几何证明
1. 点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作∆ABE 和∆BCF ，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．
B N 是(1)若∆ABE 和∆FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =900(如图1) ，则∆M
B N (2)在∆ABE 和∆BCF 中，若BA =BE , BC =BF , 且∠ABE =∠FBC =α，(如图2) ，则∆M
是 三角形，且∠MBN = .
(3)若将(2)中的∆ABE 绕点B 旋转一定角度,(如同3) ，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
C （如图3）
B
（如图2）
（如图1)
2. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B, 另一边与射线DC 相交于Q . 探究：设A 、P 两点间的距离为x .
(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；
(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能, 指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置. 并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.
D A
P
C B
C
3.(1)如图1，四边形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =60︒，∠ADC =120︒，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =60︒，若点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD =120︒，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．
图１
4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =
图2
1
∠BAD . 求证:EF ＝BE ＋FD ;
2
A
B
E
C
图1 图2 图3
(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =
1
∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 2
1
∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成2
(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =
立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
5. 以∆ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ∆ABD 和等腰Rt ∆ACE ，
∠BAD =∠CAE =90︒, 连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置
及数量关系．
(1)如图① 当∆ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；
(2)将图①中的等腰Rt ∆ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(0
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．
（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；
（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．
7. 如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .
（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；
（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已
知线段AB =2，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．
8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒． (1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示) ； (2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
B
F 图1
A
P B
F P
图2
Q
A
Q
1、解：（1）等腰直角 （2）等腰
α
（3）结论仍然成立 证明： 在∆ABF 和∆EBC 中，
⎧BA =BE
⎪
⎨∠ABF =∠EBC
⎪BF =BC ⎩
∴△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB.
∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC= 2、解：（1） PQ =PB
B
（如图3）
C
过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM =PM 又∵AB =MN ∴MB=PN ∵∠BPQ =900
∴∠BPM ＋∠NPQ =900 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ∴∠MBP = ∠N PQ ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ∴PB =PQ
（2）∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ ∵ AP =x ∴ AM =
2
x 2
B M A
P
N C D
∴CQ=CD －2NQ =1－2x 又∵S △PBC =
11122BC ·BM =·1·(1－x )= -x 22242
S △PCQ =
112CQ ·PN =(1－2x ) ·(1－x ) 222
1132
=x 2－x ＋
224
12
∴S 四边形PBCQ =x 2－2x ＋1 . (0≤x ≤)
22
(3)△PCQ 可能成为等腰三角形.
① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合， PQ=QC ，此时，x=0.
② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ时， 有：QN=AM=PM=
2
x ，CP =2－x , 2
A D
CN =
22CP =1－x 22
M B
P
N C
22
CQ=QN －CN =x －（1－x ）
22
Q
=2x －1 ∴ 当
2－x =2x －1时 ，x =1
3、解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DE =DA ．
可证明∆EAD 是等边三角形． 联结AC ，可证明∆BAD ≌∆CAE ． 故AD +CD =DE +CD =CE =BD ．
图1
图2
（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形A B 'D ，
可证明∆A B 'C ≌∆ADB ，得B 'C =DB ． ∵ 四边形A B 'DP 符合（1）中条件， ∴ B 'P =AP +PD ． 联结B 'C ，
ⅰ）若满足题中条件的点P 在B 'C 上， 则B 'C =P B '+PC ． ∴ B 'C =AP +PD +PC ．
∴ BD =PA +PD +PC ． ⅱ）若满足题中条件的点P 不在B 'C 上， ∵ B 'C
∴ BD
∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .
∴AG ＝AF, ∠1＝∠2．
1
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD ．
2
∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF .
∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG．
∴EF= BE＋FD
(2) (1)中的结论EF= BE＋FD 仍然成立.
（3）结论EF=BE＋FD 不成立，应当是EF=BE －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF，连接AG ． ∵∠B+∠ADC ＝180°, ∠ADF+∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF .
∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ． ∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD
1
=∠EAF = ∠BAD ．
2
∴∠GAE=∠EAF ． ∵AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF
∵EG=BE－BG ∴EF=BE －FD ．
5、答案：解：（1）AM ⊥DE ，AM =
1
DE 2
（2）结论仍然成立。
证明：如图，延长CA 至F ，使FA=AC，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．
DA ⊥BA , EA ⊥AF ， ∴∠BAF =90︒+∠DAF =∠EAD ． 在∆FAB 与∆EAD 中：
⎧FA =AE ⎪
⎨∠BAF =∠EAD ⎪BA =DA ⎩
∆FAB ≅∆EAD (SAS) .
∴BF=DE, ∠F =∠AEN .
∴∠FPD +∠F =∠APE +∠AEN =90.
∴FB ⊥DE .
又CA=AF, CM=MB，∴AM // FB 且AM=
1FB 2
∴AM ⊥DE , AM=
1
DE ． 2
6、答案：（1）由题意得m = n 时，AOBC 是正方形．
如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ． ∴ ∠EGO = 45︒，从而 ∠AGE = 135︒．
由BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135︒，∴ ∠AGE =∠EBF ． ∵ ∠AEF = 90︒，∴ ∠FEB +∠AEO = 90︒． 在Rt △AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90︒， ∴ ∠EAO =∠FEB ，∴ △AGE ≌△EBF ，EF = AE ．
（2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图．由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴ FH = OE ，EH = OA ．
∴ 点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．
由BF 是外角平分线，知∠FBH = 45︒，∴ BH = FH = a ． 又由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ， ∴ EH = m －a + a = m ．
又EH = OA = n ， ∴ m = n ，这与已知m ≠n 相矛盾． 因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成立．
（3）如（2）图，设E （a ，0），FH = h ，则EH = OH －OE = h + m －a ． 由 ∠AEF = 90︒，∠EAO =∠FEH ，得 △AOE ∽△EHF ， ∴ EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE ，即h =（t + 1）a
且
AO OE n a
==， ，即EH FH h +m -a h
2
am -a 2a (m -a )
=整理得 nh = ah + am －a ，∴ h =．
n -a n -a
把h =（t + 1）a 代入得
a (m -a )
=(t +1) a ，
n -a
即 m －a =（t + 1）（n －a ）．
而 m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）． 化简得 ta = n ，解得a =∵ t ＞1， ∴
n ． t
n
＜n ＜m ，故E 在OB 边上． t
n n
∴当E 在OB 边上且离原点距离为处时满足条件，此时E （，0）．
t t
7、答案：（1）∠EBF = . ∠QFC （2）∠QFC =60° 不妨设BP , 如图1所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ .
在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF =180︒-∠AEQ -∠AEB =180︒-90︒-60︒=30︒ ∴∠QFC =∠EBF +∠BEF =30︒+30︒=60°
(事实上当BP 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不
扣分）
(3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G
∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=23，由（1）得∠EBF =30°
BE BG
= ∴BF==2 ∴EF =2 2cos30︒
∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF =QE ＋EF
在Rt △BGF 中，BG =
过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H
在Rt △QHF
中，y =QH =sin 60︒QF =
x +
2) （x ＞0）
y =
即y 关于x 的函数关系式是：
8、答案：解：（1）在直角梯形ABCD 中，
x 2.
∵QN ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴四边形ABNQ 是矩形。
∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。 ∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC=5。 ∵QN ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴MN ∥AB ，∴即
CM CN =， AC BC
CM t +15t +5
=，∴MC =. 544
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ 构成平行四边形。 ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ 构成平行四边形。 (3)∵MN ∥AB ，
∴△MNC ∽△ABC ，要使射线QN 将△ABC 的面积平分，
则△MNC 与△ABC 的面积比为1：2，即相似比为
1
CN t +1=
=，即，∴
t=1. ∴
CN=
BC 4MC=
，∴CN+MC=，∵△ABC 的周长的一
半=
3+4+5=6≠，∴不存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分。 22
（4）分3种情况：
①如图，当PM=MC时，△PMC 为等腰三角形。 则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴t =
22
，即t =时，△PMC 为等腰三角形。 33
②如图，当CM=PC时，△PMC 为等腰三角形。
即
5t +5
=4-t ， 4
∴t =11时，△PMC 为等腰三角形。 9
③如图，当PM=PC时，△PMC 为等腰三角形。
∵PC=4－t ，NC=t+1，
∴PN=2t-3, 又∵MN AB 3==， NC BC 4
3(t +1)∴MN=， 4
由勾股定理可得[3(t +1)222]+（2t-3）=（4－t ）， 4
即当t=
103时，△PMC 为等腰三角形。 57
9、答案：（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC 理由如下：
∵在图①中，DE//BC，AB=AC
∴AD=AE.
⎧AB =AC , ⎪在△ABD 与△ACE 中⎨∠BAD =∠CAE , ∴△ABD ≌△ACE. ∴BD=CE，∠ACE=∠ABD. 在△DAM 与
⎪AD =AE ⎩
△EAN 中，
∵DM=11BD ，EN=CE ，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE ，∠ADM=∠ABD+∠BAD ，∴22
∠AEN=∠ADM.
又∵AE=AD，∴△ADM ≌△AEN. ∴AM=AN，∠DAM=∠EAN. ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC. ∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.
（2）AM=k AN ，∠MAN=∠BAC.
- 11 -
几何证明
1. 点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作∆ABE 和∆BCF ，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．
B N 是(1)若∆ABE 和∆FBC 是等腰直角三角形，且∠ABE =∠FBC =900(如图1) ，则∆M
B N (2)在∆ABE 和∆BCF 中，若BA =BE , BC =BF , 且∠ABE =∠FBC =α，(如图2) ，则∆M
是 三角形，且∠MBN = .
(3)若将(2)中的∆ABE 绕点B 旋转一定角度,(如同3) ，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
C （如图3）
B
（如图2）
（如图1)
2. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B, 另一边与射线DC 相交于Q . 探究：设A 、P 两点间的距离为x .
(1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；
(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能, 指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置. 并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.
D A
P
C B
C
3.(1)如图1，四边形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =60︒，∠ADC =120︒，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =60︒，若点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD =120︒，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．
图１
4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =
图2
1
∠BAD . 求证:EF ＝BE ＋FD ;
2
A
B
E
C
图1 图2 图3
(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =
1
∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明. 2
1
∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成2
(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =
立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
5. 以∆ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ∆ABD 和等腰Rt ∆ACE ，
∠BAD =∠CAE =90︒, 连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置
及数量关系．
(1)如图① 当∆ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；
(2)将图①中的等腰Rt ∆ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(0
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）．
（1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ；
（2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn （t ＞1）时，试探究点E 在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE 成立？并求出点E 的坐标．
7. 如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .
（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；
（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已
知线段AB =2，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．
8. 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒． (1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示) ； (2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
B
F 图1
A
P B
F P
图2
Q
A
Q
1、解：（1）等腰直角 （2）等腰
α
（3）结论仍然成立 证明： 在∆ABF 和∆EBC 中，
⎧BA =BE
⎪
⎨∠ABF =∠EBC
⎪BF =BC ⎩
∴△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE. ∠AFB=∠ECB ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB.
∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC= 2、解：（1） PQ =PB
B
（如图3）
C
过P 点作MN ∥BC 分别交AB 、DC 于点M 、N 在正方形ABCD 中，AC 为对角线 ∴AM =PM 又∵AB =MN ∴MB=PN ∵∠BPQ =900
∴∠BPM ＋∠NPQ =900 又∵∠MBP ＋∠BPM =900 ∴∠MBP = ∠N PQ ∴Rt △MBP ≌Rt △NPQ, ∴PB =PQ
（2）∵S 四边形PBCQ =S △PBC ＋S △PCQ ∵ AP =x ∴ AM =
2
x 2
B M A
P
N C D
∴CQ=CD －2NQ =1－2x 又∵S △PBC =
11122BC ·BM =·1·(1－x )= -x 22242
S △PCQ =
112CQ ·PN =(1－2x ) ·(1－x ) 222
1132
=x 2－x ＋
224
12
∴S 四边形PBCQ =x 2－2x ＋1 . (0≤x ≤)
22
(3)△PCQ 可能成为等腰三角形.
① 当点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合， PQ=QC ，此时，x=0.
② 当点Q 在DC 的延长线上，且CP=CQ时， 有：QN=AM=PM=
2
x ，CP =2－x , 2
A D
CN =
22CP =1－x 22
M B
P
N C
22
CQ=QN －CN =x －（1－x ）
22
Q
=2x －1 ∴ 当
2－x =2x －1时 ，x =1
3、解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DE =DA ．
可证明∆EAD 是等边三角形． 联结AC ，可证明∆BAD ≌∆CAE ． 故AD +CD =DE +CD =CE =BD ．
图1
图2
（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形A B 'D ，
可证明∆A B 'C ≌∆ADB ，得B 'C =DB ． ∵ 四边形A B 'DP 符合（1）中条件， ∴ B 'P =AP +PD ． 联结B 'C ，
ⅰ）若满足题中条件的点P 在B 'C 上， 则B 'C =P B '+PC ． ∴ B 'C =AP +PD +PC ．
∴ BD =PA +PD +PC ． ⅱ）若满足题中条件的点P 不在B 'C 上， ∵ B 'C
∴ BD
∵∠ABG ＝∠ABC=∠D ＝90°, AB＝AD ， ∴△ABG ≌△ADF .
∴AG ＝AF, ∠1＝∠2．
1
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD ．
2
∴∠GAE=∠EAF ． 又AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF .
∴EG ＝EF ． ∵EG=BE+BG．
∴EF= BE＋FD
(2) (1)中的结论EF= BE＋FD 仍然成立.
（3）结论EF=BE＋FD 不成立，应当是EF=BE －FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF，连接AG ． ∵∠B+∠ADC ＝180°, ∠ADF+∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，
∴△ABG ≌△ADF .
∴∠BAG ＝∠DAF,AG ＝AF ． ∴∠BAG+∠EAD ＝∠DAF+∠EAD
1
=∠EAF = ∠BAD ．
2
∴∠GAE=∠EAF ． ∵AE ＝AE ，
∴△AEG ≌△AEF . ∴EG ＝EF
∵EG=BE－BG ∴EF=BE －FD ．
5、答案：解：（1）AM ⊥DE ，AM =
1
DE 2
（2）结论仍然成立。
证明：如图，延长CA 至F ，使FA=AC，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．
DA ⊥BA , EA ⊥AF ， ∴∠BAF =90︒+∠DAF =∠EAD ． 在∆FAB 与∆EAD 中：
⎧FA =AE ⎪
⎨∠BAF =∠EAD ⎪BA =DA ⎩
∆FAB ≅∆EAD (SAS) .
∴BF=DE, ∠F =∠AEN .
∴∠FPD +∠F =∠APE +∠AEN =90.
∴FB ⊥DE .
又CA=AF, CM=MB，∴AM // FB 且AM=
1FB 2
∴AM ⊥DE , AM=
1
DE ． 2
6、答案：（1）由题意得m = n 时，AOBC 是正方形．
如图，在OA 上取点C ，使AG = BE ，则OG = OE ． ∴ ∠EGO = 45︒，从而 ∠AGE = 135︒．
由BF 是外角平分线，得 ∠EBF = 135︒，∴ ∠AGE =∠EBF ． ∵ ∠AEF = 90︒，∴ ∠FEB +∠AEO = 90︒． 在Rt △AEO 中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90︒， ∴ ∠EAO =∠FEB ，∴ △AGE ≌△EBF ，EF = AE ．
（2）假设存在点E ，使EF = AE ．设E （a ，0）．作FH ⊥x 轴于H ，如图．由（1）知∠EAO =∠FEH ，于是Rt △AOE ≌Rt △EHF ． ∴ FH = OE ，EH = OA ．
∴ 点F 的纵坐标为a ，即 FH = a ．
由BF 是外角平分线，知∠FBH = 45︒，∴ BH = FH = a ． 又由C （m ，n ）有OB = m ，∴ BE = OB －OE = m －a ， ∴ EH = m －a + a = m ．
又EH = OA = n ， ∴ m = n ，这与已知m ≠n 相矛盾． 因此在边OB 上不存在点E ，使EF = AE 成立．
（3）如（2）图，设E （a ，0），FH = h ，则EH = OH －OE = h + m －a ． 由 ∠AEF = 90︒，∠EAO =∠FEH ，得 △AOE ∽△EHF ， ∴ EF =（t + 1）AE 等价于 FH =（t + 1）OE ，即h =（t + 1）a
且
AO OE n a
==， ，即EH FH h +m -a h
2
am -a 2a (m -a )
=整理得 nh = ah + am －a ，∴ h =．
n -a n -a
把h =（t + 1）a 代入得
a (m -a )
=(t +1) a ，
n -a
即 m －a =（t + 1）（n －a ）．
而 m = tn ，因此 tn －a =（t + 1）（n －a ）． 化简得 ta = n ，解得a =∵ t ＞1， ∴
n ． t
n
＜n ＜m ，故E 在OB 边上． t
n n
∴当E 在OB 边上且离原点距离为处时满足条件，此时E （，0）．
t t
7、答案：（1）∠EBF = . ∠QFC （2）∠QFC =60° 不妨设BP , 如图1所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ .
在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF =180︒-∠AEQ -∠AEB =180︒-90︒-60︒=30︒ ∴∠QFC =∠EBF +∠BEF =30︒+30︒=60°
(事实上当BP 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不
扣分）
(3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G
∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=23，由（1）得∠EBF =30°
BE BG
= ∴BF==2 ∴EF =2 2cos30︒
∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF =QE ＋EF
在Rt △BGF 中，BG =
过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H
在Rt △QHF
中，y =QH =sin 60︒QF =
x +
2) （x ＞0）
y =
即y 关于x 的函数关系式是：
8、答案：解：（1）在直角梯形ABCD 中，
x 2.
∵QN ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴四边形ABNQ 是矩形。
∵QD=t，AD=3，∴BN=AQ=3-t，∴NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。 ∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC=5。 ∵QN ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴MN ∥AB ，∴即
CM CN =， AC BC
CM t +15t +5
=，∴MC =. 544
（2）当QD=CP时，四边形PCDQ 构成平行四边形。 ∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ 构成平行四边形。 (3)∵MN ∥AB ，
∴△MNC ∽△ABC ，要使射线QN 将△ABC 的面积平分，
则△MNC 与△ABC 的面积比为1：2，即相似比为
1
CN t +1=
=，即，∴
t=1. ∴
CN=
BC 4MC=
，∴CN+MC=，∵△ABC 的周长的一
半=
3+4+5=6≠，∴不存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分。 22
（4）分3种情况：
①如图，当PM=MC时，△PMC 为等腰三角形。 则PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴t =
22
，即t =时，△PMC 为等腰三角形。 33
②如图，当CM=PC时，△PMC 为等腰三角形。
即
5t +5
=4-t ， 4
∴t =11时，△PMC 为等腰三角形。 9
③如图，当PM=PC时，△PMC 为等腰三角形。
∵PC=4－t ，NC=t+1，
∴PN=2t-3, 又∵MN AB 3==， NC BC 4
3(t +1)∴MN=， 4
由勾股定理可得[3(t +1)222]+（2t-3）=（4－t ）， 4
即当t=
103时，△PMC 为等腰三角形。 57
9、答案：（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC 理由如下：
∵在图①中，DE//BC，AB=AC
∴AD=AE.
⎧AB =AC , ⎪在△ABD 与△ACE 中⎨∠BAD =∠CAE , ∴△ABD ≌△ACE. ∴BD=CE，∠ACE=∠ABD. 在△DAM 与
⎪AD =AE ⎩
△EAN 中，
∵DM=11BD ，EN=CE ，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE ，∠ADM=∠ABD+∠BAD ，∴22
∠AEN=∠ADM.
又∵AE=AD，∴△ADM ≌△AEN. ∴AM=AN，∠DAM=∠EAN. ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC. ∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.
（2）AM=k AN ，∠MAN=∠BAC.
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