18.勾股定理教材分析

第十八章勾股定理教材分析 实验中学

一、课标要求：

1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。

2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力

3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会它的文化价值。

二、中考要求：

1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长（A级）

2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。（B级） 3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立（A级）

三、本章结构图：

互

逆定理

四、课时安排：

本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时

五、本章教材在学习中地位：

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2b2c2），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想。

由于本章在二次根式之前，学生对根式的运算极不熟悉，故本章的运算结果如何保留，如何有效地减少计算错，需要老师们注意。

六、本章教学特点：

1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程

从勾股定理证明的探索，到教科书让学生利用勾股定理探究三个问题：探究1是木板进门的问题，探究2是梯子滑动问题，探究3

2、注意体现由抽象到具体的思维过程

本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程。在勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2。把命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念。

3、注重介绍数学文化

在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。

 勾股定理的名称

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理”的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》一书中，记载有商高与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理 ”。后来决定不用人名，而称为 “勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

七、各节特点： §1、探索勾股定理 1、勾股定理

（1） 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2） 表示方法：如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2b2c2 （3） 起源与作用：

不仅对中国，它的启示和影响对世界许多重要的科学发现也都很重要。如在西方无理数的发现就应直接归功于勾股定理的发现。在其它文明古国如古代印度、古代巴比伦、古代埃及等的数学发展史上这一定理也都发挥过不可估量的作用。毫不夸张地说，它是世界各大文明古国最早认识也是最广泛使用的数学定理之一，是人类最伟大的十大科学发现之一。天文学家开普勒亦把它称为几何定理中的“黄金”，应该说勾股定理实在是受之无愧的！因此勾股定理有千年第一定理的美誉。

因为：

① 勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理； ② 勾股定理导致无理数的发现，引发数学的第一次危机；

③ 勾股定理开始把数学由计算与测量转化为证明与推理的科学；

④ 勾股定理的公式是第一个不定方程，它一方面引出各种各样的不定方程；另一方面也为不定方程解题树立了一个范示。 勾股定理a2b2c2本身就是一个关于a,b,c的不定方程，显然它有无数多组解，满足该方程的正整数解a,b,c通常叫做勾股数组。世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章

11

算术》，公式为：a(m2n2)，bmn，c(m2n2)，其中m,n为互质的奇数(mn)，

22

则a,b,c为勾股数。国外最先给出勾股数通解公式为：a2mn，bm2n2，cm2n2，其中m,n(mn)是互质且一奇一偶的任意正整数，则a,b,c为勾股数，这是由希腊的丢番图给出的。

2、勾股定理的证明

关于中西方勾股定理不同证法，全日制初中义务教育数学教材(人教版)一共介绍了6种证法，让学生开阔眼界，并让他们感受到我国古代数学家赵爽利用勾股方圆图证明勾股定理是多么巧妙，多么的简捷，融几何知识与代数知识于一体，真可谓独具匠心。勾股定理除了教材中介绍的6种证法外，还有许多巧妙的证明。千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

例如：勾股定理的证明方法非常多，利用拼图的方法验证勾股定理，是我

国古代数学家的伟大贡献。三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注是就给出了弦图，并用它验证了勾股定理。其证明过程是：

1

c24ab(ba)2=2abb22aba2b2a2（面积法验证勾股定理）

2

其它证法：见2008年2月版教师用书117页到118页，124页到125页

3、勾股定理的使用范围

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它只适用直角三角形，对于钝角三角形和锐角三角形的三边不具有这一特征。因而在应用勾股定理时必须明了所考察对象是直角三角形。

4、勾股定理的应用

（1） 已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长； （2） 知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系； （3） 可运用勾股定理解决一些实际问题

5、需要注意的问题：

（1）运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。 典型错误：

例：已知在ABC中，a,b,c分别是A、B，C的对边，且a3,b4，且bc。若c为整数，则c=

错解：由勾股定理可得c分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：bacba，又bc,bcab，即4c7，c为整数，c为5或6

（2）在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。 典型错误：

已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为 错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：52122x2，x13

分析：由于此题中已知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x13；当x

为直角边时，x 故第三边长为13

或

6、知识点

知识点一：利用勾股定理求线段长的简单应用

（1）在RtABC中，C90，①若a7,b24,则c ；②若a5,c13,则b ；③若b15,c25,则a

（2

）等腰直角三角形的斜边长为

（3）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= ，斜边AB上的高线长为 。（与面积的结合）

（4）等边三角形的边长为2㎝，则它的面积为

（5）在RtABC中，ACB90，且ca9,ca4，则b 。

（6）如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是

知识点（二）勾股定理在几何中的应用。

例：已知：ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC

上一点，且AD⊥AC，求BD的长。 解：过A作AE⊥BC于E。

1

AB=AC，BE=EC=BC=16

2

在RtABE中，AB=20，BE=16，

AE2AB2BE2202162=144 AE12

故在RtADE中，设DE=x，则AD2AE2DE2144x2

ADAC于A，AD2AC2CD2，即144+x2202(16x)2，解得x9

BDBEDE1697

[总结]勾股定理是解决直角三角形中线段问题最有效的方法，有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的方法。 练习：

1、 在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面积。

2、 如图在四边形ABCD中，BAD90，CBD90,AD4，AB=3，BC=12，求以

DC为边的正方形面积。

3、 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC上，记为A'.若AD=4，BC=6，求A'B的长。

第2题图

第3题图

知识点（三）利用勾股定理解决实际问题

（1） 如图一梯子AB为2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯米子下端B与墙角C处的距离为1.5米。梯子下滑后停在DE位置上，测得BD=0.5米，问梯子顶端也恰好下落了0.5米吗？说说你的理由。

（2）平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm/min。结果甲蚂蚁用了2min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远？

（3）如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：EDAB；方案

ECBA。二：经测量得

AB=BC=10千米，∠BDC=45°，ABD15。已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米。求（1）河宽AD（结果保留根号）；（2）公路CD的长；

（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由。

知识点四——探索勾股定理的证明

在中考往往以动手操作的形式来考察勾股定理的证明方法，故注意积累用拼图发验证勾股定理的证明思想。一类是利用一些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形，（如弦图和总统证法），另一类是将一种图案通过割补发转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而建立三边之间的关系，获得勾股定理的证明。下面的例子就是用割补发验证勾股定理。

如图，沿虚线剪下三个直角三角形A、B、C，再将它们分别补

在A、B、C位置，从而有abc。 只有平时积累了拼图法和

'''222

割补法验证勾股定理的一些方法后，在考试中便能得心应手地解决勾

股定理的证明方法。

练习

（1） 用硬纸片做成的两个全等直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边为c和以c为

直角边的等腰直角三角形。请开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。问①画出拼成的这个图形的示意图；②用这个图形证明勾股定理。

（2）作一个RtABC，以斜边AB为边向内作正方形ABDE，过D作DF⊥BC，交BC的延长线于F，BC延长线交DE于I。在AC上截取CG=CB，作HG⊥AC交AB于H，这样就将正方形ABDE分成①、②、③、④、⑤五个部分，将它们剪开就得到一付五巧板。你能利用两副五巧板进行拼图，验证勾股定理吗？自己拼一拼。

§2勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c所对的角是直角。

（1）勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。当a2b2c2时，以a,b,c为边的三角形是直角三角形；当a2b2c2时，，以a,b,c为边的三角形是钝角三角形；当a2b2c2时，，以a,b,c为边的三角形是锐角三角形。

（2）定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式。若三边长a,b,c满足a2c2b2，那么这个三角形是直角三角形，其中b所对的角是直角。

（3）勾股定理的逆定理在用文字叙述时，不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。”

知识点一、勾股定理逆定理的应用。

1、根据下列条件，判断ABC是否是直角三角形

（1）a45,b53,c28 （2

）a1,b1,c （3）am2n2,bm2n2,c2mn(mn,m、n为正整数） （4）a:b:c10:24:26 （5）n21,2n,n21(n1)

2、若一个三角形的三边长分别是m和m2,m4，当m时，它是直角三角形 3、一个三角形三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，则它的面积为4、已知：a,b,c为ABC的三边且满足a2b2c233810a24b26c，试判断ABC的形状。

5、已知k1,b2k,ac2k2,ack41，判断以a,b,c为边的三角形的形状。

知识点二：勾股定理与勾股定理的综合应用

1、已知AD是ABC的高，且AD2BDDC，试问ABC的形状，并说明理由。 2、在ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC的面积。

第1题图 第2题图

3、如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且

ABC=90°，连结AC，试判断ACD的形状。

4、一艘在海上朝正北方向行驶的轮船，航行240海里时方位仪坏了，

凭经验，船长指挥向左转90°，继续航行70海里，则距出发点有250海里，试判断轮船转弯后，是否沿正西方向航行？

§3、勾股定理应用

用勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题;可以进行几何计算如求边长、周长、面积等，可以利用勾股定理作图如在数轴上作出表示无理数的点；它在日常生活中有着广泛的应用，诸如用于无法直接实现的测量；它在物理学中的力学、光学的学习中都有所应用，科学家们甚至试图利用勾股定理探索宇宙奥秘。

1、(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都

是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ C ）

A．13 B．26 C．47 D．94

变式：在直线l上摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3。正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4

2、如图是一个“羊头”形图案，其做法是：从正方形（1）开始，以它的一边为斜边，向外做等腰直角三角形，然后再以其

’

（2）直角边为边，分别向外做正方形（2）和，...，依次类推，

第1题图

若正方形（1）的边长为64厘米，则正方形（7）的边长为 8 厘米

3、（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是

a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图．

（2）证明勾股定理．

a

a

【答案】方法一解：（1）如图

a

c c

c

a

b

a c

b

b

a

b

c b

a

大正方形的面

积表示为(ab)2,大正方

形的面积也可表示为

（2）证明：

11

c24ab,(ab)2c24ab，a2b22abc22ab，a2b2c2．即直角三角形

22

两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图

（2）证明：大正方形的面积表示为：c2，又可以表示为：

11

ab4(ba)2,c2ab4(ba)2，c22abb22aba2，c2a2b2．即直角三角22

形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4、（2004年山东烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开。大会标志如图甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13。每个直角三角形两直角边的和是5，（1）求中间小正方形的面积； （2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应的数据）

西城区教育研修学院八年级下数学研修活动材料

变式一：如图甲。若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a4b3的值等于变式二．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是____76__________。

5、（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 A．AB中点 C．AC中点

6、一个长方体的纸盒，它的长、宽、高分别为6厘米，4厘米，3厘米。在盒内顶点A初有一只壁虎，发现盒内对角顶点B处有一只苍蝇，于是壁虎沿盒壁向B点爬行。问这只壁虎由A爬向B初的最短路程会是多少？（由于展开的方式有三种，此题需分三种情况讨论）

变式一、（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．

A

3cm B

文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相

B．BC中点

D．∠C的平分线与AB的交点

等，则活动中心P 的位置应在（ ）A

【答案】10

，

变式二、（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）B

A

． B．25 C

．5 D．35

7、（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ A ） A．2 B．2 C．42 D．7

A

l2

l3

l1

8、在方格纸上，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三

角形。如图，在4×4的方格纸上，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个单位，则符合条件的C点共有 变式：（上学期期末复习建议中一题再探）

图为76的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以

A、

B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．

9、（2009年泸州）如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝ 4，过直角顶点C作 CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB， 垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，„，样一直做下去，得到了一组

线段CA1，A1C1，„，则CA1＝ C1A2，

12

5

这

C4A55



4A5C5

10．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中AB4米，

BAC30°， C90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在

B

AB段楼梯所铺地毯的长度应为（2+23）米

11、（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt△ABC中，ACBRt，

AB4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，

S1

S2 B

则S1+S2的值等于

12． （2009年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作

等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为

9 2

第12题图

1

13、（2009临沂）如图，过原点的直线l与反比例函数y的图象交于M，N两点，根据

x图象猜想线段MN的长的最小值是__．

14、在四边形ABCD中，B90,AB2,BCDC1,AD求四边形ABCD的面积。 15、一块四边形的土地，其中ABD120,ABAC,BDCD,ABCD块土地的面

第14题

图

积。

第15题图

16、（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PAPB．

（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2PAPB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

P

图（1）

图（2） 图（3）

【答案】

解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,

∴AC＝30

在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40

∴ BP＝CP2BC22 S1＝210

⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40

∴BA'＝40250241 由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝1041 ∴S1﹥S2

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小

（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,

A'B'＝25025

∴所求四边形的周长为50505

17．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

【关键词】勾股定理的应用

【答案】在Rt△ABC中，ACB90°，AC8，BC6由勾股定理有：AB10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当ABAD10时，可求CD

CB6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB

BD10时，可求CD4,由勾股定理得：AD得△ABD的周长为20m．③如图3，当AB为底时，设ADBDx，则CDx6，由勾股定理得：x

A

2580

,得△ABD的周长为m． 33

A

A

D

B

C 图1

D

C 图2

B

D

C 图3

B

18、（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：

（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2DB2DE2．

【答案】27．证明:（1） ∵ ACBECD，

∴ ACDBCDACDACE． 即 BCDACE

∵ BCAC,DCEC， ∴ △ACE≌△BCD

（2）∵ ACB是等腰直角三角形， ∴ BBAC45．

∵ △ACE≌△BCD， ∴ BCAE45． ∴ DAECAEBAC454590． ∴ AD2AE2DE2． 由（1）知AE＝DB，

18、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC． （1）求证：BGFG；

（2）若ADDC2，求AB的长．

A

B G

C

【答案】（1）证明：ABC90°，DE⊥AC于点F， ABCAFE．

ACAE，EAFCAB， △ABC≌△AFE ABAF． 连接AG，

AG＝AG,AB＝AF，

Rt△ABG≌Rt△AFG． BGFG．

（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，

11

AFACAE．

22

E30°．

FADE30°，

AF

ABAF

A B G

C

第十八章勾股定理教材分析 实验中学

一、课标要求：

1、经历探索勾股定理的过程，进一步发展自身合情推理意识和主动探究的习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。

2、理解直角三角形三边之间的数量关系，有意识地发现自己说理和简单推理的能力

3、可以运用勾股定理解决一些实际问题，并通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会它的文化价值。

二、中考要求：

1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长（A级）

2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形。（B级） 3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立（A级）

三、本章结构图：

互

逆定理

四、课时安排：

本章教学时间约需要7课时，具体安排如下： 18.1 勾股定理 3课时 18.2 勾股定理的逆定理 2课时 18.3 小结 2课时

五、本章教材在学习中地位：

勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2b2c2），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想。

由于本章在二次根式之前，学生对根式的运算极不熟悉，故本章的运算结果如何保留，如何有效地减少计算错，需要老师们注意。

六、本章教学特点：

1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程

从勾股定理证明的探索，到教科书让学生利用勾股定理探究三个问题：探究1是木板进门的问题，探究2是梯子滑动问题，探究3

2、注意体现由抽象到具体的思维过程

本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程。在勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2。把命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念。

3、注重介绍数学文化

在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发学生的爱国热情，培养他们的民族自豪感，为将来担负起振兴中华的重任打下基础。

 勾股定理的名称

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理”的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》一书中，记载有商高与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理 ”。后来决定不用人名，而称为 “勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

七、各节特点： §1、探索勾股定理 1、勾股定理

（1） 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2） 表示方法：如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2b2c2 （3） 起源与作用：

不仅对中国，它的启示和影响对世界许多重要的科学发现也都很重要。如在西方无理数的发现就应直接归功于勾股定理的发现。在其它文明古国如古代印度、古代巴比伦、古代埃及等的数学发展史上这一定理也都发挥过不可估量的作用。毫不夸张地说，它是世界各大文明古国最早认识也是最广泛使用的数学定理之一，是人类最伟大的十大科学发现之一。天文学家开普勒亦把它称为几何定理中的“黄金”，应该说勾股定理实在是受之无愧的！因此勾股定理有千年第一定理的美誉。

因为：

① 勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理； ② 勾股定理导致无理数的发现，引发数学的第一次危机；

③ 勾股定理开始把数学由计算与测量转化为证明与推理的科学；

④ 勾股定理的公式是第一个不定方程，它一方面引出各种各样的不定方程；另一方面也为不定方程解题树立了一个范示。 勾股定理a2b2c2本身就是一个关于a,b,c的不定方程，显然它有无数多组解，满足该方程的正整数解a,b,c通常叫做勾股数组。世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章

11

算术》，公式为：a(m2n2)，bmn，c(m2n2)，其中m,n为互质的奇数(mn)，

22

则a,b,c为勾股数。国外最先给出勾股数通解公式为：a2mn，bm2n2，cm2n2，其中m,n(mn)是互质且一奇一偶的任意正整数，则a,b,c为勾股数，这是由希腊的丢番图给出的。

2、勾股定理的证明

关于中西方勾股定理不同证法，全日制初中义务教育数学教材(人教版)一共介绍了6种证法，让学生开阔眼界，并让他们感受到我国古代数学家赵爽利用勾股方圆图证明勾股定理是多么巧妙，多么的简捷，融几何知识与代数知识于一体，真可谓独具匠心。勾股定理除了教材中介绍的6种证法外，还有许多巧妙的证明。千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

例如：勾股定理的证明方法非常多，利用拼图的方法验证勾股定理，是我

国古代数学家的伟大贡献。三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注是就给出了弦图，并用它验证了勾股定理。其证明过程是：

1

c24ab(ba)2=2abb22aba2b2a2（面积法验证勾股定理）

2

其它证法：见2008年2月版教师用书117页到118页，124页到125页

3、勾股定理的使用范围

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，它只适用直角三角形，对于钝角三角形和锐角三角形的三边不具有这一特征。因而在应用勾股定理时必须明了所考察对象是直角三角形。

4、勾股定理的应用

（1） 已知直角三角形任意两边的长，利用勾股定理可求出第三边长； （2） 知道直角三角形某一边长，可得另两边之间的数量关系； （3） 可运用勾股定理解决一些实际问题

5、需要注意的问题：

（1）运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。 典型错误：

例：已知在ABC中，a,b,c分别是A、B，C的对边，且a3,b4，且bc。若c为整数，则c=

错解：由勾股定理可得c分析：上面的解法受“勾三、股四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：bacba，又bc,bcab，即4c7，c为整数，c为5或6

（2）在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。 典型错误：

已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为 错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：52122x2，x13

分析：由于此题中已知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x13；当x

为直角边时，x 故第三边长为13

或

6、知识点

知识点一：利用勾股定理求线段长的简单应用

（1）在RtABC中，C90，①若a7,b24,则c ；②若a5,c13,则b ；③若b15,c25,则a

（2

）等腰直角三角形的斜边长为

（3）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= ，斜边AB上的高线长为 。（与面积的结合）

（4）等边三角形的边长为2㎝，则它的面积为

（5）在RtABC中，ACB90，且ca9,ca4，则b 。

（6）如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是

知识点（二）勾股定理在几何中的应用。

例：已知：ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC

上一点，且AD⊥AC，求BD的长。 解：过A作AE⊥BC于E。

1

AB=AC，BE=EC=BC=16

2

在RtABE中，AB=20，BE=16，

AE2AB2BE2202162=144 AE12

故在RtADE中，设DE=x，则AD2AE2DE2144x2

ADAC于A，AD2AC2CD2，即144+x2202(16x)2，解得x9

BDBEDE1697

[总结]勾股定理是解决直角三角形中线段问题最有效的方法，有时为了需要，作垂线构建直角三角形模型是行之有效的方法。 练习：

1、 在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面积。

2、 如图在四边形ABCD中，BAD90，CBD90,AD4，AB=3，BC=12，求以

DC为边的正方形面积。

3、 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC上，记为A'.若AD=4，BC=6，求A'B的长。

第2题图

第3题图

知识点（三）利用勾股定理解决实际问题

（1） 如图一梯子AB为2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯米子下端B与墙角C处的距离为1.5米。梯子下滑后停在DE位置上，测得BD=0.5米，问梯子顶端也恰好下落了0.5米吗？说说你的理由。

（2）平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm/min。结果甲蚂蚁用了2min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远？

（3）如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：EDAB；方案

ECBA。二：经测量得

AB=BC=10千米，∠BDC=45°，ABD15。已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米。求（1）河宽AD（结果保留根号）；（2）公路CD的长；

（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由。

知识点四——探索勾股定理的证明

在中考往往以动手操作的形式来考察勾股定理的证明方法，故注意积累用拼图发验证勾股定理的证明思想。一类是利用一些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形，（如弦图和总统证法），另一类是将一种图案通过割补发转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而建立三边之间的关系，获得勾股定理的证明。下面的例子就是用割补发验证勾股定理。

如图，沿虚线剪下三个直角三角形A、B、C，再将它们分别补

在A、B、C位置，从而有abc。 只有平时积累了拼图法和

'''222

割补法验证勾股定理的一些方法后，在考试中便能得心应手地解决勾

股定理的证明方法。

练习

（1） 用硬纸片做成的两个全等直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边为c和以c为

直角边的等腰直角三角形。请开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。问①画出拼成的这个图形的示意图；②用这个图形证明勾股定理。

（2）作一个RtABC，以斜边AB为边向内作正方形ABDE，过D作DF⊥BC，交BC的延长线于F，BC延长线交DE于I。在AC上截取CG=CB，作HG⊥AC交AB于H，这样就将正方形ABDE分成①、②、③、④、⑤五个部分，将它们剪开就得到一付五巧板。你能利用两副五巧板进行拼图，验证勾股定理吗？自己拼一拼。

§2勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c所对的角是直角。

（1）勾股定理的逆定理是判别一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。当a2b2c2时，以a,b,c为边的三角形是直角三角形；当a2b2c2时，，以a,b,c为边的三角形是钝角三角形；当a2b2c2时，，以a,b,c为边的三角形是锐角三角形。

（2）定理中a,b,c及a2b2c2只是一种表现形式。若三边长a,b,c满足a2c2b2，那么这个三角形是直角三角形，其中b所对的角是直角。

（3）勾股定理的逆定理在用文字叙述时，不能说成“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。”

知识点一、勾股定理逆定理的应用。

1、根据下列条件，判断ABC是否是直角三角形

（1）a45,b53,c28 （2

）a1,b1,c （3）am2n2,bm2n2,c2mn(mn,m、n为正整数） （4）a:b:c10:24:26 （5）n21,2n,n21(n1)

2、若一个三角形的三边长分别是m和m2,m4，当m时，它是直角三角形 3、一个三角形三边之比为5：12：13，且周长为60厘米，则它的面积为4、已知：a,b,c为ABC的三边且满足a2b2c233810a24b26c，试判断ABC的形状。

5、已知k1,b2k,ac2k2,ack41，判断以a,b,c为边的三角形的形状。

知识点二：勾股定理与勾股定理的综合应用

1、已知AD是ABC的高，且AD2BDDC，试问ABC的形状，并说明理由。 2、在ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求ABC的面积。

第1题图 第2题图

3、如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且

ABC=90°，连结AC，试判断ACD的形状。

4、一艘在海上朝正北方向行驶的轮船，航行240海里时方位仪坏了，

凭经验，船长指挥向左转90°，继续航行70海里，则距出发点有250海里，试判断轮船转弯后，是否沿正西方向航行？

§3、勾股定理应用

用勾股定理可以解决许多直角三角形中的计算问题;可以进行几何计算如求边长、周长、面积等，可以利用勾股定理作图如在数轴上作出表示无理数的点；它在日常生活中有着广泛的应用，诸如用于无法直接实现的测量；它在物理学中的力学、光学的学习中都有所应用，科学家们甚至试图利用勾股定理探索宇宙奥秘。

1、(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都

是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ C ）

A．13 B．26 C．47 D．94

变式：在直线l上摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3。正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4

2、如图是一个“羊头”形图案，其做法是：从正方形（1）开始，以它的一边为斜边，向外做等腰直角三角形，然后再以其

’

（2）直角边为边，分别向外做正方形（2）和，...，依次类推，

第1题图

若正方形（1）的边长为64厘米，则正方形（7）的边长为 8 厘米

3、（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是

a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图．

（2）证明勾股定理．

a

a

【答案】方法一解：（1）如图

a

c c

c

a

b

a c

b

b

a

b

c b

a

大正方形的面

积表示为(ab)2,大正方

形的面积也可表示为

（2）证明：

11

c24ab,(ab)2c24ab，a2b22abc22ab，a2b2c2．即直角三角形

22

两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图

（2）证明：大正方形的面积表示为：c2，又可以表示为：

11

ab4(ba)2,c2ab4(ba)2，c22abb22aba2，c2a2b2．即直角三角22

形两直角边的平方和等于斜边的平方． 4、（2004年山东烟台）（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开。大会标志如图甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13。每个直角三角形两直角边的和是5，（1）求中间小正方形的面积； （2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它割成6块，再拼合成一个正方形（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应的数据）

西城区教育研修学院八年级下数学研修活动材料

变式一：如图甲。若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则a4b3的值等于变式二．(2009年安顺)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是____76__________。

5、（2009年衡阳市）如图2所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 A．AB中点 C．AC中点

6、一个长方体的纸盒，它的长、宽、高分别为6厘米，4厘米，3厘米。在盒内顶点A初有一只壁虎，发现盒内对角顶点B处有一只苍蝇，于是壁虎沿盒壁向B点爬行。问这只壁虎由A爬向B初的最短路程会是多少？（由于展开的方式有三种，此题需分三种情况讨论）

变式一、（2009年山东青岛市）如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．

A

3cm B

文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相

B．BC中点

D．∠C的平分线与AB的交点

等，则活动中心P 的位置应在（ ）A

【答案】10

，

变式二、（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）B

A

． B．25 C

．5 D．35

7、（2009丽水市）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ A ） A．2 B．2 C．42 D．7

A

l2

l3

l1

8、在方格纸上，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三

角形。如图，在4×4的方格纸上，以AB为边的格点三角形ABC的面积为2个单位，则符合条件的C点共有 变式：（上学期期末复习建议中一题再探）

图为76的正方形网格，点A、B、C在格点上．在图中确定格点D，并画出以

A、

B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．

9、（2009年泸州）如图2，已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝ 4，过直角顶点C作 CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB， 垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，„，样一直做下去，得到了一组

线段CA1，A1C1，„，则CA1＝ C1A2，

12

5

这

C4A55



4A5C5

10．（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中AB4米，

BAC30°， C90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在

B

AB段楼梯所铺地毯的长度应为（2+23）米

11、（2009年浙江省湖州市）如图，已知在Rt△ABC中，ACBRt，

AB4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，

S1

S2 B

则S1+S2的值等于

12． （2009年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作

等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为

9 2

第12题图

1

13、（2009临沂）如图，过原点的直线l与反比例函数y的图象交于M，N两点，根据

x图象猜想线段MN的长的最小值是__．

14、在四边形ABCD中，B90,AB2,BCDC1,AD求四边形ABCD的面积。 15、一块四边形的土地，其中ABD120,ABAC,BDCD,ABCD块土地的面

第14题

图

积。

第15题图

16、（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PAPB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PAPB．

（1）求S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明S2PAPB的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

P

图（1）

图（2） 图（3）

【答案】

解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC＝40,又AP＝10,

∴AC＝30

在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30 ∴BC＝40

∴ BP＝CP2BC22 S1＝210

⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50， 又BC＝40

∴BA'＝40250241 由轴对称知：PA＝PA' ∴S2＝BA'＝1041 ∴S1﹥S2

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA＝MA' ∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B ∴S2＝BA'为最小

（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'， 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,

A'B'＝25025

∴所求四边形的周长为50505

17．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．

【关键词】勾股定理的应用

【答案】在Rt△ABC中，ACB90°，AC8，BC6由勾股定理有：AB10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当ABAD10时，可求CD

CB6,得△ABD的周长为32m．②如图2，当AB

BD10时，可求CD4,由勾股定理得：AD得△ABD的周长为20m．③如图3，当AB为底时，设ADBDx，则CDx6，由勾股定理得：x

A

2580

,得△ABD的周长为m． 33

A

A

D

B

C 图1

D

C 图2

B

D

C 图3

B

18、（2009白银市）如图13，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：

（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2DB2DE2．

【答案】27．证明:（1） ∵ ACBECD，

∴ ACDBCDACDACE． 即 BCDACE

∵ BCAC,DCEC， ∴ △ACE≌△BCD

（2）∵ ACB是等腰直角三角形， ∴ BBAC45．

∵ △ACE≌△BCD， ∴ BCAE45． ∴ DAECAEBAC454590． ∴ AD2AE2DE2． 由（1）知AE＝DB，

18、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC． （1）求证：BGFG；

（2）若ADDC2，求AB的长．

A

B G

C

【答案】（1）证明：ABC90°，DE⊥AC于点F， ABCAFE．

ACAE，EAFCAB， △ABC≌△AFE ABAF． 连接AG，

AG＝AG,AB＝AF，

Rt△ABG≌Rt△AFG． BGFG．

（2）解：∵AD＝DC,DF⊥AC，

11

AFACAE．

22

E30°．

FADE30°，

AF

ABAF

A B G

C