揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试
数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：DACAB BACAD
解析：9．由图2知，输出的s=A2+A3+A4+A5，由图1知A1+A6=(0.12+0.06)⨯100=18,故s=100-18=82，选A.
10．由f(x+1)、f(x-1)都是奇函数得f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，从而有f(x)=-f(2-x)，f(x)=-f(-x-2)，故有f(2-x)=f(-x-2)⇒f(x+2)=f(x-2) ⇒f(x+4)=f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，因f(x+1)为奇函数，所以f(x+5)也是奇函数.选D.
二、填空题：11.{x|x
解析：13.
如图，满足y≥
易得其面积为2-
三、解答题：
16.解：（1）由余弦定理得：b=a+c-2accosB,
∵ac=5--------------------------①
∴a+c=26---------------------②--------------4分
由①②结合a>c，解得a=5,c=1.-----------------------------------------------7分 222224-ππ11π)；15. 64 ；
14.)或466P(x,y)落在图中阴影部分， 14-π4-ππ=，故所求概率P=. 224
4π3>0 ∴0
∴sinB==--------------------8分 525
bccsinB=由正弦定理知，∴sinC=，------------------------------9分 =sinBsinCb
10（2） ∵cosB=
∵a>c，∴0
π2, 揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明第1页（共6页）
分 ∴cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC------------------------------------------11分
∴cosC==43.---------------------------------------------------13分 =+
=55120⨯5=40（件）17.解：（1）乙厂的产量为；--------------------------------------4分 15
1（2）因y=⨯(75+78+77+71+79)=76，--------------------------------------6分 5
所以所求的标准差：
s=
=---------------------------------------8分 （3）因从乙厂抽取的5件产品中，只有编号为2、5的产品为优等品， 2⨯40=16.-------------------- ------------12分 5P
18.解：(1)证明：连结BD交AC于点O，连接EO. --------1分 故可估计乙厂生产的优等品的数量为：
∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点----------------------2分 E又E为PD的中点，∴EO∥PB. -------------------------3分
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC．-------------------------------------4分 （2）解法一：∵PA⊥平面ABCD且PA⊂面PAD，
∴面PAD⊥面ABCD，-------------------------------6分
又面PAD⋂面ABCD=AD， B
CD⊥AD ∴CD⊥面PAD---------------------------------------------------8分 ∵PB=PD，PA=PA，∴Rt△PAD ≅Rt△PAB
∴
分
D∵S∆PAE=1--------------------------------------------------------11分 S∆PAD=2111S∆PAE⋅CD== -------------------------------13分 334
11PA=----------------------6分 22∴VE-PAC=VC-PAE=
【解法二：过点E作EF∥PA交于AD于点F，则EF=
∵PA⊥平面ACD ∴EF⊥平面ACD,-----------------------------------------7分 ∵PB=PD，PA=PA，∴Rt△PAD ≅Rt△PAB
∴
分
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13⨯2=--------------------------------------------------------10分 22
11∴VE-PAC=VP-ACD-VE-ACD=S∆ACD⋅PA-S∆ACD⋅EF 33
131311 =⨯⨯1-⨯⨯= ---------------------------------------------13分】 323224
1319.解：（1）由f(1)=1得a+b=3，由f()=得a+2b=4 ，24∴S∆ACD=
解得a=2,b=1 ----------------------------------------------------------------3分 ，
（2）有（1）知f(x)=
∴xn+1=f(xn)=3x， 2x+13xn---------------------------------------------------------4分 2xn+1
2xn+11-1-1x3xn1-xn1===，-------------------------------------------6分 ∵n+1
113(1-xn)3-1-1xnxn
∴数列1111-1}是以-1=-为首项，公比为的等比数列，------------------------7分 3xnx13
3n111n-1∴.-----------------------------------------------9分 -1=-⨯()，xn=n3-1xn33
3n
（3）证明：由xn=n得 3-1
3n1(3n+1-1)-(3n-1)111an=n=⋅=(-)，-----------------12分 (3-1)(3n+1-1)2(3n-1)(3n+1-1)23n-13n+1-1
∴a1+a2+11111(1-2+2-3+23-13-13-13-1
1111=⋅(-n+1)
∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分
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y2x2
20.解:（1）解法一： 依题意知椭圆C的焦点在y轴，设其方程为2+2=1.(a>b>0)-1分
ab
则：2a==8
∴ a=4 ----------------------------------------------------------------------3分
又c=b=a-c=8， 222
y2x2
+=1.------------------------------------------------4分 ∴所求椭圆C的方程为168
y2x2
[解法二：依题意知椭圆C的焦点在y轴，设其方程为2+2=1.(a>b>0)------------1分
ab
∵点P在椭圆上，∴
2272+=1，------------------------------------------① 22ab又a-b=8，-------------------------------------------------------------------② 由①②结合a>b解得a2=16,b2=8，---------------------------------------------3分
y2x2
+=1.-----------------------------------------------4分] ∴所求椭圆C的方程为168
（2）设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(-
4,t)，其中x0≠±----------------------5分 ∵OA⋅OB=0， ∴-4x0+ty0=0，
∵y0≠0 ∴t=4x0------------------------------------------------------------6分 y0
22又y0+2x0=16
∴|AB|2=(x0+4)2+(y0-t)2=(x0+4)+(y0-24x02)------------------------------8分 y0
2216x016x022 =x+8x0+16+y-8x0+2 =x0+16+y0+2 y0y02020
2216-y08(16-y0)2 = +16+y0+22y0
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2y08⨯162 =11分
+2+16 (0
2y08⨯162+2≥=16，当且仅当y0∵=16时等号成立，-------------------13分 2y0∴|AB|2≥32,
∴|AB
|的最小值为--------------------------------------------------------14分 其它解法请参照给分。
，-1)在曲线y=f(x)上，∴-a=-1，解得a＝1．-----------------1分 21.解：（1）∵点P(1
1-1，∴切线的斜率为0，∴所求的切线方程为y=-1．--------------------2分 x
11-ax（2）∵f'(x)=-a=．---------------------------------------------------3分 xx
111①若≥e，即0
1∴函数f (x)在[,e]上单调递增，则f(x)max=f(e)=1-ea．-------------------------4分 e
111111②若1∴f(x)max=f()=-lna-1．---------------------------------------------------5分 a
1111③若≤，即a≥e，则当x∈[,e] 时，有f'(x)≤0，函数f (x)在[,e]上单调递减， aeee
1a则f(x)max=f()=-1-．-----------------------------------------------------6分 ee
1综上得，当0
1当
a当a≥e时，f(x)max=-1-．---------------------------------------------------7分 e∵f'(x)=
（3）证明：f'(x1+x222，----------------------8分 )2x1+x2x1+x2
又∵f(x1)=f(x2)=0，∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，-------------------------9分
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两式相减可得lnx1-lnx2=a(x1-x2)．∴a=
不妨设x1>x2>0， ∴要证f'(lnx1-lnx2---------------------------10分 x1-x2x1+x2lnx1-lnx22)2x1-x2x1+x2
即证lnx12(x1-x2)．---------------------------------------------------------11分 >x2x1+x2
令x1=t，则t＞1， x2
2(t-1)．-------------------------------------------------------12分 t+1于是上式即lnt>
2(t-1)14(t-1)2
(t>1)，则g'(t)=-令g(t)=lnt-=>0．------------------13分 t+1t(t+1)2t(t+1)2
故函数g(t)在（1，＋∞）上是增函数，∴g(t)>g(1)=0， 即lnt>2(t-1)成立． t+1
∴原不等式成立． --------------------------------------------------------------14分
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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：DACAB BACAD
解析：9．由图2知，输出的s=A2+A3+A4+A5，由图1知A1+A6=(0.12+0.06)⨯100=18,故s=100-18=82，选A.
10．由f(x+1)、f(x-1)都是奇函数得f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，从而有f(x)=-f(2-x)，f(x)=-f(-x-2)，故有f(2-x)=f(-x-2)⇒f(x+2)=f(x-2) ⇒f(x+4)=f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，因f(x+1)为奇函数，所以f(x+5)也是奇函数.选D.
二、填空题：11.{x|x
解析：13.
如图，满足y≥
易得其面积为2-
三、解答题：
16.解：（1）由余弦定理得：b=a+c-2accosB,
∵ac=5--------------------------①
∴a+c=26---------------------②--------------4分
由①②结合a>c，解得a=5,c=1.-----------------------------------------------7分 222224-ππ11π)；15. 64 ；
14.)或466P(x,y)落在图中阴影部分， 14-π4-ππ=，故所求概率P=. 224
4π3>0 ∴0
∴sinB==--------------------8分 525
bccsinB=由正弦定理知，∴sinC=，------------------------------9分 =sinBsinCb
10（2） ∵cosB=
∵a>c，∴0
π2, 揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明第1页（共6页）
分 ∴cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC------------------------------------------11分
∴cosC==43.---------------------------------------------------13分 =+
=55120⨯5=40（件）17.解：（1）乙厂的产量为；--------------------------------------4分 15
1（2）因y=⨯(75+78+77+71+79)=76，--------------------------------------6分 5
所以所求的标准差：
s=
=---------------------------------------8分 （3）因从乙厂抽取的5件产品中，只有编号为2、5的产品为优等品， 2⨯40=16.-------------------- ------------12分 5P
18.解：(1)证明：连结BD交AC于点O，连接EO. --------1分 故可估计乙厂生产的优等品的数量为：
∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点----------------------2分 E又E为PD的中点，∴EO∥PB. -------------------------3分
∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC．-------------------------------------4分 （2）解法一：∵PA⊥平面ABCD且PA⊂面PAD，
∴面PAD⊥面ABCD，-------------------------------6分
又面PAD⋂面ABCD=AD， B
CD⊥AD ∴CD⊥面PAD---------------------------------------------------8分 ∵PB=PD，PA=PA，∴Rt△PAD ≅Rt△PAB
∴
分
D∵S∆PAE=1--------------------------------------------------------11分 S∆PAD=2111S∆PAE⋅CD== -------------------------------13分 334
11PA=----------------------6分 22∴VE-PAC=VC-PAE=
【解法二：过点E作EF∥PA交于AD于点F，则EF=
∵PA⊥平面ACD ∴EF⊥平面ACD,-----------------------------------------7分 ∵PB=PD，PA=PA，∴Rt△PAD ≅Rt△PAB
∴
分
揭阳市2014-2015学年度高中三年级学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明第2页（共6页）
13⨯2=--------------------------------------------------------10分 22
11∴VE-PAC=VP-ACD-VE-ACD=S∆ACD⋅PA-S∆ACD⋅EF 33
131311 =⨯⨯1-⨯⨯= ---------------------------------------------13分】 323224
1319.解：（1）由f(1)=1得a+b=3，由f()=得a+2b=4 ，24∴S∆ACD=
解得a=2,b=1 ----------------------------------------------------------------3分 ，
（2）有（1）知f(x)=
∴xn+1=f(xn)=3x， 2x+13xn---------------------------------------------------------4分 2xn+1
2xn+11-1-1x3xn1-xn1===，-------------------------------------------6分 ∵n+1
113(1-xn)3-1-1xnxn
∴数列1111-1}是以-1=-为首项，公比为的等比数列，------------------------7分 3xnx13
3n111n-1∴.-----------------------------------------------9分 -1=-⨯()，xn=n3-1xn33
3n
（3）证明：由xn=n得 3-1
3n1(3n+1-1)-(3n-1)111an=n=⋅=(-)，-----------------12分 (3-1)(3n+1-1)2(3n-1)(3n+1-1)23n-13n+1-1
∴a1+a2+11111(1-2+2-3+23-13-13-13-1
1111=⋅(-n+1)
∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分
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y2x2
20.解:（1）解法一： 依题意知椭圆C的焦点在y轴，设其方程为2+2=1.(a>b>0)-1分
ab
则：2a==8
∴ a=4 ----------------------------------------------------------------------3分
又c=b=a-c=8， 222
y2x2
+=1.------------------------------------------------4分 ∴所求椭圆C的方程为168
y2x2
[解法二：依题意知椭圆C的焦点在y轴，设其方程为2+2=1.(a>b>0)------------1分
ab
∵点P在椭圆上，∴
2272+=1，------------------------------------------① 22ab又a-b=8，-------------------------------------------------------------------② 由①②结合a>b解得a2=16,b2=8，---------------------------------------------3分
y2x2
+=1.-----------------------------------------------4分] ∴所求椭圆C的方程为168
（2）设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(-
4,t)，其中x0≠±----------------------5分 ∵OA⋅OB=0， ∴-4x0+ty0=0，
∵y0≠0 ∴t=4x0------------------------------------------------------------6分 y0
22又y0+2x0=16
∴|AB|2=(x0+4)2+(y0-t)2=(x0+4)+(y0-24x02)------------------------------8分 y0
2216x016x022 =x+8x0+16+y-8x0+2 =x0+16+y0+2 y0y02020
2216-y08(16-y0)2 = +16+y0+22y0
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2y08⨯162 =11分
+2+16 (0
2y08⨯162+2≥=16，当且仅当y0∵=16时等号成立，-------------------13分 2y0∴|AB|2≥32,
∴|AB
|的最小值为--------------------------------------------------------14分 其它解法请参照给分。
，-1)在曲线y=f(x)上，∴-a=-1，解得a＝1．-----------------1分 21.解：（1）∵点P(1
1-1，∴切线的斜率为0，∴所求的切线方程为y=-1．--------------------2分 x
11-ax（2）∵f'(x)=-a=．---------------------------------------------------3分 xx
111①若≥e，即0
1∴函数f (x)在[,e]上单调递增，则f(x)max=f(e)=1-ea．-------------------------4分 e
111111②若1∴f(x)max=f()=-lna-1．---------------------------------------------------5分 a
1111③若≤，即a≥e，则当x∈[,e] 时，有f'(x)≤0，函数f (x)在[,e]上单调递减， aeee
1a则f(x)max=f()=-1-．-----------------------------------------------------6分 ee
1综上得，当0
1当
a当a≥e时，f(x)max=-1-．---------------------------------------------------7分 e∵f'(x)=
（3）证明：f'(x1+x222，----------------------8分 )2x1+x2x1+x2
又∵f(x1)=f(x2)=0，∴lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，-------------------------9分
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两式相减可得lnx1-lnx2=a(x1-x2)．∴a=
不妨设x1>x2>0， ∴要证f'(lnx1-lnx2---------------------------10分 x1-x2x1+x2lnx1-lnx22)2x1-x2x1+x2
即证lnx12(x1-x2)．---------------------------------------------------------11分 >x2x1+x2
令x1=t，则t＞1， x2
2(t-1)．-------------------------------------------------------12分 t+1于是上式即lnt>
2(t-1)14(t-1)2
(t>1)，则g'(t)=-令g(t)=lnt-=>0．------------------13分 t+1t(t+1)2t(t+1)2
故函数g(t)在（1，＋∞）上是增函数，∴g(t)>g(1)=0， 即lnt>2(t-1)成立． t+1
∴原不等式成立． --------------------------------------------------------------14分
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