
]
D ． [0,
52
2
] 4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交
双曲线于A 、B 两点，且|AB|=8,则△ABF 2的周长为
A ．3 B ．6
C
．
12
D ．24 5．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
于A,B 两点，若△ ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （）
）
A
B
C
．
D
．
2
6．如果AC ＜0, 且BC ＜0, 那么直线Ax+By+C=0不通过 （ ）
A ．第一象限 B ．第二象限
C
．
第
三
象
限
D ．第四象限
7．已知抛物线x =2m y 2(=m nx
n
=1有一个相同的焦点，则动点(m , n ) 的轨迹是（ ）
A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．直线
（（
的一部分
8．．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π
2所得的直线方程是
( )
A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0 D．x ＋2y ＋4＝0
9．．(2010·广州调研) 已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上
的一点，若 RA ＝ AP
，则点P 的轨迹方程为 ( )
A ．y ＝－2x B．y ＝2x C ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4
10．若双曲线x 2y 2
a 2-b 2=1(a >0, b >0) 的一个焦点到一条渐近线的距离
等于焦距的1
4
，则该双曲线的渐近线方程是
A ．x ±2y =0 B ．2x ±y =0 C
．x =0
D
±y =0 11.(2009·海淀模拟) 若直线l 1：y ＝k (x －4) 与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )
A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)
12．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点, 点Q 与
点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若 BP =2 PA 且 OQ ⋅ AB
=1，
则点P 的轨迹方程是 （ ）
A
．
3x 2+
32
y 2
=1(x >0, y >0) B ．3x 2
-32
y 2
=1(x >0, y >0) C ．
3x 2
-3y 22
=1(x >0, y >0)
D ．
32
2
x +3y 2=1(x >0, y >0) 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
13若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则
1a ＋4
b
的最小值为 14．已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F
C ）
于A ，B 两点．设FA >FB ，则
|FA |
|FB |
的值等于 ． 15．已知两条直线l 1:3x +2ay -1=0, l 2:ax -y +2=0, 若l 1⊥l 2，则
a ＝。
16．(2010·10诸城模拟) 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的
直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示) ，交其准线于点C ， 若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( )
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分) 。
17. (本小题满分12分) 已知A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 分别在直线x ＋y －7＝0及x ＋y －5＝0上，求AB 中点M 到原点距离的最小值．
（
18．（12分）设O 是坐标原点,F 是抛物线y 2=2px(p＞0) 的焦点,A 是抛物
线上的一个动点， FA 与x 轴正方向的夹角为600
, 求| OA |的值．
19．（12分）已知一动圆M, 恒过点F (1,0)，且总与直线l :x =-1相切． （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C 上, 是否存在异于原点的A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两
点, 当y 1y 2=-16时,
直线AB 恒过定点? 若存在, 求出定点坐标; 若不存在, 说明理由．
20．（12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别
为l 1，l 2，经过右焦点F 点．已知 OA 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，AB OB 成等差数列，且 BF 与 FA
B 两
同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
21．（12分）
已知椭圆G 的中心在坐标原点, 长轴在x 轴上, 离心率为
3
2
, 两个焦点分别为F 1和F 2, 椭 圆
G
上一点到F 1和F 2的距离之和为
12．圆
C k :x 2+y 2+2kx -4y -21=0(k ∈R ) 的圆心为点A k ．
（1）求椭圆G 的方程 （2）求∆A k F 1F 2的面积
（3）问是否存在圆C k 包围椭圆G? 请说明理由．
22．(12分) 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短
轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距
为m (m ≠0) ，l 交椭圆于A 、B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；
（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．
23．(本小题满分12分)(2010·诸城模拟) (本小题满分14分) 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝
86
. 11
24．(14分)
x 2y 2
设椭圆E: 2+2=1（a,b>0）过M （
2
，两点，
a b
O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
(1)求抛物线的方程；
(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求 出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
恒有两个交点A,B,
且 OA ⊥ OB
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范
围，若不存在说明理
由。 （Ⅱ）
参考答案
一、选择题
1．A ；解析：已知椭圆的离心率为
1
2
，焦点是(-3,0)，(3,0)，则c =3，a =6，b 2=36-9=27，
椭圆的方程为
x 2y 2
36+27
=1，选A ． 2．C ；解析：将直线方程化为(2x -4) a +3x +y +2=0, 可得定点P （2，
-8），再设抛物线
方程即可；
3．D ；解析：双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线为: x ±y =0, 渐近线
x ±y =0与直线
的交点坐标分别为
(
2
, 2) 和
(2
,-2
) ．利用角点代入法得z =3x -2y 的取值范围
为[0,
52
2
]． 4．B ；解析：由于b =2, e =
c =3, ∴c =3a , ∴9a 22a =a 2+4, ∴a =2
, 由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|=2, |BF2|- |BF1|=2,
∴|AF2|+|BF2|- |AB|=22, ∴|AF2|+|BF2|=8+22, 则△ABF 2的周长为16+22．
5． A ；解析：由
题|A F b 21=||F 1F 2
,
|∴a =
2c 即a 2-c 2=
3
ac
∴c 2
+
-a 2=0，
∴e 2
+-1=
0解之得：e =
负值舍去) ．故答案选A ．
6．C ；解析：∵直线Ax ＋By ＋C=0化为y =-A B x -C
B
, 又AC ＜0,BC ＜0
∴ AB ＞0, ∴-
A B
B >0 , 直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C ． 7．C ；解析：由x =
22m m
m y (=m nx
,0) (m
9+n =1的一个焦点为(
m
8
,0), ∴9-n =(-m 22
8
) , 得m =-64(n -9) ． (m
8．D ；解析：由MP=MC , 知M 在PC 的垂直平分面内，又M ∈面ABCD ∴M 在两平面的交线上．故答案选D ． 9．B ；解析:
2即m 2(m,n)在以原点为圆心，
＞+n2＜4, 点2为半径的圆内，
与椭圆x 29+y 2
4
=1的交点个数为2, 故答案选B ．
．C ；解析：对于双曲线x 2y 2
10a 2-b
2=1(a >0, b >0) 的一个焦点到一条
渐近线的距离因为b ，而b 2c =14
，因
此b =12c , a =
,
∴b a =
，因此其渐近线方程为x =0． 11．D ；解析：设P(x,y)，则Q (-x,y)，
由 BP =2 PA ∴A(-3
2x ,0),B(0,3y)， ∴ AB AB = (332(2
x ,3y ) y ) ． 从而由 OQ ⋅ AB =(-x,y)·(-3
2
x ,3y)=1．
得322
x +3y 2
=1其中x>0,y>0,故答案选D ． 12．D ；解析：⑴静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线
出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a -c ) ，则选B ；⑵静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a +c ) ，则选C ；⑶静放在点A 的小球（小球的半
径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A ． 由于三种情况均有可能，故选D ． 二、填空题：
13． (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析：过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，
并延长到C, 使CM=AM，则A 与C' 关于坐标平面xOy 对称且C(1,2,3)．
过A 作AN ⊥x 轴于N ，并延长到点B ，使NB=AN，则A 与B 关于x 轴对称且B(1,-2,3)．
∴A(1,2,-3)关于x 轴对称的点B(1,-2,3 )． 又A(1,2,-3)关于坐标平面xOy 对称的点C(1,2,3);
∴|BC|=(1-1) 2+(-2-2) 2+(3-3) 2
=4．
14． 3 解析：由题意知, 直线的方程为y =(x -1) , 与抛物线
C ：y 2=4x 联立得3x 2-10x +3=0, 求得交点的横坐标为x =3或
x =
13
, ∵FA >FB , 又根据抛物线的定义得|FA |=4, |FB |=43,
∴
|FA |
|FB |
=3． 15． 0 解析：当a =0时, l 1:3x -1=0, l 2:-y +2=0, l 1⊥l 2．
当
a ≠0时,
k 31=-
2a
,
k 2=a , 若l 1⊥l 2．则
k 1⋅k 2=-
3
2a
⨯a =-1, 上式显然不成立． ∴若l 1⊥l 2，则a ＝0．
16．①③ 解析：∵|PM|-|PN|=6 ∴点P 在以M 、N 为焦点的双曲线22
的右支上，即
x y 9-16
=1 (x＞0) ，将直线方程与其联立，方程组有解, 判断其答案为①③． 三．解答题
17
．解：由题意设A (x +
P 2) 代入y 2=2px得(3x ) 2=2p (x +p
2
) 解得x=p(负值舍去) ． 6分 ∴
A(
3
2
p )
∴
| OA |==p 12分
18．解: (1) 因为动圆M, 过点F (1,0)且与直线l :x =-1相切, 所以圆心M
到F 的距离等于到直线l 的距离．所以, 点M 的轨迹是以F 为焦点,
l 为准线的抛物线, 且
p
2
=1, p =2, 所以所求的轨迹方程为y 2
=4x 5分 (2) 假设存在A,B 在y 2
=4x 上,
所以, 直线AB
的方程:y -y y 2-y 1
1=
x x (x -x 1) , 即
2-1
y 2
y -y 2-y 1y 11=y 22(x -) 7分
2y 144-4
即AB 的方程为:
y -y 4
y 211=y +y (x -)
即
124
, (y 1+y 2) y -y 21-y 1y 2=4x -y 21
即:(y 1+y 2) y +(16-4x ) =0， 10分 令y =0, 得x =4，
所以, 无论y 1, y 2为何值, 直线AB 过定点(4,0) 12分 19．解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，OB =m +d
由勾股定理可得：(m -d ) 2+m 2=(m +d ) 2 2分
得
：
d =14
m ，tan ∠AOF =
b a
，
tan ∠AOB =tan 2∠AOF =AB 4
OA =3
2
b
由倍角公式∴=4，解得b =11-⎛ b ⎫
2
3a 2, 则离心
率⎝a ⎪⎭
e =
2
6分 =-a x 2y 2
（Ⅱ）过F 直线方程为y b (x -c ) , 与双曲线方程a 2-b
2=1
联立
将a =
2b ，c =代入，化简
有154b 2x 2x +21=0 8分
4=1-x 2= 将数值代入，
有4=, 解得b =3 10分
故所求的双曲线方程为
x 236-y 29=1． 12分 ．解: （1）设椭圆G 的方程为：x 2y 2
20a 2+b
2=1 （a >b >0）半焦距
为c;
⎧2a =12
则⎪⎨⎧⎪a =6222
⎪c ,
解得, ∴b =a -c =36-27=9 ⎩a
=
⎨
⎪⎩c = 所求椭圆G 的方程为：
x 2y 2
36+9
=1． 6分 （
2
）
点
A K
的坐标
为
(-
K ,2), S V A K F 1F 2=12⨯F 1F 2
⨯2=1
2
⨯2= 8分 （3）若k ≥0，由62+02
+12k -0-21=5+12k f 0可知点（6，
0）在圆C k 外，
若k
∴不论K 为何值圆C k 都不能包围椭圆G ． 12分
）设椭圆方程为x 2y 2
21．解：（1a 2+b
2=1(a >b >0)
⎧
则⎪a =2b ⎨4⎧⎪a 2=8
2分⎪⎩a 2+1
b 2
=1解得⎨⎪⎩b 2=2
∴椭圆方程x 28+y 2
2
=1 4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m
又K 1OM =
2
∴l 的方程为：y =
1
2
x +m
由
1⎧y =x +m ⎪⎪2⎨22
∴x 2+2m x +2m 2-4=0
2m 2-4-2m 2+4m -4m +4
==0 10分
(x 1-2)(x 2-2)
⎪x ⎪⎩8
+y 2=16分
∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
∴∆=(2m ) 2-4(2m 2-4) >0,
∴m 的取值范围是{m |-2
（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2=0即可 设A (x 1-11, y 1), B (x 2, y 2), 则k y 1=
, k y 2
-1
x 2= 1-2x 2-2
由x 2
+2mx +2m 2
-4=0可得
x 1+x 2=-2m , x 1x 22=2m -4 8分
而k y -1y 2-1(y 1-1)(x 2-2) +(y 2-1)(x 1-2)
1+k 2=1x , +2=
(x 1-2x 2-1-2)(x 2-2) (1x +m -1)(x 1
12-2) +(x 2+m -1)(x 1-2)
=(x 1-2)(x 2-2)
=
x 1x 2+(m +2)(x 1+x 2) -4(m -1)
(x
1-2)(x 2-2)
=
2m 2-4+(m -2)(-2m ) -4(m -1) (x 1-2)(x 2-2)
∴k 1＋k 2=0
故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 12分
x 2． 解（:1）因为椭圆E: y 2
22a 2+b
2=1（a,b>0）过M （2
，
两点,
⎧所以⎪4⎪+2=1⎧⎪1=1
⎨a 2b 2解得⎪⎧a 2=8⎪61⎨a 28
11所以⎨b 2=4椭圆E 的方程为
⎪⎩a 2+b 2=1⎪⎪⎩b
2=⎩4x 2y 28+4
=1 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
恒有两个交点A,B, 且 OA ⊥ OB
, 设该圆的切线方程为y =kx +m ⎧y =kx +m 解方程组⎪
⎨x 2y 2=得
x 2+2(kx +m ) 2=8, 即
⎪⎩8
+41(1+2k 2) x 2+4kmx +2m 2-8=0,
则△=16k 2
m 2
-4(1+2k 2
)(2m 2
-8) =8(8k 2
-m 2
+4) >0, 即
8k 2-m 2+4>0
4km m ≥
或m ≤,
⎧
⎪⎪x 1+x 2=-⎨1+2k 2
⎪2
⎪⎩
x 1x 2=2m -8
1+2k 2y 1y 2=(kx 1+m )(kx 8) 2+m ) =k 2x 1x 2+km (x 1+x 2) +m 2=
k (2m -1+2k 2- 4k m 1+2k 2+m 2=m -1++m 2
=k 2(2m 2-8) 4k 2m 2m 2-8k 22
1+2k 2-1+2k 2+m =
1+2k 2
y 2m 2-8m 2要使OA ⊥OB , 需使x 1x 2+y 12=0, 即1+2k 2+-8k 2
1+2k
2
=0, 所以
3m 2-8k 2-8=0,
所以k 2
=3m 2-8
8
≥0又8k 2-m 2+4>0, 所以⎧⎨m 2>22
⎩3m ≥8
≥82, 所以m 3,
即m ≥
或m ≤,
因为直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线,
所
以
圆
的
半
径
为
r =2
r =m 21+k 2=m 21+
3m 2-8=83, r =8
所求的圆为x 2+y 2
=
8
3
, 此时圆的切线y =kx +m 都满
足而当切线的斜率不存在时切线为x =±3
与椭圆x 28+y 24=1的
k 两个交点为2
或(满足OA ⊥OB ,
综上, 存在圆心在原点的圆x 2
+y 2
=
8
3，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且 OA ⊥ OB
．
⎧
⎪x 4km 1+x 2=-因为⎪⎨1+2k 2
⎪2m 2
-8, ⎪⎩
x 1x 2=1+2k 2所
以
2
(x 2
-
1-
4k
1+k 2
,
|AB |=
==
==,
82k +km (x 1+x 2)
8分
①当k ≠
0时|AB |=|AB |∈ 14分 因为4k +21+4≥8所以0
334k 2+2+4k
|AB |≤
k =时取“=”． ②k =0时
, |AB |= , ±
或33 ③当AB 的斜率不存在时, 两个交点
为(
(,
所以此时|AB |= 12分 |AB |≤即
: 综上, |AB |的取值范围
为
门源一中高二复习试题------解析几何
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1(2010·苏州模拟) 若ab
⎝a 0⎫⎭的直线PQ 的倾斜角的取值
是 ( )A. ⎛πππ
⎝0，2⎭ B. ⎛⎝2π⎫⎭ C. ⎛⎝－π，－2⎭
D. ⎛π
⎝－2，0⎫⎭
2．当a 为任意实数时，直线(2a +3) x +y -4a +2=0恒过定点P ，则
过点P 的抛物线的标准方程是
A ．x 2=32y 或y 2
=-
1
2
x B
．
x 2=-32y
或
y 2=
12
x
C ．y 2
=32x 或x 2
=-
1
2
y D ．
y 2=-32x
或
x 2
=12
y
3．设双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线与直线
x=
2
围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y)为该区域内的一个动点，则目标函数z =3x -2y 的取值范围为
（ ）
A ．[0,
22] B ．[2322, 2
] C ．[
252
2, 2
]
D ． [0,
52
2
] 4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交
双曲线于A 、B 两点，且|AB|=8,则△ABF 2的周长为
A ．3 B ．6
C
．
12
D ．24 5．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
于A,B 两点，若△ ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （）
）
A
B
C
．
D
．
2
6．如果AC ＜0, 且BC ＜0, 那么直线Ax+By+C=0不通过 （ ）
A ．第一象限 B ．第二象限
C
．
第
三
象
限
D ．第四象限
7．已知抛物线x =2m y 2(=m nx
n
=1有一个相同的焦点，则动点(m , n ) 的轨迹是（ ）
A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．直线
（（
的一部分
8．．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π
2所得的直线方程是
( )
A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0 D．x ＋2y ＋4＝0
9．．(2010·广州调研) 已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上
的一点，若 RA ＝ AP
，则点P 的轨迹方程为 ( )
A ．y ＝－2x B．y ＝2x C ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4
10．若双曲线x 2y 2
a 2-b 2=1(a >0, b >0) 的一个焦点到一条渐近线的距离
等于焦距的1
4
，则该双曲线的渐近线方程是
A ．x ±2y =0 B ．2x ±y =0 C
．x =0
D
±y =0 11.(2009·海淀模拟) 若直线l 1：y ＝k (x －4) 与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )
A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4) D ．(4，－2)
12．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点, 点Q 与
点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若 BP =2 PA 且 OQ ⋅ AB
=1，
则点P 的轨迹方程是 （ ）
A
．
3x 2+
32
y 2
=1(x >0, y >0) B ．3x 2
-32
y 2
=1(x >0, y >0) C ．
3x 2
-3y 22
=1(x >0, y >0)
D ．
32
2
x +3y 2=1(x >0, y >0) 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。
13若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b >0)过圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则
1a ＋4
b
的最小值为 14．已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F
C ）
于A ，B 两点．设FA >FB ，则
|FA |
|FB |
的值等于 ． 15．已知两条直线l 1:3x +2ay -1=0, l 2:ax -y +2=0, 若l 1⊥l 2，则
a ＝。
16．(2010·10诸城模拟) 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的
直线l 交抛物线于点A 、B (如图所示) ，交其准线于点C ， 若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为 ( )
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分) 。
17. (本小题满分12分) 已知A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) 分别在直线x ＋y －7＝0及x ＋y －5＝0上，求AB 中点M 到原点距离的最小值．
（
18．（12分）设O 是坐标原点,F 是抛物线y 2=2px(p＞0) 的焦点,A 是抛物
线上的一个动点， FA 与x 轴正方向的夹角为600
, 求| OA |的值．
19．（12分）已知一动圆M, 恒过点F (1,0)，且总与直线l :x =-1相切． （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C 上, 是否存在异于原点的A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两
点, 当y 1y 2=-16时,
直线AB 恒过定点? 若存在, 求出定点坐标; 若不存在, 说明理由．
20．（12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别
为l 1，l 2，经过右焦点F 点．已知 OA 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，AB OB 成等差数列，且 BF 与 FA
B 两
同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
21．（12分）
已知椭圆G 的中心在坐标原点, 长轴在x 轴上, 离心率为
3
2
, 两个焦点分别为F 1和F 2, 椭 圆
G
上一点到F 1和F 2的距离之和为
12．圆
C k :x 2+y 2+2kx -4y -21=0(k ∈R ) 的圆心为点A k ．
（1）求椭圆G 的方程 （2）求∆A k F 1F 2的面积
（3）问是否存在圆C k 包围椭圆G? 请说明理由．
22．(12分) 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短
轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距
为m (m ≠0) ，l 交椭圆于A 、B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；
（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．
23．(本小题满分12分)(2010·诸城模拟) (本小题满分14分) 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝
86
. 11
24．(14分)
x 2y 2
设椭圆E: 2+2=1（a,b>0）过M （
2
，两点，
a b
O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
(1)求抛物线的方程；
(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求 出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
恒有两个交点A,B,
且 OA ⊥ OB
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范
围，若不存在说明理
由。 （Ⅱ）
参考答案
一、选择题
1．A ；解析：已知椭圆的离心率为
1
2
，焦点是(-3,0)，(3,0)，则c =3，a =6，b 2=36-9=27，
椭圆的方程为
x 2y 2
36+27
=1，选A ． 2．C ；解析：将直线方程化为(2x -4) a +3x +y +2=0, 可得定点P （2，
-8），再设抛物线
方程即可；
3．D ；解析：双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线为: x ±y =0, 渐近线
x ±y =0与直线
的交点坐标分别为
(
2
, 2) 和
(2
,-2
) ．利用角点代入法得z =3x -2y 的取值范围
为[0,
52
2
]． 4．B ；解析：由于b =2, e =
c =3, ∴c =3a , ∴9a 22a =a 2+4, ∴a =2
, 由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|=2, |BF2|- |BF1|=2,
∴|AF2|+|BF2|- |AB|=22, ∴|AF2|+|BF2|=8+22, 则△ABF 2的周长为16+22．
5． A ；解析：由
题|A F b 21=||F 1F 2
,
|∴a =
2c 即a 2-c 2=
3
ac
∴c 2
+
-a 2=0，
∴e 2
+-1=
0解之得：e =
负值舍去) ．故答案选A ．
6．C ；解析：∵直线Ax ＋By ＋C=0化为y =-A B x -C
B
, 又AC ＜0,BC ＜0
∴ AB ＞0, ∴-
A B
B >0 , 直线过一、二、四象限，不过第三象限．故答案选C ． 7．C ；解析：由x =
22m m
m y (=m nx
,0) (m
9+n =1的一个焦点为(
m
8
,0), ∴9-n =(-m 22
8
) , 得m =-64(n -9) ． (m
8．D ；解析：由MP=MC , 知M 在PC 的垂直平分面内，又M ∈面ABCD ∴M 在两平面的交线上．故答案选D ． 9．B ；解析:
2即m 2(m,n)在以原点为圆心，
＞+n2＜4, 点2为半径的圆内，
与椭圆x 29+y 2
4
=1的交点个数为2, 故答案选B ．
．C ；解析：对于双曲线x 2y 2
10a 2-b
2=1(a >0, b >0) 的一个焦点到一条
渐近线的距离因为b ，而b 2c =14
，因
此b =12c , a =
,
∴b a =
，因此其渐近线方程为x =0． 11．D ；解析：设P(x,y)，则Q (-x,y)，
由 BP =2 PA ∴A(-3
2x ,0),B(0,3y)， ∴ AB AB = (332(2
x ,3y ) y ) ． 从而由 OQ ⋅ AB =(-x,y)·(-3
2
x ,3y)=1．
得322
x +3y 2
=1其中x>0,y>0,故答案选D ． 12．D ；解析：⑴静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线
出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a -c ) ，则选B ；⑵静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a +c ) ，则选C ；⑶静放在点A 的小球（小球的半
径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A ． 由于三种情况均有可能，故选D ． 二、填空题：
13． (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析：过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，
并延长到C, 使CM=AM，则A 与C' 关于坐标平面xOy 对称且C(1,2,3)．
过A 作AN ⊥x 轴于N ，并延长到点B ，使NB=AN，则A 与B 关于x 轴对称且B(1,-2,3)．
∴A(1,2,-3)关于x 轴对称的点B(1,-2,3 )． 又A(1,2,-3)关于坐标平面xOy 对称的点C(1,2,3);
∴|BC|=(1-1) 2+(-2-2) 2+(3-3) 2
=4．
14． 3 解析：由题意知, 直线的方程为y =(x -1) , 与抛物线
C ：y 2=4x 联立得3x 2-10x +3=0, 求得交点的横坐标为x =3或
x =
13
, ∵FA >FB , 又根据抛物线的定义得|FA |=4, |FB |=43,
∴
|FA |
|FB |
=3． 15． 0 解析：当a =0时, l 1:3x -1=0, l 2:-y +2=0, l 1⊥l 2．
当
a ≠0时,
k 31=-
2a
,
k 2=a , 若l 1⊥l 2．则
k 1⋅k 2=-
3
2a
⨯a =-1, 上式显然不成立． ∴若l 1⊥l 2，则a ＝0．
16．①③ 解析：∵|PM|-|PN|=6 ∴点P 在以M 、N 为焦点的双曲线22
的右支上，即
x y 9-16
=1 (x＞0) ，将直线方程与其联立，方程组有解, 判断其答案为①③． 三．解答题
17
．解：由题意设A (x +
P 2) 代入y 2=2px得(3x ) 2=2p (x +p
2
) 解得x=p(负值舍去) ． 6分 ∴
A(
3
2
p )
∴
| OA |==p 12分
18．解: (1) 因为动圆M, 过点F (1,0)且与直线l :x =-1相切, 所以圆心M
到F 的距离等于到直线l 的距离．所以, 点M 的轨迹是以F 为焦点,
l 为准线的抛物线, 且
p
2
=1, p =2, 所以所求的轨迹方程为y 2
=4x 5分 (2) 假设存在A,B 在y 2
=4x 上,
所以, 直线AB
的方程:y -y y 2-y 1
1=
x x (x -x 1) , 即
2-1
y 2
y -y 2-y 1y 11=y 22(x -) 7分
2y 144-4
即AB 的方程为:
y -y 4
y 211=y +y (x -)
即
124
, (y 1+y 2) y -y 21-y 1y 2=4x -y 21
即:(y 1+y 2) y +(16-4x ) =0， 10分 令y =0, 得x =4，
所以, 无论y 1, y 2为何值, 直线AB 过定点(4,0) 12分 19．解：（Ⅰ）设OA =m -d ，AB =m ，OB =m +d
由勾股定理可得：(m -d ) 2+m 2=(m +d ) 2 2分
得
：
d =14
m ，tan ∠AOF =
b a
，
tan ∠AOB =tan 2∠AOF =AB 4
OA =3
2
b
由倍角公式∴=4，解得b =11-⎛ b ⎫
2
3a 2, 则离心
率⎝a ⎪⎭
e =
2
6分 =-a x 2y 2
（Ⅱ）过F 直线方程为y b (x -c ) , 与双曲线方程a 2-b
2=1
联立
将a =
2b ，c =代入，化简
有154b 2x 2x +21=0 8分
4=1-x 2= 将数值代入，
有4=, 解得b =3 10分
故所求的双曲线方程为
x 236-y 29=1． 12分 ．解: （1）设椭圆G 的方程为：x 2y 2
20a 2+b
2=1 （a >b >0）半焦距
为c;
⎧2a =12
则⎪⎨⎧⎪a =6222
⎪c ,
解得, ∴b =a -c =36-27=9 ⎩a
=
⎨
⎪⎩c = 所求椭圆G 的方程为：
x 2y 2
36+9
=1． 6分 （
2
）
点
A K
的坐标
为
(-
K ,2), S V A K F 1F 2=12⨯F 1F 2
⨯2=1
2
⨯2= 8分 （3）若k ≥0，由62+02
+12k -0-21=5+12k f 0可知点（6，
0）在圆C k 外，
若k
∴不论K 为何值圆C k 都不能包围椭圆G ． 12分
）设椭圆方程为x 2y 2
21．解：（1a 2+b
2=1(a >b >0)
⎧
则⎪a =2b ⎨4⎧⎪a 2=8
2分⎪⎩a 2+1
b 2
=1解得⎨⎪⎩b 2=2
∴椭圆方程x 28+y 2
2
=1 4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m
又K 1OM =
2
∴l 的方程为：y =
1
2
x +m
由
1⎧y =x +m ⎪⎪2⎨22
∴x 2+2m x +2m 2-4=0
2m 2-4-2m 2+4m -4m +4
==0 10分
(x 1-2)(x 2-2)
⎪x ⎪⎩8
+y 2=16分
∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
∴∆=(2m ) 2-4(2m 2-4) >0,
∴m 的取值范围是{m |-2
（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2=0即可 设A (x 1-11, y 1), B (x 2, y 2), 则k y 1=
, k y 2
-1
x 2= 1-2x 2-2
由x 2
+2mx +2m 2
-4=0可得
x 1+x 2=-2m , x 1x 22=2m -4 8分
而k y -1y 2-1(y 1-1)(x 2-2) +(y 2-1)(x 1-2)
1+k 2=1x , +2=
(x 1-2x 2-1-2)(x 2-2) (1x +m -1)(x 1
12-2) +(x 2+m -1)(x 1-2)
=(x 1-2)(x 2-2)
=
x 1x 2+(m +2)(x 1+x 2) -4(m -1)
(x
1-2)(x 2-2)
=
2m 2-4+(m -2)(-2m ) -4(m -1) (x 1-2)(x 2-2)
∴k 1＋k 2=0
故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 12分
x 2． 解（:1）因为椭圆E: y 2
22a 2+b
2=1（a,b>0）过M （2
，
两点,
⎧所以⎪4⎪+2=1⎧⎪1=1
⎨a 2b 2解得⎪⎧a 2=8⎪61⎨a 28
11所以⎨b 2=4椭圆E 的方程为
⎪⎩a 2+b 2=1⎪⎪⎩b
2=⎩4x 2y 28+4
=1 4分 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E
恒有两个交点A,B, 且 OA ⊥ OB
, 设该圆的切线方程为y =kx +m ⎧y =kx +m 解方程组⎪
⎨x 2y 2=得
x 2+2(kx +m ) 2=8, 即
⎪⎩8
+41(1+2k 2) x 2+4kmx +2m 2-8=0,
则△=16k 2
m 2
-4(1+2k 2
)(2m 2
-8) =8(8k 2
-m 2
+4) >0, 即
8k 2-m 2+4>0
4km m ≥
或m ≤,
⎧
⎪⎪x 1+x 2=-⎨1+2k 2
⎪2
⎪⎩
x 1x 2=2m -8
1+2k 2y 1y 2=(kx 1+m )(kx 8) 2+m ) =k 2x 1x 2+km (x 1+x 2) +m 2=
k (2m -1+2k 2- 4k m 1+2k 2+m 2=m -1++m 2
=k 2(2m 2-8) 4k 2m 2m 2-8k 22
1+2k 2-1+2k 2+m =
1+2k 2
y 2m 2-8m 2要使OA ⊥OB , 需使x 1x 2+y 12=0, 即1+2k 2+-8k 2
1+2k
2
=0, 所以
3m 2-8k 2-8=0,
所以k 2
=3m 2-8
8
≥0又8k 2-m 2+4>0, 所以⎧⎨m 2>22
⎩3m ≥8
≥82, 所以m 3,
即m ≥
或m ≤,
因为直线y =kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线,
所
以
圆
的
半
径
为
r =2
r =m 21+k 2=m 21+
3m 2-8=83, r =8
所求的圆为x 2+y 2
=
8
3
, 此时圆的切线y =kx +m 都满
足而当切线的斜率不存在时切线为x =±3
与椭圆x 28+y 24=1的
k 两个交点为2
或(满足OA ⊥OB ,
综上, 存在圆心在原点的圆x 2
+y 2
=
8
3，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且 OA ⊥ OB
．
⎧
⎪x 4km 1+x 2=-因为⎪⎨1+2k 2
⎪2m 2
-8, ⎪⎩
x 1x 2=1+2k 2所
以
2
(x 2
-
1-
4k
1+k 2
,
|AB |=
==
==,
82k +km (x 1+x 2)
8分
①当k ≠
0时|AB |=|AB |∈ 14分 因为4k +21+4≥8所以0
334k 2+2+4k
|AB |≤
k =时取“=”． ②k =0时
, |AB |= , ±
或33 ③当AB 的斜率不存在时, 两个交点
为(
(,
所以此时|AB |= 12分 |AB |≤即
: 综上, |AB |的取值范围
为