2015—2016学年度模拟考试高三数学
(理科试卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |-5≤2x -1≤3, x ∈R }，B ={x |x (x -8) ≤0, x ∈Z }，则A B =( ) A ．(0,2)
B ．[0,2] C ．{0,2} D ．{0,1,2}
m 2+i
2．如果复数是实数，则实数m =( )
1-m i
A. -1 B. 1 C. -
2 D.2
x 2
-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ） 3．焦点为（0，6）且与双曲线2
x 2y 2y 2x 2y 2x 2x 2y 2
-=1 B .-=1 C.-=1 D.-=1 A.
[**************]2
4. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,
若a =
( )
A ． 60 B． 30 C． 150 D．45
5. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y =x 图象下方的点构成的区域。在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ）
2
b =
2，sin B +cos B 则角A 的大小为
A． B．
15111 C． D． 432
6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
7．在∆ABC 中, AB +AC =2AM ， AM =1, 点P 在AM 上且满足=2, 则PA ⋅(PB +PC ) 等于
( ) A ．
4444
B． C．- D．- 9339
8. 函数
πππ
f (x ) =s in(ωx +ϕ) （x ∈R ）(ω>0, ϕ
632
f (x 1) =f (x 2) ，则f (x 1+x 2) =（ ）
A．
1
B． C． D．1
222
9. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ．则以下命题中，错误的命题是（ ） ．．
A ．点H 是∆A 1BD 的垂心 B．AH 垂直平面CB 1D 1 C ．AH 的延长线经过点C 1 D．直线AH 和BB 1所成角为45
x 2y 2
10. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F （1-c , 0), F 2(c , 0) ，若椭圆上存在点P 使
a b
a c
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） =
sin ∠PF F sin ∠PF F 1221
A.（0，2-1 B.（）
22
） D.（2-1，1） ，1） C.（0，
22
11．函数y =f (x ) 为定义在R 上的减函数，函数y =f (x -1) 的图像关于点（1,0）对称， x , y 满 足不等式f (x 2-2x ) +f (2y -y 2) ≤0，M (1,2), N (x , y ) ，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，
OM ⋅ON 的取值范围为 （ ）
A．[12, +∞) B．[0, 3]
C ．[3, 12] D．[0, 12]
x
⎧⎪2-1(x ≤0)
12．已知函数f (x ) =⎨，把函数g (x )=f (x )-x 的零点按从小到大的顺序排
f x -1+1x >0)()⎪⎩(
列成一个数列，则该数列的前n 项的和S n , 则S 10＝（ ） A ．15 B．22 C．45 D． 50 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）
13. 直线y =k x +b 与曲线，则b 的值为 。 y =x +a x +1相切于点（2，3）
14. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为
_______________.
3
15. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参
加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 .
16. 设a 1，a 2，„，a n 是各项不为零的n （n ≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到
的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对 n ,
⎛⎝a 1⎫
⎪所组成的集合为________． d ⎭
[来源:学§科§网]
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分12分）
在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2+c 2=a 2+bc ． （1）求角A 的大小； （2）若2sin
18. （本小题满分12分）
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表．
2
B C
+2sin 2=1，试判断∆A B C 的形状． 22
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；
（Ⅱ)若对月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：
n (ad -bc ) 2
K =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
2
（19）（本小题满分12分）
如图，几何体ABC D -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60，AB =a ，面BC 11D 1∥面
ABCD , BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ,
且BB 1=，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点.
（Ⅰ）求证：∆DB 1E 为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角B 1-DE -F 的余弦值.
1
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点A (,0) ，向量e =(0,1)，点B 为直线x =-
1
2
1
上的动点，点C 满足2
2OC =OA +OB ，点M 满足B M ⋅e =0, C M ⋅A B =0.
来[源Z §x x §k C o m ]
(1)试求动点M 的轨迹E 的方程；
(2)设点P 是轨迹E 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆(x -1)+y 2=1内切于∆PRN ，求∆PRN 的面积的最小值.
21. （本小题满分12分）
2
已知函数f (x ) =a x 2+l n x (a ∈R ) ． （1）当a =
1
时，求f (x ) 在区间[1, e ]上的最大值和最小值； 2
（2）如果函数g (x ) ，f 1(x ) ，f 2(x ) ，在公共定义域D 上，满足f 1(x )
12122
．已知函数f 1(x ) =(a -) x +2ax +(1-a )ln x ，f 2(x ) =x +2ax ．若f 1(x ), f 2(x ) 的“活动函数”
22
在区间(1, +∞)上，函数f (x ) 是f 1(x ) ，f 2(x ) 的“活动函数”，求a 的取值范围。
22. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别
交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE ．
GF EF 2=. （1）求证：AG ⋅EF =CE ⋅GD ；（2）求证：
AG CE 2
[来源:学科网]
O · C
23. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨
G
D
⎧x =2+t
，曲线P 在以该直角坐标系的原点O 的为极点，(t 为参数）
⎩y =t +1
2
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为p -4p cos θ+3=0. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求|AB|.
24. 设函数f (x ) =2x +-x -2． （Ⅰ）求不等式f (x ) >2的解集；
2
（Ⅱ）∀x ∈R ，使f (x ) ≥t -
11
t ，求实数的取值范围． 2
2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学
(理科答案)
一、选择题 1. 【答案】D
试题分析：A =[-2, 2]，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，所以A B ={0,1,2}，选D 。 2．【答案】A
[来源:学§科§网]
m 2+i (m 2+i )(1+mi ) m 2-m +(1+m 3) i 3
==1+m 试题分析：是实数，则虚部为 0，所以 22
1-mi 1+m 1+m m =-1，选A
3．【答案】B
x 2
-y 2=λ，又因为焦点为（0,6）试题分析：设双曲线方程为，则3λ=36，λ=-12，选B 。 2
4. 【答案】B
=，因为0
又因为试题分析：
由sin B +cos B =得1+2sin B cos B =2，即s i n2B 1
12
b =2，sin A =a ==所以在∆ABC 中，
，解得，又a
2sin A sin 45
所以A =30。 5. 【答案】C
2
试题分析：
⎰
-1
x 2dx =
13
x 3
2-2
16
161
=，所以P ==，选C 。 3163
6. 【答案】B 7．【答案】D
21
试题分析：由题意易知：M 是BC 的中点，P 是三角形ABC 的重心，因为AM =1，
==，所
33
224
⋅2PM =⨯⨯cos π=-故选D. PA ⋅(PB +PC ) 以=339。
8. 【答案】C
试题分析：由图像可知T =π∴ω=2∴f (x )=sin (2x +ϕ)代入 -
⎛π⎫
, 0⎪得 6⎝⎭
ϕ=
π
ππ⎫2π⎛
∴f (x )=sin 2x +⎪ f (x 1) =f (x 2) ∴x 1+x 2=
∴f (x 1+x 2) ==
3633⎭⎝
9. 【答案】D 10. 【答案】D
a c a c
=试题分析：根据正弦定理得，所以由可得，==
PF PF sin ∠PF F sin ∠PF F sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1211221
PF 2PF 1
即
PF 1PF 2
=
c
=e ，所以，又
PF =e PF a 12
，即PF =2a ，因为
2
PF 1+PF 2=e PF 2+PF 2=PF 2(e +1) =2a
e +1
a -c ，
(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义) 所以a -c e +1
2
⎧(1-e )(1+e )
) a e +1a e +1⎩
2
1
1，即1,1) ，选D. 11． 【答案】
D
试题分析：因为函数y =f (x -1) 的图像关于点（1,0）对称，所以
y =f (x ) 的图象关于原点对称，即函数y =f (x ) 为奇函数，
22
由f (x -2x ) +f (2y -y ) ≤0得
f (x 2-2x ) ≤-f (2y -y 2) =f (y 2-2y ) ，
22x -2x ≥y -2y ， 所以
⎧x 2-2x ≥y 2-2y 0⎧(x -y )(x +y -2) ≥⎨⎨1≤x ≤41≤x ≤4⎩所以，即⎩，
画出可行域如图，可得
=x+2y∈[0，12]．故选D ．
12．【答案】C
试题分析：根据函数的解析式，画出图像，由图像易知这10 个零点为0,1,2,3，„„，9，所以S 10＝45.
二．填空题： 13. 【答案】—15 14．【答案】43π 15. 【答案】600
134222试题分析：甲、乙两名同学只有一人参加时，有C 2C 5A 4=480；甲、乙两人均参加时，有C 5A 2A 3=120。
共有600种。
16. 【答案】{(4, -4), (4, 1)}
满足题意的数列只能有4项，若删掉a 2，则a 3=a 1⋅a 4，ad =-4d ，若删掉a 3，则a 2=a 1⋅a 4，ad =d ，所以所有数对 n ,
2
2
22
⎛⎝a 1⎫
⎪所组成的集合为{(4, -4), (4, 1)} d ⎭
17. （本小题满分12分）
πb 2+c 2-a 2bc 1
==，得到A = „4分 解析：（1）b +c =a +bc ，所以cos A =
32bc 2bc 2
C 2B +2sin 2=1 ∵1-cos B +1-cos C =1∴cos B +cos C =1，„„6分 （2）∵2sin
222ππ
-B ) =1，得到sin(B +) =1， „„„„„8分 即cos B +cos(36
πππ2πππ5π
0
6233666
2
2
2
∴∆ABC 为等边三角形 „„„„12分
18. （本小题满分12分）
【解析】(I)先列出2⨯2列联表
n (ad -bc ) 2
然后利用公式K =, 计算出k 2值, 再根据k 值是否大于6.635, 来确定
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
2
是不是有没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.
(II)先确定ξ所有可能取值有0,1,2,3, 然后求出每个值对应的概率, 列出分布列, 求出期望值. （Ⅰ）2乘2列联表
2
50⨯(3⨯11-7⨯29) 2
6. 47
(3+7)(29+11)(3+29)(7+11)
所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. „„（6分）
2
C 8262884C 4
（Ⅱ）ξ所有可能取值有0,1,2,3，P (ξ=0)=2⋅2=， ⨯=
C 5C [1**********]12
C 82C 4C 8C C 4428616104
P (ξ=1)=2⨯2+2⨯22=⨯+⨯=
C 5C 10C 5C [***********]C 8C 2C 4C 4C 24166135
P (ξ=2)=2⨯2+2⨯2=⨯+⨯=
C 5C 10C 5C [**************]C 4C 2412
P (
ξ=3)=2⋅2=⨯=
C 5C 101045225
所以ξ的分布列是
++=
. „„„„„„„„„„„„（12分） 所以ξ的期望值是E ξ
=0+
2252252255
19.
（本小题满分12分）
解：（I ）连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60，所以BD =a
因为BB 1、
CC 1都垂直于面ABCD , ∴
BB 1//CC 1，又面BC 11D 1∥面ABCD , ∴BC //B 1C 1 所以四边形BCC 1B 1为平行四边形 ,则B 1C 1=BC =a „„„„„„„„„„„„„„„2分 因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD , 则DB 1=
==
DE ===
4分 B 1E ===
6a 2+6a 2
=3a 2=DB 12 所以DE +B 1E =
4
2
2
所以∆DB 1E 为等腰直角三角形 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
（II ）取DB 1的中点H ，因为O , H 分别为D B , D B 1的中点，所以OH ∥BB 1以OA , OB , OH 分别为x , y , z 轴建立坐标系，
1
则D (0,-
a a a ,0), E (-a ,0, a ), B 1(0,), F , ,0)
222244
a 3
DF (=24
„„„„„„„„7分
所以DB 1=(0,a , DE =(-
设面D BE 的法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1) ， 1
a ax 1+y 1+1=0 则n 1⋅DB 1=0, n 1⋅DE =0，即ay 11=
0且-222
令z 1=
1，则n 1=(0, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
设面DFE 的法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2) ，
3a 2+ay 2=
0且2+y 2+az 2=0 则n 2⋅DF =0, n 2⋅DE =0422
1, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
令x 2=
1，则n 2=(
=则cos n 1, n 2=, 则二面角B 1-D E -
F „„„„12分
22
20. （本小题满分12分）
11m
解：(1)设M (x , y ), B (-, m ) ，则BM =(x +, y -m ) , e =(0,1) , CM (=, x y -AB (=1, -) m ，
222
⎧y =m ⎪2
由BM ⋅e =0, CM ⋅AB =0得⎨m 2，所以动点M 的轨迹E 的方程为y =2x ；„„„„„4分
⎪x =
2⎩
y -b
x +b ， (2)设P (x 0, y 0), R (0,b ), N (0,c ) ，且b >c ，∴l PR :y =0
x 0
即l PR :(y 0-b ) x -x 0y +x 0b =
0=1，注意到x 0>2，化简得
(x 0-2) b 2+2y 0b -x 0=0，
同理得(x 0-2) c 2+2y 0c -x 0=0，
所以b , c 是方程(x 0-2) x 2+2y 0x -x 0=0的两根，„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
所以b -c =
2x 0
， x 0-2
有S ∆PRN =
12x 04⋅⋅x 0=(x 0-2) ++4≥8，当x 0=4时∆PRN 的面积的最小值为8. „12分 2x 0-2x 0-2
21. （本小题满分12分）
1121x 2+1
解：（1）当a =时，f (x ) =x +ln x ，f '(x ) =x +=；
22x x
对于x ∈[1, e]，有f '(x ) >0，∴f (x ) 在区间[1, e]上为增函数
e 21
∴f max (x ) =f (e ) =1+，f min (x ) =f (1) =．„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 分
22
（2）在区间（1，+∞）上，函数f (x ) 是f 1(x ), f 2(x ) 的“活动函数”，则f 1(x )
2
令p (x ) =f (x ) -f 2(x ) =(a -) x -2ax +ln x
12
且h (x ) =f 1(x ) -f (x ) =-
12
x +2ax -a 2ln x
1(2a -1) x 2-2ax +1(x -1)[(2a -1) x -1]
'(x ) =(2a -1) x -2a +==∵p `( （*）
x x x
1） 若a >
11
，令p '(x ) =0，得极值点x 1=1，x 2=， 22a -1
1
0，此时p (x ) 在区间（x 2，+∞）上是增函数，2
当x 2>x 1=1，即
并且在该区间上有p (x ) ∈（p (x 2) ，+∞），不合题意；
当x 2
1
，则有2a -1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p '(x )
11
上是减函数；要使p (x )
22
2） 若a ≤所以-
11
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分 ≤a ≤．
22
/
a 2-x 2+2ax -a 2-(x -a ) 2
又因为h （x ）= –x+2a–=
x x x
h （x ）
1111
+2a≤0， 所以a ≤综合可知a 的范围是[-, ]． 12分
2424
a 2(x -a ) 2
x x 11
h（x ）在（1,+∞）递减，只要h （1） ≤ 0, 得-+2a ≤0，解得a ≤． 。。。。。。。。。。。8分
42
1(x -1)[(2a -1) x -1]
而p `（x ）=对x ∈（1,+∞） 且a ≤有p `（x ）
4x
1111
只要p （1） ≤ 0, a --2a ≤0，解得a ≥-, 所以．-≤a ≤ 。。。。。。。。。。。。12分
2224
22．证明：（1）连结AB ，AC ，
∵AD 为圆M 的直径，∴∠ABD =90，
∴AC 为圆O 的直径, ∴∠CEF =∠AGD , ∵∠DFG =∠CFE ，∴∠ECF =∠GDF , D O · ∵G 为弧BD 中点，∴∠DAG =∠GDF ，
∵∠ECB =∠BAG ,∴∠DAG =∠ECF , G C
CE AG
=∴∆CEF ∽∆AGD ，∴， EF GD
∴AG ⋅EF =CE ⋅GD „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 （2）由（1）知∠DAG =∠GDF ，∠G =∠G ,
2
GF , ∴∆D F G ∽∆AGD ,∴DG =AG
EF 2GD 2GF EF 2
==由（1）知，∴． „„„„„„„„„„„„„„„„„10分 222
CE AG AG CE
23. 【解析】
22
（Ⅰ）曲线C 的普通方程为x -y -1=0，曲线P 的直角坐标方程为x +y -4x +3=0．
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
2
2
（Ⅱ）曲线P 可化为(x -2) +y =1，表示圆心在(2, 0) ，半径r =1的圆，
则圆心到直线C 的距离为d =24. 【解析】
2
=
222
，所以AB =2r -d =2．„„„„„„10分 2
1⎧
-x -3, x
1⎪
解：（1）f (x ) =⎨3x -1, -≤x
2⎪
⎪x +3, x ≥2⎪⎩
1
当x 2, x
21
当-≤x 2, x >1, ∴1
2
当x ≥2, x +3>2, x >-1, ∴x ≥2
综上所述 x |x >1或x
{}
5112
，若∀x ∈R 都有f (x ) ≥t -t 恒成立， 22511t 1=-≥t 2-解得≤t ≤5„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
222
2015—2016学年度模拟考试高三数学
(理科试卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |-5≤2x -1≤3, x ∈R }，B ={x |x (x -8) ≤0, x ∈Z }，则A B =( ) A ．(0,2)
B ．[0,2] C ．{0,2} D ．{0,1,2}
m 2+i
2．如果复数是实数，则实数m =( )
1-m i
A. -1 B. 1 C. -
2 D.2
x 2
-y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（ ） 3．焦点为（0，6）且与双曲线2
x 2y 2y 2x 2y 2x 2x 2y 2
-=1 B .-=1 C.-=1 D.-=1 A.
[**************]2
4. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,
若a =
( )
A ． 60 B． 30 C． 150 D．45
5. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数y =x 图象下方的点构成的区域。在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ）
2
b =
2，sin B +cos B 则角A 的大小为
A． B．
15111 C． D． 432
6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ）
A.0 B. 1 C. 2 D. 3
7．在∆ABC 中, AB +AC =2AM ， AM =1, 点P 在AM 上且满足=2, 则PA ⋅(PB +PC ) 等于
( ) A ．
4444
B． C．- D．- 9339
8. 函数
πππ
f (x ) =s in(ωx +ϕ) （x ∈R ）(ω>0, ϕ
632
f (x 1) =f (x 2) ，则f (x 1+x 2) =（ ）
A．
1
B． C． D．1
222
9. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ．则以下命题中，错误的命题是（ ） ．．
A ．点H 是∆A 1BD 的垂心 B．AH 垂直平面CB 1D 1 C ．AH 的延长线经过点C 1 D．直线AH 和BB 1所成角为45
x 2y 2
10. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F （1-c , 0), F 2(c , 0) ，若椭圆上存在点P 使
a b
a c
，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） =
sin ∠PF F sin ∠PF F 1221
A.（0，2-1 B.（）
22
） D.（2-1，1） ，1） C.（0，
22
11．函数y =f (x ) 为定义在R 上的减函数，函数y =f (x -1) 的图像关于点（1,0）对称， x , y 满 足不等式f (x 2-2x ) +f (2y -y 2) ≤0，M (1,2), N (x , y ) ，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，
OM ⋅ON 的取值范围为 （ ）
A．[12, +∞) B．[0, 3]
C ．[3, 12] D．[0, 12]
x
⎧⎪2-1(x ≤0)
12．已知函数f (x ) =⎨，把函数g (x )=f (x )-x 的零点按从小到大的顺序排
f x -1+1x >0)()⎪⎩(
列成一个数列，则该数列的前n 项的和S n , 则S 10＝（ ） A ．15 B．22 C．45 D． 50 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分。）
13. 直线y =k x +b 与曲线，则b 的值为 。 y =x +a x +1相切于点（2，3）
14. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的体积为
_______________.
3
15. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参
加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 .
16. 设a 1，a 2，„，a n 是各项不为零的n （n ≥4）项等差数列，且公差d ≠0．若将此数列删去某一项后，得到
的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对 n ,
⎛⎝a 1⎫
⎪所组成的集合为________． d ⎭
[来源:学§科§网]
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分12分）
在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 所对的三边，已知b 2+c 2=a 2+bc ． （1）求角A 的大小； （2）若2sin
18. （本小题满分12分）
现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对 “楼市限购令”赞成人数如下表．
2
B C
+2sin 2=1，试判断∆A B C 的形状． 22
（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异；
（Ⅱ)若对月收入在[15，25） ，[25，35）的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. 参考数据：
n (ad -bc ) 2
K =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
2
（19）（本小题满分12分）
如图，几何体ABC D -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60，AB =a ，面BC 11D 1∥面
ABCD , BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD ,
且BB 1=，E 为CC 1的中点，F 为AB 的中点.
（Ⅰ）求证：∆DB 1E 为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角B 1-DE -F 的余弦值.
1
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知点A (,0) ，向量e =(0,1)，点B 为直线x =-
1
2
1
上的动点，点C 满足2
2OC =OA +OB ，点M 满足B M ⋅e =0, C M ⋅A B =0.
来[源Z §x x §k C o m ]
(1)试求动点M 的轨迹E 的方程；
(2)设点P 是轨迹E 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆(x -1)+y 2=1内切于∆PRN ，求∆PRN 的面积的最小值.
21. （本小题满分12分）
2
已知函数f (x ) =a x 2+l n x (a ∈R ) ． （1）当a =
1
时，求f (x ) 在区间[1, e ]上的最大值和最小值； 2
（2）如果函数g (x ) ，f 1(x ) ，f 2(x ) ，在公共定义域D 上，满足f 1(x )
12122
．已知函数f 1(x ) =(a -) x +2ax +(1-a )ln x ，f 2(x ) =x +2ax ．若f 1(x ), f 2(x ) 的“活动函数”
22
在区间(1, +∞)上，函数f (x ) 是f 1(x ) ，f 2(x ) 的“活动函数”，求a 的取值范围。
22. 如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 中点，连结AG 分别
交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE ．
GF EF 2=. （1）求证：AG ⋅EF =CE ⋅GD ；（2）求证：
AG CE 2
[来源:学科网]
O · C
23. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨
G
D
⎧x =2+t
，曲线P 在以该直角坐标系的原点O 的为极点，(t 为参数）
⎩y =t +1
2
x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为p -4p cos θ+3=0. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求|AB|.
24. 设函数f (x ) =2x +-x -2． （Ⅰ）求不等式f (x ) >2的解集；
2
（Ⅱ）∀x ∈R ，使f (x ) ≥t -
11
t ，求实数的取值范围． 2
2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学
(理科答案)
一、选择题 1. 【答案】D
试题分析：A =[-2, 2]，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，所以A B ={0,1,2}，选D 。 2．【答案】A
[来源:学§科§网]
m 2+i (m 2+i )(1+mi ) m 2-m +(1+m 3) i 3
==1+m 试题分析：是实数，则虚部为 0，所以 22
1-mi 1+m 1+m m =-1，选A
3．【答案】B
x 2
-y 2=λ，又因为焦点为（0,6）试题分析：设双曲线方程为，则3λ=36，λ=-12，选B 。 2
4. 【答案】B
=，因为0
又因为试题分析：
由sin B +cos B =得1+2sin B cos B =2，即s i n2B 1
12
b =2，sin A =a ==所以在∆ABC 中，
，解得，又a
2sin A sin 45
所以A =30。 5. 【答案】C
2
试题分析：
⎰
-1
x 2dx =
13
x 3
2-2
16
161
=，所以P ==，选C 。 3163
6. 【答案】B 7．【答案】D
21
试题分析：由题意易知：M 是BC 的中点，P 是三角形ABC 的重心，因为AM =1，
==，所
33
224
⋅2PM =⨯⨯cos π=-故选D. PA ⋅(PB +PC ) 以=339。
8. 【答案】C
试题分析：由图像可知T =π∴ω=2∴f (x )=sin (2x +ϕ)代入 -
⎛π⎫
, 0⎪得 6⎝⎭
ϕ=
π
ππ⎫2π⎛
∴f (x )=sin 2x +⎪ f (x 1) =f (x 2) ∴x 1+x 2=
∴f (x 1+x 2) ==
3633⎭⎝
9. 【答案】D 10. 【答案】D
a c a c
=试题分析：根据正弦定理得，所以由可得，==
PF PF sin ∠PF F sin ∠PF F sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1211221
PF 2PF 1
即
PF 1PF 2
=
c
=e ，所以，又
PF =e PF a 12
，即PF =2a ，因为
2
PF 1+PF 2=e PF 2+PF 2=PF 2(e +1) =2a
e +1
a -c ，
(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义) 所以a -c e +1
2
⎧(1-e )(1+e )
) a e +1a e +1⎩
2
1
1，即1,1) ，选D. 11． 【答案】
D
试题分析：因为函数y =f (x -1) 的图像关于点（1,0）对称，所以
y =f (x ) 的图象关于原点对称，即函数y =f (x ) 为奇函数，
22
由f (x -2x ) +f (2y -y ) ≤0得
f (x 2-2x ) ≤-f (2y -y 2) =f (y 2-2y ) ，
22x -2x ≥y -2y ， 所以
⎧x 2-2x ≥y 2-2y 0⎧(x -y )(x +y -2) ≥⎨⎨1≤x ≤41≤x ≤4⎩所以，即⎩，
画出可行域如图，可得
=x+2y∈[0，12]．故选D ．
12．【答案】C
试题分析：根据函数的解析式，画出图像，由图像易知这10 个零点为0,1,2,3，„„，9，所以S 10＝45.
二．填空题： 13. 【答案】—15 14．【答案】43π 15. 【答案】600
134222试题分析：甲、乙两名同学只有一人参加时，有C 2C 5A 4=480；甲、乙两人均参加时，有C 5A 2A 3=120。
共有600种。
16. 【答案】{(4, -4), (4, 1)}
满足题意的数列只能有4项，若删掉a 2，则a 3=a 1⋅a 4，ad =-4d ，若删掉a 3，则a 2=a 1⋅a 4，ad =d ，所以所有数对 n ,
2
2
22
⎛⎝a 1⎫
⎪所组成的集合为{(4, -4), (4, 1)} d ⎭
17. （本小题满分12分）
πb 2+c 2-a 2bc 1
==，得到A = „4分 解析：（1）b +c =a +bc ，所以cos A =
32bc 2bc 2
C 2B +2sin 2=1 ∵1-cos B +1-cos C =1∴cos B +cos C =1，„„6分 （2）∵2sin
222ππ
-B ) =1，得到sin(B +) =1， „„„„„8分 即cos B +cos(36
πππ2πππ5π
0
6233666
2
2
2
∴∆ABC 为等边三角形 „„„„12分
18. （本小题满分12分）
【解析】(I)先列出2⨯2列联表
n (ad -bc ) 2
然后利用公式K =, 计算出k 2值, 再根据k 值是否大于6.635, 来确定
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
2
是不是有没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.
(II)先确定ξ所有可能取值有0,1,2,3, 然后求出每个值对应的概率, 列出分布列, 求出期望值. （Ⅰ）2乘2列联表
2
50⨯(3⨯11-7⨯29) 2
6. 47
(3+7)(29+11)(3+29)(7+11)
所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. „„（6分）
2
C 8262884C 4
（Ⅱ）ξ所有可能取值有0,1,2,3，P (ξ=0)=2⋅2=， ⨯=
C 5C [1**********]12
C 82C 4C 8C C 4428616104
P (ξ=1)=2⨯2+2⨯22=⨯+⨯=
C 5C 10C 5C [***********]C 8C 2C 4C 4C 24166135
P (ξ=2)=2⨯2+2⨯2=⨯+⨯=
C 5C 10C 5C [**************]C 4C 2412
P (
ξ=3)=2⋅2=⨯=
C 5C 101045225
所以ξ的分布列是
++=
. „„„„„„„„„„„„（12分） 所以ξ的期望值是E ξ
=0+
2252252255
19.
（本小题满分12分）
解：（I ）连接BD ，交AC 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60，所以BD =a
因为BB 1、
CC 1都垂直于面ABCD , ∴
BB 1//CC 1，又面BC 11D 1∥面ABCD , ∴BC //B 1C 1 所以四边形BCC 1B 1为平行四边形 ,则B 1C 1=BC =a „„„„„„„„„„„„„„„2分 因为BB 1、CC 1、DD 1都垂直于面ABCD , 则DB 1=
==
DE ===
4分 B 1E ===
6a 2+6a 2
=3a 2=DB 12 所以DE +B 1E =
4
2
2
所以∆DB 1E 为等腰直角三角形 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
（II ）取DB 1的中点H ，因为O , H 分别为D B , D B 1的中点，所以OH ∥BB 1以OA , OB , OH 分别为x , y , z 轴建立坐标系，
1
则D (0,-
a a a ,0), E (-a ,0, a ), B 1(0,), F , ,0)
222244
a 3
DF (=24
„„„„„„„„7分
所以DB 1=(0,a , DE =(-
设面D BE 的法向量为n 1=(x 1, y 1, z 1) ， 1
a ax 1+y 1+1=0 则n 1⋅DB 1=0, n 1⋅DE =0，即ay 11=
0且-222
令z 1=
1，则n 1=(0, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
设面DFE 的法向量为n 2=(x 2, y 2, z 2) ，
3a 2+ay 2=
0且2+y 2+az 2=0 则n 2⋅DF =0, n 2⋅DE =0422
1, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
令x 2=
1，则n 2=(
=则cos n 1, n 2=, 则二面角B 1-D E -
F „„„„12分
22
20. （本小题满分12分）
11m
解：(1)设M (x , y ), B (-, m ) ，则BM =(x +, y -m ) , e =(0,1) , CM (=, x y -AB (=1, -) m ，
222
⎧y =m ⎪2
由BM ⋅e =0, CM ⋅AB =0得⎨m 2，所以动点M 的轨迹E 的方程为y =2x ；„„„„„4分
⎪x =
2⎩
y -b
x +b ， (2)设P (x 0, y 0), R (0,b ), N (0,c ) ，且b >c ，∴l PR :y =0
x 0
即l PR :(y 0-b ) x -x 0y +x 0b =
0=1，注意到x 0>2，化简得
(x 0-2) b 2+2y 0b -x 0=0，
同理得(x 0-2) c 2+2y 0c -x 0=0，
所以b , c 是方程(x 0-2) x 2+2y 0x -x 0=0的两根，„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分
所以b -c =
2x 0
， x 0-2
有S ∆PRN =
12x 04⋅⋅x 0=(x 0-2) ++4≥8，当x 0=4时∆PRN 的面积的最小值为8. „12分 2x 0-2x 0-2
21. （本小题满分12分）
1121x 2+1
解：（1）当a =时，f (x ) =x +ln x ，f '(x ) =x +=；
22x x
对于x ∈[1, e]，有f '(x ) >0，∴f (x ) 在区间[1, e]上为增函数
e 21
∴f max (x ) =f (e ) =1+，f min (x ) =f (1) =．„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 分
22
（2）在区间（1，+∞）上，函数f (x ) 是f 1(x ), f 2(x ) 的“活动函数”，则f 1(x )
2
令p (x ) =f (x ) -f 2(x ) =(a -) x -2ax +ln x
12
且h (x ) =f 1(x ) -f (x ) =-
12
x +2ax -a 2ln x
1(2a -1) x 2-2ax +1(x -1)[(2a -1) x -1]
'(x ) =(2a -1) x -2a +==∵p `( （*）
x x x
1） 若a >
11
，令p '(x ) =0，得极值点x 1=1，x 2=， 22a -1
1
0，此时p (x ) 在区间（x 2，+∞）上是增函数，2
当x 2>x 1=1，即
并且在该区间上有p (x ) ∈（p (x 2) ，+∞），不合题意；
当x 2
1
，则有2a -1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p '(x )
11
上是减函数；要使p (x )
22
2） 若a ≤所以-
11
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9分 ≤a ≤．
22
/
a 2-x 2+2ax -a 2-(x -a ) 2
又因为h （x ）= –x+2a–=
x x x
h （x ）
1111
+2a≤0， 所以a ≤综合可知a 的范围是[-, ]． 12分
2424
a 2(x -a ) 2
x x 11
h（x ）在（1,+∞）递减，只要h （1） ≤ 0, 得-+2a ≤0，解得a ≤． 。。。。。。。。。。。8分
42
1(x -1)[(2a -1) x -1]
而p `（x ）=对x ∈（1,+∞） 且a ≤有p `（x ）
4x
1111
只要p （1） ≤ 0, a --2a ≤0，解得a ≥-, 所以．-≤a ≤ 。。。。。。。。。。。。12分
2224
22．证明：（1）连结AB ，AC ，
∵AD 为圆M 的直径，∴∠ABD =90，
∴AC 为圆O 的直径, ∴∠CEF =∠AGD , ∵∠DFG =∠CFE ，∴∠ECF =∠GDF , D O · ∵G 为弧BD 中点，∴∠DAG =∠GDF ，
∵∠ECB =∠BAG ,∴∠DAG =∠ECF , G C
CE AG
=∴∆CEF ∽∆AGD ，∴， EF GD
∴AG ⋅EF =CE ⋅GD „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 （2）由（1）知∠DAG =∠GDF ，∠G =∠G ,
2
GF , ∴∆D F G ∽∆AGD ,∴DG =AG
EF 2GD 2GF EF 2
==由（1）知，∴． „„„„„„„„„„„„„„„„„10分 222
CE AG AG CE
23. 【解析】
22
（Ⅰ）曲线C 的普通方程为x -y -1=0，曲线P 的直角坐标方程为x +y -4x +3=0．
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分
2
2
（Ⅱ）曲线P 可化为(x -2) +y =1，表示圆心在(2, 0) ，半径r =1的圆，
则圆心到直线C 的距离为d =24. 【解析】
2
=
222
，所以AB =2r -d =2．„„„„„„10分 2
1⎧
-x -3, x
1⎪
解：（1）f (x ) =⎨3x -1, -≤x
2⎪
⎪x +3, x ≥2⎪⎩
1
当x 2, x
21
当-≤x 2, x >1, ∴1
2
当x ≥2, x +3>2, x >-1, ∴x ≥2
综上所述 x |x >1或x
{}
5112
，若∀x ∈R 都有f (x ) ≥t -t 恒成立， 22511t 1=-≥t 2-解得≤t ≤5„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分
222