极限计算方法总结

毕业设计（论文）

题目：极限计算方法总结

（英文）：院别：计算机科学学院

专业：数学与应用数学（师范）

姓名：

学号： [1**********]04

指导教师：

日期： 2012年5月

答辩日期：

极限计算方法总结

摘要

本文归纳了极限的计算方法，对一元函数的极限求法、二元函数的极限求法给出了介绍并举出了例子。由于通项中含有n ! 的数列的特殊性，在最后又对其极限的求法给出了归纳。求极限的方法很多，且一题有多种解法，要注意综合运用多种方法，简化计算量。

关键词：一元函数；二元函数；通项中含有n ! 的数列

Conclusion of Calculation Methods Of Limits ABSTRACT

This paper summarizes the calculation methods of limits. It not only introduces the methods of the limits of single variable function and binary function, but also gives some examples of them. Because of the specificity of the sequences which contain n ! , the paper sums up the methods of the limits of it at the end. Since the calculation of the limits can be solved by different methods, we need to use various methods comprehensively in order to simplify the calculations.

Key words: single variable function；binary function；the sequences which contain n !

1、一元函数极限计算方法...................................................1

1.1、利用极限的定义验证极限的存在 . ...................................... 1

1.2、利用极限四则运算法则 . .............................................. 2

1.3、利用两个重要极限求函数的极限值 . .................................... 3

1.4、利用夹逼准则求极限 . ................................................ 3

1.5、利用单调有界准则求极限 . ............................................ 4

1.6、利用单侧极限求极限 . ................................................ 5

1.7、利用无穷小的性质求极限和等价无穷小代换求极限 . ...................... 5

1.8、利用函数的连续性求极限 . ............................................ 7

1.9、利用复合函数求极限 . ................................................ 7

1.10、利用洛必达法则求极限 . ............................................. 8

1.11、利用麦克劳林展开式求极限 . ........................................ 10

1.12、利用定积分定义及性质求极限 . ...................................... 11

1.13、利用级数收敛的必要条件求极限 . .................................... 12

1.14、利用拉格朗日中值定理求极限 . ...................................... 13

1.15、利用积分中值定理求极限 . .......................................... 14

1.16、利用导数的定义求极限 . ............................................ 15

2、二元函数极限计算方法..................................................16

2.1、利用二元函数极限的定义求解 . ....................................... 16

2.2、利用函数的连续性来计算 . ........................................... 16

2.3、利用极限的四则运算法则 . ........................................... 17

2.4、利用夹逼准则求极限 . ............................................... 17

2.5、利用等价无穷小代换求极限 . ......................................... 18

2.6、利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量 . ............................... 18

2.7、利用复合函数求极限 . ............................................... 19

2.8、利用累次极限求极限 . ............................................... 19

2.9、利用两个重要极限求解 . ............................................. 20

2.10、利用变量代换法求极限 . ............................................ 21

2.11、利用极坐标求极限 . ................................................ 21

2.12、利用恒等变形求极限 . .............................................. 22

2.13、利用二元函数的洛必达法则求极限 . .................................. 22

3、通项中含有n ! 的数列极限的求法.........................................23

3.1、利用定积分求通项中含有n ! 的数列极限 . ............................... 23

3.2、利用幂级数求通项中含有n ! 的数列极限 . ............................... 24

3.3、利用Stirling 公式计算通项中含有n ! 的数列极限 ......................... 24

3.4、利用夹逼准则计算通项中含有n ! 的数列极限 . ........................... 25

3.5、利用Stoltz 定理计算通项中含有n ! 的数列极限 .......................... 25

3.6、利用裂差法求通项中含有n ! 的数列极限 . ............................... 26

参考文献.................................................................28

致谢...................................................................29

引言

极限是高等数学中的一个重要内容，前人对极限的求法已经有所研究，因此有必要总结一下极限的求法，其求法可总结如下：

1、一元函数极限计算方法

1.1、利用极限的定义验证极限的存在

函数极限的ε-δ定义：设函数f 在点x 0的某个空心邻域U 0(x 0; δ') 内有定义，A 为定数. 若对任给的ε>0，存在正数δ(

f (x ) -A

则称函数f 当x 趋于x 0时以A 为极限，记作lim f (x ) =A . x →x 0

极限定义并未给出求极限的具体方法, 但却可以验证极限的存在, 而且它是研究理论问题的基本方法, 用极限定义验证极限存在, 一般需经过变形放大, 由x n -A

例1、证明lim x →2x -21=. 2x -44

证：对∀ε>0，要使x -2x -21x -21-

不妨设x -2

x -21x -21lim =. -，从而

1.2、利用极限四则运算法则

极限的四则运算法则设lim f (x ) 与lim g (x ) 都存在，则

(1) lim (f (x ) ±g (x )) =lim f (x ) ±lim g (x ) ；(2) lim(f (x ) ⋅g (x )) =lim f (x ) ⋅lim g (x ) ；

(3) lim(f (x ) /g (x )) =lim f (x ) /lim g (x ) .

对和、差、积、商形式的数列求极限，自然会想到极限四则运算法则本身很简单, 但为了能够使用这些法则, 往往需要先对函数做某些恒等变形或化简. 采用怎样的变形和化简, 要根据具体的算式确定, 常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换.

x 2-1例2、lim 2. x →∞3x -6x +5

lim 1-lim x -21-x -2x 2-11x →∞x →∞解：lim 2=lim =. =-1-2x →∞3-6x -1+5x -2x →∞3x -6x +53lim 3-lim 6x +lim 5x x →∞x →∞x →∞

例3、求极限lim x →0+x +-x -2. x 2

1+x +2-x 2+1-x -4+x +-x -2解：lim =lim 2 x →0x →0x 2x (+x +-x +2)

=lim x →02(1-x 2-1) x (+x +-x +2)(-x +1) 22 =lim x →0-2(+x +-x +2)(-x +1) 2 =-

例4、求极限lim

x →1. 4π

3sin x +cos x . sin 2x

解：lim

x →π3sin x +cos x 11sin x +cos x =lim +lim =1+=lim . π2sin x cos x π2cos x π2sin x 3sin 2x x →x →x →333

2(sinx -cos x -x 2) . 例5、求极限lim πx →2

2(sinx -cos x -x 2) =2lim sin x -2lim cos x -2lim x 2 解：lim ππππx →2x →2x →2x →2

=2⨯1-2⨯0-2⨯π2

4=2-π2

1.3、利用两个重要极限求函数的极限值

sin x ⎛1⎫两个重要极限为:lim =1, lim 1+⎪=e 使用它们求极限时, 最重要的x →0x →0x ⎝x ⎭

是对所给的函数或数列做适当的变形, 使之具有相应的形式, 有时也可通过变量替换使问题简化.

例6、求下列函数的极限：

sin x 2; (2) lim (1-) -x ; x →ππ-x x →∞x

sin 2x -sin 3x (3) lim ；(4) lim (1-5x -1) 3x . x →∞x →0x

sin x sin t =lim (令t =π-x ) =1. 解：(1) lim x →ππ-x t →0t x (1) lim

21-22) ) =e 2. (2) lim (1-) -x =lim ((1+x →∞x →∞x x -2x

(3) lim sin 2x -sin 3x 2sin 2x 3sin 3x -lim =2-3=-1. =lim x →0x →0x →0x 2x 3x

-13x 1-5x -15) ) =e -15. (4) lim (1-5x ) =lim ((1+x →∞x →∞1-x 5

1.4、利用夹逼准则求极限

夹逼准则：

a ) 数列极限的夹逼准则

数列{x n }、{y n }、{z n }满足：

(1) ∃N ∈N +, ∀n ∈N , 有y n ≤x n ≤z n ；(2) lim y n =lim z n =a ，则lim x n =a . n →∞n →∞n →∞

b ) 函数极限的夹逼准则

设lim f (x ) =lim g (x ) =A ，且当x ∈U 0(x 0; δ') 内(x >M ) 时，有 x →x 0x →x 0

f (x ) ≤h (x ) ≤g (x ) ，则lim h (x ) =A (lim h (x ) =A ) . x →x 0x →∞

00注：若把条件中的去心邻域U 0(x 0; δ') 改为U +(x 0; δ') 或U -(x 0; δ') ，则我们

可以得到关于单侧极限的夹逼准则.

1⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n -1) 的极限. 2⋅4⋅6⋅⋅⋅2n

1⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n -1) 1352n -1=⋅⋅⋅⋅⋅解：令u n =， 2⋅4⋅6⋅⋅⋅2n 2462n

1232n -22462n

1111即， =

∴1112

2n =lim n →∞12n +1，又由lim n →∞12n +1

n →∞=0, 由夹逼准则可得，lim u n =0.

x -cos x . x →+∞x

x -cos x 解：令f (x ) =， x 例8、求极限lim

因为在实数R 上，-1≤cos x ≤1，所以，当x >0时，有

因为lim x -1x +1≤f (x ) ≤. x x x -11x +11=lim (1-) =1，lim =lim (1+) =1, x →+∞x →+∞x →+∞x →+∞x x x x

x -cos x =1. 故由夹逼准则可得lim x →+∞x

1.5、利用单调有界准则求极限

单调有界准则单调有界数列必有极限，且极限唯一.

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性, 再求解方程, 可求出极限.

2+2+ +2，收敛，并求其极限. 例9、证明数列22+2，

解：证：记a n =2+2+ +2，易见数列{a n }是递增的. 现在用数学归纳法证明{a n }有上界.

显然a 1=2

n 都有a n

由单调有界定理可知，数列{a n }有极限，记为a . 由于a n +1=2+a n ，两边取极限，可得 a 2=2+a ，即有(a +1)(a -2) =0, 解得a =-1或a =2. 由于数列极限的保不等式性，知道a =-1是不可能的，故lim 2+2+ +2=2.

n →∞

1.6、利用单侧极限求极限

这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在. 例10、

f (x ) ={

x sin (x >0)

x 2

1+x (x ≤0)

求f (x ) 在x =0的极限.

f (x ) =lim x sin 解：因为lim ++

x →0

f (x ) =lim (1+x ) =1, =1, lim x →0-x →0-x

f (x ) =lim f (x ) =1, 故lim +-

x →0

所以lim f (x ) =1.

x →0

1.7、利用无穷小的性质求极限和等价无穷小代换求极限

常用到的无穷小的性质有：有限个无穷小的代数和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小；有界函数与无穷小乘积仍是无穷小.

利用等价无穷小替换求极限常常行之有效. 常用的几个等价无穷小有：当

x 2

x →0时，有sin x ~x ；tan x ~x ；arcsin x ~x ；1-cos x ~；ln(1+x ) ~x ；

2e x -1~x ；(1+x ) α~αx ；a x -1~x ln a .

例11、求lim

sin x

x →∞x

解：因为sin x ≤1，lim 所以lim

=0， x →∞x

sin x

=0.

x →∞x

tan 2x

例12、lim .

x →0arcsin 6x tan 2x 2x 1

=(当x →0时，解：lim =lim tan 2x ~2x , arcsin 6x ~6x ) .

x →0arcsin 6x x →06x 3

sin x 2cos

. 例13、求极限lim

x →0x

s i n x 2c o s x 2c o s

x =l i m x =l i m x c o s 1=0. 解：因为当x →0，sin x 2~x 2，则l i m

x →0x →0x →0x x x

tan x -sin x

例14、求极限lim . 3x →0sin x

sin x

(1-cos x ) ，且解：由于tan x -sin x =

cos x

x 2

当x →0时，有sin x ~x ，1-cos x ~，sin x 3~x 3,

x 2x ⋅

sin x (1-cos x ) tan x -sin x =lim 1=1. lim =lim 故lim =x →0x →0x 3cos x x →02cos x x →02cos x sin x 3sin x 3

注：在利用等价无穷小代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 如在例14中，若因有

当x →0时，tan x ~x ，sin x ~x ，而推出

lim

x →0

tan x -sin x x -x lim =0，则得到的是错误的结果. =

x →0sin x 3sin x 3

定理1：(1) 设f 在U 0(x 0) 内有定义且不等于0. 若f 为x →x 0时的无穷小

量，则

为x →x 0时的无穷大量. f

为x →x 0时的无穷小量. g

(2) 若g 为x →x 0时的无穷大量，则

根据这个定理，对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论.

) .

x →-3x +3

x +21

) =lim 解：lim (1-, x →-3x →-3x +3x +3

x +3x +2

=f (-3) =0，所以lim =∞. 因为lim

x →-3x +2x →-3x +3

) =∞. 故lim (1-

x →-3x +3

例15、求极限lim (1-

1.8、利用函数的连续性求极限

若y =f (x ) 在点x 0连续，则lim f (x ) =f (x 0) .

x →x 0

特别地，对于基本初等函数有如下定理：

定理2：一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.

由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的，所以有

定理3：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.

ln(1+x 2) 例16、lim .

x →0cos x

ln(1+x 2)

解：令f (x ) =，由于x =0属于初等函数f (x ) 的定义区间之内，由初等

cos x ln(1+x 2) ln(1+02) 0

==0. 函数的连续性可知，f (x ) 在点x =0处连续，故有lim =

x →01cos x cos 0

1.9、利用复合函数求极限

定理4：若函数f 在点x 0连续，g 在点u 0连续，u 0=f (x 0) ，则复合函数g f 在点x 0连续.

根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为

x →x 0

lim g (f (x )) =g (lim f (x )) =g (f (x 0)) .

x →x 0

例17、求lim sin(1-x 2) .

x →1

解：令g (u ) =sin u ，f (x ) =1-x 2,

因为g (u ) 为基本初等函数，故g (u ) 在实数R 上连续，又因为f (x ) 为初等函数，故f (x ) 在实数R 上连续. 故lim sin(1-x 2) =sin(lim (1-x 2)) =sin 0=0.

x →1

1.10、利用洛必达法则求极限

洛必达法则：设函数f (x ) 与g (x ) 满足条件：

(1) lim f (x ) =lim g (x ) =0(或lim f (x ) =lim g (x ) =∞) ；

x →x 0

(2) 在点x 0的某邻域内（点x 0可除外），f '(x ) 与g '(x ) 都存在且g '(x ) ≠0；(3) lim

x →x 0

f '(x )

存在(或为∞) ； g '(x )

f '(x ) f (x )

lim =那么lim .(当x →x 0改为x →∞时，该定理仍成立.) x →x 0g '(x ) x →x 0g (x )

e x ln(x -1)

例18、求下列函数的极限：(1) lim ；(2) lim 3.

x →2x →∞x x -2

(ln(x -1) ) '1ln(x -1)

=lim =1. 解：(1) lim =lim

x →2x →2x →2x -1x -2(x -2) '

(e x ) 'e x (e x ) 'e x e x e x (e x ) '(2) lim 3=lim =lim 2=lim =lim =lim =lim =∞.

3x →∞x x →∞x →∞3x x →∞6x x →∞6x →∞(3x 2) 'x →∞(6x ) '(x ) 注: 洛必达法则是一种适用于不定式求极限的方法，常见的不定式极限有型或

∞

型, 其他不定式极限必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则. ∞

在求解极限时，不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件. 洛必达法则只说明当

lim

f '(x ) f (x ) f '(x )

等于A 时，那么lim 也存在且等于A . 如果lim 不存在时，并''g (x ) g (x ) g (x )

f (x )

也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论g (x )

不能断定lim

f (x )

. g (x )

lim

x 3-3x +2

例19、求lim 3.

x →1x -x 2-x +1x 3-3x +2⎛0⎫

解：lim 3 ⎪ x →1x -x 2-x +1⎝0⎭3x 2-3⎛0⎫ =lim 2 ⎪

x →13x -2x -1⎝0⎭

=lim

x →16x -23

=. 2

注：lim 不是不定式不能用洛必达法则，若对最后一步用洛必达法则，

x →16x -2

x +sin x

. x

则得到错误的结果1. 例20、求极限lim

x →∞

虽然是

∞

型，但若不顾条件随便使用洛必达法则，则有 ∞x +sin x 1+cos x lim =lim ，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误x →∞x →∞x 1

结论. 正确解法如下：

解：因为，在实数R 上，有sin x ≤1，当x →∞时，有lim 故lim

sin x x +sin x sin x

=0，所以lim ) =1. =lim (1+

x →∞x →∞x →∞x x x

=0. x →∞x

e x -e -x

例21、求lim x .

x →+∞e +e -x

虽然是

∞

型，但若使用洛必达法则，则有 ∞

e x -e -x e x +e -x e x -e -x lim =lim x -x =lim x ，陷入一个死循环. 正确解法应为： x →+∞e x +e -x x →+∞e -e x →+∞e +e -x

e x -e -x

解：lim x

x →+∞e +e -x

1-e -2x

=lim x →+∞1+e -2x

() =lim 1+e

x →+∞

lim 1-e -2x

-2x

x →+∞

=1.

1.11、利用麦克劳林展开式求极限

设函数f (x ) 在x =0的某个邻域内有定义, 且f (n ) (0) 存在, 则对该邻域内任

f ''(0) f (n ) (0) n

x +... +x +o (x n ) . 此式称为f (x ) 意点x ，有f (x ) =f (0) +f '(0) x +2! n !

的具有皮亚诺余项的n 阶麦克劳林展式, 对某些较复杂的求极限问题, 可利用麦克劳林展式加以解决. 常用的麦克劳林公式有：

1213n -1x ln(1+x ) =x -x +x + +(-1) +o (x n ) ； 23n

e x =1+x +

121

x + +x n +o (x n ) ； 2! n !

1315x 2n +1n

sin x =x -x +x + +(-1) +o (x 2n +2) ；

3! 5! (2n +1)!

2n 1214n x cos x =1-x +x + +(-1) +o (x 2n ) ； 2! 4! 2n !

(1+x ) α=1+αx +

α(α-1)

x 2+ +

α(α-1) (α-n +1)

n !

x n +o (x n ) ；

=1+x +x 2+ +x n +o (x n ) . 1-x

112+x

) . 例22、计算lim (1+2-3ln

x →02-x x x

11+x

2+x 2=ln(1+1x ) -ln(1-1x ) 解：ln =ln

12-x 221-x 2

11111111⎡1⎤⎡1⎤

=⎢x -(x ) 2+(x ) 3+o (x 3) ⎥-⎢-x -(x ) 2+(-x ) 3+o (x 3) ⎥

22322232⎣2⎦⎣2⎦

=x +

x +o (x 3) , 12

所以lim (1+

x →0

112+x 1113⎡3⎤-ln ) =lim 1+-(x +x +o (x )) ⎥ 23x 2x 32-x x →0⎢x x 12⎣⎦

10(x 3) 11

=lim (1--3) =.

x →01212x

1.12、利用定积分定义及性质求极限

定积分定义

设f 是定义在[a , b ]上的有界函数，用点a =x 0

∆x i =x i -x i -1(i =1, 2, ) . 这些分点或这些闭子区间构成对[a , b ]的一个分割，记为T ={x 0, x 1, , x n }. 在每一个区间∆x i 上任取ξi ，作f (ξi ) ∆x i 的和式：∑f (ξi ) ∆x i ，

i =1n

如果当最大子区间的长度λ=max {∆x i }→0，和式∑f (ξi ) ∆x i 的极限存在，并且

i =1

其极限值与[a , b ]的分割法以及ξi 的取法无关，则该极限称为函数f 在区间[a , b ]上的定积分，记作

⎰

f (x ) dx =lim ∑f (ξi ) ∆x i .

λ→0

i =1

特别地，我们选取某种特殊的分割T ，这里取等分分割：

b -a b -a ⎫⎧

T =⎨a , a +, , b -, b ⎬ ，则有

n n ⎩⎭

lim ∑f (ξi ) ∆x i =⎰f (x ) dx .

n →∞

i =1

若

(1) 取∆x i =

1i -1(b -a ), ξi =a +(b -a ), n n

则得lim ∑

n →∞

i =1

i -1⎡⎤b -a f ⎢a +(b -a ) ⎥=⎰f (x ) dx ,

n ⎣⎦n a

取∆x i =

则得lim

n →∞

(b -a ), ξi =a +(b -a ) , n n

∑

i =1

i ⎡⎤b -a f ⎢a +(b -a ) ⎥=⎰f (x ) dx .

n n ⎣⎦a

(2) [a , b ]=[0, 1]，则∆x i =

, n

i -1i -11取ξi =，得lim f () =⎰f (x ) dx ；

n →∞n n n 0i i 1

取ξi =，得lim f () =⎰f (x ) dx .

n →∞n n n 0例23、计算lim ∑

n →∞

k =1n

k n

解：∑

k =1

k n

=∑

，此和式为函数f (x ) =x 在[0, 1]的特殊积分和，它是把n n k =1

=，f (ξi ) =n

) 构成的积分和. 因n

i -1i ⎤

[0, 1]n 等分, ξi 取为⎡, ⎥的右端点(即ξi

⎢

⎣n

n ⎦

为f (x ) =x 在[0, 1]可积，由定积分的定义，有

lim ∑

n →∞

k =1n

k n

1k 2

=⎰x dx =. =lim ∑n →∞n 03k =1n

1.13、利用级数收敛的必要条件求极限

级数收敛的必要条件是：若级数∑u n 收敛，则lim u n =0.

n =1

n →∞

∞

故对某些极限lim f (n ) 可将函数f (n ) 作为级数∑f (n ) 的一般项，只需证明此级

n →∞

∞

n =1

数收敛，便有lim f (n ) =0.

n →∞

a n

例24、计算lim .

n →∞n !

a n +1

∞

a a n (n +1)!

lim 解：考虑级数∑，由比值审敛法，得lim ==0

n ! a n a n

收敛，由级数收敛的必要条件，得lim =0. ∑n →∞n ! n ! n =0

∞

1.14、利用拉格朗日中值定理求极限

拉格朗日中值定理：若函数满足下列条件：

(1) 在闭区间[a , b ]连续; (2) 在开区间(a , b ) 可导;

则在开区间(a , b ) 内至少存在一点c ，使f ' (c ) =拉格朗日公式还有下面几种等价的表示形式：

f (b ) -f (a )

b -a

f (b ) -f (a ) =f '(c )(b -a ), a

值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a b 都成立，而c 则是介于

a 与b 之间的某一定数. 而(2) 与(3) 两式的特点，在于把中值点c 表示成了

a +θ(b -a ) ，使得不论a ，b 为何值，θ总可为小于1的某一正数.

e x -e sin x

例25、计算lim .

x →0x -sin x

解：令f (x ) =e x ，因为f (x ) 是基本初等函数，所以f (x ) 在R 上连续且可导. 对它应用拉格朗日中值定理得

e x -e sin x =f (x ) -f (sinx ) =(x -sin x ) f '(sinx +θ(x -sin x ))(0

e x -e sin x

=f '(sinx +θ(x -sin x ))(0

x -sin x

又因为f '(x ) =e x 连续，所以lim (f ' (sinx +θ(x -sin x )) =f '(0) =1，从而有

x →0

e x -e sin x lim =1. x →0x -s i n x

1.15、利用积分中值定理求极限

积分中值定理：设函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续; g (x ) 在[a , b ]上不变号且可积，则在[a , b ]上至少有一点ξ使得⎰f (x ) ⋅g (x ) dx =f (ξ) ⋅⎰g (x ) dx (a ≤ξ≤b ) .

例26、求lim ⎰4sin n x dx .

n →∞0

解： lim ⎰4sin n x dx

n →∞0

＝lim (sinξ)

n →∞

⎰

dx (0≤ξ≤

)

＝

4n →∞

lim (sinξ) n ,

因为0≤sin ξ≤

22n n

) , ，所以0≤(sinξ) ≤(

又因为lim 0=0, lim (

n →∞

) =0, 2

故由夹逼准则，知lim (sinξ) n =0.

n →∞

故lim ⎰4sin n x dx =

n →∞0

4n →∞

lim (sinξ) n =0.

x n

. 例27、求lim ⎰n →∞01+x

x n

解：lim ⎰n →∞01+x

=lim

n →∞1+ξ

⎰

x n dx (0≤ξ≤1)

=lim

11⋅

n →∞1+ξ1+n

=0.

1.16、利用导数的定义求极限

y =f (x ) 在点x 0的导数为f '(x 0) =lim

h →0

f (x 0+h ) -f (x 0)

例28、计算lim

h →0

f (x 0+h ) -f (x 0)

解：由导数的定义有：lim

h →0

f (x 0+h ) -f (x 0) 1f (x 0+h ) -f (x 0) 1

=f '(x 0) . =lim

h →02h 22h

以上所介绍的都是上述介绍了求解极限的基本方法, 然而, 每一道题目并非只有一种方法. 因此在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧, 使得计算大为简化. 以下几道例题都是综合运用了几种方法.

1-cos x 2

例29、求lim 2.

x →0x sin x 2

解:

1-cos x 22x sin x 2

(1) lim 2=lim x →0x sin x 2x →02x ⋅x 2cos x 2+2x sin x 2

sin x 2

2sin x 21=lim 2=. lim =2x →0x cos x 2+sin x 2x →0sin x 2cos x 2+2

此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限.

121212x sin x sin x

1-cos x 211⋅(2) lim 2. =lim =lim ⋅=22x →0x sin x 2x →0x 2sin x 2x →0122sin x x

x 2⋅22x 2

2sin 2

此法使用三角函数二倍角的余弦公式，配合使用两个重要极限.

1-cos x 21-cos x 22x sin x 22x sin x 21

(3) lim 2=lim 22=lim =lim ⋅2=. 3x →0x sin x 2x →0x →0x →04x 2x ⋅x 4x x

此法使用了两个重要极限法配合使用无穷小等价代换法以及洛必达法则.

(x 2) 2

1-cos x 21-cos x 2x 2x 21(4) lim 2=lim ⋅=lim ⋅=. 4242x →0x sin x 2x →0x →02x sin x x sin x

此方法使用了无穷小等价代换法配合使用两个重要极限.

x 2(x 2) 2x 4

2sin

1-cos x 2=lim =1. (5) lim 2=lim =lim x →0x sin x 2x →0x 2sin x 2x →0x 2sin x 2x →0x 2(x 2) 2

此方法使用了三角函数二倍角的余弦公式，配合使用无穷小等价代换法.

2、二元函数极限计算方法

二元函数极限的定义跟一元函数表面很类似，但是本质上却发生了质的变化. 二元函数在多元函数微积分学中有着重要作用，探讨它的求法是进一步学习多元函数微积分有关概念和方法的基础. 下面介绍二元函数的极限求法：

2.1、利用二元函数极限的定义求解

设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0(x 0, y 0) 为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当D 内的点P (x , y ) 满足

x -x 0

(x , y ) →(x 0, y 0)

f (x , y ) -A

l i m f (x , y ) =A .

例1、求

(x , y ) →(0, 0)

lim (x +y ) 1

) . 22

x +y

解：当(x , y ) ≠(0, 0) 时，有

(x +y ) sin(

) -0≤x +y ≤x +y ，

x 2+y 2

对于任意给定的正数ε，取δ=有(x +y ) sin(

，则当x -0

1εε

) -0≤x +y ≤x +y

22x 2+y 2

故由极限定义知

(x , y ) →(0, 0)

lim (x +y ) sin(

) =0. 22

x +y

2.2、利用函数的连续性来计算

设二元函数z =f (x , y ) 于点P 0(x , y ) 连续，则lim x →x

f (x , y ) =f (x 0, y 0) . y →y 00

例2、求lim

ln(x +l ) x y →→10

x 2

(l >0) .

解：由于ln(x +l ) 和x 2+y 2在点(1, 0) 连续，且2+02=1, 故lim

ln(x +l ) 1+l )

x y →→10

x 2+y 2

ln(1

=ln(1+l ) . 2.3、利用极限的四则运算法则

若

(x , y ) lim →(x 0, y f (x , y ) =A ,

(x , y ) lim →(x g (x , y ) =B ，0, y 0)

则 (x , y ) lim

→(x (x , y ) ]=A ±B ; 0, y 0)

[f (x , y ) ±g (x , y ) l →i (x m

[f (x , y ) ⋅g (x , y ) ]=A ⋅B ;

0, y 0)

f (x , y ) (x , y ) l →i (x m

0, y 0)

g (x , y ) =A

(B ≠0) .

、lim e xy 例3cos y

x y →→00

1+x +y .

lim (e xy cos y ) lim e xy →0

x e xy ⋅解：lim cos y x y →lim cos y

→00

x y →→00

x =

1⋅1

y →→00

1+x +y =y →0

lim =

x (1+x +y ) lim 1

=1. y →→0

x (1+x +y )

y →→00

2.4、利用夹逼准则求极限

若在点P 0(x 0, y 0) 的邻域内有h (x , y ) ≤f (x , y ) ≤g (x , y ), 且

x lim h (x , y ) =x lim g (x y →→x y 0

0y →→x , y ) =A ,

y 00

则 x l i m f (x , y ) =A .

y →→x y 00

x 2y 2

例4、求(x , y lim ) →(0, 0) x 2+y 2

(x +y 2) 222

x y 12≤=(x +y 2) ，且解：因为在R 上都有0≤2

222

4x +y x +y

(x 2+y 2)

lim 0=lim =0. (x , y ) →(0, 0) (x , y ) →(0, 0) 4

x 2y 2由夹逼准则，得lim =0.

(x , y ) →(0, 0) x 2+y 2

2.5、利用等价无穷小代换求极限

利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限. 在二元函数中常见的等价无穷小有：

u 2(x , y ) 当u (x , y ) →0时，有sin u (x , y ) ~u (x , y ) ；1-cos u (x , y ) ~；

2ln(1+u (x , y )) ~u (x , y ) ；tan u (x , y ) ~u (x , y ) ；arcsin u (x , y ) ~u (x , y ) ； arctan u (x , y ) ~u (x , y ) ；e u (x , y ) -1~u (x , y ) ；+u (x , y ) -1~u (x , y ) .

sin(x 3+y 3)

例5、求lim .

x →0x +y y →0

解：因为当x →0, y →0时，有x 3+y 3→0，有两个重要极限，可知sin(x 3+y 3) 等价于x 3+y 3, 故对于原式有

sin(x 3+y 3) x 3+y 3

lim =lim =lim (x 2-xy +y 2) =0. x →0x →0x +y x →0x +y y →0y →0y →0

例6、求lim

x →0

y →0

+x +y -1

x +y

解：当x →0, y →0时，有x +y →0，故有+x +y -1~x +y ，则原式有

lim

x →0y →0

+x +y -1x +y

=lim =lim 1=1. x →0x +y x →0x +y y →0y →0

2.6、利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量

若

lim

(x , y ) →(x 0, y 0)

lim

f (x , y ) =0，而g (x , y ) 在点(x 0, y 0) 邻域内有界，则

(x , y ) →(x 0, y 0)

f (x , y ) ⋅g (x , y ) =0.

例7、计算lim (x +y ) sin

x →0y →0

1x +y

解：因为sin

1x +y

≤1，且lim (x +y ) =0，

x →0y →0

故lim (x +y ) sin

x →0y →0

1x +y

=0.

2.7、利用复合函数求极限

若函数u =X (x , y ), v =Y (x , y ) 在点P 0(x 0, y 0) 存在极限，并且函数f (u , v ) 在点

(u 0, v 0) 连续，其中

(x , y ) →(x 0, y 0)

lim

X (x , y ) =u 0，lim

(x , y ) →(x 0, y 0)

Y (x , y ) =v 0，则复合函数

f [X (x , y ), Y (x , y ) ]于点P 0(x 0, y 0) 存在极限，且

(x , y ) →(x 0, y 0)

lim

f [X (x , y ), Y (x , y ) ]=f ⎡lim X (x , y ), lim Y (x , y ) ⎤.

⎢⎥(x , y ) →(x 0, y 0) ⎣(x , y ) →(x 0, y 0) ⎦

例8、计算lim (x 2+y 2) (x

x →0

y →0

+y 2)

解：令u =x 2+y 2，则lim u =0.

x →0y →0

所以lim (x 2+y 2) (x

x →0y →0

+y 2)

=lim u u =lim e u ln u =e u →0

x →0y →0

u →0

lim u ln u

=e 0=1.

2.8、利用累次极限求极限

设二重极限lim f (x , y ) =A ，且lim f (x , y ) =Y (y ) 也存在，则累次极限

x →x 0y →y 0

x →x 0

y →y 0x →x 0

lim lim f (x , y ) 必定存在，且等于A , 即 lim f (x , y ) =lim lim f (x , y ) =A .

x →x 0y →y 0

y →y 0x →x 0

推论1、如果下面三个极限都存在

l i m f (x , y ) =A ，lim f (x , y ) =Y (y ) ，lim f (x , y ) =X (x ) ,

x →x 0y →y 0

x →x 0

y →y 0

则两个累次极限lim lim f (x , y ) ，lim lim f (x , y ) 都存在，且都等于A .

y →y 0x →x 0

x →x 0y →y 0

推论2、若累次极限lim lim f (x , y ) 与lim lim f (x , y ) 都存在，但不相等，则

y →y 0x →x 0

x →x 0y →y 0

二重极限lim f (x , y ) 一定不存在.

x →x 0y →y 0

x 3+y 2

例9、求lim 2.

x →0x +2y 2y →0

x 3+y 2y 211

解：lim lim 2=lim =lim =,

y →0x →0x +2y 2y →02y 2y →022x 3+y 2x 3

lim lim 2=lim 2=lim x =0, x →0y →0x +2y 2x →0x x →0

x 3+y 2x 3+y 2因为lim lim 2，即两个累次极限不相等， ≠lim lim 2

y →0x →0x +2y 2x →0y →0x +2y 2

x 3+y 2

所以lim 2不存在.

x →0x +2y 2y →0

2.9、利用两个重要极限求解

sin u (x , y ) lim =1，lim (1+u (x , y )) u (x , y ) =e ，它们分别是一元函数中两个 u (x , y ) →0u (x , y ) u (x , y ) →0

重要极限的推广，其中当(x , y ) →(x 0, y 0) 时，u (x , y ) →0.

(2+x ) sin(x 2+y 2) 例10、求极限lim . 22(x , y ) →(0, 0) x +y (2+x ) sin(x 2+y 2) 解：lim 22(x , y ) →(0, 0) x +y sin(x 2+y 2) =lim (2+x ) ⋅lim 22(x , y ) →(0, 0) (x , y ) →(0, 0) x +y =(2+0) ⋅1=2. 例11、求极限lim (1+

x →∞

y →a

1) xy

x 2x +y

1xy ) ) xy

x 2(x +y ) xy

解：lim (1+

x →∞y →a

1) xy

x 2x +y

=lim ((1+

x →∞y →a

x 2111

=lim ==, 而lim

x →∞(x +y ) xy x →∞y y →a y →a (1+) y (1+0) ⋅a a

所以lim (1+)

x →∞xy y →a

x 2

x +y

=lim ((1+) xy ) x →∞xy y →a

x 2

(x +y ) xy

=(lim (1+) xy ) y →a

x →∞xy y →a

x 2

x →∞(x +y ) xy lim

=e .

2.10、利用变量代换法求极限

通过变量代换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单. 例12、求极限lim

x →0

y →0

xy -sin(xy )

xy -xy cos(xy )

(x +y 2) ， 2

解：令t =xy ，因为0≤xy ≤

所以当x →0, y →0时，t →0，则

lim

t -sin t t -sin t xy -sin(xy )

=lim =lim t →0t -t cos t t →0t (1-cos t ) x →0xy -xy cos(xy )

y →0

t -sin t

t →0t 2t sin 2()

t -sin t

=lim

t →0t 2

2t ⋅()

2t -sin t 1-cos t

=2lim =2lim 32t →0t →0t 3t

sin t 1

=. =2lim

t →06t 3 =lim

2.11、利用极坐标求极限

在所求二元函数极限中，若有(x , y ) →(0, 0) ，且二元函数中含有x 2+y 2时，可采用极坐标变换法，令x =r cos θ, y =r sin θ，将二元函数极限转化为一元函数极限或已知极限来求解.

sin(x 2+y 2)

例13、求lim . 22(x , y ) →(0, 0) x +y

解：令x =r cos θ, y =r sin θ，则原式可化为

sin r 2r 2sin(x 2+y 2)

=lim 2=lim 2=1. lim

r →0r →0r (x , y ) →(0, 0) r x 2+y 2

ln(1-x 2-y 2)

例14、求lim . 22(x , y ) →(0, 0) x +y

解：令x =r cos θ, y =r sin θ，则原式可化为

ln(1-r 2) -r 2ln(1-x 2-y 2)

=lim 2=-1. =lim lim 222r →0r →0r (x , y ) →(0, 0) r x +y

2.12、利用恒等变形求极限

将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等，以约去零因子或无穷大因式. 例15、求极限lim

2-xy +4.

x →0xy y →0

解：lim

2-xy +4(2-xy +4)(2+xy +4) -xy

=lim =lim

x →0x →0x →0xy xy (2+xy +4) xy +4) y →0y →0y →0xy (2+

=-lim

=-.

x →04xy +4y →02+

2.13、利用二元函数的洛必达法则求极限

若二元函数f (P ) 满足：

(1) P 0(x 0, y 0) 为有限点；(2) lim f (P ) =lim g (P ) =0;

P →P 0

(3) f (P ) ，g (P ) 在点P 0(x 0, y 0) 的某空心邻域内可微，且g x (P ) 与g y (P ) 不同时为

零；(4) lim

f x (P )(x -x 0) +f y (P )(y -y 0) g x (P )(x -x 0) +g y (P )(y -y 0)

P →P 0

=A .

则lim

P →P 0

f (P )

=A .(条件(2) 改为lim f (P ) =lim g (P ) =∞时结论仍然成立.)

P →P 0P →P 0g (P )

sin(x 2y +xy 2)

例16、求lim .

(x , y ) →(0, 0) xy 解：由二元函数的洛必达法则，可得

sin(x 2y +xy 2) lim (x , y ) →(0, 0) xy

x (2xy +y 2) cos(x 2+xy 2) +y (2xy +x 2) cos(x 2+xy 2)

=lim

(x , y ) →(0, 0) 2xy

lim (x +y ) cos(x 2+xy 2) =0. 2(x , y ) →(0, 0)

以上就是常见的二元函数求极限的方法，希望对读者能够有所帮助.

3、通项中含有n ! 的数列极限的求法

由于数列通项中n ! 的特殊性，需要借助多方面的数学知识，所以有必要来认识一下通项中含有n ! 的数列极限的求法.

3.1、利用定积分求通项中含有n ! 的数列极限

通项中含有n ! 的数列极限，由于n ! 的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求解就会相对容易. 例1、求lim n

n →∞

1-n

[(n -1)! ]

解：lim n

n →∞

1-n n

[(n -1)! =lim n 1-n (n -1)! =lim n →∞

n →∞

(n -1)!

n n -1

n -1⎤⎡123

=lim ⎢⋅⋅ ⎥n →∞n n n n ⎦⎣

n →∞i =1n

lim ∑

=e ⎰0

ln xdx

=e -1=

1. e

3.2、利用幂级数求通项中含有n ! 的数列极限

利用简单的初等函数(特别是基本初等函数) 的麦克劳林展开式，常能求得一些特殊形式的数列极限. 例2、求lim n →∞

n sin (2n ! e π).

解：因为n ! e =n ! (1+

11! +12! +13! + +1

(n +1)!

+ ) =n ! (1+

11! +12! +13! + +1n ! ) +1n +1+1(n +1)(n +2)

+ , 记s n =1+

111111! +2! +3! + +n ! ，r 1

n =n +1+(n +1)(n +2)

+ , 则 n ! e =n ! s n +r n ,

1易知 111n +n +1

11-

1=1n , n +1故由夹逼准则知 lim n →∞

n r n =1.

所以 lim n →∞

n sin (2n ! e π)=lim n →∞

n sin(2π(n ! s n +r n )) =lim n →∞

n sin(2πr n )

=lim n →∞

2πnr n =2π.

3.3、利用Stirling 公式计算通项中含有n ! 的数列极限

Stirling 公式:n ! =2n πn n e

-n +

θn

12n

(0≤θn ≤1) .

例3、求lim

1n →∞n

n ! .

解：由Stirling 公式，可得 2-1n

n ! =(2n π) n e 12n 2

, 1因为 lim (2n π2n

θn

n →∞

)

=1, lim

n →∞

12n

=0,

n 1

所以 lim n →∞n ! =lim n →∞(2n π) 2n e 12n 2

-1=lim 2n 12n 2

-1n →∞(2n π) ⋅lim n →∞

n →∞

lim (

θn

12n

-1)

n →∞12n lim

θn

-lim 1

n →∞

=e 0-1=.

3.4、利用夹逼准则计算通项中含有n ! 的数列极限

夹逼准则：设数列a n 、b n 、c n ，a n ≤b n ≤c n ，且lim a n =lim c n =A , 则有

n →∞

lim n →∞

b n =A .

例4、求lim

1n →∞n

n ! .

解：记a 11

n =(1+n ) n , b n =(1+n

) n +1，则

a (n +1) n (n +1) n +1

1a 2a 3 a n =n ! ，b 1b 2b 3 b n =n !

对于所有的正整数n ，都有a e

) n ，所以有2n n ≤(1+n ) n n .

又因为(1+1

) n +1n

≤4，所以有(1+n ) n +1≤4n n +1.

2n n 4n n +1由上面两式，可以得到 n !

, 所以有 24⋅n

, 注意到n lim →∞

2=n lim →∞

4=n lim →∞

n =1,

所以lim 2n →∞e =lim 4⋅n 1

n →∞e =e

故由夹逼准则可知lim

1n →∞n

n ! =1.

3.5、利用Stoltz 定理计算通项中含有n ! 的数列极限

Stoltz 定理：设数列{x n }和{y n }满足下列条件

(1) 数列{y n }严格递增且发散到+∞；

⎧x n +1-x n ⎫

⎬发散到+∞； (2) 数列⎨

y -y n ⎭⎩n +1

⎧x ⎫⎧x ⎫⎧x -x n ⎫

则有数列⎨n ⎬也收敛，且lim ⎨n ⎬=lim ⎨n +1⎬. n →∞y n →∞y y -y ⎩n ⎭n ⎭⎩n ⎭⎩n +1例5、求lim

n →∞

n ! .

解：记x n =

1n ! ，由Stoltz 定理，可得 n

ln 2+ln 3+ +ln(n -1) -(n -1) ln n

lim ln x n =lim n →∞n →∞n

=lim [ln n -n ln(n +1) +(n -1) ln n ]

n →∞

111n

=lim ) =lim ln 1-lim ln(1+) n =-ln lim (1+) n =-1 ,

n →∞n →∞n →∞n →∞1n n

1+n

所以lim n ! =.

n →∞n e

3.6、利用裂差法求通项中含有n ! 的数列极限

对于数列和式的极限，可通过拆分数列的通项公式，使其和式展开式相邻两项相互抵消，从而简化了极限式子.

k 2+3k +1例6、求lim ∑.

n →∞(k +2)! k =0

k 2+3k +1n ⎡11⎤

解：因为∑=∑⎢- ⎥(k +2)! k =0⎣k ! (k +2)! ⎦k =0

1111n +3

+--=2-, 0! 1! (n +1)! (n +2)! (n +2)!

n +3k 2+3k +1

=2. 所以lim ∑=lim 2-

n →∞n →∞(n +2)! (k +2)! k =0

求通项中含有n ! 数列极限的方法，具有一定的灵活性，上面介绍的是求通项数列中含有n ! 的数列极限的常用方法，希望能对于我们求解数列极限有所帮助.

小结：对于求解极限的方法，前人已经有了一定的研究. 本文对前人的求解

极限的方法做出了较为全面的总结，需要注意的是，极限的计算方法灵活多变，往往一道题目不仅仅只有单一解法，这就要求我们要综合运用多种方法，从而简化计算. 事无巨细，本文可能有一些极限的求解方法没有提到，希望读者能给出建议，本人将会虚心接受，完善这篇文章.

参考文献

[1]同济大学数学系. 《高等数学》（上册）·第六版[M].高等数学出版社,2010年. [2]华东师大数学系. 《数学分析》（上、下册）[M].高等教育出版社,2001年. [3]刘玉链，傅沛仁. 《数学分析讲义》（上、下册）·第五版[M].高等教育出版社,2010年.

[4]郑晓珍. 关于极限的四则运算法则[J].数学教学与研究考试刊,2010年57期. [5]张明欢. 二重极限的计算方法讨论[J].山西煤炭管理干部学院学报,2010年1 月.

[6]张再云, 陈湘栋, 丁卫平, 涂建斌. 极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版), 2009年6月第22卷第2期.

[7]李红. 中含有n ! 的数列极限的计算通项方法[J].重庆职业技术学院学报，2007年1月第16卷第1期.

[8]李国华. 函数极限的几种求法[J].高师理科学刊, 第31卷.

致谢

本论文是在我的指导教师黄术老师的亲切关怀和悉心指导下完成的. 非常感谢黄老师对我的指导和讲解，在与老师的接触过程中，老师严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我. 从题目的选择到最终完成，黄术老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，为本人提供了大量宝贵的意见，并且不厌其烦的纠正我在写论文过程中所犯的错误.

同时，感谢大学四年所有老师对我学业的教导和所有同窗在学习、生活上对我的帮助.

最后，感谢我的父母在各方面对我的全力支持和无止尽的关爱，使我一直幸福地学习和生活着.