华罗庚金杯赛模拟试题附答案详解

华罗庚金杯赛决赛模拟题（小学高年级组） 满分：150分 考试时间：90分钟

一、填空题(每小题 10分，满分 80 分.)

1237336994160

_______________

410.044100.21. （改编自2008年决赛第1题）

2. 设四边形ABCD的对角线相互垂直即 AC⊥BD，E、F、G、H、I、J分别是CD、CE、CF、AB、HB、IB的中点，若∆ACD、∆ACE、∆ACF、∆ACG、∆BCA、∆BCH、∆BCI、∆BCJ的面积和为150平方厘米，而且AC=10厘米，则BD=______________ （改编自2011年初赛第9题）

A

B

D

3. 如图汉字中，不同汉字代表不同的数字，相同汉字代表相同的数字，求使算

"式成立的汉字所代表的数字，"我喜爱数学（改编自2011年初

C

赛第10题）

学数学爱数学喜爱数学

）我喜爱数学

15675

5. 已知2008被一些自然数除，所得余数都是10，那么这样的质数共有_____个

（改编自2009年初赛第10题）

6. 某工厂现加工一批零件，如果甲车间单独加工，则需要10天完成，乙车间单

2

独加工需要15天完成。现在两个车间同时工作，当加工工作完成3时，由于部

分工人辞工，使得每天少加工25个零件 ，结果总共用了7天完成这批零件的加工，则这批零件一共有_______个（改编自2008年决赛第2题）

7. 一个数用十进制表示为540xy，这个数刚好被99整除，请问x=____, y=_____（原创题，灵感来源：正整数整除特性）

8. 九个圆圈中的字母各代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数,求E=___________

（原创题，灵感来源：每条直线上的数之和相等）

二、解答题（每小题10分，满分40分，要求写出简要过程） 9. 假设AB两地相隔90千米，BC两地相隔90千米。甲车在ＡＢ两地之间来回，时速为60千米每小时；乙车在ＡＣ两地之间来回，时速为40千米每小时。假设两车同时从Ａ地出发，求第一次相遇后。两车经过多久时间能过再次相遇？（改编自2010年决赛第3题）

10. 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？（原创题，灵感来源：数论知识中的奇偶性）

11. 从1、2、3„„30中选取3个相异的正整数，使得它们的和能被3整除，有多少种选取方法？（原创题，灵感来源：抽屉原理）

12. 一个旅馆里有6位住宿者A、B、C、D、E、F,他们来自6个不同的国家，分别是韩国、朝鲜、日本、美国、英国和中国，已知

（1） A和日本人在喝茶， C和朝鲜人在喝矿泉水，E和韩国人在喝咖啡； （2） 美国人身高比A高，中国人身高比B高，F最矮； （3） B和日本人性别不同，C和美国人性别不同。 （4） A、B、F和英国人不吸烟，朝鲜人吸烟。

则A、B、C、D、E、F各来自哪个国家？（小组原创题，灵感来源：小学的时候做过一道类似的趣味竞赛题，考逻辑推理。）

三、解答题（每小题15分，满分30分，要求写出详细过程）

13.甲乙丙从一个糖盒中依次取糖，甲取1个，乙取2个，丙取3个，甲取4个，乙取5个，

丙取6个„„以此类推，当有谁遇到盒中糖果数少如应取的糖果数，则全部取出并结束取糖。已知甲乙比丙多拿一次，但最后个数最多的是甲，次之丙，而乙取得最少，且甲比乙总共多拿了20颗，问一开始糖盒中糖果数最多应该为多少（小组原创题）

14. 图1是由数字0和1交替构成的。现将图1拆分成若干个图3中的A、B、C、D、E，要求最多拆分出1个E，并将拆分后的A、B、C、D、E的每个小格上全部加1或减1或保持不变，(例如A

变成

，A和B的变化可以不同)，再将图形合

并为原状，如此反复多次进行拆分合并形成图2。试问图2中的A格上的数字是多少？并说明理由。（改编自2010年决赛第9题） 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 A 1

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

华罗庚金杯赛决赛模拟题分析与解答

1. 【考点】乘法分配率、计算

【意图】这道题如果没有发现规律，直接计算可得，但过程繁琐；通过分配率的利用，发现数与数之间之间的关系，可以之间化简计算 【解答】

1237336994160123731233941320



410.044100.24125412

123（732720）12312040

41（252）41273

2.【考点】三角形面积的转换

【意图】考查学生分析问题的能力、逆向利用面积求边长 【解答】

对于ACD、 ACE、ACF、ACG可知，若以CD、CE、CF、CG为底，则对应的高相等又E、F、G分别是CD、CE、CF的中点1

SACD2

1111

SACFSACESACD SACGSACFSACD

2428

111

同理可知SBCHSBCA SBCISBCA SBCJSBCA

248而由题意，可知

SACD2SACE SACE

111111

SACDSACDSACDSACDSBCASBCASBCASBCA150

248248

111

则（1）（SACDSBCA）150

248

得SACDSBCA80（平方厘米）

由ACBD,记垂足为O

11

SACDACDO SBCAACBO

22

11

ACDOACBO80（平方厘米）22

BD802820（厘米）

3. 意图：考察学生的推理能力、数值观察能力及计算能力。

考点：数大小的判断、进位思考、分类讨论思想 解答：可从个位上开始思考。“学+学+学+学”的个位为5，则“学”可能是1、3、5、7、9。

当“学”=1时，不需进位，但4个“数”字相加，尾数不可能为7，所以“学”不为1； 当“学”=3时，进一位，则4个“数”字相加尾数为6只有4或9；

当“数”=6时，进一位，则3个“爱”字相加尾数为5，则“爱”只能为5，此时进一位，则两个“喜”字相加为4，“喜”=2，则“我”=1；

当“数”=9时，进三位，则3个“爱”相加尾数为3，则“爱”只能为1.但因为“我”=1，所以这种情况不成立。

当“学”=5时，进两位，则4个“数”相加尾数为5，不成立；

当“学”=7时，进三位，则4个“数”相加，尾数为4，则“数”可能为1或6。但因为“我”=1，所以“数”只能为6。当“数”为6时，进两位，则三个“爱”相加尾数为4， 则“爱”=8，进两位，则两个“喜”相加等于3。“喜”不为整数，所以不成立。 当“学”=9时，进四位，则4个“数”相加尾数为3，不成立。 故，只有“我”=1，“喜”=2，“爱”=5，“数”=4，“学”=3满足情况。

4.【考点】属于定义新运算问题、数论基础知识。

【意图】要求学生理解数论基础知识，数的相乘的个位上的数字的特征。培养学生认真观察能力。 【解答】细心观察会发现从5！开始，一直到2014！的个位上的数字都是0，所以事实上1！+2！+3！+„„+2014！的个位上的数字是1！+2！+3！+4！的个位上的数字。1！+2!+3！+4！=1+2+6+24=33，所以1！+2！+3！+„„+2014！的各位上的数字是3.

5. 意图：考察学生的推理能力，以及对质数合数的概念的理解； 考点：质数、合数、约数；

解答：先求出2008-10，即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件的所有自然数．这

3

样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，19982337，共有(1+1)×(3+1)

×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合上述条件的自然数共有11个，分别为：12,18,27,37,54,74,81,111„„，其中，只有37一个为质数，其他都为合数。故答案是1个。

6.【考点】

分数的意义、数据的处理 【意图】

通过将总的工作量看做1，渗透整体的思想；通过对多个数据的分析，培养学生数学建模和应用能力。 【解析】

设总的工作量为1

11如果不遇到工人辞工，两个车间共同加工，所需时间是1（）（天），6

1015

22

工作完成，也就是用了6（天），4

331

余下的的工作，原来需要2天，而实际用了7-4（天），3

3

1111

23，

3639

11

因此零件的数量是25（-）450（个）

69

答：这批零件一共有450个。

7.【考点】

因数分解、数的整除、数字9的特殊性质、数的拆分 【意图】

通过简单的整除问题，考查学生对问题的分析和转化能力以及对某些数字的特殊性质的认识。 【解析】

因为540xy被99整除，而99911，所以540xy同样被9和11整除。540xy53999110xy被11整除，而53999114909，因此110xy被11整除。易得，xy1。因此，x5，y4。

8. 【考点】

平均数的定义、奇偶性分析、数字推理 【意图】

本题只要找到突破口，再一步步进行推理，便可快速解决，因此，学生对题目的观察和分析尤为重要，同时要求学生具备一定的推理能力，在推理的过程中，需要进行奇偶性分析，考查学生对知识的综合运用能力。 【解析】

540xy被9整除，所以540xy9xy被9整除，即xy被9整除。

ABCDEFGHI3B3E3H9E，12345678945,所以，9E45，E5。

五、 解答题（每小题10分，满分40分） 9. 答案为：5.4小时

【考点】相遇追击问题的转换和解答

【意图】首先，这道题甲乙两车在运动过程中的“相遇”具体是相遇问题还是追击问题是位置的，需要通过验算才能获得。其次，这道题要求学生能够灵活转化甲乙两车的行驶方向，并判断两车的位置和距离。

【解答】

由于v甲v乙

故两车同时从A地出发，则第一次相遇应在甲车的第一次返回中

当甲到达B地用时为故相遇时，有

90601.（时）5

此时乙车行驶了1.54060（千米），仍在AB之间

（90-60）（4060）0.（时）3

t11.50.31.（时）860（9040）135（千米）

故从出发到第一次相遇，用时为

那么，乙车到达B地时，甲车行驶的路程为

则第二次相遇应发生在回程的AB段上

当乙车在回程中到达B点时，用时为（909090）406.75（时）

此时甲车行驶的总路程为

由于

606.75405（千米）

405180245

即此时甲车在AB上已走了两个来回，并由A到B行驶45千米则此时甲乙两车相距为（90-45）45千米，且相向而行

则有45（4060）0.45（时）

从出发到第二次相遇，用时为

t26.750.457.（时）2

t2-t17.2-1.85.（时）4

第一次相遇，两车经过5.4小时能过过再相遇

10. 答案为：不能

意图：考察学生的推理能力以及反证法思想； 考点：平方差、整数、倍数；

解答：假设能找到，设这个数为C，这两个完全平方数分别为A,B，则，

2

2

A2C24,B2C30.

那么这两个完全平方数的差为

54A2B2(AB)(AB)，由于(AB)和(AB)的奇偶性质相同，所以

(AB)(AB)不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所

以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．

11. 答案为：1360种 【考点】

数的同余、分类讨论、组合问题 【意图】

本题首先需要学生将整除问题转化为同余问题，对数字进行归类，并进行分类讨论，同时运用组合的知识来解决问题，考查了学生对知识的综合运用能力，渗透分类讨论的思想方法，让学生学会分析问题，并通过将问题转化达到解决问题的目的。 【解析】

一个数，被3除后只可能是三种情况：余数为1，余数为2和余数为3，我们把1到30中被3除后余数为0的数字归为第一类；把被3除后余数为1的数字归为第二类；把被3除后余数为2的数字归为第三类，那么，第一、二、三类数字各有10个。

我们选取3个相异的正整数，使得它们的和能被3整除，有以下几种情况：（1）在第一类中选取3个相异的数字，共10986120种；（2）在第二类中选取3个相异的数字，共10986120种；（3）在第三类中选取3个相异的数字，共10986120种；（4）在第一、二、三类中分别选取一个数字，共1010101000种因此，一共有12012012010001360种选取方法。

12. 答案为：A是中国人，B是韩国人，C是英国人，D是朝鲜人，E是美国人，F是日本人 【考点】

信息处理、逻辑推理、排除法、列表法 【意图】

看似复杂的题目，只要通过列表的方法，对信息进行分析处理，再运用排除法便可解决，本题实际上是考查学生的逻辑推理能力、思维严密度以及选择恰当的方法解决问题的能力。 【解析】

由（1）可知，A、C、E都不是日本人、朝鲜人或韩国人；

由（2）可知，A不是美国人，B不是中国人，F既不是美国人，也不是中国人； 由（3）可知，B不是日本人，C不是美国人；

由（4）可知，A、B、F都不是英国人或者朝鲜人。

根据此表可得出A是中国人，B是韩国人，C是英国人，D是朝鲜人，E是美国人，F是日本人。

六、 解答题（每小题15分，满分30分） 13.答案为：1557

【考点】等差数列求和公式、解不等式

【意图】综合考察了学生的分析能力，由甲乙比丙多拿一次，分析出乙是最后一个拿的，然后通过甲的颗数表示乙的颗数，再通过乙丙之间的关系求出所需的结果 【解答过程】

解;由题意可设丙拿了n次，则甲乙各拿了（n1）次则最后一次为乙所拿，故拿的过程如下表所示：

甲14（3n-1）13n1

乙25（3n-1）2丙363n甲拿到的糖数为

？

（3n2）（n1）

S甲

2

（3n2）（n1）

乙拿到的糖数为S乙-20

2

（3n3）n

丙拿到的糖数为S丙

2

由于S甲S丙S乙则可得

（3n3）n（3n2）（n1）

-2022解得n19

故要使得糖盒中的原糖果数最多，n应取得最大值，故有n18（3182）（181）

S甲532

2

（3182）（181）

乙拿到的糖数为S乙-20512

2

（3183）18

丙拿到的糖数为S丙513

2

则此时糖数为SS甲S丙S乙5325125131557

甲拿到的糖数为

14.答案为：-15 【意图】

本题对解题的步骤有很高的要求，通过将问题转化为染色问题，对其奇偶性进行分析，并且抓住不变量，从而解决问题，需要学生具备缜密的思维能力和较强的逻辑推理能力，渗透转化和运动变化的思想以及假设反证的方法，让学生关注到数学问题中不变量对解决问题的重要性。 【解析】

如下图，将图1进行黑白交替染色，则其中白格和黑格各有18个，除E外，图3中的其余图形均盖住两个黑格，而E盖住1个黑格或3个黑格，又因为题目要求E最多出现一次，假设E刚好出现1次，那么，拆分后的图形只能盖住17或19个黑格，与18个不符，因此，图1拆分后并没有出现E。又因为图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于18，由（16+2+1）-(16+0+A)=18,得出A=-15。

华罗庚金杯赛决赛模拟题（小学高年级组） 满分：150分 考试时间：90分钟

一、填空题(每小题 10分，满分 80 分.)

1237336994160

_______________

410.044100.21. （改编自2008年决赛第1题）

2. 设四边形ABCD的对角线相互垂直即 AC⊥BD，E、F、G、H、I、J分别是CD、CE、CF、AB、HB、IB的中点，若∆ACD、∆ACE、∆ACF、∆ACG、∆BCA、∆BCH、∆BCI、∆BCJ的面积和为150平方厘米，而且AC=10厘米，则BD=______________ （改编自2011年初赛第9题）

A

B

D

3. 如图汉字中，不同汉字代表不同的数字，相同汉字代表相同的数字，求使算

"式成立的汉字所代表的数字，"我喜爱数学（改编自2011年初

C

赛第10题）

学数学爱数学喜爱数学

）我喜爱数学

15675

5. 已知2008被一些自然数除，所得余数都是10，那么这样的质数共有_____个

（改编自2009年初赛第10题）

6. 某工厂现加工一批零件，如果甲车间单独加工，则需要10天完成，乙车间单

2

独加工需要15天完成。现在两个车间同时工作，当加工工作完成3时，由于部

分工人辞工，使得每天少加工25个零件 ，结果总共用了7天完成这批零件的加工，则这批零件一共有_______个（改编自2008年决赛第2题）

7. 一个数用十进制表示为540xy，这个数刚好被99整除，请问x=____, y=_____（原创题，灵感来源：正整数整除特性）

8. 九个圆圈中的字母各代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字，要求每一条直线上的三个数中，中间的数是两边两个数的平均数,求E=___________

（原创题，灵感来源：每条直线上的数之和相等）

二、解答题（每小题10分，满分40分，要求写出简要过程） 9. 假设AB两地相隔90千米，BC两地相隔90千米。甲车在ＡＢ两地之间来回，时速为60千米每小时；乙车在ＡＣ两地之间来回，时速为40千米每小时。假设两车同时从Ａ地出发，求第一次相遇后。两车经过多久时间能过再次相遇？（改编自2010年决赛第3题）

10. 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？（原创题，灵感来源：数论知识中的奇偶性）

11. 从1、2、3„„30中选取3个相异的正整数，使得它们的和能被3整除，有多少种选取方法？（原创题，灵感来源：抽屉原理）

12. 一个旅馆里有6位住宿者A、B、C、D、E、F,他们来自6个不同的国家，分别是韩国、朝鲜、日本、美国、英国和中国，已知

（1） A和日本人在喝茶， C和朝鲜人在喝矿泉水，E和韩国人在喝咖啡； （2） 美国人身高比A高，中国人身高比B高，F最矮； （3） B和日本人性别不同，C和美国人性别不同。 （4） A、B、F和英国人不吸烟，朝鲜人吸烟。

则A、B、C、D、E、F各来自哪个国家？（小组原创题，灵感来源：小学的时候做过一道类似的趣味竞赛题，考逻辑推理。）

三、解答题（每小题15分，满分30分，要求写出详细过程）

13.甲乙丙从一个糖盒中依次取糖，甲取1个，乙取2个，丙取3个，甲取4个，乙取5个，

丙取6个„„以此类推，当有谁遇到盒中糖果数少如应取的糖果数，则全部取出并结束取糖。已知甲乙比丙多拿一次，但最后个数最多的是甲，次之丙，而乙取得最少，且甲比乙总共多拿了20颗，问一开始糖盒中糖果数最多应该为多少（小组原创题）

14. 图1是由数字0和1交替构成的。现将图1拆分成若干个图3中的A、B、C、D、E，要求最多拆分出1个E，并将拆分后的A、B、C、D、E的每个小格上全部加1或减1或保持不变，(例如A

变成

，A和B的变化可以不同)，再将图形合

并为原状，如此反复多次进行拆分合并形成图2。试问图2中的A格上的数字是多少？并说明理由。（改编自2010年决赛第9题） 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 2 0

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 A 1

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1

华罗庚金杯赛决赛模拟题分析与解答

1. 【考点】乘法分配率、计算

【意图】这道题如果没有发现规律，直接计算可得，但过程繁琐；通过分配率的利用，发现数与数之间之间的关系，可以之间化简计算 【解答】

1237336994160123731233941320



410.044100.24125412

123（732720）12312040

41（252）41273

2.【考点】三角形面积的转换

【意图】考查学生分析问题的能力、逆向利用面积求边长 【解答】

对于ACD、 ACE、ACF、ACG可知，若以CD、CE、CF、CG为底，则对应的高相等又E、F、G分别是CD、CE、CF的中点1

SACD2

1111

SACFSACESACD SACGSACFSACD

2428

111

同理可知SBCHSBCA SBCISBCA SBCJSBCA

248而由题意，可知

SACD2SACE SACE

111111

SACDSACDSACDSACDSBCASBCASBCASBCA150

248248

111

则（1）（SACDSBCA）150

248

得SACDSBCA80（平方厘米）

由ACBD,记垂足为O

11

SACDACDO SBCAACBO

22

11

ACDOACBO80（平方厘米）22

BD802820（厘米）

3. 意图：考察学生的推理能力、数值观察能力及计算能力。

考点：数大小的判断、进位思考、分类讨论思想 解答：可从个位上开始思考。“学+学+学+学”的个位为5，则“学”可能是1、3、5、7、9。

当“学”=1时，不需进位，但4个“数”字相加，尾数不可能为7，所以“学”不为1； 当“学”=3时，进一位，则4个“数”字相加尾数为6只有4或9；

当“数”=6时，进一位，则3个“爱”字相加尾数为5，则“爱”只能为5，此时进一位，则两个“喜”字相加为4，“喜”=2，则“我”=1；

当“数”=9时，进三位，则3个“爱”相加尾数为3，则“爱”只能为1.但因为“我”=1，所以这种情况不成立。

当“学”=5时，进两位，则4个“数”相加尾数为5，不成立；

当“学”=7时，进三位，则4个“数”相加，尾数为4，则“数”可能为1或6。但因为“我”=1，所以“数”只能为6。当“数”为6时，进两位，则三个“爱”相加尾数为4， 则“爱”=8，进两位，则两个“喜”相加等于3。“喜”不为整数，所以不成立。 当“学”=9时，进四位，则4个“数”相加尾数为3，不成立。 故，只有“我”=1，“喜”=2，“爱”=5，“数”=4，“学”=3满足情况。

4.【考点】属于定义新运算问题、数论基础知识。

【意图】要求学生理解数论基础知识，数的相乘的个位上的数字的特征。培养学生认真观察能力。 【解答】细心观察会发现从5！开始，一直到2014！的个位上的数字都是0，所以事实上1！+2！+3！+„„+2014！的个位上的数字是1！+2！+3！+4！的个位上的数字。1！+2!+3！+4！=1+2+6+24=33，所以1！+2！+3！+„„+2014！的各位上的数字是3.

5. 意图：考察学生的推理能力，以及对质数合数的概念的理解； 考点：质数、合数、约数；

解答：先求出2008-10，即1998的约数，同时还要满足大于10这个条件的所有自然数．这

3

样题目就转化为1998有多少个大于10的约数，19982337，共有(1+1)×(3+1)

×(1+1)=16个约数，其中1，2，3，6，9是比10小的约数，所以符合上述条件的自然数共有11个，分别为：12,18,27,37,54,74,81,111„„，其中，只有37一个为质数，其他都为合数。故答案是1个。

6.【考点】

分数的意义、数据的处理 【意图】

通过将总的工作量看做1，渗透整体的思想；通过对多个数据的分析，培养学生数学建模和应用能力。 【解析】

设总的工作量为1

11如果不遇到工人辞工，两个车间共同加工，所需时间是1（）（天），6

1015

22

工作完成，也就是用了6（天），4

331

余下的的工作，原来需要2天，而实际用了7-4（天），3

3

1111

23，

3639

11

因此零件的数量是25（-）450（个）

69

答：这批零件一共有450个。

7.【考点】

因数分解、数的整除、数字9的特殊性质、数的拆分 【意图】

通过简单的整除问题，考查学生对问题的分析和转化能力以及对某些数字的特殊性质的认识。 【解析】

因为540xy被99整除，而99911，所以540xy同样被9和11整除。540xy53999110xy被11整除，而53999114909，因此110xy被11整除。易得，xy1。因此，x5，y4。

8. 【考点】

平均数的定义、奇偶性分析、数字推理 【意图】

本题只要找到突破口，再一步步进行推理，便可快速解决，因此，学生对题目的观察和分析尤为重要，同时要求学生具备一定的推理能力，在推理的过程中，需要进行奇偶性分析，考查学生对知识的综合运用能力。 【解析】

540xy被9整除，所以540xy9xy被9整除，即xy被9整除。

ABCDEFGHI3B3E3H9E，12345678945,所以，9E45，E5。

五、 解答题（每小题10分，满分40分） 9. 答案为：5.4小时

【考点】相遇追击问题的转换和解答

【意图】首先，这道题甲乙两车在运动过程中的“相遇”具体是相遇问题还是追击问题是位置的，需要通过验算才能获得。其次，这道题要求学生能够灵活转化甲乙两车的行驶方向，并判断两车的位置和距离。

【解答】

由于v甲v乙

故两车同时从A地出发，则第一次相遇应在甲车的第一次返回中

当甲到达B地用时为故相遇时，有

90601.（时）5

此时乙车行驶了1.54060（千米），仍在AB之间

（90-60）（4060）0.（时）3

t11.50.31.（时）860（9040）135（千米）

故从出发到第一次相遇，用时为

那么，乙车到达B地时，甲车行驶的路程为

则第二次相遇应发生在回程的AB段上

当乙车在回程中到达B点时，用时为（909090）406.75（时）

此时甲车行驶的总路程为

由于

606.75405（千米）

405180245

即此时甲车在AB上已走了两个来回，并由A到B行驶45千米则此时甲乙两车相距为（90-45）45千米，且相向而行

则有45（4060）0.45（时）

从出发到第二次相遇，用时为

t26.750.457.（时）2

t2-t17.2-1.85.（时）4

第一次相遇，两车经过5.4小时能过过再相遇

10. 答案为：不能

意图：考察学生的推理能力以及反证法思想； 考点：平方差、整数、倍数；

解答：假设能找到，设这个数为C，这两个完全平方数分别为A,B，则，

2

2

A2C24,B2C30.

那么这两个完全平方数的差为

54A2B2(AB)(AB)，由于(AB)和(AB)的奇偶性质相同，所以

(AB)(AB)不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所

以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．

11. 答案为：1360种 【考点】

数的同余、分类讨论、组合问题 【意图】

本题首先需要学生将整除问题转化为同余问题，对数字进行归类，并进行分类讨论，同时运用组合的知识来解决问题，考查了学生对知识的综合运用能力，渗透分类讨论的思想方法，让学生学会分析问题，并通过将问题转化达到解决问题的目的。 【解析】

一个数，被3除后只可能是三种情况：余数为1，余数为2和余数为3，我们把1到30中被3除后余数为0的数字归为第一类；把被3除后余数为1的数字归为第二类；把被3除后余数为2的数字归为第三类，那么，第一、二、三类数字各有10个。

我们选取3个相异的正整数，使得它们的和能被3整除，有以下几种情况：（1）在第一类中选取3个相异的数字，共10986120种；（2）在第二类中选取3个相异的数字，共10986120种；（3）在第三类中选取3个相异的数字，共10986120种；（4）在第一、二、三类中分别选取一个数字，共1010101000种因此，一共有12012012010001360种选取方法。

12. 答案为：A是中国人，B是韩国人，C是英国人，D是朝鲜人，E是美国人，F是日本人 【考点】

信息处理、逻辑推理、排除法、列表法 【意图】

看似复杂的题目，只要通过列表的方法，对信息进行分析处理，再运用排除法便可解决，本题实际上是考查学生的逻辑推理能力、思维严密度以及选择恰当的方法解决问题的能力。 【解析】

由（1）可知，A、C、E都不是日本人、朝鲜人或韩国人；

由（2）可知，A不是美国人，B不是中国人，F既不是美国人，也不是中国人； 由（3）可知，B不是日本人，C不是美国人；

由（4）可知，A、B、F都不是英国人或者朝鲜人。

根据此表可得出A是中国人，B是韩国人，C是英国人，D是朝鲜人，E是美国人，F是日本人。

六、 解答题（每小题15分，满分30分） 13.答案为：1557

【考点】等差数列求和公式、解不等式

【意图】综合考察了学生的分析能力，由甲乙比丙多拿一次，分析出乙是最后一个拿的，然后通过甲的颗数表示乙的颗数，再通过乙丙之间的关系求出所需的结果 【解答过程】

解;由题意可设丙拿了n次，则甲乙各拿了（n1）次则最后一次为乙所拿，故拿的过程如下表所示：

甲14（3n-1）13n1

乙25（3n-1）2丙363n甲拿到的糖数为

？

（3n2）（n1）

S甲

2

（3n2）（n1）

乙拿到的糖数为S乙-20

2

（3n3）n

丙拿到的糖数为S丙

2

由于S甲S丙S乙则可得

（3n3）n（3n2）（n1）

-2022解得n19

故要使得糖盒中的原糖果数最多，n应取得最大值，故有n18（3182）（181）

S甲532

2

（3182）（181）

乙拿到的糖数为S乙-20512

2

（3183）18

丙拿到的糖数为S丙513

2

则此时糖数为SS甲S丙S乙5325125131557

甲拿到的糖数为

14.答案为：-15 【意图】

本题对解题的步骤有很高的要求，通过将问题转化为染色问题，对其奇偶性进行分析，并且抓住不变量，从而解决问题，需要学生具备缜密的思维能力和较强的逻辑推理能力，渗透转化和运动变化的思想以及假设反证的方法，让学生关注到数学问题中不变量对解决问题的重要性。 【解析】

如下图，将图1进行黑白交替染色，则其中白格和黑格各有18个，除E外，图3中的其余图形均盖住两个黑格，而E盖住1个黑格或3个黑格，又因为题目要求E最多出现一次，假设E刚好出现1次，那么，拆分后的图形只能盖住17或19个黑格，与18个不符，因此，图1拆分后并没有出现E。又因为图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于18，由（16+2+1）-(16+0+A)=18,得出A=-15。