平抛运动中的三个结论及应用
结论1：将物体从竖直面内直角坐标系的原点以初速度当它到达B 点时，速度
水平抛出（不计空气阻力），
的反向延长线与x 轴的交点的横坐标等于B 点横坐标的一半。
证明：如图1所示，B 点是做平抛运动的物体轨迹上的一点。作B 点的切线，与x 轴的交点坐标为（向的分位移为
，0）。设物体的初速度为
，经过时间t ，竖直分速度为
，竖直方
，物体在B 点的速度与水平方向的夹角为α，则
由图1知由于
，故
，即
。
结论2：平抛运动轨迹上任一点的速度方向（用速度和x 轴的夹角表示）和位移方向（用位移和x 轴的夹角α表示）的关系为
。
证明：竖直平面内建立直角坐标系，以物体的抛出点为坐标原点O ，以初速度方向为Ox 轴正方向，竖直向下的方向为Oy 轴正方向。如图3所示，设物体抛出后ts 末时刻，物体的位置为P ，其坐标为x （ts 内的水平位移）和y （ts 内下落的高度），ts 末速度的水平分量和竖直分量分别为
、
位移与水平方向的夹角α由下式决定
，则
（1）
速度v 与水平方向的夹角β由下式决定
（2）
比较（1）（2）两式可知，平抛运动中速度和位移的方向并不一致，且
。
结论3：如图4所示，以大小不同的初速度，从倾角为θ、足够长的固定斜面上的A 点沿水平向左的方向抛出一物体（不计空气阻力），物体刚落到斜面上时的瞬时速度方向与斜面的夹角与初速度大小无关。
证明：如图5所示，设物体到B 点时的竖直速度为平方向的夹角为β，与斜面的夹角为α。
由几何关系知
，水平速度为
，其速度v 与水
由于θ为定值，所以β也为定值，由几何关系知速度与斜面的夹角
即速度方向与斜面的夹角与平抛物体的初速度无关，只与斜面的倾角有关。
也为定值，
类平抛运动的规律与平抛运动的规律一样。（1．类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点
在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝
F 合
. 这种运动，只是恒定合力F 合代替了平抛运动的重力，其研究方法跟平抛运动相同 ） m
二、结论的应用
1．求平抛运动的水平位移
例1．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出
00
的，飞镖A 与竖直墙壁成53，飞镖B 与竖直墙壁成37，两者相距为d 。假
设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。（sin37=0.6，
cos37=0.8）
2．求物体离开斜面的最大距离
例2．在倾角为37的斜面上，水平抛出一个物体，物体落到斜面上的一点，该点距抛
2
出点的距离为25m ，取g=10m/s。求：（１）这个物体的水平速度大小；（２）从抛出经过多长时间物体距斜面最远，最远是多少？
3．分析平抛运动物体落在斜面上的速度方向
例3．如图5所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，球均落在斜面上．当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面上的速度方向与斜面的夹角为α1；当当抛出的速度为v 2时，小球到达斜面上的速度方向与斜面的夹角为α2。分析α1、α2的关系。
对应练习
1（08年全国理综I14题）．如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上. 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足
A. tan φ=sin θ B. tan φ=cos φ
C. tan φ=tan θ D.tan φ=2tan θ
2(08北京理综24题) ．有两个完全相同的小滑块A 和B ，A 沿光滑水平面以速度v 0与静止在平面边缘O 点的B 发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B 运动的轨迹为OD 曲线，如图所示。为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B 平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD 曲线重合的位置，让A 沿该轨道无初速下滑（经分析，A 下滑过程中不会脱离轨道）。在OD 曲线上有一M 点，O 和M 两点连线与竖直方向的夹角为45°. 求A 通过M 点时的水平分速度和竖直分速度.
3（03上海物理21题）. 质量为
m 的飞机以水平速度v 0飞离 跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，
同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的 合力提供，不含升力）。今测得当飞机在水平方向的位移 x
为l 时，它的上升高度为h 。求：在高度h 处飞机的动能.
4（04年全国理综Ⅱ24题）
如图所示，在y ＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在y ＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外。一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后，经过x 轴上x ＝2h 处的 P 2点进入磁场。不计重力。
求粒子到达P 2时速度的大小和方向。
5. 如图所示，一个质量为的小球从倾角为30的斜面顶点A 水平抛出（不计空气阻力），正好落在B 点，这时B 点的动能为35J 。求小球的初动能为______。
6. （07年上海物理22）．如图所示，边长为L 的正方形区域abcd 内存在着匀强电场。电量为q 、动能为E k 的带电粒子从a 点沿ab 方向进入电场，不计重力。若粒子从c 点离开电场，求粒子离开电场时的动能；
7. 如图所示，真空室中电极K 发出的电子（初速不计）经过U 0=1000V的加速电场后，由小孔S 沿两水平金属板A 、B 间的中心线射入。A 、B 板长l=0．20m ，相距d=0．020m ，加在A 、B 两板间的电压u 随时间t 变化如图所示。设A 、B 间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒在左侧边缘与极板右端距离b=0．15m ，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T=0．20s ，筒的周长s=0．20m ，筒能接收到通过A 、B 板的全部电子。
（1）以t=0时（见图，此时u=0）电子打到圆筒记录纸上的点作为x 、y 坐标系的原点，并取y 轴竖直向上。试计算电子打到记录纸上的最高点的y 坐标和x 坐标。（不计重力作用）
平抛运动中的三个结论及应用
结论1：将物体从竖直面内直角坐标系的原点以初速度当它到达B 点时，速度
水平抛出（不计空气阻力），
的反向延长线与x 轴的交点的横坐标等于B 点横坐标的一半。
证明：如图1所示，B 点是做平抛运动的物体轨迹上的一点。作B 点的切线，与x 轴的交点坐标为（向的分位移为
，0）。设物体的初速度为
，经过时间t ，竖直分速度为
，竖直方
，物体在B 点的速度与水平方向的夹角为α，则
由图1知由于
，故
，即
。
结论2：平抛运动轨迹上任一点的速度方向（用速度和x 轴的夹角表示）和位移方向（用位移和x 轴的夹角α表示）的关系为
。
证明：竖直平面内建立直角坐标系，以物体的抛出点为坐标原点O ，以初速度方向为Ox 轴正方向，竖直向下的方向为Oy 轴正方向。如图3所示，设物体抛出后ts 末时刻，物体的位置为P ，其坐标为x （ts 内的水平位移）和y （ts 内下落的高度），ts 末速度的水平分量和竖直分量分别为
、
位移与水平方向的夹角α由下式决定
，则
（1）
速度v 与水平方向的夹角β由下式决定
（2）
比较（1）（2）两式可知，平抛运动中速度和位移的方向并不一致，且
。
结论3：如图4所示，以大小不同的初速度，从倾角为θ、足够长的固定斜面上的A 点沿水平向左的方向抛出一物体（不计空气阻力），物体刚落到斜面上时的瞬时速度方向与斜面的夹角与初速度大小无关。
证明：如图5所示，设物体到B 点时的竖直速度为平方向的夹角为β，与斜面的夹角为α。
由几何关系知
，水平速度为
，其速度v 与水
由于θ为定值，所以β也为定值，由几何关系知速度与斜面的夹角
即速度方向与斜面的夹角与平抛物体的初速度无关，只与斜面的倾角有关。
也为定值，
类平抛运动的规律与平抛运动的规律一样。（1．类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点
在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝
F 合
. 这种运动，只是恒定合力F 合代替了平抛运动的重力，其研究方法跟平抛运动相同 ） m
二、结论的应用
1．求平抛运动的水平位移
例1．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出
00
的，飞镖A 与竖直墙壁成53，飞镖B 与竖直墙壁成37，两者相距为d 。假
设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。（sin37=0.6，
cos37=0.8）
2．求物体离开斜面的最大距离
例2．在倾角为37的斜面上，水平抛出一个物体，物体落到斜面上的一点，该点距抛
2
出点的距离为25m ，取g=10m/s。求：（１）这个物体的水平速度大小；（２）从抛出经过多长时间物体距斜面最远，最远是多少？
3．分析平抛运动物体落在斜面上的速度方向
例3．如图5所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，球均落在斜面上．当抛出的速度为v 1时，小球到达斜面上的速度方向与斜面的夹角为α1；当当抛出的速度为v 2时，小球到达斜面上的速度方向与斜面的夹角为α2。分析α1、α2的关系。
对应练习
1（08年全国理综I14题）．如图1所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上. 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足
A. tan φ=sin θ B. tan φ=cos φ
C. tan φ=tan θ D.tan φ=2tan θ
2(08北京理综24题) ．有两个完全相同的小滑块A 和B ，A 沿光滑水平面以速度v 0与静止在平面边缘O 点的B 发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B 运动的轨迹为OD 曲线，如图所示。为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B 平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD 曲线重合的位置，让A 沿该轨道无初速下滑（经分析，A 下滑过程中不会脱离轨道）。在OD 曲线上有一M 点，O 和M 两点连线与竖直方向的夹角为45°. 求A 通过M 点时的水平分速度和竖直分速度.
3（03上海物理21题）. 质量为
m 的飞机以水平速度v 0飞离 跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，
同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其它力的 合力提供，不含升力）。今测得当飞机在水平方向的位移 x
为l 时，它的上升高度为h 。求：在高度h 处飞机的动能.
4（04年全国理综Ⅱ24题）
如图所示，在y ＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y 轴负方向；在y ＜0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy 平面（纸面）向外。一电量为q 、质量为m 的带正电的运动粒子，经过y 轴上y ＝h 处的点P 1时速率为v 0，方向沿x 轴正方向；然后，经过x 轴上x ＝2h 处的 P 2点进入磁场。不计重力。
求粒子到达P 2时速度的大小和方向。
5. 如图所示，一个质量为的小球从倾角为30的斜面顶点A 水平抛出（不计空气阻力），正好落在B 点，这时B 点的动能为35J 。求小球的初动能为______。
6. （07年上海物理22）．如图所示，边长为L 的正方形区域abcd 内存在着匀强电场。电量为q 、动能为E k 的带电粒子从a 点沿ab 方向进入电场，不计重力。若粒子从c 点离开电场，求粒子离开电场时的动能；
7. 如图所示，真空室中电极K 发出的电子（初速不计）经过U 0=1000V的加速电场后，由小孔S 沿两水平金属板A 、B 间的中心线射入。A 、B 板长l=0．20m ，相距d=0．020m ，加在A 、B 两板间的电压u 随时间t 变化如图所示。设A 、B 间的电场可看作是均匀的，且两板外无电场。在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的。两板右侧放一记录圆筒，筒在左侧边缘与极板右端距离b=0．15m ，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T=0．20s ，筒的周长s=0．20m ，筒能接收到通过A 、B 板的全部电子。
（1）以t=0时（见图，此时u=0）电子打到圆筒记录纸上的点作为x 、y 坐标系的原点，并取y 轴竖直向上。试计算电子打到记录纸上的最高点的y 坐标和x 坐标。（不计重力作用）