多面体欧拉定理的发现
温州中学 黄 振
【教学背景】
数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。本节课试图在这一方面做一个尝试。
【教学目标】
1. 知识目标
了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。
2. 能力目标
①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。 ②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。
③发展学生的创新意识和创新能力。
3. 情感目标
① 以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。
② 体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】欧拉定理的发现和证明。
【教学难点】欧拉定理的证明。
【教学设计】
一.创设情境，提出问题
播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗?
（设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。）
二.探究猜想，导入定理
多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。
首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。教师在学生发表自己的看法的基础上举例（如下图），随着图形由简到繁，从熟悉到不熟悉，引导学生继续思考，得出规律。
（1）（2）
（3）（4）（5）
式子V+F-E＝2是否对所有的多面体都成立？继续让学生思考、讨论（寻找使上式不成立的多面体），然后汇报交流结果。
如果学生不能发现时，我们可以引导学生观察图（5），将中间的锥体的顶点向下拖动， 当顶点在棱柱的外面，此时就象在棱柱中挖去了一个“孔”，此时式子V+F-E＝2是否成立？（如下图，用多媒体演示图形变化过程）。
（5）（6）（7）
使式子不成立的多面体还有吗？（举例）
（8）（9）
这些多面体与前面的有什么不同呢？学生思考后回答，教师提炼概括：考虑一个多面 体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
而图（8）、（9）中的多面体的表面经过连续变形后，得到的是下列的图形
通过探究，学生自然而然就得到了欧拉定理：
一般地，简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有关系V+F-E=2。（其关系式叫做欧拉公式）
（设计意图：通过构建问题情境，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法，去发现公式。根据从简单到复杂的认知规律，通过多面体的连续变形，使学生体验到知识的形成过程的一波三折和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内趋力。）
三.认识欧拉，激发兴趣
利用多媒体展示欧拉的生平事迹，教师解说。
欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式。
（设计意图：通过介绍数学家的生平事迹，鼓励学生学习他们刻苦钻研的精神，激发学习兴趣。）
四.构建平台，证明定理
仅在教师的引导下进行探究式学习还是不够的，研究性学习强调的是通过学生的自主活动，由学生自行设计并控制整个学习过程，从中培养学生的创新精神和实践能力。如何构建合适的数学平台，让学生在上面探索欧拉定理的证明，是本节课的重点和难点。 我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数和边数相等，在下图中的三角形BCD中V+F-E=？若在△BCD中取点A，连接AB、AC、AD，V+F-E相应有什么变化?
CC
下面请同学们找一找，在平面图形中，V、F、E有什么关系？
学生分小组讨论，教师参与。
学生结论预测：
① 图形中每增加一个顶点，相应增加三条棱和两个面；
② 图形中每减少一个顶点，相应减少三条棱和两个面；
③ 图形中每减少一条棱，相应就减少一个面；
④ 图形中每增加一个面，相应增加一个顶点和两条棱。
CCC ⑤ 图形中的棱逐条减少，最后将只剩下一条线段；
⑥ 对于任意一个平面图形，将棱逐条减少，最后都只剩下一条线段，始终有V+F-E=1。
C
CA
得出结论：在平面图形中，始终有V+F-E=1成立。那么在空间图形中呢？
认识的过程总是从简单到复杂，请同学们证一证，在最简单的多面体——四面体中的欧拉公式。
学生个别学习，并分小组交流讨论，然后派代表发言。
学生的证明中可能出现没有将面BCD去掉，直接压成平面图形，如果这样做将在下一步证明时，会使V+F-E的值产生变化，从而得不到结果。教师在点评时必须要指出从立体到平面时，要注意面数的变化。
最后教师归纳总结，得出证明：
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形，只需证明：V+F1-E=1
B
CD
（1） 去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面
ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变
B
CB
（2） 再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如
去掉CA，就减少一个顶点C。同理去掉AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
B
BC
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，
V+F1-E=2-0-1=1，
所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。
（设计意图：欧拉定理的证明是本节课的重点和难点。空间问题平面化这一转化思想是解决空间问题常用的方法，通过引导学生分析平面图形中的点、线、面的关系，抓住变形中的不变量，再让他们去自主探究简单多面体中的欧拉公式。整个公式的证明过程自然，真正体现学生的自主探究，既反映了数学发展的规律，又反映了学生的认知规律。如果学生提出其他证法，可以在讨论、辨别后作出评价。）
五.总结反思，深化认识
今天我们通过发现——猜想——再发现——得出完善的猜想——证明，再现了数学家欧拉得出公式的过程，过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：
B
CD
（1） 去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面
ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变
B
CB
（2） 再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如
去掉CA，就减少一个顶点C。同理去掉AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
B
BC
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，
V+F1-E=2-0-1=1，
所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。
（设计意图：欧拉定理的证明是本节课的重点和难点。空间问题平面化这一转化思想是解决空间问题常用的方法，通过引导学生分析平面图形中的点、线、面的关系，抓住变形中的不变量，再让他们去自主探究简单多面体中的欧拉公式。整个公式的证明过程自然，真正体现学生的自主探究，既反映了数学发展的规律，又反映了学生的认知规律。如果学生提出其他证法，可以在讨论、辨别后作出评价。）
五.总结反思，深化认识
今天我们通过发现——猜想——再发现——得出完善的猜想——证明，再现了数学家欧拉得出公式的过程，过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：
拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮泥）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
欧拉定理向我们展示了数学的简洁和优美，几年前读过一篇数学小品文《“选美”的故事》，文中提到1998年David Wells在《The mathematical Intelligencer》(vol.10 No.4 p.30)针对数学界发出问卷，评选最优美的数学定理。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明、最优美、最深刻的数学定理让许多大数学家打分，最后，根据统计结果，公布了数学家心目中认为最美丽的数学定理。欧拉定理被评为第二名。
六.布置作业，延续探究
课后请同学们分小组研究：
① 简单多面体欧拉定理还有其他的证法吗？
② 充气后，表面经过连续变形能够变为环面的多面体，它的V+F-E有没有规律？
如果有，是什么？
③ 课本中C60的结构与足球有什么关系？试着研究C60分子中的面数、顶点数、棱
数。
（设计意图：使学生意会数学与自然和社会的联系，懂得数学的价值，增强“用数学”的意识，体验模型化思想，培养创新精神和实践能力。）
【教学反思】
新课程标准指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”教师要从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；要从教室空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换。研究性课题编入教材，使中学数学课程改革的一项重要举措。与原来的课程比较，研究性学习突出的是实践性、开发性、自主性和过程性。即通过研究性课题的教学，培养学生不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。如何使用本节内容，引导学生进行探索、发现和证明的课堂教学，是本案例设计的重点和难点。本文通过两次创建数学情景，一是由足球的表面问题引导学生去发现欧拉公式；一是通过设问，引发学生探究平面图形中的点、线、面的关系，延伸到探求简单多面体中公式的证明。能够完全放手让学生自主研究，充分体现了学生的“主人”地位，展示了一个生动活泼的、主动的和富有个性的数学学习活动的过程。
附：欧拉定理又一证法
如图（1）多面体，
设顶点数V， 面数F， D1 D 棱数E。剪掉一个面，E E
将其余的面拉平，使它 D D1
变为平面图形，如图A 1 C 1C
（2） 1 1
我们在两个图中求 E A
所有面的内角总和Σα B 一方面，在图（1） 图（1） 图（2）
中利用面求内角总和。
设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，
各面的内角总和为：
Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体所有各面的内角和为：
Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）
由（1）（2）得
(E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.
多面体欧拉定理的发现
温州中学 黄 振
【教学背景】
数学不应看作真理的汇集，而主要的应看成人类活动的一种创造性的活动。因而在教学中，如何积极引导学生主动地探索，深刻剖析知识的产生、形成和发展过程，提高学生发现问题和解决问题的能力，这是我经常思考的问题。过去我认为教师讲得越细，学生学得就越容易，课堂教学效率更高，就像钻山洞一样，老师领着学生钻比学生自己摸索可能更快一些。可是我没想到，这样做会使学生养成不动脑筋的习惯，只限于被动地听课，而不愿主动地学习。本节课试图在这一方面做一个尝试。
【教学目标】
1. 知识目标
了解多面体的概念；理解多面体欧拉公式；了解公式的发现过程和证明方法。
2. 能力目标
①初步了解数学概念和结论的产生过程，提高学生发现问题和解决问题的能力。 ②培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、人际交往能力和协作能力。
③发展学生的创新意识和创新能力。
3. 情感目标
① 以欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。
② 体验数学的简洁美（V+F-E=2），激发学生学习数学的兴趣。
【教学重点】欧拉定理的发现和证明。
【教学难点】欧拉定理的证明。
【教学设计】
一.创设情境，提出问题
播放世界杯主题曲，引出足球话题：四年一度的足球世界杯，被戏称为“绿茵场上的战争”，它令世人瞩目，吸引并造就了无数的球迷。你也许是一个狂热的球迷，但是你知道足球的黑块和白块是什么图形吗？各有多少块？如果将它看成由这些多边形所围成的几何体，你能算出它的顶点数和棱数吗?
（设计意图：让学生体验数学与“现实世界”息息相关，使数学学习发生在真实的世界和背景中，提高学生学习数学的兴趣和参与的程度。）
二.探究猜想，导入定理
多面体是由它的面围成的立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱的相交形成顶点。那么在多面体中，它的顶点数、面数和棱数之间有什么关系？请你来猜一猜。
首先让学生单独思考，然后同桌之间相互讨论。学生一般会在已学过的多面体（棱柱、棱锥等）中进行探索，得到结果。教师在学生发表自己的看法的基础上举例（如下图），随着图形由简到繁，从熟悉到不熟悉，引导学生继续思考，得出规律。
（1）（2）
（3）（4）（5）
式子V+F-E＝2是否对所有的多面体都成立？继续让学生思考、讨论（寻找使上式不成立的多面体），然后汇报交流结果。
如果学生不能发现时，我们可以引导学生观察图（5），将中间的锥体的顶点向下拖动， 当顶点在棱柱的外面，此时就象在棱柱中挖去了一个“孔”，此时式子V+F-E＝2是否成立？（如下图，用多媒体演示图形变化过程）。
（5）（6）（7）
使式子不成立的多面体还有吗？（举例）
（8）（9）
这些多面体与前面的有什么不同呢？学生思考后回答，教师提炼概括：考虑一个多面 体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
而图（8）、（9）中的多面体的表面经过连续变形后，得到的是下列的图形
通过探究，学生自然而然就得到了欧拉定理：
一般地，简单多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有关系V+F-E=2。（其关系式叫做欧拉公式）
（设计意图：通过构建问题情境，启发学生运用类比、归纳、猜想等思维方法，去发现公式。根据从简单到复杂的认知规律，通过多面体的连续变形，使学生体验到知识的形成过程的一波三折和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内趋力。）
三.认识欧拉，激发兴趣
利用多媒体展示欧拉的生平事迹，教师解说。
欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式。
（设计意图：通过介绍数学家的生平事迹，鼓励学生学习他们刻苦钻研的精神，激发学习兴趣。）
四.构建平台，证明定理
仅在教师的引导下进行探究式学习还是不够的，研究性学习强调的是通过学生的自主活动，由学生自行设计并控制整个学习过程，从中培养学生的创新精神和实践能力。如何构建合适的数学平台，让学生在上面探索欧拉定理的证明，是本节课的重点和难点。 我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数和边数相等，在下图中的三角形BCD中V+F-E=？若在△BCD中取点A，连接AB、AC、AD，V+F-E相应有什么变化?
CC
下面请同学们找一找，在平面图形中，V、F、E有什么关系？
学生分小组讨论，教师参与。
学生结论预测：
① 图形中每增加一个顶点，相应增加三条棱和两个面；
② 图形中每减少一个顶点，相应减少三条棱和两个面；
③ 图形中每减少一条棱，相应就减少一个面；
④ 图形中每增加一个面，相应增加一个顶点和两条棱。
CCC ⑤ 图形中的棱逐条减少，最后将只剩下一条线段；
⑥ 对于任意一个平面图形，将棱逐条减少，最后都只剩下一条线段，始终有V+F-E=1。
C
CA
得出结论：在平面图形中，始终有V+F-E=1成立。那么在空间图形中呢？
认识的过程总是从简单到复杂，请同学们证一证，在最简单的多面体——四面体中的欧拉公式。
学生个别学习，并分小组交流讨论，然后派代表发言。
学生的证明中可能出现没有将面BCD去掉，直接压成平面图形，如果这样做将在下一步证明时，会使V+F-E的值产生变化，从而得不到结果。教师在点评时必须要指出从立体到平面时，要注意面数的变化。
最后教师归纳总结，得出证明：
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形，只需证明：V+F1-E=1
B
CD
（1） 去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面
ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变
B
CB
（2） 再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如
去掉CA，就减少一个顶点C。同理去掉AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
B
BC
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，
V+F1-E=2-0-1=1，
所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。
（设计意图：欧拉定理的证明是本节课的重点和难点。空间问题平面化这一转化思想是解决空间问题常用的方法，通过引导学生分析平面图形中的点、线、面的关系，抓住变形中的不变量，再让他们去自主探究简单多面体中的欧拉公式。整个公式的证明过程自然，真正体现学生的自主探究，既反映了数学发展的规律，又反映了学生的认知规律。如果学生提出其他证法，可以在讨论、辨别后作出评价。）
五.总结反思，深化认识
今天我们通过发现——猜想——再发现——得出完善的猜想——证明，再现了数学家欧拉得出公式的过程，过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：
B
CD
（1） 去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。例如去掉BC，就减少一个面
ABC。同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变
B
CB
（2） 再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。例如
去掉CA，就减少一个顶点C。同理去掉AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
B
BC
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，
V+F1-E=2-0-1=1，
所以 V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。
（设计意图：欧拉定理的证明是本节课的重点和难点。空间问题平面化这一转化思想是解决空间问题常用的方法，通过引导学生分析平面图形中的点、线、面的关系，抓住变形中的不变量，再让他们去自主探究简单多面体中的欧拉公式。整个公式的证明过程自然，真正体现学生的自主探究，既反映了数学发展的规律，又反映了学生的认知规律。如果学生提出其他证法，可以在讨论、辨别后作出评价。）
五.总结反思，深化认识
今天我们通过发现——猜想——再发现——得出完善的猜想——证明，再现了数学家欧拉得出公式的过程，过去我们研究的几何问题主要涉及到长度、距离、面积等度量问题，而欧拉定理与度量无关。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：
拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮泥）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
欧拉定理向我们展示了数学的简洁和优美，几年前读过一篇数学小品文《“选美”的故事》，文中提到1998年David Wells在《The mathematical Intelligencer》(vol.10 No.4 p.30)针对数学界发出问卷，评选最优美的数学定理。文中列出二十四个被当今数学家认为最简明、最优美、最深刻的数学定理让许多大数学家打分，最后，根据统计结果，公布了数学家心目中认为最美丽的数学定理。欧拉定理被评为第二名。
六.布置作业，延续探究
课后请同学们分小组研究：
① 简单多面体欧拉定理还有其他的证法吗？
② 充气后，表面经过连续变形能够变为环面的多面体，它的V+F-E有没有规律？
如果有，是什么？
③ 课本中C60的结构与足球有什么关系？试着研究C60分子中的面数、顶点数、棱
数。
（设计意图：使学生意会数学与自然和社会的联系，懂得数学的价值，增强“用数学”的意识，体验模型化思想，培养创新精神和实践能力。）
【教学反思】
新课程标准指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”教师要从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；要从教室空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换。研究性课题编入教材，使中学数学课程改革的一项重要举措。与原来的课程比较，研究性学习突出的是实践性、开发性、自主性和过程性。即通过研究性课题的教学，培养学生不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。如何使用本节内容，引导学生进行探索、发现和证明的课堂教学，是本案例设计的重点和难点。本文通过两次创建数学情景，一是由足球的表面问题引导学生去发现欧拉公式；一是通过设问，引发学生探究平面图形中的点、线、面的关系，延伸到探求简单多面体中公式的证明。能够完全放手让学生自主研究，充分体现了学生的“主人”地位，展示了一个生动活泼的、主动的和富有个性的数学学习活动的过程。
附：欧拉定理又一证法
如图（1）多面体，
设顶点数V， 面数F， D1 D 棱数E。剪掉一个面，E E
将其余的面拉平，使它 D D1
变为平面图形，如图A 1 C 1C
（2） 1 1
我们在两个图中求 E A
所有面的内角总和Σα B 一方面，在图（1） 图（1） 图（2）
中利用面求内角总和。
设有F个面，各面的边数分别为n1,n2，…，nF，
各面的内角总和为：
Σα = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800
=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）
另一方面，在图（2）的拉开图中，利用顶点来求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体所有各面的内角和为：
Σα = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600. （2）
由（1）（2）得
(E-F) ·3600 =（V-2）·3600
所以 V+F-E=2.