函数的奇偶性
I ．题源探究·黄金母题
例1 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) =x (1+x ) . 画出函数f (x ) 的图象，并求出函数的解析式. 【答案】
【解析】函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则对∀x ∈R 都有：f (-x ) =-f (x ) ，当x
-x >0，则
，那么 f (x ) =-f (-x ) =-[-x (1-x )]=-x （x -1）
⎧x (1+x ), x ≥0
；函数图象如下： f (x ) =⎨
⎩-x (x -1) ，x
II ．考场精彩·真题回放
例1【2016年高考四川理数】已知函数f (x ) 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x
5f (-) +f (1) x
f (x ) =44＜1时， ，则精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修一第39页A 组第6题
【母题评析】本题借助函数的奇偶性，利用函数的奇偶性的定义，求函数的解析式，并利用奇函数、偶函数图象的性质，画出函数的图象. 借助函数的奇偶性以及函数图象特征解题是高考函数部分重点考察内容.
【思路方法】借助函数的奇、偶性的定义既可以求值，也可以求函数的解析式，而画函数图像是，只需画出y 轴右侧的图象，按照函数图象的对称要求，再画出y 轴左侧的图象. 另外画图时取几个特殊点，以数助形，确保准确无误！
【命题意图】本类题通常利用函数的奇偶性、周期性求值.
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往借助函数的奇偶性、单调性、周期性等解题，常考查求值、比较大小、解不等式等. 【答案】-2
【解析】因为函数f (x ) 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以
f (-1) =-f (1), f (-1) =f (-1+2) =f (1) ，所以-f (1) =f (1) ，即f (1) =0 55111
f (-) +f (1) =-2f (-) =f (--2) =f (-) =-f () =-42=-2
42222，所以.
5
f (-)
2和f (1) ，【点评】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把
利用奇偶性与周期性化为(0, 1) 上的函数值即可．
【难点中心】本题是考查利用函数周期性和奇偶性求函数值，是基础题. 利用函数的周期性、奇偶性求函数值，需要先借助周期性调整自变量的值，再利用奇偶性调整自变量的符号，最终利用已知函数的解析式求值. 而借助周期性、奇偶性、单调性进行比较大小或解不等式时，还要利用函数的单调性.
1
III ．理论基础·解题原理
考点一 函数的奇偶性的基本概念
1．如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么, 函数f (x ) 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称.
2．如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，那么, 函数f (x ) 是奇函数, 奇函数的图象关于原点对称.
考点二 对函数的奇偶性的理解
(1)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件
(2)判断函数f (x ) 是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x ) ＝－f (x ) ，而不能说存在x 0使f (－x 0) ＝－f (x 0) ，对于偶函数的判断以此类推．
考点三 函数的奇偶性的有关结论
（1）在奇、偶函数的定义中，f (-x ) =-f (x ), f (-x ) =f (x ) 是定义域上的恒等式，要注意利用反向使用, 如：f (x ) =-f (-x ), f (x ) =f (-x ) .
（2）奇函数图象关于原点对称，奇函数f (x ) 若在x =0处有意义，则f (0) =0；奇函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则其和为零；
（3）偶函数图象关于y 轴对称，偶函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反.
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比较大小、解不等式有联系.
【技能方法】
解决此类问题一般要对函数的定义域进行研究，以便判断函数的奇偶性，有时还要研究函数的周期性和单调性，以便求值或比较大小及解不等式.
【易错指导】
当一个函数为偶函数时，解不等式问题务必要注意数形结合，勿忘“绝对值”.
V ．举一反三·触类旁通 考向1 函数的奇偶性的判断
【例1】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的函数为( )． A. y =
1
B.y =lg x C.y =cos x D.y =x 2 x
【答案】
C
【例2】下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ） A. y =sin x , x ∈R B. y =ln x , x ∈R , 且x ≠0 C. y =e x -e -x , x ∈R D. y =x 3+1, x ∈R 【答案】
C.
考向2 函数的奇偶性与求函数值
【例3】【2016高考山东理数】已知函数f (x ) 的定义域为R . 当x
3
-1≤x ≤1 时，f (-x ) =-f (x ) ；当x >
（A ）−2 【答案】D 【解析】当x >
（B ）−1
111
时，f (x +) =f (x -) . 则f (6)= （ ） 222
（C ）0
（D ）2
1111
时，f (x +) =f (x -) , 所以当x >时，函数f (x ) 是周期为1 的周期2222
3
函数，所以f (6)=f (1)，又函数f (x ) 是奇函数，所以f (1)=-f (-1) =-⎡(-1)-1⎤=2，
⎣⎦
故选D. 学科网
【点评】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容. 本题具备一定难度. 解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
【例4】【2016高考江苏卷】设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1) 上，
⎧x +a , -1≤x
59⎪
其中a ∈R . 若f (-) =f () ，则f (5a ) 的值是 ▲ . f (x ) =⎨2
22⎪5-x ,0≤x
⎩
2
【答案】-
5
51911123
【解析】f (-) =f (-) =f () =f () ⇒-+a =-⇒a =，
22222255
32
因此f (5a ) =f (3)=f (1)=f (-1) =-1+=-
55
【点评】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上. 解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
【例5】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=3+m （m 为常数），
x
则f (-log 35)的值为( ) A. 4
B. -4
C.6
D. -6
【答案】B
【解析】由f (x ) 是定义在R 上的奇函数得f (0)=1+m =0⇒m =-1，即f (x )=3-1.
x
log 35>log 31=0, ∴f (-log 35) =-f (log35) =-(3log 35-1) =-4, 故B 正确.
【点评】先利用奇函数定义求出待定系数，在根据 f (-x ) =-f (x ) 转化调整自变量后借助解析式求值.
考向3 函数的奇偶性与解不等式
【例6】【2016高考天津理数】已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调
递增. 若实数a
满足f (2【答案】(, )
a -1
) >f (，则a 的取值范围是______.
13
22
要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 考向4 利用函数的奇偶性与单调性研究函数的图象
【例7】【2016高考新课标1卷】函数y =2x -e 在[-2,2]的图像大致为
2
x
（A ）（B ）
（C ）
【答案】D
（D ）
【解析】函数f (x )=2x 2–e |x |在[–2,2]上是偶函数, 其图象关于y 轴对称, 因为
f (2)=8-e 2,0
【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中, 也可以说是高考的热点问题, 这类题目一般比较灵活, 对解题能力要求较高, 故也是高考中的难点, 解决这类问题的方法一般是利用间接法, 即由函数性质排除不符合条件的选项. 【例8】函数f (x )=
sin x
的图象大致为( )
x 2+1
【答案】
A
考向5 函数的奇偶性与简易逻辑
【例9】给出下列两个命题：命题p 1：“a =0，b ≠0”是“函数y =x 2+ax +b 为偶函数”的必要不充分条件；命题p 2：函数y =ln 命题的是（ ）
A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨⌝p 2 C ．p 1∨p 2 D ．p 1∧⌝p 2 【答案】C
【解析】由题意可知，命题p 1是假命题，命题p 2是真命题，所以选项C 正确. 【点评】本题考查函数奇偶性、逻辑联结词与命题，命题p 2：函数y =ln
1-x
是奇函数，则下列命题是真1+x
1-x
是奇函数为真1+x
2x -11-x
命题，函数y =ln 为高一教材中的几个常见的奇函数，如 y =x ，
1+x 2+1
y =lg(x +x 2+1) 等.
【例10】设函数f (x ) =3x +b cos x ，x ∈R ，则“b =0”是“函数f (x ) 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】C
考向6 函数的奇偶性与函数的零点
【例11】已知f (x ) 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x +1) +f (λ-x ) 只有
一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．
2
1173 B． C．- D．- 4888
【答案】C
2
【解析】令y =f (2x +1) +f (λ-x ) =0，且f (x ) 是奇函数，则
2
又因为f (x ) 是R 上的单调函数，所以2x +1=x -λ只f (2x 2+1) =-f (λ-x ) =f (x -λ) ，
2
有一个零点，即2x -x +1-λ=0只有一个零点，则∆=1-8(1-λ) =0，解得λ=-
7，故8
选C ．
【点评】利用函数的奇函性的定义，可以把 -f (x ) 转化为f (-x ) ，可通过函数值的关系，找
出自变量间的关系，进而研究方程问题或不等式问题. 【例12】定义在R 上的函数f (x )对任意x 1, x 2(x 1≠x 2)都有
f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2
y =f (x -1)的图象关于（1,0）成中心对称，若s , t 满足不等式f (s 2-2s )≤-f (2t -t 2)，
则当1≤s ≤4时，
t -2s
的取值范围是（ ） s +t
A ．⎢-3, -
⎡⎣1⎫1⎤1⎫1⎤⎡⎡⎡
-3, --5, --5, - B． C． D． ⎪⎪⎢⎥⎢⎢⎥2⎭222⎣⎦⎣⎭⎣⎦
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函数的奇偶性
I ．题源探究·黄金母题
例1 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x ) =x (1+x ) . 画出函数f (x ) 的图象，并求出函数的解析式. 【答案】
【解析】函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，则对∀x ∈R 都有：f (-x ) =-f (x ) ，当x
-x >0，则
，那么 f (x ) =-f (-x ) =-[-x (1-x )]=-x （x -1）
⎧x (1+x ), x ≥0
；函数图象如下： f (x ) =⎨
⎩-x (x -1) ，x
II ．考场精彩·真题回放
例1【2016年高考四川理数】已知函数f (x ) 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x
5f (-) +f (1) x
f (x ) =44＜1时， ，则精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修一第39页A 组第6题
【母题评析】本题借助函数的奇偶性，利用函数的奇偶性的定义，求函数的解析式，并利用奇函数、偶函数图象的性质，画出函数的图象. 借助函数的奇偶性以及函数图象特征解题是高考函数部分重点考察内容.
【思路方法】借助函数的奇、偶性的定义既可以求值，也可以求函数的解析式，而画函数图像是，只需画出y 轴右侧的图象，按照函数图象的对称要求，再画出y 轴左侧的图象. 另外画图时取几个特殊点，以数助形，确保准确无误！
【命题意图】本类题通常利用函数的奇偶性、周期性求值.
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往借助函数的奇偶性、单调性、周期性等解题，常考查求值、比较大小、解不等式等. 【答案】-2
【解析】因为函数f (x ) 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以
f (-1) =-f (1), f (-1) =f (-1+2) =f (1) ，所以-f (1) =f (1) ，即f (1) =0 55111
f (-) +f (1) =-2f (-) =f (--2) =f (-) =-f () =-42=-2
42222，所以.
5
f (-)
2和f (1) ，【点评】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把
利用奇偶性与周期性化为(0, 1) 上的函数值即可．
【难点中心】本题是考查利用函数周期性和奇偶性求函数值，是基础题. 利用函数的周期性、奇偶性求函数值，需要先借助周期性调整自变量的值，再利用奇偶性调整自变量的符号，最终利用已知函数的解析式求值. 而借助周期性、奇偶性、单调性进行比较大小或解不等式时，还要利用函数的单调性.
1
III ．理论基础·解题原理
考点一 函数的奇偶性的基本概念
1．如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =f (x ) ，那么, 函数f (x ) 是偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称.
2．如果对于函数f (x ) 的定义域内任意一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，那么, 函数f (x ) 是奇函数, 奇函数的图象关于原点对称.
考点二 对函数的奇偶性的理解
(1)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件
(2)判断函数f (x ) 是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x ) ＝－f (x ) ，而不能说存在x 0使f (－x 0) ＝－f (x 0) ，对于偶函数的判断以此类推．
考点三 函数的奇偶性的有关结论
（1）在奇、偶函数的定义中，f (-x ) =-f (x ), f (-x ) =f (x ) 是定义域上的恒等式，要注意利用反向使用, 如：f (x ) =-f (-x ), f (x ) =f (-x ) .
（2）奇函数图象关于原点对称，奇函数f (x ) 若在x =0处有意义，则f (0) =0；奇函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则其和为零；
（3）偶函数图象关于y 轴对称，偶函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反.
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比较大小、解不等式有联系.
【技能方法】
解决此类问题一般要对函数的定义域进行研究，以便判断函数的奇偶性，有时还要研究函数的周期性和单调性，以便求值或比较大小及解不等式.
【易错指导】
当一个函数为偶函数时，解不等式问题务必要注意数形结合，勿忘“绝对值”.
V ．举一反三·触类旁通 考向1 函数的奇偶性的判断
【例1】下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的函数为( )． A. y =
1
B.y =lg x C.y =cos x D.y =x 2 x
【答案】
C
【例2】下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ） A. y =sin x , x ∈R B. y =ln x , x ∈R , 且x ≠0 C. y =e x -e -x , x ∈R D. y =x 3+1, x ∈R 【答案】
C.
考向2 函数的奇偶性与求函数值
【例3】【2016高考山东理数】已知函数f (x ) 的定义域为R . 当x
3
-1≤x ≤1 时，f (-x ) =-f (x ) ；当x >
（A ）−2 【答案】D 【解析】当x >
（B ）−1
111
时，f (x +) =f (x -) . 则f (6)= （ ） 222
（C ）0
（D ）2
1111
时，f (x +) =f (x -) , 所以当x >时，函数f (x ) 是周期为1 的周期2222
3
函数，所以f (6)=f (1)，又函数f (x ) 是奇函数，所以f (1)=-f (-1) =-⎡(-1)-1⎤=2，
⎣⎦
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【点评】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容. 本题具备一定难度. 解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
【例4】【2016高考江苏卷】设f (x ) 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1) 上，
⎧x +a , -1≤x
59⎪
其中a ∈R . 若f (-) =f () ，则f (5a ) 的值是 ▲ . f (x ) =⎨2
22⎪5-x ,0≤x
⎩
2
【答案】-
5
51911123
【解析】f (-) =f (-) =f () =f () ⇒-+a =-⇒a =，
22222255
32
因此f (5a ) =f (3)=f (1)=f (-1) =-1+=-
55
【点评】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上. 解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
【例5】已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=3+m （m 为常数），
x
则f (-log 35)的值为( ) A. 4
B. -4
C.6
D. -6
【答案】B
【解析】由f (x ) 是定义在R 上的奇函数得f (0)=1+m =0⇒m =-1，即f (x )=3-1.
x
log 35>log 31=0, ∴f (-log 35) =-f (log35) =-(3log 35-1) =-4, 故B 正确.
【点评】先利用奇函数定义求出待定系数，在根据 f (-x ) =-f (x ) 转化调整自变量后借助解析式求值.
考向3 函数的奇偶性与解不等式
【例6】【2016高考天津理数】已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调
递增. 若实数a
满足f (2【答案】(, )
a -1
) >f (，则a 的取值范围是______.
13
22
要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 考向4 利用函数的奇偶性与单调性研究函数的图象
【例7】【2016高考新课标1卷】函数y =2x -e 在[-2,2]的图像大致为
2
x
（A ）（B ）
（C ）
【答案】D
（D ）
【解析】函数f (x )=2x 2–e |x |在[–2,2]上是偶函数, 其图象关于y 轴对称, 因为
f (2)=8-e 2,0
【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中, 也可以说是高考的热点问题, 这类题目一般比较灵活, 对解题能力要求较高, 故也是高考中的难点, 解决这类问题的方法一般是利用间接法, 即由函数性质排除不符合条件的选项. 【例8】函数f (x )=
sin x
的图象大致为( )
x 2+1
【答案】
A
考向5 函数的奇偶性与简易逻辑
【例9】给出下列两个命题：命题p 1：“a =0，b ≠0”是“函数y =x 2+ax +b 为偶函数”的必要不充分条件；命题p 2：函数y =ln 命题的是（ ）
A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨⌝p 2 C ．p 1∨p 2 D ．p 1∧⌝p 2 【答案】C
【解析】由题意可知，命题p 1是假命题，命题p 2是真命题，所以选项C 正确. 【点评】本题考查函数奇偶性、逻辑联结词与命题，命题p 2：函数y =ln
1-x
是奇函数，则下列命题是真1+x
1-x
是奇函数为真1+x
2x -11-x
命题，函数y =ln 为高一教材中的几个常见的奇函数，如 y =x ，
1+x 2+1
y =lg(x +x 2+1) 等.
【例10】设函数f (x ) =3x +b cos x ，x ∈R ，则“b =0”是“函数f (x ) 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】C
考向6 函数的奇偶性与函数的零点
【例11】已知f (x ) 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x +1) +f (λ-x ) 只有
一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．
2
1173 B． C．- D．- 4888
【答案】C
2
【解析】令y =f (2x +1) +f (λ-x ) =0，且f (x ) 是奇函数，则
2
又因为f (x ) 是R 上的单调函数，所以2x +1=x -λ只f (2x 2+1) =-f (λ-x ) =f (x -λ) ，
2
有一个零点，即2x -x +1-λ=0只有一个零点，则∆=1-8(1-λ) =0，解得λ=-
7，故8
选C ．
【点评】利用函数的奇函性的定义，可以把 -f (x ) 转化为f (-x ) ，可通过函数值的关系，找
出自变量间的关系，进而研究方程问题或不等式问题. 【例12】定义在R 上的函数f (x )对任意x 1, x 2(x 1≠x 2)都有
f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2
y =f (x -1)的图象关于（1,0）成中心对称，若s , t 满足不等式f (s 2-2s )≤-f (2t -t 2)，
则当1≤s ≤4时，
t -2s
的取值范围是（ ） s +t
A ．⎢-3, -
⎡⎣1⎫1⎤1⎫1⎤⎡⎡⎡
-3, --5, --5, - B． C． D． ⎪⎪⎢⎥⎢⎢⎥2⎭222⎣⎦⎣⎭⎣⎦
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