3.5 共点力的平衡条件 学案（粤教版必修1）
1．物体处于静止或者保持______________的状态，称为物体的平衡状态．如桌面上静止的书、弹簧上静止的小球和在吊环上静止的运动员等，都处于平衡状态． 2．高中物理研究的物体平衡包括以下两种情况
(1)静态平衡：是指物体处于______状态，其本质特征是物体所受合力为____，运动学特征为______为零，________也为零．
(2)动态平衡：是指物体处于________________
状态，其本质特征仍是物体所受合力为零，运动学特征为______恒定，________为零． 3．对平衡状态的理解
若a ＝0且________，是物体保持静止状态的充要条件；若a ≠0，v ＝0，只能说物体的瞬时速度为零，而不能说物体处于平衡状态．平衡状态的根本特征是________而非________． 4．平衡条件
物体在共点力作用下的平衡条件是所受合外力为____．
一、平衡状态
图1
[问题情境]
如图1所示，我们在电视节目中看到过一类很惊险的杂技节目，或顶碗，或走钢丝，或一个男演员在肩膀上放一根撑杆，一个小女孩在杆上做出很多优美、惊险的动作，或将椅子叠放得很高，每张椅子都只有一只腿支撑，一个演员在椅子不同高度处做各种动作……这些节目有一个共同点，就是要保证碗或演员不能摔下来，实际上，演员们的表演都是很成功的，为什么演员或碗不会掉下来呢？
[要点提炼] 1．平衡状态
一个物体在共点力作用下，如果保持静止或匀速直线运动状态，则这个物体就处于平衡状态．如光滑水平面上匀速滑动的物块；沿斜面匀速下滑的木箱；天花板上悬挂的吊灯等．这些物体都处于平衡状态．
2．分类：共点力作用下物体的平衡分为两种情形，即静平衡(物体静止) 和动平衡(物体做匀速直线运动) ． 3．对静止的理解
静止与速度v ＝0不是一回事，物体保持静止状态，说明v ＝0，a ＝0，两者同时成立，若仅是v ＝0，a ≠0，如竖直上抛到最高点的物体，此时物体并不能保持静止，上抛到最高点的物体并非处于平衡状态．
二、共点力作用下物体的平衡条件和求解方法
[要点提炼]
1．共点力作用下物体的平衡条件 (1)处于平衡状态的物体，其加速度a ＝0，由牛顿第二定律F ＝ma 知，物体所受合力F 合＝0，即共点力作用下物体处于平衡状态的力学特点是__________________．
(2)F 合＝0，则在任一方向上物体所受合力也为零．将物体所受的共点力正交分解，则平衡条件可表示为下列方程组：________________. 2．求解共点力作用下物体平衡的方法
(1)三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题．根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解三角形求解平衡问题．解三角形的多数情况是解直角三角形，如果力的三角形并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转
化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形．不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解．
(2)正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便．将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程，此时平衡条件可表示为 ⎧⎪F x ＝0⎨ ⎪F y ＝0
⎩
例1 物体在共点力作用下，下列说法中正确的是( )
A ．物体的速度在某一时刻等于零时，物体一定处于平衡状态 B ．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态 C ．物体所受合力为零时，就一定处于平衡状态 D ．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
变式训练1 下列物体中处于平衡状态的是( ) A ．静止在粗糙斜面上的物体 B ．沿光滑斜面下滑的物体
C ．在平直路面上匀速行驶的汽车
D ．做自由落体运动的物体在刚开始下落的一瞬间
图2
例2 如图2所示，在倾角为α的斜面上，质量为m 的物体在水平力F 作用下处于静止状态，试分析该物体的受力情况．
图3
变式训练2 如图3所示，一球A 夹在竖直墙与三角形劈B 的斜面之间，三角形劈的重力为G ，劈的底部与地面之间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，劈的斜面倾角为45°. 问：欲使劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
图4
例3 如图4所示，把球夹在竖直墙AC 和木板BC 之间，不计摩擦，球对墙的压力为F N1，球对板的压力为F N2，在将板BC 逐渐放至水平的过程中，下列说法中正确的是( ) A ．F N1和F N2都增大 B ．F N1和F N2都减小 C ．F N1增大，F N2减小 D ．F N1减小，F N2增大
图5
变式训练3 如图5所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA 使连接点A 向上移动，而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时( ) A ．绳OB 的拉力逐渐增大 B ．绳OB 的拉力逐渐减小 C ．绳OA 的拉力先增大后减小 D ．绳OA 的拉力先减小后增大
【即学即练】
1．若一个物体处于平衡状态，则此物体一定是( ) A ．静止的
B ．匀速直线运动 C ．速度为零 D ．合力为零
图6
2．如图6所示，地面上斜放着一块木板AB ，上面放一个木块，木块相对斜面静止．设斜面对木块的支持力为F N ，木块所受摩擦力为f . 若使斜面的B 端缓慢放低时，将会产生下述的哪种结果( ) A ．F N 增大，f 增大 B ．F N 增大，f 减小 C ．F N 减小，f 增大 D ．F N 减小，f 减小
图7
3．如图7，物体m 静止在倾角为θ的斜面上，用水平力F 推物体m ，若F 由零稍微增大一些，但m 仍静止，则( )
A ．物体m 受到的静摩擦力一定减小 B ．物体m 受到的合外力不变 C ．斜面受到的压力增大
D ．物体m 对斜面的静摩擦力一定增大
图8
4．如图8所示，一木板B 放在水平地面上，木块A 放在B 的上面，A 的右端通过轻质弹簧秤固定在直立的墙壁上，用F 向左拉动B ，使它以速度v 运动，这时弹簧秤示数为F T . 下面的说法中正确的是( )
A ．木板B 受到的滑动摩擦力的大小等于F T B ．地面受到的滑动摩擦力的大小等于F T
C ．若木板以2v 的速度运动，木块A 受到的摩擦力的大小等于2F T D ．若2F 的力作用在木板上，木块A 受到的摩擦力的大小等于F T
参考答案
课前自主学习 1．匀速直线运动
2．(1)静止 零 速度 加速度 (2)匀速直线运动 速度 加速度 3．v ＝0 a ＝0 v ＝0 4．零
核心知识探究 一、
[问题情境]
演员们经过长期的训练，很好地掌握并利用了物体的平衡条件． 二、
[要点提炼]
1．(1)所受合外力F 合＝0 (2)Fx ＝0；F y ＝0 解题方法探究
例1 C [处于平衡状态的物体，从运动形式上是处于静止状态或保持匀速直线运动状态，从受力上看，物体所受合力为零．某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A 错；物体相对于另一物体静止时，该物体不一定处于平衡状态，如当另一物体做变速运动时，该物体也做相同的变速运动，此物体处于非平衡状态，故B 错；C 选项符合平衡条件的判断，为正确选项；物体做匀加速运动，所受合力不为零，故不是平衡状态，D 错．]
变式训练1 AC [在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动，加速度为零；从受力情况来说，合力为零．物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不再是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合外力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态．本题的正确选项应为A 、C .] 例2 见解析
解析 如图所示，物体m 受重力mg 、斜面支持力F N 、水平力F 作用，是否受静摩擦力？其方向怎样？要回答这个问题，必须分析三个力的关系才能够确定．
解法一：(1)当F N 、F 、mg 三力平衡，即沿斜面有F cos α＝mg sin α时，即使斜面粗糙，物体也不受摩擦力．
(2)当F N 、F 、mg 合力沿斜面向上时，即在斜面方向上F cos α>mgsin α时，物体必然受沿斜面向下的摩擦力，否则物体不可能平衡，此时物体所受摩擦力大小为f ＝F cos α－mg sin α. (3)当F N 、F 、mg 合力沿斜面向下时，即沿斜面方向有F cos α
解法二：可用假设法，假设物体所受摩擦力f 沿斜面向下，则根据物体平衡条件，得F cos α＝f ＋mg sin α，所以f ＝F cos α－mg sin α. 讨论：①当F cos α－mg sin α＝0时，f ＝0.
②当F cos α－mg sin α>0时，f>0，物体所受摩擦力方向与假设方向相同，即沿斜面向下． ③当F cos α－mg sin α
μ
变式训练2 球的重力不能超过1－μ
解析 由三角形劈与地面之间的最大静摩擦力，可以求出三角形劈所能承受的最大压力，由此可求出球的最大重力．
球A 与三角形劈B 的受力情况如图甲、乙所示，球A 在竖直方向的平衡方程为： G A ＝F N BA sin 45°①
三角形劈的平衡方程为： f m ＝F N AB sin 45°② F N B ＝G ＋F N AB sin 45°③ 另有f m ＝μFN AB ④ 由②③④式可得：F N AB
＝
2
(1－μ)2
μG
μ
而F N BA ＝F N AB ，代入①式可得：G A ＝G
1－μ
例3 B [准确画出物体的受力图，明确哪些量变、哪些量不变，然后由平衡条件和几何知识进行分析求解．
虽然题目中的F N 1和F N 2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象只能取球，由于球处于一个动态平衡过程，F N 1和F N 2都是变力，画受力图可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律．
球所受的重力G 产生的效果有两个：使球压墙的力F 1和使球对板的压力F 2. 根据G 产生的效果将其分解，如图所示，则F 1＝F N 1，F 2＝F N 2. 从图中不难看出，当板BC 逐渐被放平的过程中，F 1的方向保持不变而大小逐渐减小，F 2与G 的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小，因此正确选项为B .] 变式训练3 BD
[该题是动态平衡问题，处理这类问题要牢记一点，取结点O 为研究对象，绳OA 、OB 的拉力的合力F 合与灯的重力G 大小相等方向相反，始终不变，由平行四边形法则画出矢量图如右图．
由图可知：在A 点上移的过程中，F 1先变小后增大，F 2一直减小，所以答案B 、D 正确．] 即学即练 1．D
2．B [木块在重力、支持力、摩擦力作用下平衡，F N ＝G cos θ，f ＝G sin θ.] 3．BC [当物体不受F 作用时，由受力分析可知： 沿斜面方向，有摩擦力f ＝mg sin θ
沿垂直斜面方向，斜面对物体的支持力F N ＝mg cos θ
当水平力F 作用于物体m 上并由零稍微增大后，物体仍静止，所受合力为零，B 选项正确． 由分析知：
f ＝F cos θ－mg sin θ，F N ＝F sin θ＋mg cos θ
因而，当F 稍微增大一些时，F N 必增大，斜面受到的正压力增大，选项C 正确．F 开始增大，f 减小，当F 增大到F cos θ＝mg sin θ时，f ＝0. 当F 继续增大时，物体m 相对于斜面有向上的运动趋势，故静摩擦力改变方向，此时沿斜面方向上平衡方程可变为：F cos θ＝mg sin θ＋f
当F 继续增大时，f 亦继续增大，直至物体开始滑动，故A 、D 错误，B 、C 正确．] 4．D
3.5 共点力的平衡条件 学案（粤教版必修1）
1．物体处于静止或者保持______________的状态，称为物体的平衡状态．如桌面上静止的书、弹簧上静止的小球和在吊环上静止的运动员等，都处于平衡状态． 2．高中物理研究的物体平衡包括以下两种情况
(1)静态平衡：是指物体处于______状态，其本质特征是物体所受合力为____，运动学特征为______为零，________也为零．
(2)动态平衡：是指物体处于________________
状态，其本质特征仍是物体所受合力为零，运动学特征为______恒定，________为零． 3．对平衡状态的理解
若a ＝0且________，是物体保持静止状态的充要条件；若a ≠0，v ＝0，只能说物体的瞬时速度为零，而不能说物体处于平衡状态．平衡状态的根本特征是________而非________． 4．平衡条件
物体在共点力作用下的平衡条件是所受合外力为____．
一、平衡状态
图1
[问题情境]
如图1所示，我们在电视节目中看到过一类很惊险的杂技节目，或顶碗，或走钢丝，或一个男演员在肩膀上放一根撑杆，一个小女孩在杆上做出很多优美、惊险的动作，或将椅子叠放得很高，每张椅子都只有一只腿支撑，一个演员在椅子不同高度处做各种动作……这些节目有一个共同点，就是要保证碗或演员不能摔下来，实际上，演员们的表演都是很成功的，为什么演员或碗不会掉下来呢？
[要点提炼] 1．平衡状态
一个物体在共点力作用下，如果保持静止或匀速直线运动状态，则这个物体就处于平衡状态．如光滑水平面上匀速滑动的物块；沿斜面匀速下滑的木箱；天花板上悬挂的吊灯等．这些物体都处于平衡状态．
2．分类：共点力作用下物体的平衡分为两种情形，即静平衡(物体静止) 和动平衡(物体做匀速直线运动) ． 3．对静止的理解
静止与速度v ＝0不是一回事，物体保持静止状态，说明v ＝0，a ＝0，两者同时成立，若仅是v ＝0，a ≠0，如竖直上抛到最高点的物体，此时物体并不能保持静止，上抛到最高点的物体并非处于平衡状态．
二、共点力作用下物体的平衡条件和求解方法
[要点提炼]
1．共点力作用下物体的平衡条件 (1)处于平衡状态的物体，其加速度a ＝0，由牛顿第二定律F ＝ma 知，物体所受合力F 合＝0，即共点力作用下物体处于平衡状态的力学特点是__________________．
(2)F 合＝0，则在任一方向上物体所受合力也为零．将物体所受的共点力正交分解，则平衡条件可表示为下列方程组：________________. 2．求解共点力作用下物体平衡的方法
(1)三角形法：这种方法主要用来解决三力平衡问题．根据平衡条件并结合力的合成或分解的方法，把三个平衡力转化为三角形的三条边，然后通过解三角形求解平衡问题．解三角形的多数情况是解直角三角形，如果力的三角形并不是直角三角形，能转化为直角三角形的尽量转
化为直角三角形，如利用菱形的对角线相互垂直的特点就得到了直角三角形．不能转化为直角三角形时，可利用力的三角形与空间几何三角形的相似等规律求解．
(2)正交分解法：正交分解法在处理四力或四力以上的平衡问题时非常方便．将物体所受各个力均在两互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列方程，此时平衡条件可表示为 ⎧⎪F x ＝0⎨ ⎪F y ＝0
⎩
例1 物体在共点力作用下，下列说法中正确的是( )
A ．物体的速度在某一时刻等于零时，物体一定处于平衡状态 B ．物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态 C ．物体所受合力为零时，就一定处于平衡状态 D ．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
变式训练1 下列物体中处于平衡状态的是( ) A ．静止在粗糙斜面上的物体 B ．沿光滑斜面下滑的物体
C ．在平直路面上匀速行驶的汽车
D ．做自由落体运动的物体在刚开始下落的一瞬间
图2
例2 如图2所示，在倾角为α的斜面上，质量为m 的物体在水平力F 作用下处于静止状态，试分析该物体的受力情况．
图3
变式训练2 如图3所示，一球A 夹在竖直墙与三角形劈B 的斜面之间，三角形劈的重力为G ，劈的底部与地面之间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，劈的斜面倾角为45°. 问：欲使劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
图4
例3 如图4所示，把球夹在竖直墙AC 和木板BC 之间，不计摩擦，球对墙的压力为F N1，球对板的压力为F N2，在将板BC 逐渐放至水平的过程中，下列说法中正确的是( ) A ．F N1和F N2都增大 B ．F N1和F N2都减小 C ．F N1增大，F N2减小 D ．F N1减小，F N2增大
图5
变式训练3 如图5所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA 使连接点A 向上移动，而保持O 点的位置不变，则A 点向上移动时( ) A ．绳OB 的拉力逐渐增大 B ．绳OB 的拉力逐渐减小 C ．绳OA 的拉力先增大后减小 D ．绳OA 的拉力先减小后增大
【即学即练】
1．若一个物体处于平衡状态，则此物体一定是( ) A ．静止的
B ．匀速直线运动 C ．速度为零 D ．合力为零
图6
2．如图6所示，地面上斜放着一块木板AB ，上面放一个木块，木块相对斜面静止．设斜面对木块的支持力为F N ，木块所受摩擦力为f . 若使斜面的B 端缓慢放低时，将会产生下述的哪种结果( ) A ．F N 增大，f 增大 B ．F N 增大，f 减小 C ．F N 减小，f 增大 D ．F N 减小，f 减小
图7
3．如图7，物体m 静止在倾角为θ的斜面上，用水平力F 推物体m ，若F 由零稍微增大一些，但m 仍静止，则( )
A ．物体m 受到的静摩擦力一定减小 B ．物体m 受到的合外力不变 C ．斜面受到的压力增大
D ．物体m 对斜面的静摩擦力一定增大
图8
4．如图8所示，一木板B 放在水平地面上，木块A 放在B 的上面，A 的右端通过轻质弹簧秤固定在直立的墙壁上，用F 向左拉动B ，使它以速度v 运动，这时弹簧秤示数为F T . 下面的说法中正确的是( )
A ．木板B 受到的滑动摩擦力的大小等于F T B ．地面受到的滑动摩擦力的大小等于F T
C ．若木板以2v 的速度运动，木块A 受到的摩擦力的大小等于2F T D ．若2F 的力作用在木板上，木块A 受到的摩擦力的大小等于F T
参考答案
课前自主学习 1．匀速直线运动
2．(1)静止 零 速度 加速度 (2)匀速直线运动 速度 加速度 3．v ＝0 a ＝0 v ＝0 4．零
核心知识探究 一、
[问题情境]
演员们经过长期的训练，很好地掌握并利用了物体的平衡条件． 二、
[要点提炼]
1．(1)所受合外力F 合＝0 (2)Fx ＝0；F y ＝0 解题方法探究
例1 C [处于平衡状态的物体，从运动形式上是处于静止状态或保持匀速直线运动状态，从受力上看，物体所受合力为零．某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，A 错；物体相对于另一物体静止时，该物体不一定处于平衡状态，如当另一物体做变速运动时，该物体也做相同的变速运动，此物体处于非平衡状态，故B 错；C 选项符合平衡条件的判断，为正确选项；物体做匀加速运动，所受合力不为零，故不是平衡状态，D 错．]
变式训练1 AC [在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则该物体必同时具有以下两个特点：从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动，加速度为零；从受力情况来说，合力为零．物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果物体所受的合力不为零，它的运动状态就要发生变化，在下一个瞬间就不再是静止的了，所以物体是否处于平衡状态要由物体所受的合外力和加速度判断，而不能认为物体某一时刻速度为零，就是处于平衡状态．本题的正确选项应为A 、C .] 例2 见解析
解析 如图所示，物体m 受重力mg 、斜面支持力F N 、水平力F 作用，是否受静摩擦力？其方向怎样？要回答这个问题，必须分析三个力的关系才能够确定．
解法一：(1)当F N 、F 、mg 三力平衡，即沿斜面有F cos α＝mg sin α时，即使斜面粗糙，物体也不受摩擦力．
(2)当F N 、F 、mg 合力沿斜面向上时，即在斜面方向上F cos α>mgsin α时，物体必然受沿斜面向下的摩擦力，否则物体不可能平衡，此时物体所受摩擦力大小为f ＝F cos α－mg sin α. (3)当F N 、F 、mg 合力沿斜面向下时，即沿斜面方向有F cos α
解法二：可用假设法，假设物体所受摩擦力f 沿斜面向下，则根据物体平衡条件，得F cos α＝f ＋mg sin α，所以f ＝F cos α－mg sin α. 讨论：①当F cos α－mg sin α＝0时，f ＝0.
②当F cos α－mg sin α>0时，f>0，物体所受摩擦力方向与假设方向相同，即沿斜面向下． ③当F cos α－mg sin α
μ
变式训练2 球的重力不能超过1－μ
解析 由三角形劈与地面之间的最大静摩擦力，可以求出三角形劈所能承受的最大压力，由此可求出球的最大重力．
球A 与三角形劈B 的受力情况如图甲、乙所示，球A 在竖直方向的平衡方程为： G A ＝F N BA sin 45°①
三角形劈的平衡方程为： f m ＝F N AB sin 45°② F N B ＝G ＋F N AB sin 45°③ 另有f m ＝μFN AB ④ 由②③④式可得：F N AB
＝
2
(1－μ)2
μG
μ
而F N BA ＝F N AB ，代入①式可得：G A ＝G
1－μ
例3 B [准确画出物体的受力图，明确哪些量变、哪些量不变，然后由平衡条件和几何知识进行分析求解．
虽然题目中的F N 1和F N 2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象只能取球，由于球处于一个动态平衡过程，F N 1和F N 2都是变力，画受力图可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律．
球所受的重力G 产生的效果有两个：使球压墙的力F 1和使球对板的压力F 2. 根据G 产生的效果将其分解，如图所示，则F 1＝F N 1，F 2＝F N 2. 从图中不难看出，当板BC 逐渐被放平的过程中，F 1的方向保持不变而大小逐渐减小，F 2与G 的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小，因此正确选项为B .] 变式训练3 BD
[该题是动态平衡问题，处理这类问题要牢记一点，取结点O 为研究对象，绳OA 、OB 的拉力的合力F 合与灯的重力G 大小相等方向相反，始终不变，由平行四边形法则画出矢量图如右图．
由图可知：在A 点上移的过程中，F 1先变小后增大，F 2一直减小，所以答案B 、D 正确．] 即学即练 1．D
2．B [木块在重力、支持力、摩擦力作用下平衡，F N ＝G cos θ，f ＝G sin θ.] 3．BC [当物体不受F 作用时，由受力分析可知： 沿斜面方向，有摩擦力f ＝mg sin θ
沿垂直斜面方向，斜面对物体的支持力F N ＝mg cos θ
当水平力F 作用于物体m 上并由零稍微增大后，物体仍静止，所受合力为零，B 选项正确． 由分析知：
f ＝F cos θ－mg sin θ，F N ＝F sin θ＋mg cos θ
因而，当F 稍微增大一些时，F N 必增大，斜面受到的正压力增大，选项C 正确．F 开始增大，f 减小，当F 增大到F cos θ＝mg sin θ时，f ＝0. 当F 继续增大时，物体m 相对于斜面有向上的运动趋势，故静摩擦力改变方向，此时沿斜面方向上平衡方程可变为：F cos θ＝mg sin θ＋f
当F 继续增大时，f 亦继续增大，直至物体开始滑动，故A 、D 错误，B 、C 正确．] 4．D