不定积分的多种解法
**
（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）
摘 要：正如加法有其逆运算，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有其逆运算——
积分法. 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是:求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知函数, 提出这个逆问题, 首先是因为它出现在许多实际问题之中. 本文主要介绍不定积分的一些求解方法.
关键词:不定积分; 换元; 分部
Indefinite integral of a variety of solution
**
(Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou 416000)
Abstract : As the addition has its inverse operation, multiplication division has
its inverse operation, as differential method also has its inverse operation - integration method. We already know that differential method the basic problem is how to derive it from a known function derivative , then the opposite question is: seek an unknown function, so that it happens to be the derivative of a known function, raised the inverse problem, first of all because it appears among a number of practical problems. This paper describes some of the indefinite integral solving method.
Keywords : indefinite integral; substitution; Division
引言
本文参考了数学分析上册的不定积分的解法, 从而总结了一下七中不定积分的解法. 熟悉了不定积分的解法为以后的学习更方便.
1. 直接积分法
主要通过不定积分的基本公式直接积分. 基本公式有
⎰0dx =C ⎰1dx =⎰dx =x +C
1x a +1
=ln x +c (x ≠0) x dx =+C (a ≠-1, x >0) ⎰⎰x a +1
a
a x
⎰e dx =e +C ⎰a dx =ln a +C (a >0, a ≠1)
x
x
x
1
⎰cos axdx =
11
sin ax +C (a ≠0) ⎰sin axdx =-cos ax +C (a ≠0) a a
22
csc xdx =-cot x +C sec ⎰⎰xdx =tan x +C
⎰sec x ⋅tan xdx =sec x +C ⎰csc x ⋅cot xdx =-csc x +C
⎰
dx -x
2
=arcsin x +C =-arccos x +C 1
dx
⎰1+x 2=arctan x +C =-arc cot x +C 1 例:
⎰cos 3x ⋅sin xdx =
11⎛11⎫()sin 4x -sin 2x dx =-cos 4x +cos 2x ⎪+C 2⎰2⎝42⎭
=-
1
(cos 4x -2cos 2x )+C 8
2. 换元积分法
应用换元积分法解题时先把复杂部分换成简单变量求解，结果要变量还原；不同的还解杰出的结果可能不一样，因为原函数不是唯一的.
例:
(1)⎰xe 2x dx =1⎰e 2x d (2x 2)令t =2x 21⎰e t dt =1e t +C =1e 2x
2
2
2
444
(2)⎰cos(3x +4) dx 令t =3x +4⎰cos t ⋅1=1sin t +C =1sin(3x +4) +C
333
3. 分部积分法
4
+C
分部积分法主要用于被积式中含有对数函数, 反三角函数, 幂函数, 三角函数和指数函数因子的情形, 按对反幂函数的优先顺序选择u 而使用分部积分法.
分部积分公式常简写作
udv =uv -vdu
⎰⎰
例:
(1)⎰x 2cos xdx =⎰x 2d sin x -2⎰x sin xdx =x 2sin x +2⎰xd cos x
22
=x sin x +2x cos x -2cos xdx =x sin x +2x cos x -2sin x +C
⎰
(2)⎰ln xdx =x ln x -⎰x ⋅1dx =x ln x -x +C
x
4. 有理函数的积分
P (x ) ⎰Q (x )
2
这种类型积分的处理, 一般来说, 是把真分式
P (x )P (x )(若是假分式, 可化为多项式与Q x Q x 真分式之和) 分解为若干简单的部分分式之和, 在分别出每一部分的积分.
例:
(1)⎰
x -2x -21⎫⎛2
=dx =-dx ⎰x -3x -4⎰⎝x -4x -3⎪x 2-7x +12⎭
2
(x -4)+C 1=ln x -4-ln x -3+C =ln 3x -3
⎛x 3-1x 31⎫dx 2
⎪ (2)⎰dx =⎰ +dx =x +x +1dx +⎰⎰ x -1x -1⎪x -1x -1⎝⎭
()
=
1312
x +x +x +ln x -1+C 32
5. 三角函数有理式的积⎰R (sin x , cos x )dx
此类积分, 一般通过万能代换t =tan
x
, 可把它化为有理函数的不定积分. 但并不一定2
简单, 所以在具体计算时, 应视被积函数的特点采用灵活简便的代换.
例:
2dt
dx x 2dt 1
令t =tan ==arctan 2t +C ⎰5-3cos x 1-t 2⎰1+2t 222⎰5-3
1+t 2
=
1x ⎫⎛arctan 2tan ⎪+C 22⎭⎝
6. 某些无理根式的不定积分.
无理根式的不定积分主要是通过换元把复杂的式子化为可以通过基本公式求积分的式子.
例:
(1)⎰
dx x 2+x
=⎰
dx 1⎫1⎛
x + ⎪-2⎭4⎝
2
令x +
11
=sec t ⎰sec tdt =ln sec t +tan t +C 22
=ln (2x +1)+2x +x +C t ≤
2
⎛
⎝
π⎫
⎪ 2⎭
x
(2)⎰e
x
dx 令t =x 2⎰e t ⋅tdt =2e t t -2e t +C =2x e
-2e
x
(t ≥0) +C ，
7. 综合积分法.
很多积分题目仅仅用一种方法是很难解出的, 有时候它需要多种方法的综合运用来达到
3
积分的目的.
例:
(1)⎰e sin x sin 2xdx =2⎰e sin x sin x cos xdx =2⎰e sin x sin xd sin x 令sin x =t 2⎰e t tdt
t t t t t sin x
-2e sin x +C =2tde =2te -e dt =2te -2e +C =2sin x ⋅e
⎰
(
⎰
)
此题应用了换元, 分部积分法.
1+x ⎫1⎛1+x ⎫212⎛1+x ⎫12
(2)⎰x ln ⎛ ⎪dx =⎰ln ⎪dx =x ln ⎪-⎰x
⎝1-x ⎭
2
⎝1-x ⎭
2
⎝1-x ⎭22
dx
1+x 1-x x 2⎛1+x ⎫x 2x 2⎛1+x ⎫dx
= ln -=ln +dx -⎪⎰ ⎪⎰22⎰2⎝1-x ⎭1-x 2⎝1-x ⎭1-x x 2⎛1+x ⎫1x -1 =ln +C ⎪+x +ln
2⎝1-x ⎭2x +1
此题应用了多次分部积分法.
总结:我所了解的不定积分多种方法已归纳完毕, 但不定积分的方法也不仅限于这几种, 我们只有灵活地运用多种方法才能将其顺利解出. 如果熟悉地掌握了不定积分的求解方法, 就会为以后的定积分, 反常积分的求解奠定了坚实的基础.
参考文献:
【M 】[1] 华东师范大学教研室. 数学分析上册/华东师范大学数学系编. 北京：高等教育出
版社. 2001（2006重印）
【M 】[2]华东师范大学教研室. 数学分析同步辅导及习题全解上册/曾捷主编. 徐州：中国
矿业大学出版社，2006.8
4
不定积分的多种解法
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（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）
摘 要：正如加法有其逆运算，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有其逆运算——
积分法. 我们已经知道, 微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数, 那么与之相反的问题是:求一个未知函数, 使其导函数恰好是某一已知函数, 提出这个逆问题, 首先是因为它出现在许多实际问题之中. 本文主要介绍不定积分的一些求解方法.
关键词:不定积分; 换元; 分部
Indefinite integral of a variety of solution
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(Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou 416000)
Abstract : As the addition has its inverse operation, multiplication division has
its inverse operation, as differential method also has its inverse operation - integration method. We already know that differential method the basic problem is how to derive it from a known function derivative , then the opposite question is: seek an unknown function, so that it happens to be the derivative of a known function, raised the inverse problem, first of all because it appears among a number of practical problems. This paper describes some of the indefinite integral solving method.
Keywords : indefinite integral; substitution; Division
引言
本文参考了数学分析上册的不定积分的解法, 从而总结了一下七中不定积分的解法. 熟悉了不定积分的解法为以后的学习更方便.
1. 直接积分法
主要通过不定积分的基本公式直接积分. 基本公式有
⎰0dx =C ⎰1dx =⎰dx =x +C
1x a +1
=ln x +c (x ≠0) x dx =+C (a ≠-1, x >0) ⎰⎰x a +1
a
a x
⎰e dx =e +C ⎰a dx =ln a +C (a >0, a ≠1)
x
x
x
1
⎰cos axdx =
11
sin ax +C (a ≠0) ⎰sin axdx =-cos ax +C (a ≠0) a a
22
csc xdx =-cot x +C sec ⎰⎰xdx =tan x +C
⎰sec x ⋅tan xdx =sec x +C ⎰csc x ⋅cot xdx =-csc x +C
⎰
dx -x
2
=arcsin x +C =-arccos x +C 1
dx
⎰1+x 2=arctan x +C =-arc cot x +C 1 例:
⎰cos 3x ⋅sin xdx =
11⎛11⎫()sin 4x -sin 2x dx =-cos 4x +cos 2x ⎪+C 2⎰2⎝42⎭
=-
1
(cos 4x -2cos 2x )+C 8
2. 换元积分法
应用换元积分法解题时先把复杂部分换成简单变量求解，结果要变量还原；不同的还解杰出的结果可能不一样，因为原函数不是唯一的.
例:
(1)⎰xe 2x dx =1⎰e 2x d (2x 2)令t =2x 21⎰e t dt =1e t +C =1e 2x
2
2
2
444
(2)⎰cos(3x +4) dx 令t =3x +4⎰cos t ⋅1=1sin t +C =1sin(3x +4) +C
333
3. 分部积分法
4
+C
分部积分法主要用于被积式中含有对数函数, 反三角函数, 幂函数, 三角函数和指数函数因子的情形, 按对反幂函数的优先顺序选择u 而使用分部积分法.
分部积分公式常简写作
udv =uv -vdu
⎰⎰
例:
(1)⎰x 2cos xdx =⎰x 2d sin x -2⎰x sin xdx =x 2sin x +2⎰xd cos x
22
=x sin x +2x cos x -2cos xdx =x sin x +2x cos x -2sin x +C
⎰
(2)⎰ln xdx =x ln x -⎰x ⋅1dx =x ln x -x +C
x
4. 有理函数的积分
P (x ) ⎰Q (x )
2
这种类型积分的处理, 一般来说, 是把真分式
P (x )P (x )(若是假分式, 可化为多项式与Q x Q x 真分式之和) 分解为若干简单的部分分式之和, 在分别出每一部分的积分.
例:
(1)⎰
x -2x -21⎫⎛2
=dx =-dx ⎰x -3x -4⎰⎝x -4x -3⎪x 2-7x +12⎭
2
(x -4)+C 1=ln x -4-ln x -3+C =ln 3x -3
⎛x 3-1x 31⎫dx 2
⎪ (2)⎰dx =⎰ +dx =x +x +1dx +⎰⎰ x -1x -1⎪x -1x -1⎝⎭
()
=
1312
x +x +x +ln x -1+C 32
5. 三角函数有理式的积⎰R (sin x , cos x )dx
此类积分, 一般通过万能代换t =tan
x
, 可把它化为有理函数的不定积分. 但并不一定2
简单, 所以在具体计算时, 应视被积函数的特点采用灵活简便的代换.
例:
2dt
dx x 2dt 1
令t =tan ==arctan 2t +C ⎰5-3cos x 1-t 2⎰1+2t 222⎰5-3
1+t 2
=
1x ⎫⎛arctan 2tan ⎪+C 22⎭⎝
6. 某些无理根式的不定积分.
无理根式的不定积分主要是通过换元把复杂的式子化为可以通过基本公式求积分的式子.
例:
(1)⎰
dx x 2+x
=⎰
dx 1⎫1⎛
x + ⎪-2⎭4⎝
2
令x +
11
=sec t ⎰sec tdt =ln sec t +tan t +C 22
=ln (2x +1)+2x +x +C t ≤
2
⎛
⎝
π⎫
⎪ 2⎭
x
(2)⎰e
x
dx 令t =x 2⎰e t ⋅tdt =2e t t -2e t +C =2x e
-2e
x
(t ≥0) +C ，
7. 综合积分法.
很多积分题目仅仅用一种方法是很难解出的, 有时候它需要多种方法的综合运用来达到
3
积分的目的.
例:
(1)⎰e sin x sin 2xdx =2⎰e sin x sin x cos xdx =2⎰e sin x sin xd sin x 令sin x =t 2⎰e t tdt
t t t t t sin x
-2e sin x +C =2tde =2te -e dt =2te -2e +C =2sin x ⋅e
⎰
(
⎰
)
此题应用了换元, 分部积分法.
1+x ⎫1⎛1+x ⎫212⎛1+x ⎫12
(2)⎰x ln ⎛ ⎪dx =⎰ln ⎪dx =x ln ⎪-⎰x
⎝1-x ⎭
2
⎝1-x ⎭
2
⎝1-x ⎭22
dx
1+x 1-x x 2⎛1+x ⎫x 2x 2⎛1+x ⎫dx
= ln -=ln +dx -⎪⎰ ⎪⎰22⎰2⎝1-x ⎭1-x 2⎝1-x ⎭1-x x 2⎛1+x ⎫1x -1 =ln +C ⎪+x +ln
2⎝1-x ⎭2x +1
此题应用了多次分部积分法.
总结:我所了解的不定积分多种方法已归纳完毕, 但不定积分的方法也不仅限于这几种, 我们只有灵活地运用多种方法才能将其顺利解出. 如果熟悉地掌握了不定积分的求解方法, 就会为以后的定积分, 反常积分的求解奠定了坚实的基础.
参考文献:
【M 】[1] 华东师范大学教研室. 数学分析上册/华东师范大学数学系编. 北京：高等教育出
版社. 2001（2006重印）
【M 】[2]华东师范大学教研室. 数学分析同步辅导及习题全解上册/曾捷主编. 徐州：中国
矿业大学出版社，2006.8
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