自考线性代数

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类) 试题课程代码：04184

T *

说明:在本卷中,A 表示矩阵A 的转置矩阵,A 表示矩阵A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,|A|表示方阵A 的行列式,r(A)表示矩A 的秩. 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分, 共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A 为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT |=( ) A.-8 B.-2 C.2

D.8

2. 设矩阵A=⎛ 1⎫

⎝-1⎪⎪⎭,B=(1,1),则AB=( )

A.0 B.(1,-1) C. ⎛ 1⎫

-1⎪⎝⎪⎭

D. ⎛ 1

1⎫ -1-1⎪⎝⎪⎭

3. 设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

4. 设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎛ 12⎫ -1

⎝34⎪⎪⎭

, 则A = ( )

A. -

⎛ 4-3⎫ ⎪⎝-21⎪⎭ B. -12

2 ⎛ 1-2⎫ ⎪⎝-34⎪⎭

C. -1⎛12⎫2 ⎝34⎪⎪⎭ D. -

⎛ 42⎫2

⎝31⎪⎪⎭

5. 下列矩阵中不是．．

初等矩阵的是( ) ⎛101⎛⎛A. ⎫

010⎪⎪ B. 001⎫

⎛ 100⎫

D. 010⎪⎪ C. 100⎫

030⎪ ⎪ 010⎪⎪ ⎝000⎪⎭ ⎝100⎪⎭⎝001⎪⎭ ⎝201⎪⎭

6. 设A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则必有( )

A.A+B可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA可逆 7. 设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )

A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示, 但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示, 且表示法惟一

8. 设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1, 则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( A.0 B.1 C.2

D.3

⎧2x 1-x 2+x 3=0

9. 设齐次线性方程组⎪

⎨x 1-x 2-x 3=0有非零解, 则λ为( )

⎪⎩λx 1

+x 2+x 3=0

A.-1 B.0 C.1

D.2

10. 设二次型f(x)=xT Ax 正定, 则下列结论中正确的是( )

A. 对任意n 维列向量x,x T Ax 都大于零 B.f 的标准形的系数都大于或等于零 C.A 的特征值都大于零 D.A 的所有子式都大于零二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 行列式

0112

的值为_________.

12. 已知A=⎛ 12⎫

⎝23⎪⎪⎭

, 则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.

)

⎛11⎫⎛1-3⎫3 ⎪13. 设矩阵A= ,P= 01⎪⎪, 则AP =_________. -24⎪

⎝⎭⎝⎭

14. 设A,B 都是3阶矩阵, 且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.

15. 已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关, 则数k=_________.

⎛1⎫⎛3⎫

⎪ ⎪2 ⎪ 5⎪

16. 已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解, 且α1= ⎪, α1+α3= ⎪, 则该线性方程组的通解是

37 ⎪ ⎪ 4⎪ 9⎪⎝⎭⎝⎭

_________.

⎛1⎫⎛1⎫

⎪ ⎪

17. 已知P 是3阶正交矩, 向量α= 3⎪, β= 0⎪, 则内积(P α, P β) =_________.

2⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭

18. 设2是矩阵A 的一个特征值, 则矩阵3A 必有一个特征值为_________.

⎛12⎫

19. 与矩阵A= 03⎪⎪相似的对角矩阵为_________.

⎝⎭

⎛1-2⎫T

20. 设矩阵A= -2k ⎪⎪, 若二次型f=xAx 正定, 则实数k 的取值范围是_________.

⎝⎭

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

01201012

. 21. 求行列式D=

2101

0210

⎛0-10⎫⎛-1-20⎫ ⎪ ⎪100, B =2-1022. 设矩阵A= ⎪ ⎪, 求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X. 001⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫⎛-2⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

23. 若向量组α1= 1⎪, α2= -1⎪, α3= 6⎪, α4= 0⎪的秩为2, 求k 的值.

1⎪ 3⎪ -k ⎪ -2k ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23⎫⎛2⎛2⎫ ⎪ ⎪

24. 设矩阵A = 1-10⎪, b = 1⎪.

-121⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭

(1)求A -1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出. 25. 已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2, 设B=A2+2A-E,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.

(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.

⎧x 1=2y 1+2y 2+y 3

⎪

26. 求二次型f(x1,x 2,x 3)=- 4 x1x 2+ 2x1x 3+2x2x 3经可逆线性变换⎨x 2=2y 1-2y 2+y 3所得的标准形.

⎪x =2y 3⎩3

四、证明题(本题6分)

27. 设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是±1.

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

T *

试卷说明：在本卷中，A 表示矩阵A 的转置矩阵；A 表示A 的伴随矩阵；r (A ) 表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单

位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12

3 0 -2 0

2 10 5 0

2. 计算行列式=( )

0 0 -2 0-2 3 -2 3

A.-180 B.-120 C.120 D.180 3. 若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.

B.2 C.4 D.8 2

B. α1，α2，α3，α4线性相关 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示

4. 设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A. α1，α2，α3，α4线性无关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示

5. 若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. 设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B ) ，则( )

A. A 与B 相似 B.| A |=| B | C. A 与B 等价 D. A 与B 合同 7. 设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3 D.24 8. 若A 、B 相似，则下列说法错误的是( ) ．．

A. A 与B 等价 B. A 与B 合同 C.| A |=| B | D. A 与B 有相同特征值 9. 若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t ) 正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2 D.4 10. 设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( )

A. A 正定 B. A 半正定 C. A 负定 D. A 半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

⎛3 -2⎫

⎪⎡2 1 -1⎤

11. 设A = 0 1⎪, B =⎢⎥，则AB =_________________.

0 -1 0⎣⎦ 2 4⎪

⎝⎭

12. 设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________.

13. 三元方程x 1+x2+x3=1的通解是_______________.

14. 设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15. 设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________. 16. 设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，

，1，则| 5A -1 |=______________. 2

17. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________.

⎛ 2 -1 0⎫ ⎪

18. 实对称矩阵 -1 0 1 ⎪所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.

0 1 1⎪⎝⎭

⎛1⎫⎛-1⎫

⎪ ⎪

19. 设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1= 2⎪，α2= 2⎪且r (A )=2，则Ax =b 的通解是_______________.

3⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫

⎪

20. 设α= 2⎪，则A =ααT 的非零特征值是_______________.

3⎪⎝⎭

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2 0 0 0 1 0 2 0 0 0

21. 计算5阶行列式D =

0 0 2 0 0 1 0 0 0 2

⎛2 0 0⎫⎛1 0 0⎫⎛1 -4 3⎫ ⎪ ⎪ ⎪

22. 设矩阵X 满足方程 0 -1 0⎪X 0 0 1⎪= 2 0 -1⎪ 求X .

0 0 2⎪ 0 1 0⎪ 1 -2 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1⎪

23. 求非齐次线性方程组 ⎨3x 1-x 2-3x 3+4x 4=4的通解.

⎪x +5x -9x -8x =0

234⎩1

24. 求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

⎛ 2 -1 2⎫

⎪

25. 已知A = 5 a 3⎪的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向

-1 b -2⎪⎝⎭

量.

⎛-2 1 1 -2⎫ ⎪

26. 设A = 1 -2 1 a ⎪，试确定a 使r (A )=2.

1 1 -2 2⎪⎝⎭

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27. 若α1，α2，α3是Ax=b(b ≠0) 的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 已知2阶行列式

a 1b 1

a 2b 2

=m ,

b 1c 1

b 2c 2

=n , 则

b 1b 2

a 1+c 1a 2+c 2

=（）

A. m-n B. n-m C. m+n D.-（m+n） 2. 设A , B , C均为n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（） A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA

3. 设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵, 且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（） A.-8 B.-2 C.2 D.8

⎛100⎫⎛100⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛a 113a 12a 13⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

4. 已知A= a 21a 22a 23⎪，B = a 213a 22a 23⎪，P = 030⎪，Q = 310⎪，则B =（）

⎪ ⎪ a a a ⎪ a 3a a ⎪ ⎪ ⎪⎝313233⎭⎝313233⎭⎝001⎭⎝001⎭

A. P A B. AP C. QA D. AQ 5. 已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）

A. 若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B. 若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6. 下列命题中错误的是（）．．A. 只含有一个零向量的向量组线性相关 C. 由一个非零向量组成的向量组线性相关

B. 由3个2维向量组成的向量组线性相关 D. 两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7. 已知向量组α1, α2, α3线性无关，α1, α2, α3，β线性相关，则（）

A. α1必能由α2, α3，β线性表出 B. α2必能由α1, α3，β线性表出 C. α3必能由α1, α2，β线性表出 D. β必能由α1, α2, α3线性表出 8. 设A 为m ×n 矩阵，m ≠n , 则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（） A. 小于m B. 等于m C. 小于n D. 等于n 9. 设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（） A. A T B. A 2 C. A -1 D. A *

222

10. 二次型f （x 1, x 2, x 3）=x 1+x 2+x 3+2x 1x 2的正惯性指数为（）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 行列式

20072009的值为_________________________.

⎛1-13⎫⎛⎫⎪, B= 20⎪, 则A T B=____________________________. 12. 设矩阵A=

201⎪ 01⎪

⎝⎭⎝⎭

13. 设4维向量α=（3,-1,0,2）T , β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2α+γ=3β，则γ=__________. 14. 设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=-

, 则|A -1|=___________________________. n

15. 设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________. 16. 齐次线性方程组⎨

⎧x 1+x 2+x 3=0

的基础解系所含解向量的个数为________________.

2x -x +3x =03⎩12

-1

⎛1⎫

17. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵 A 2⎪必有一个特征值为_____________.

⎝3⎭

⎛⎫ 1-2-2⎪ ⎪

18. 设矩阵A= -2x 0⎪的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

⎪ ⎪ -200⎪⎝⎭

⎛ a 1

19. 已知A =

0 ⎝

⎫0⎪2⎪

⎪

b 0⎪是正交矩阵，则a +b =_______________________________。

⎪⎪01⎪

⎪⎭

20. 二次型f （x 1, x2, x3）=-4x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的矩阵是_______________________________。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21. 计算行列式D =a 2

b b 2b +b 3

c 2的值。 c +c 3

a +a 3

22. 已知矩阵B =（2，1，3），C =（1，2，3），求（1）A =B T C ；（2）A 2。

23. 设向量组α1=(2,1,3,1)T , α2=(1,2,0,1)T , α3=(-1,1,-3,0) T , α4=(1,1,1,1)T , 求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

⎛

24. 已知矩阵A = 0

0 ⎝

210

⎫⎛⎫3⎪ -14⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

（2）解矩阵方程AX =B 。 2⎪，B= 25⎪. （1）求A -1；

⎪ ⎪

1-3 ⎪1⎪⎪ ⎪

⎭⎝⎭

⎧x 1+2x 2+3x 3=4

⎪⎪

25. 问a 为何值时，线性方程组⎨2x 2+ax 3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个

⎪

⎪2x +2x +3x =6

23⎩1

特解和导出组的基础解系表示全部解）。

⎛

26. 设矩阵A = 0

0⎝

03a

⎫⎛0⎪ 1⎪

-1

a ⎪的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使P AP = 0⎪ ⎪ 3⎪ 0⎭⎝

020

⎫

0⎪⎪0⎪。 ⎪⎪5⎪⎭

四、证明题（本题6分）

27. 设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明（A +B ）-1=A -1+B -1。

全国2010年1月高等教育自学考试《线性代数（经管类）》试题及答案

课程代码：04184

试题部分

说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

2x 2y 2z 4

1. 设行列式403=1, 则行列式01=（）

111111

x y z

B.1

8D. 3

2. 设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（） A. A -1B -1C -1 B. C-1B -1A -1 C. C-1A -1B -1 D. A-1C -1B -1

3. 设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）. 如果|A |=2，则|-2A |=（） A.-32 B.-4 C.4 D.32

4. 设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D. α1，α2，α3一定线性无关 5. 向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（） A.1 B.2 C.3 D.4

6. 设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1 B.2 C.2

C.3 D.4

7. 设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（） A. m ≥n B. Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C. r （A ）=m D. Ax =0存在基础解系 ⎡4-52⎤

8. 设矩阵A =⎢⎢5-73⎥⎥，则以下向量中是A 的特征向量的是（）

⎢⎣6-94⎥⎦

A. （1，1，1）T

B. （1，1，3）T C. （1，1，0）T D. （1，0，-3）T

⎡1-11⎤

9. 设矩阵A =⎢⎢13-1⎥⎥的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

3 =

（ ⎢⎣111⎥⎦

A.4

B.5 C.6 D.7

10. 三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=x 2+4x 22

11x 2+6x 1x 3+4x 2+12x 2x 3+9x 3

的矩阵为（⎡⎢123⎤⎡143A. ⎢246⎥B. ⎢⎤

⎢⎥ ⎢046⎥⎣369⎥⎦⎢⎥ ⎣369⎥⎦⎡126⎤⎡123⎤C. ⎢⎢246⎥⎥ D. ⎢⎢240⎥⎢⎣069⎥⎦

⎢⎥ ⎣3129⎥⎦

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11. 行列式459=_________.

6713⎡⎢5200⎤12. 设A =⎢

100⎥⎢⎥⎢0021⎥

，则A -1=_________. ⎣0

011⎥

⎦

13. 设方阵A 满足A 3-2A +E =0，则（A 2-2E ）-1=_________.

14. 实数向量空间V ={（x 1, x 2, x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________.

15. 设α1，α2是非齐次线性方程组Ax =b 的解. 则A （5α2-4α1）=_________. 16. 设A 是m ×n 实矩阵，若r （A T A ）=5，则r （A ）=_________. ⎡17. 设线性方程组⎢a 11⎤⎢1a 1⎥⎡⎥⎢x 1⎤⎡1⎤⎢x ⎥⎢1⎥

2⎥=⎥⎢⎥有无穷多个解，则a =_________.

⎢⎣11a ⎥⎦⎢⎣x 3⎦⎢⎣-2⎥⎦

18. 设n 阶矩阵A 有一个特征值3，则|-3E +A |=_________.

19. 设向量α=（1，2，-2），β=（2，a ，3），且α与β正交，则a =_________.

））

20. 二次型f (x 1, x 2, x 3) =4x 2-3x 3+4x 1x 2-4x 1x 3+8x 2x 3的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

[**************]8

21．计算4阶行列式D =.

⎡2-31⎤

⎥-1

4-5222. 设A =⎢，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A . ⎢⎥⎢⎣5-73⎥⎦

23. 设向量α=（3，2），求（αT α）101.

24. 设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. ⎧x 1+x 2-2x 4=0⎪

25. 求齐次线性方程组⎨4x 1-x 2-x 3-x 4=0的基础解系及其通解.

⎪3x -x -x =0

123⎩⎡32-2⎤

⎢⎥

26. 设矩阵A =⎢0-10⎥，求可逆方阵P ，使P -1AP 为对角矩阵.

⎢⎣42-3⎥⎦

四、证明题（本大题6分）

27. 已知向量组α1, α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

答案部分

第25—27题答案暂缺

2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参考答案

2010年10月全国自考线性代数（经管类）参考答案

全国2011年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（）

A ． B ．3=

C ．5 D ．

2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）

A ． B ．

C ． D ．

3．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =，则C -1是（）

A ． B ．

C ． D ．

4．设A 为3阶矩阵，A 的秩r (A )=3，则矩阵A *的秩r (A *)=（）

A ．0 B ．1

C ．2 D ．3

5．设向量，若有常数a , b 使，则（

A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2

C ．a =1, b =-2 D ．a =1, b =2

6．向量组的极大线性无关组为（）

A ． B ．

C ． D ．）

7．设矩阵A =

A ．3

C ．1

8．设，那么矩阵A 的列向量组的秩为（） B ．2 D ．0 是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）

A ． B ．

C ． D ．

9．设矩阵A =

A ．（0，0，0）T

C ．（1，0，-1）T ，则A 的对应于特征值的特征向量为（） B ．（0，2，-1）T D ．（0，1，1）T

210．二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12-x 1x 2+x 2的矩阵为（）

A ． B ．

C ． D ．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．行列式

304

11112．行列式0-10

53-2__________. 01中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 02

13．设矩阵A =，B =（1，2，3），则BA =__________.

1，则|A 3|=__________. 214．设3阶方阵A 的行列式|A |=

15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1B =B -1A =E ，则A 2+B 2=__________.

16．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________.

17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.

18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________.

111

19．设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为, , ，则行列式|B -1|=__________.

234

20．设A =是正定矩阵，则a 的取值范围为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A =

求：（1）A T B ；（2）|A T B |. 22．设A =

，B =

，C =

，且满足AXB =C ，求矩阵X .

，B =

，

23．求向量组

=（1, 2, 1, 0）T ，=（1, 1, 1, 2）T ，=（3, 4, 3, 4）T ，=（4, 5, 6, 4）T 的秩与一个极大线性无关组.

⎧x 1-x 2+3x 3-x 4=1⎪

24．判断线性方程组⎨2x 1-x 2-x 3+4x 4=2是否有解，有解时求出它的解.

⎪x -4x +5x =-1

34⎩1

25．已知2阶矩阵A 的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为

=（7，1）T ，求矩阵A .

，求行列式|A -E |的值.

=（-1，1）T ，

26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=

四、证明题（本大题共6分）

27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵. 证明：（1）AB -BA 为对称矩阵；（2）AB +BA 为反对称矩阵.

全国2012年1月自考《线性代数(经管类) 》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A 表示方阵A 的逆矩阵，r (A ) 表示矩阵A 的秩，||

单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

-1

||表示向量的长度，

表示向量的转置，E 表示

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式A ．-6 C ．3

B ．-3 D ．6

=2，则=（）

2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A B ．E -A C ．E +A D ．E -A -1

3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

-1

A ．可逆，且其逆为 B ．不可逆

C ．4．设

可逆，且其逆为，

D ．

可逆，且其逆为

，

，…，

是n 维列向量，则，…，

线性无关的充分必要条件是

（）

A ．向量组

，

，…，

中任意两个向量线性无关

B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1C ．向量组D ．向量组5．已知向量

A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T

+l 2

+…+l k

≠0

，，

，…，，…，

中存在一个向量不能由其余向量线性表示中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

则

=（）

12k

C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 C ．3 7．设

B ．2 D ．4

是非齐次线性方程组Ax =b 的解，

是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是

（）

A ．C ．

+-是Ax =0的解 B ．是Ax =b 的解 D ．

+-是Ax =b 的解是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为，则A -1的特征值为（）

A ． B ．

C ． D．2,4,3

9．设矩阵A =，则与矩阵A 相似的矩阵是（）

A ． B ．

C ． D ．

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B ．正定矩阵的行列式一定小于零

C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB ) )=__________．

12．设3阶矩阵A =

，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．

-1

13．设方阵A 满足A =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A =__________． 14．实向量空间R 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r , 则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________． 17．设

是齐次线性方程组Ax =0的解，而

是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则

=__________．

18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________． 20．二次型

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

的正惯性指数是__________．

21．计算行列式．

22．设矩阵A =23．设向量组

，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．

求其一个极大线性无关组，并将其余

向量通过极大线性无关组表示出来．

24．设三阶矩阵A =

，求矩阵A 的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A =的秩．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设三阶矩阵A =的行列式不等于0，证明：

线性无关．

全国2012年10月自考《线性代数(经管类) 》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A ) 表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单

位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a 11

1．设行列式a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 133a 11a 23=2，则-a 31a 33a 21-a 31

3a 12

-a 32a 22-a 32

3a 13

-a 33=（） a 23-a 33

A ．-6 C ．3

B ．-3 D ．6

2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 C ．E +A

B ．E -A D ．E -A -1

3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） ⎛⎛A ⎫

A ．可逆，且其逆为 -1⎪

B ⎭⎝⎝B ⎛⎛A ⎫

C ．可逆，且其逆为 -1⎪

B ⎭⎝⎝A

A -1⎫

⎪ ⎭B -1⎫⎪ ⎭

⎛A ⎫B ． ⎪不可逆

B ⎝⎭

⎛A -1⎛A ⎫

D ． ⎪可逆，且其逆为

B ⎝⎭⎝⎫

⎪ B -1⎭

4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是

（）

A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关

B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0 C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示 D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 5．已知向量2α+β=(1, -2, -2, -1) T ,3α+2β=(1, -4, -3,0) T , 则α+β=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）T

D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是A ．α+β是Ax =0的解 B ．α+β是Ax =b 的解 C ．β-α是Ax =b 的解

D ．α-β是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为12, 1

4,3，则A -1的特征值为（）

A ．2,4, 1

B ．12, 114, 3

C ．112, 4

D ．2,4,3

9．设矩阵A =2，则与矩阵A 相似的矩阵是（）

-1

1-101A ．-12

B ．10

2-2

C ．1 D ．-2

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B ．正定矩阵的行列式一定小于零

C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB ) 3)=__________．

）

（

12-2

3，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________． 12．设3阶矩阵A =4t

3-11

13．设方阵A 满足A k =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r , 则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．

17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则A (3α+2β) =__________． 18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．

20．二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+5x 2+6x 3+4x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 11-1

-1-1-4

21．计算行列式

24-6124

21． 12

22．设矩阵A =35

，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．

23．设向量组α1=(3,1,2,0),α2=(0,7,1,3),α3=(-1,2,0,1), α4=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性

无关组表示出来．

-143

24．设三阶矩阵A =-253，求矩阵A 的特征值和特征向量．

2-4-2

25．求下列齐次线性方程组的通解．

⎧x 1+x 3-5x 4=0⎪

⎨2x 1+x 2-3x 4=0

⎪x +x -x +2x =0

234⎩1

2-2

26．求矩阵A =

031-1

4-206-11

的秩．

001210

四、证明题（本大题共1小题，6分） a 11

27．设三阶矩阵A =a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 13

a 23的行列式不等于0，证明： a 33

⎛a 13⎫⎛a 11⎫⎛a 12⎫

⎪ ⎪ ⎪

α1= a 21⎪, α2= a 22⎪, α3= a 23⎪线性无关．

a ⎪ a ⎪ a ⎪⎝31⎭⎝32⎭⎝33⎭

全国2012年10月自考《线性代数(经管类) 》答案

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A , B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．|A +B |=|A |+|B | B ．AB =BA

C ．(AB ) T =A T B T

D ．|AB |=|BA |

2．设n 阶方阵A , B , C 满足ABC =E ，则必有（ C ） A ．ACB =E

B ．CBA =E

C ．BCA =E

D ．BAC =E

3．设A 为三阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（ A ） A ．-16

B ．-4

C ．4

D ．16

4．若同阶方阵A 与B 等价，则必有（ C ） A ．|A |=|B |

B ．A 与B 相似

C ．R (A ) =R (B )

D ．∑a ii =∑b ii

i =1

5．设α1=(1, 0, 0) , α2=(2, 0, 0) , α3=(1, 1, 0) ，则（ C ） A ．α1, α2, α3线性无关 C ．α1可由α2, α3线性表示

B ．α3可由α1, α2线性表示 D ．α1, α2, α

3的秩等于3

6．设α1, α2是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（ D ）

A ．α1+α2

B ．α1-α2

C ．β+α1+α2 D ．

α1+

α2-β ⎡200⎤

⎥相似，则下列说法错误的是（ B ） 7．若3阶方阵A 与对角阵Λ=⎢000．．⎢⎥

⎢⎣003

⎥⎦

A ．|A |=0

B ．|A +E |=0 D ．R (A ) =2

C ．A 有三个线性无关特征向量

8．齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（ C ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．若α=(1, 1, t ) 与β=(1, 1, 1) 正交，则t =（ A ） A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．1

⎡21⎤

10．对称矩阵A =⎢⎥是（）

12⎣⎦

A ．负定矩阵

B ．正定矩阵

C ．半正定矩阵

D ．不定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．设

A , B 均为三阶可逆方阵，且|A |=2，则|-2B -1A 2B |=____________．

12．四阶行列式中项a 21a 32a 13a 44的符号为____________．

⎡1-1⎤*

A =____________． 13．设A =⎢，则的伴随阵A ⎥

⎣-12⎦

⎡121⎤

14．设A =⎢023⎥，且R (A ) =2，则t =____________．

⎢⎥⎢⎣10t ⎥⎦15．设三阶方阵A

=[α1, α2, α3]，其中αi 为A 的列向量，且|A |=3，若B =[α1, α1+α2, α1+α2+α3]，则|B |=____________．

⎧x 1+x 3=016．三元方程组⎨的通解是____________．

x -x =02⎩1

⎡21⎤

17．设A =⎢⎥，则A 的特征值是____________．

-14⎣⎦

18．若三阶矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3，则|A +2E |=____________．

⎡200⎤⎡200⎤⎢⎥⎢⎥19．若A =⎢001⎥与B =⎢010⎥相似，则x =____________． ⎢⎢⎣01x ⎥⎦⎣00-1⎥⎦

⎡1-1⎤

20．实对称矩阵A =⎢⎥的正交相似标准形矩阵是____________．

-11⎣⎦三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

123

-123

21．计算四阶行列式

-1-23-1-2-344． 44

123-123解：

-1-23-1-2-3412404=4004003

66048

=1⨯4⨯6⨯8=192． 88

5⎤⎡21

⎥，是三阶方阵，且满足AB -A 2=B -E ，求． 22．设A =⎢04-2B ⎢⎥B

⎢⎣4-31⎥⎦

115115

3-2

解：因为|A -E |=03-2=03-2==-74≠0，所以A -E 可逆，

-7-20

4-300-7-205⎤⎡31

⎥．由AB -A 2=B -E ，得AB -B =A 2-E ，(A -E ) B =(A -E )(A +E ) ，B =A +E =⎢05-2⎢⎥

⎢⎣4-32⎥⎦

23．设α1=(1, 1, 2, 3) , α2=(1, -1, 1, 1) , α3=(1, 3, 3, 5) , α4=(4, -2, 5, 6) , α5=(-3, -1, -5, -7) ，试求向量组α1, α2, α3, α4, α5的秩和一个极大无关组．

⎡11

⎢1-1

T T T T T

解：[α1, α2, α3, α4, α5]=⎢

⎢21⎢

⎣31⎡11⎢0-2→⎢

⎢00⎢

⎣00

14-3⎤⎡1

⎢02-62⎥⎥→⎢⎢0000⎥⎥⎢

000⎦⎣0

14-3⎤⎡11

⎢3-2-1⎥⎥→⎢0-2

35-5⎥⎢0-1

⎥⎢

56-7⎦⎣0-2

4-3⎤⎡1

⎢03-1⎥⎥→⎢⎢000⎥⎥⎢00⎦⎣0

14-3⎤

2-62⎥⎥ 1-31⎥

⎥

2-62⎦

1-2⎤3-1⎥⎥， 00⎥

⎥00⎦

111-10000021-10000

向量组的秩是2，α1, α2是向量组的一个极大无关组．

⎧x 1-x 2+3x 3+2x 4=3⎪

24．设四元方程组⎨2x 1-x 2+2x 3-x 4=2，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．

⎪x -2x +7x +7x =t

234⎩123⎤23⎤⎡1-1323⎤⎡1-13⎡1-13

⎥→⎢01-4-5-4⎥→⎢01-4-5-4⎥，解：[A , b ]=⎢2-12-12⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢5t -3⎥00t -7⎥⎣1-277t ⎥⎦⎢⎣0-14⎦⎣00⎦

t =7时，R (A , b ) =R (A ) =2，该方程组有解，此时

⎧x 1=-1+x 3+3x 41-132310-1-3-1⎡⎤⎡⎤⎪

⎪x 2=-4+4x 3+5x 4⎢⎥⎢⎥[A , b ]→⎢01-4-5-4⎥→⎢01-4-5-4⎥，⎨， x =x 3⎪3⎢⎢000⎥00⎥⎣00⎦⎣000⎦⎪

x 4⎩x 4=

⎛-1⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ -4⎪ 4⎪ 5⎪该方程组通解为 ⎪+k 1 ⎪+k 2 ⎪，k 1, k 2是任意常数． 010 ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎡-1-4⎤⎡-10⎤25．设矩阵P =⎢，，矩阵A 由矩阵方程P -1AP =D 确定，试求A 5． D =⎥⎢⎥1⎦⎣1⎣02⎦

解：P -1=1*1⎡14⎤1⎡-1-4⎤，A =PDP -1， P =-⎢=⎢⎥⎥1⎦|P |3⎣-1-1⎦3⎣1

A 5=(PDP -1)(PDP -1)(PDP -1)(PDP -1)(PDP -1) =PD 5P -11⎡-1-4⎤⎡-10⎤⎡-1-4⎤=⎢⎢02⎥⎢1⎥ 1⎥13⎣1⎦⎣⎦⎣⎦51⎡-1-4⎤⎡-10⎤⎡-1-4⎤1⎡1-128⎤⎡-1-4⎤1⎡-129-132⎤=⎢⎢032⎥⎢1⎥=3⎢-132⎥⎢1⎥=3⎢33⎥． 1⎥11373⎣1⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

26．求正交变换X =PY ，化二次型f (x 1, x 2, x 3) =-2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3为标准形．

⎡0-11⎤⎥，解：二次型的矩阵为A =⎢-101⎢⎥⎢⎣110⎥⎦

-1λ1-1λ1-1λ2-1

|λE -A |=1λ-1=1λ-1=(λ-1) 1λ-1=(λ-1) 1λ+1-1

-1-1λ0λ-1λ-10110011

=(λ-1) λλ2=(λ-1)(λ2+λ-2) =(λ+2)(λ-1) 2，A 的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2． 1λ+1

对于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

⎡11-1⎤⎡11-1⎤⎧x 1=-x 2+x 3⎛-1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪⎥→⎢000⎥，⎪x =x ，，λE -A =⎢11-1α=1α= ⎪ 0⎪， 122⎢⎥⎢⎥⎨2 0⎪ 1⎪⎪⎢x 3⎣-1-11⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎩x 3=⎝⎭⎝⎭

⎛-1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎛1/2⎫ ⎪ ⎪⎪(α, β) -1 ⎪ 正交化：β1=α1= 1⎪，β2=α2-21β=0-1=1/2 ⎪ ⎪ ⎪， 1||β1|| 0⎪ 1⎪2 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛-1⎫⎛1/2⎫⎛1⎫⎪1 ⎪1 ⎪12 单位化：p 1=β1=β2= 1⎪，p 2= 1/2⎪= 1⎪； ||β1||||β2||2 ⎪6 6⎪ 2⎪⎝0⎭⎝1⎭⎝⎭1

对于λ3=-2，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：11λ-1-1

-1-1λ

⎡-21-1⎤⎡101⎤⎧x 1=-x 3⎛-1⎫⎥→⎢011⎥，⎪x =-x ，α= -1⎪， λE -A =⎢1-2-1 ⎪33⎢⎥⎢⎥⎨2 1⎪⎪⎢⎣-1-1-2⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎩x 3=x 3⎝⎭

⎛-1⎫11 ⎪单位化：p 3=α3= -1⎪． ||α3||3 ⎪⎝1⎭

⎡-1/2⎢令P =⎢1/2

⎢0⎣1/61/62/-1/3⎤⎡100⎤⎥-1/3⎥，则P 是正交矩阵，使得P T AP =⎢010⎥， ⎢⎥⎥⎢1/3⎣00-2⎥⎦⎦

222经过正交变换X =PY ，二次型化为标准形f =y 1． +y 2-2y 3

四、证明题（本题6分）

27．证明任意4个3维向量组线性相关．

证：设αi =(a i 1, a i 2, a i 3) 是任意的3维向量，i =1, 2, 3, 4．

令k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4=0，即

k 1(a 11, a 12, a 13) +k 2(a 21, a 22, a 23) +k 3(a 31, a 32, a 33) +k 4(a 41, a 42, a 43) =0，

⎧a 11k 1+a 21k 2+a 31k 3+a 41k 4=0⎪得齐次线性方程组⎨a 12k 1+a 22k 2+a 32k 3+a 42k 4=0，

⎪a k +a k +a k +a k =0⎩[1**********]4

方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，α1, α2, α3, α4线性相关．

全国2013年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

a 11

1．行列式a 21

a 31

A ．a 12a 22a 32a 13a 23中a 22的代数余子式为（ C ） a 33B ．-a 22

a 32a 23 a 33a 11a 31a 13 a 33C ．a 11a 31a 13 a 33 D ．-a 21a 31a 22 a 32

2．设A , B 均为n 阶方阵，(A +B )(A -B ) =A 2-B 2的充分必要条件是（ D ）

A ．A =E B ．B =O C ．A =B D ．AB =BA

3．设向量组α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ A ）

A ．α1, α2, α1+α3 B ．α1-α2, α2-α3, α3-α1

C ．α1, α2, 2α1-3α2 D ．α2, 2α3, 2α2+α3

2x 2-x 3-x 4=0⎧⎪4．4元齐次线性方程组⎨x 1+x 2+x 3=0的基础解系所含解向量的个数为（ B ）

⎪x +3x -x 4=02⎩1

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．设-2是3阶矩阵A 的一个特征值，则A 2必有一个特征值为（ C ）

A ．-8 B ．-4 C ．4 D ．8

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a 1

6．已知行列式a 2

a 3

b 1b 2b 3c 1a 1c 2=3，则a 2c 3

a 32b 1+c 12b 2+c 22b 3+c 3c 1c 2=____________． c 37．A 是3阶矩阵，若|A *|=4，且|A |

⎛111⎫ ⎪8．设矩阵A = 022⎪，则A T A =____________．

003⎪⎝⎭

9．设α1=(1, -2, 5) ，α2=(4, 7, -2) ，则-2α1+3α2=____________．

⎧x 1+2x 2=010．3元齐次线性方程组⎨的一个基础解系为____________．

x =03⎩

11．设A 为3阶矩阵，r (A ) =2，若存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B ，则r (B ) =____________．

12．已知向量组α1=(1, 2, -1, 1) ，α2=(2, 0, t , 0) ，α3=(-1, 2-4, 1) 的秩为2，则数t =____________．

13．设A 为

3阶矩阵，2是A 的一个2重特征值，-1为它的另一个特征值，则|A |=____________．

14．设向量α1=(1, 2, -1) ，α2=(3, 2

, 1) ，则内积(α1, α2) =____________．

0⎫⎛10 ⎪15．设矩阵A = 02-2⎪，则二次型x T Ax =____________．

0-20⎪⎝⎭

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

100

-11016．计算行列式D =0-11

00-1

100

-110D =解：0-11

00-1

0=0

00100a b ，其中a , b , c , d 为常数． c d a 100a 100a b 010a +b 010a +b == c 0-11c 001a +b +c d 00-1d 00-1d 0a 0a +b =a +b +c +d ． 1a +b +c 0a +b +c +d

⎛11-1⎫ ⎪⎛21-1⎫17．已知X 022⎪= 40-1⎪⎪，求矩阵X ． ⎭ 0-10⎪⎝⎝⎭

⎛11-1⎫ ⎪⎛21-1⎫解：记A = 022⎪，B = 40-1⎪⎪，则XA =B ， ⎝⎭ 0-10⎪⎝⎭

⎛11-1100⎫⎛11-1100⎫⎛11-1100⎫ ⎪ ⎪ ⎪(A , E ) = 022010⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪

0-10001⎪ 022010⎪ 002012⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛22-2200⎫⎛220212⎫⎛200214⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪

00 ⎪ ⎪2012⎪⎝⎭⎝002012⎭⎝002012⎭

⎛10011/22⎫⎛214⎫ ⎪⎪1 → 01000-1⎪，A -1= 00-2⎪， 2 00101/21⎪⎪⎝⎭⎝012⎭

⎛214⎫⎪1⎛414⎫⎛21/22⎫1⎛21-1⎫ ⎪⎪ 00-2⎪=2 8314⎪⎪= 43/27⎪⎪． 40-12 ⎝⎭ 012⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X =BA -1

18．设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列互换得到矩阵B ，再将B 的第2列加到第3列得到矩阵C ，求满足关系式AQ =C 的矩阵Q ．

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪解：由题意有A 001⎪=B ，B 011⎪=C ，所以A 001⎪ 011⎪=C ，

010⎪ 001⎪ 010⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪满足关系式AQ =C 的矩阵Q = 001⎪ 011⎪= 001⎪．

010⎪ 001⎪ 011⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛-2⎫⎛1⎫⎛3⎫⎛0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1-30 ⎪ ⎪ ⎪ -1⎪19．设向量组α1= ⎪，α2= ⎪，α3= ⎪，α4= ⎪，判定α4是否可以由α1, α2, α3线性表出，若可以，求出其表0224 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3⎪ 4⎪ -1⎪ 9⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

示式．

⎧-2x 1+x 2+3x 3=0⎛0⎫⎛-2⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-1 -1⎪ 1⎪ -3⎪ 0⎪⎪x 1-3x 2+x +x 解：设α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即 ⎪=x 1 ，得， ⎨2 3 40⎪2⎪2⎪2x +2x =423⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 9⎪ 3⎪ 4⎪ -1⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩3x 1+4x 2-x 3=9

30⎫⎛1-30-1⎫-1⎫⎛-21⎛1-30-1⎫⎛1-30 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪12⎪ 0112⎪224⎪ 1-30-1⎪ 0 01(A , b ) = →→→ 0-53-2⎪ 000224⎪ -2188⎪30⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎪4-19⎭⎝34-19⎭⎝⎝013-112⎭⎝00-14-14⎭

⎛1-3 01→ 00 00⎝0-1⎫⎛1-3⎪ 12⎪ 01→ 0011⎪⎪ ⎪ 0000⎭⎝0-1⎫⎛10⎪ 01⎪ 01→ 0011⎪⎪ ⎪ 0000⎭⎝00102⎫⎪⎧x 1=21⎪⎪，⎨x =1， 1⎪⎪2⎪⎩x 3=10⎪⎭

α4可以由α1, α2, α3线性表出，α4=2α1+α2+α3．

=a ⎧x 1-x 2⎪x 2-x 3=2a ⎪20．已知4元线性方程组⎨，（1）确定a 的值，使；（2）在有解时，求出其通解（要求用它的一个特解和x -x =3a 34⎪⎪+x 4=1⎩-x 1

导出组的基础解系表示）．

a ⎫⎛1-100a ⎫⎛1-100a ⎫⎛1-100 ⎪ ⎪ ⎪2a ⎪ 01-102a ⎪ 01-102a ⎪ 01-10→→解：（1）(A , b ) = 001-13a ⎪ 001-13a ⎪ 001-13a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -10011⎪ 0-101a +1⎪ 00-113a +1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

a ⎫⎛1-100 ⎪01-102a 1 ⎪→ ，时，r (A , b ) =r (A ) =3，方程组有解； a =-001-13a ⎪6 ⎪ 00006a +1⎪⎝⎭

⎛1-100-1/6⎫⎛1-1 ⎪ 01-10-1/3 ⎪ 01→（2）有解时，(A , b ) → 00001-1-1/2⎪ ⎪ 0000⎪ 000⎭⎝⎝00-1/6⎫⎪0-1-5/6⎪ ⎪1-1-1/2⎪000⎪⎭

⎛1 0→ 0 0⎝⎧x 1=-1+x 400-1-1⎫⎪⎛-1⎫⎛1⎫⎪⎪x =-5+x ⎪ ⎪2410-1-5/6⎪⎪ -5/6⎪ 1⎪6+k ⎪，k 为任意常数．，，通解为⎨⎪ ⎪01-1-1/2-1/211⎪⎪x 3=-+x 4 ⎪ ⎪ 0⎪ 1⎪20000⎪⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎪x =x 4⎩4

2221．求正交变换x =Py ，将二次型f (x 1, x 2) =3x 1化为标准形，并指出f 是否为正定二次型． -2x 1x 2+3x 2

⎛3-1⎫解：二次型的矩阵为A = -13⎪⎪， ⎝⎭

|λE -A |=λ-3

11=λ2-6λ+8=(λ-2)(λ-4) ，A 的特征值为λ1=2，λ2=4． λ-3

对于λ1=2，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

⎛-11⎫⎛1-1⎫⎧x 1=x 2⎛1⎫11⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪，，，单位化：； λE -A = →α=p =α=⎨111 1-1⎪ 00⎪ ⎪ ⎪||α1||2⎝1⎭⎝⎭⎝⎭⎩x 2=x 2⎝1⎭

对于λ2=4，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

λE -A = ⎛11⎫⎛11⎫⎧x 1=-x 2⎛-1⎫11⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪，，，单位化：→α=p =α=222⎪ 00⎪⎨x =x 1⎪⎪． 1⎪11||α||2⎝⎭⎝⎭⎩2⎝⎭⎝⎭22

令P = ⎛1/2-1/2⎫⎛20⎫⎪，则P 是正交矩阵，使得P T AP = 04⎪⎪，经过正交变换x =Py ，二次型化为标准形 1/21/2⎪⎝⎭⎝⎭

22． f =2y 1+4y 2

因为A 的特征值均大于零，所以f 是正定二次型．

⎛100⎫ ⎪22．求矩阵A = 010⎪的特征值，并判定A 能否与对角矩阵相似（需说明理由）． 021⎪⎝⎭

λ-1

解：|λE -A |=0

000λ-10=(λ-1) 3，A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1．

-2λ-1

⎛000⎫⎛010⎫ ⎪ ⎪对于λ1=λ2=λ3=1，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：λE -A = 000⎪→ 000⎪，

0-20⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭

n -r =3-1=2，A 只有两个线性无关的特征向量，不能与对角矩阵相似．

四、证明题（本题7分）

23．设A 为n 阶矩阵，k 为正整数，且A k =O ，证明A 的特征值均为0．

证：设λ是A 的任意一个特征值，则λk 是A k 的特征值，由A k =O ，得λk =0，从而λ=0．

全国2010年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类) 试题课程代码：04184

T *

D.8

2. 设矩阵A=⎛ 1⎫

⎝-1⎪⎪⎭,B=(1,1),则AB=( )

A.0 B.(1,-1) C. ⎛ 1⎫

-1⎪⎝⎪⎭

D. ⎛ 1

1⎫ -1-1⎪⎝⎪⎭

3. 设A 为n 阶对称矩阵,B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

4. 设矩阵A 的伴随矩阵A *=⎛ 12⎫ -1

⎝34⎪⎪⎭

, 则A = ( )

A. -

⎛ 4-3⎫ ⎪⎝-21⎪⎭ B. -12

2 ⎛ 1-2⎫ ⎪⎝-34⎪⎭

C. -1⎛12⎫2 ⎝34⎪⎪⎭ D. -

⎛ 42⎫2

⎝31⎪⎪⎭

5. 下列矩阵中不是．．

初等矩阵的是( ) ⎛101⎛⎛A. ⎫

010⎪⎪ B. 001⎫

⎛ 100⎫

D. 010⎪⎪ C. 100⎫

030⎪ ⎪ 010⎪⎪ ⎝000⎪⎭ ⎝100⎪⎭⎝001⎪⎭ ⎝201⎪⎭

6. 设A,B 均为n 阶可逆矩阵, 则必有( )

A.A+B可逆 B.AB 可逆 C.A-B 可逆 D.AB+BA可逆 7. 设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )

A. α1, α2,β线性无关 B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示, 但表示法不惟一 D. β可由α1, α2线性表示, 且表示法惟一

8. 设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1, 则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( A.0 B.1 C.2

D.3

⎧2x 1-x 2+x 3=0

9. 设齐次线性方程组⎪

⎨x 1-x 2-x 3=0有非零解, 则λ为( )

⎪⎩λx 1

+x 2+x 3=0

A.-1 B.0 C.1

D.2

10. 设二次型f(x)=xT Ax 正定, 则下列结论中正确的是( )

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 行列式

0112

的值为_________.

12. 已知A=⎛ 12⎫

⎝23⎪⎪⎭

, 则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.

)

⎛11⎫⎛1-3⎫3 ⎪13. 设矩阵A= ,P= 01⎪⎪, 则AP =_________. -24⎪

⎝⎭⎝⎭

14. 设A,B 都是3阶矩阵, 且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.

15. 已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关, 则数k=_________.

⎛1⎫⎛3⎫

⎪ ⎪2 ⎪ 5⎪

16. 已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解, 且α1= ⎪, α1+α3= ⎪, 则该线性方程组的通解是

37 ⎪ ⎪ 4⎪ 9⎪⎝⎭⎝⎭

_________.

⎛1⎫⎛1⎫

⎪ ⎪

17. 已知P 是3阶正交矩, 向量α= 3⎪, β= 0⎪, 则内积(P α, P β) =_________.

2⎪ 2⎪⎝⎭⎝⎭

18. 设2是矩阵A 的一个特征值, 则矩阵3A 必有一个特征值为_________.

⎛12⎫

19. 与矩阵A= 03⎪⎪相似的对角矩阵为_________.

⎝⎭

⎛1-2⎫T

20. 设矩阵A= -2k ⎪⎪, 若二次型f=xAx 正定, 则实数k 的取值范围是_________.

⎝⎭

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

01201012

. 21. 求行列式D=

2101

0210

⎛0-10⎫⎛-1-20⎫ ⎪ ⎪100, B =2-1022. 设矩阵A= ⎪ ⎪, 求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X. 001⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫⎛1⎫⎛2⎫⎛-2⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

23. 若向量组α1= 1⎪, α2= -1⎪, α3= 6⎪, α4= 0⎪的秩为2, 求k 的值.

1⎪ 3⎪ -k ⎪ -2k ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23⎫⎛2⎛2⎫ ⎪ ⎪

24. 设矩阵A = 1-10⎪, b = 1⎪.

-121⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭

(1)求A -1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b 用A 的列向量组线性表出. 25. 已知3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2, 设B=A2+2A-E,求 (1)矩阵A 的行列式及A 的秩.

(2)矩阵B 的特征值及与B 相似的对角矩阵.

⎧x 1=2y 1+2y 2+y 3

⎪

26. 求二次型f(x1,x 2,x 3)=- 4 x1x 2+ 2x1x 3+2x2x 3经可逆线性变换⎨x 2=2y 1-2y 2+y 3所得的标准形.

⎪x =2y 3⎩3

四、证明题(本题6分)

27. 设n 阶矩阵A 满足A 2=E,证明A 的特征值只能是±1.

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

T *

试卷说明：在本卷中，A 表示矩阵A 的转置矩阵；A 表示A 的伴随矩阵；r (A ) 表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单

位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

3 0 -2 0

2 10 5 0

2. 计算行列式=( )

0 0 -2 0-2 3 -2 3

A.-180 B.-120 C.120 D.180 3. 若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.

B.2 C.4 D.8 2

B. α1，α2，α3，α4线性相关 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示

4. 设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A. α1，α2，α3，α4线性无关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示

5. 若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. 设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B ) ，则( )

A. A 正定 B. A 半正定 C. A 负定 D. A 半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

⎛3 -2⎫

⎪⎡2 1 -1⎤

11. 设A = 0 1⎪, B =⎢⎥，则AB =_________________.

0 -1 0⎣⎦ 2 4⎪

⎝⎭

12. 设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________.

13. 三元方程x 1+x2+x3=1的通解是_______________.

14. 设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15. 设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________. 16. 设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，

，1，则| 5A -1 |=______________. 2

17. 若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________.

⎛ 2 -1 0⎫ ⎪

18. 实对称矩阵 -1 0 1 ⎪所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.

0 1 1⎪⎝⎭

⎛1⎫⎛-1⎫

⎪ ⎪

19. 设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1= 2⎪，α2= 2⎪且r (A )=2，则Ax =b 的通解是_______________.

3⎪ 3⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫

⎪

20. 设α= 2⎪，则A =ααT 的非零特征值是_______________.

3⎪⎝⎭

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

2 0 0 0 1 0 2 0 0 0

21. 计算5阶行列式D =

0 0 2 0 0 1 0 0 0 2

⎛2 0 0⎫⎛1 0 0⎫⎛1 -4 3⎫ ⎪ ⎪ ⎪

22. 设矩阵X 满足方程 0 -1 0⎪X 0 0 1⎪= 2 0 -1⎪ 求X .

0 0 2⎪ 0 1 0⎪ 1 -2 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1⎪

23. 求非齐次线性方程组 ⎨3x 1-x 2-3x 3+4x 4=4的通解.

⎪x +5x -9x -8x =0

234⎩1

24. 求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

⎛ 2 -1 2⎫

⎪

25. 已知A = 5 a 3⎪的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向

-1 b -2⎪⎝⎭

量.

⎛-2 1 1 -2⎫ ⎪

26. 设A = 1 -2 1 a ⎪，试确定a 使r (A )=2.

1 1 -2 2⎪⎝⎭

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27. 若α1，α2，α3是Ax=b(b ≠0) 的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 已知2阶行列式

a 1b 1

a 2b 2

=m ,

b 1c 1

b 2c 2

=n , 则

b 1b 2

a 1+c 1a 2+c 2

=（）

A. m-n B. n-m C. m+n D.-（m+n） 2. 设A , B , C均为n 阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（） A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA

3. 设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵, 且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（） A.-8 B.-2 C.2 D.8

⎛100⎫⎛100⎫⎛a 11a 12a 13⎫⎛a 113a 12a 13⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

4. 已知A= a 21a 22a 23⎪，B = a 213a 22a 23⎪，P = 030⎪，Q = 310⎪，则B =（）

⎪ ⎪ a a a ⎪ a 3a a ⎪ ⎪ ⎪⎝313233⎭⎝313233⎭⎝001⎭⎝001⎭

A. P A B. AP C. QA D. AQ 5. 已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）

B. 由3个2维向量组成的向量组线性相关 D. 两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7. 已知向量组α1, α2, α3线性无关，α1, α2, α3，β线性相关，则（）

222

10. 二次型f （x 1, x 2, x 3）=x 1+x 2+x 3+2x 1x 2的正惯性指数为（）

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11. 行列式

20072009的值为_________________________.

⎛1-13⎫⎛⎫⎪, B= 20⎪, 则A T B=____________________________. 12. 设矩阵A=

201⎪ 01⎪

⎝⎭⎝⎭

13. 设4维向量α=（3,-1,0,2）T , β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2α+γ=3β，则γ=__________. 14. 设A 为n 阶可逆矩阵，且|A |=-

, 则|A -1|=___________________________. n

15. 设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________. 16. 齐次线性方程组⎨

⎧x 1+x 2+x 3=0

的基础解系所含解向量的个数为________________.

2x -x +3x =03⎩12

-1

⎛1⎫

17. 设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是-3，则矩阵 A 2⎪必有一个特征值为_____________.

⎝3⎭

⎛⎫ 1-2-2⎪ ⎪

18. 设矩阵A= -2x 0⎪的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

⎪ ⎪ -200⎪⎝⎭

⎛ a 1

19. 已知A =

0 ⎝

⎫0⎪2⎪

⎪

b 0⎪是正交矩阵，则a +b =_______________________________。

⎪⎪01⎪

⎪⎭

20. 二次型f （x 1, x2, x3）=-4x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3的矩阵是_______________________________。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21. 计算行列式D =a 2

b b 2b +b 3

c 2的值。 c +c 3

a +a 3

22. 已知矩阵B =（2，1，3），C =（1，2，3），求（1）A =B T C ；（2）A 2。

⎛

24. 已知矩阵A = 0

0 ⎝

210

⎫⎛⎫3⎪ -14⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

（2）解矩阵方程AX =B 。 2⎪，B= 25⎪. （1）求A -1；

⎪ ⎪

1-3 ⎪1⎪⎪ ⎪

⎭⎝⎭

⎧x 1+2x 2+3x 3=4

⎪⎪

25. 问a 为何值时，线性方程组⎨2x 2+ax 3=2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个

⎪

⎪2x +2x +3x =6

23⎩1

特解和导出组的基础解系表示全部解）。

⎛

26. 设矩阵A = 0

0⎝

03a

⎫⎛0⎪ 1⎪

-1

a ⎪的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使P AP = 0⎪ ⎪ 3⎪ 0⎭⎝

020

⎫

0⎪⎪0⎪。 ⎪⎪5⎪⎭

四、证明题（本题6分）

27. 设A ，B ，A +B 均为n 阶正交矩阵，证明（A +B ）-1=A -1+B -1。

全国2010年1月高等教育自学考试《线性代数（经管类）》试题及答案

课程代码：04184

试题部分

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

2x 2y 2z 4

1. 设行列式403=1, 则行列式01=（）

111111

x y z

B.1

8D. 3

2. 设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（） A. A -1B -1C -1 B. C-1B -1A -1 C. C-1A -1B -1 D. A-1C -1B -1

3. 设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）. 如果|A |=2，则|-2A |=（） A.-32 B.-4 C.4 D.32

6. 设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（）

A.1 B.2 C.2

C.3 D.4

8. 设矩阵A =⎢⎢5-73⎥⎥，则以下向量中是A 的特征向量的是（）

⎢⎣6-94⎥⎦

A. （1，1，1）T

B. （1，1，3）T C. （1，1，0）T D. （1，0，-3）T

⎡1-11⎤

9. 设矩阵A =⎢⎢13-1⎥⎥的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

3 =

（ ⎢⎣111⎥⎦

A.4

B.5 C.6 D.7

10. 三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=x 2+4x 22

11x 2+6x 1x 3+4x 2+12x 2x 3+9x 3

的矩阵为（⎡⎢123⎤⎡143A. ⎢246⎥B. ⎢⎤

⎢⎥ ⎢046⎥⎣369⎥⎦⎢⎥ ⎣369⎥⎦⎡126⎤⎡123⎤C. ⎢⎢246⎥⎥ D. ⎢⎢240⎥⎢⎣069⎥⎦

⎢⎥ ⎣3129⎥⎦

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11. 行列式459=_________.

6713⎡⎢5200⎤12. 设A =⎢

100⎥⎢⎥⎢0021⎥

，则A -1=_________. ⎣0

011⎥

⎦

13. 设方阵A 满足A 3-2A +E =0，则（A 2-2E ）-1=_________.

14. 实数向量空间V ={（x 1, x 2, x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________.

2⎥=⎥⎢⎥有无穷多个解，则a =_________.

⎢⎣11a ⎥⎦⎢⎣x 3⎦⎢⎣-2⎥⎦

18. 设n 阶矩阵A 有一个特征值3，则|-3E +A |=_________.

19. 设向量α=（1，2，-2），β=（2，a ，3），且α与β正交，则a =_________.

））

20. 二次型f (x 1, x 2, x 3) =4x 2-3x 3+4x 1x 2-4x 1x 3+8x 2x 3的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

[**************]8

21．计算4阶行列式D =.

⎡2-31⎤

⎥-1

4-5222. 设A =⎢，判断A 是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A . ⎢⎥⎢⎣5-73⎥⎦

23. 设向量α=（3，2），求（αT α）101.

24. 设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）. （1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合. ⎧x 1+x 2-2x 4=0⎪

25. 求齐次线性方程组⎨4x 1-x 2-x 3-x 4=0的基础解系及其通解.

⎪3x -x -x =0

123⎩⎡32-2⎤

⎢⎥

26. 设矩阵A =⎢0-10⎥，求可逆方阵P ，使P -1AP 为对角矩阵.

⎢⎣42-3⎥⎦

四、证明题（本大题6分）

27. 已知向量组α1, α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

答案部分

第25—27题答案暂缺

2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参考答案

2010年10月全国自考线性代数（经管类）参考答案

全国2011年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（）

A ． B ．3=

C ．5 D ．

2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）

A ． B ．

C ． D ．

3．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =，则C -1是（）

A ． B ．

C ． D ．

4．设A 为3阶矩阵，A 的秩r (A )=3，则矩阵A *的秩r (A *)=（）

A ．0 B ．1

C ．2 D ．3

5．设向量，若有常数a , b 使，则（

A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2

C ．a =1, b =-2 D ．a =1, b =2

6．向量组的极大线性无关组为（）

A ． B ．

C ． D ．）

7．设矩阵A =

A ．3

C ．1

8．设，那么矩阵A 的列向量组的秩为（） B ．2 D ．0 是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）

A ． B ．

C ． D ．

9．设矩阵A =

A ．（0，0，0）T

C ．（1，0，-1）T ，则A 的对应于特征值的特征向量为（） B ．（0，2，-1）T D ．（0，1，1）T

210．二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12-x 1x 2+x 2的矩阵为（）

A ． B ．

C ． D ．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．行列式

304

11112．行列式0-10

53-2__________. 01中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 02

13．设矩阵A =，B =（1，2，3），则BA =__________.

1，则|A 3|=__________. 214．设3阶方阵A 的行列式|A |=

15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1B =B -1A =E ，则A 2+B 2=__________.

16．已知3维向量=（1，-3，3），（1，0，-1）则+3=__________.

17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.

18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________.

111

19．设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为, , ，则行列式|B -1|=__________.

234

20．设A =是正定矩阵，则a 的取值范围为__________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21．已知矩阵A =

求：（1）A T B ；（2）|A T B |. 22．设A =

，B =

，C =

，且满足AXB =C ，求矩阵X .

，B =

，

23．求向量组

=（1, 2, 1, 0）T ，=（1, 1, 1, 2）T ，=（3, 4, 3, 4）T ，=（4, 5, 6, 4）T 的秩与一个极大线性无关组.

⎧x 1-x 2+3x 3-x 4=1⎪

24．判断线性方程组⎨2x 1-x 2-x 3+4x 4=2是否有解，有解时求出它的解.

⎪x -4x +5x =-1

34⎩1

25．已知2阶矩阵A 的特征值为=1，=9，对应的特征向量依次为

=（7，1）T ，求矩阵A .

，求行列式|A -E |的值.

=（-1，1）T ，

26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=

四、证明题（本大题共6分）

27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵. 证明：（1）AB -BA 为对称矩阵；（2）AB +BA 为反对称矩阵.

全国2012年1月自考《线性代数(经管类) 》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A 表示方阵A 的逆矩阵，r (A ) 表示矩阵A 的秩，||

单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

-1

||表示向量的长度，

表示向量的转置，E 表示

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设行列式A ．-6 C ．3

B ．-3 D ．6

=2，则=（）

2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A B ．E -A C ．E +A D ．E -A -1

3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）

-1

A ．可逆，且其逆为 B ．不可逆

C ．4．设

可逆，且其逆为，

D ．

可逆，且其逆为

，

，…，

是n 维列向量，则，…，

线性无关的充分必要条件是

（）

A ．向量组

，

，…，

中任意两个向量线性无关

B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1C ．向量组D ．向量组5．已知向量

A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T

+l 2

+…+l k

≠0

，，

，…，，…，

中存在一个向量不能由其余向量线性表示中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

则

=（）

12k

C ．（1，-1，-2，0）T D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 C ．3 7．设

B ．2 D ．4

是非齐次线性方程组Ax =b 的解，

是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是

（）

A ．C ．

+-是Ax =0的解 B ．是Ax =b 的解 D ．

+-是Ax =b 的解是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为，则A -1的特征值为（）

A ． B ．

C ． D．2,4,3

9．设矩阵A =，则与矩阵A 相似的矩阵是（）

A ． B ．

C ． D ．

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B ．正定矩阵的行列式一定小于零

C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB ) )=__________．

12．设3阶矩阵A =

，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．

-1

13．设方阵A 满足A =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A =__________． 14．实向量空间R 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r , 则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________． 17．设

是齐次线性方程组Ax =0的解，而

是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则

=__________．

18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________． 20．二次型

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

的正惯性指数是__________．

21．计算行列式．

22．设矩阵A =23．设向量组

，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．

求其一个极大线性无关组，并将其余

向量通过极大线性无关组表示出来．

24．设三阶矩阵A =

，求矩阵A 的特征值和特征向量．

25．求下列齐次线性方程组的通解．

26．求矩阵A =的秩．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设三阶矩阵A =的行列式不等于0，证明：

线性无关．

全国2012年10月自考《线性代数(经管类) 》试题

课程代码：04184

说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A ) 表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单

位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 a 11

1．设行列式a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 133a 11a 23=2，则-a 31a 33a 21-a 31

3a 12

-a 32a 22-a 32

3a 13

-a 33=（） a 23-a 33

A ．-6 C ．3

B ．-3 D ．6

2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 C ．E +A

B ．E -A D ．E -A -1

3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（） ⎛⎛A ⎫

A ．可逆，且其逆为 -1⎪

B ⎭⎝⎝B ⎛⎛A ⎫

C ．可逆，且其逆为 -1⎪

B ⎭⎝⎝A

A -1⎫

⎪ ⎭B -1⎫⎪ ⎭

⎛A ⎫B ． ⎪不可逆

B ⎝⎭

⎛A -1⎛A ⎫

D ． ⎪可逆，且其逆为

B ⎝⎭⎝⎫

⎪ B -1⎭

4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是

（）

A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关

D ．（2，-6，-5，-1）T

6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（） A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是A ．α+β是Ax =0的解 B ．α+β是Ax =b 的解 C ．β-α是Ax =b 的解

D ．α-β是Ax =0的解

8．设三阶方阵A 的特征值分别为12, 1

4,3，则A -1的特征值为（）

A ．2,4, 1

B ．12, 114, 3

C ．112, 4

D ．2,4,3

9．设矩阵A =2，则与矩阵A 相似的矩阵是（）

-1

1-101A ．-12

B ．10

2-2

C ．1 D ．-2

10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵

B ．正定矩阵的行列式一定小于零

C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB ) 3)=__________．

）

（

12-2

3，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________． 12．设3阶矩阵A =4t

3-11

13．设方阵A 满足A k =E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1=__________． 14．实向量空间R n 的维数是__________．

15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r , 则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．

19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．

20．二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+5x 2+6x 3+4x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3的正惯性指数是__________．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 11-1

-1-1-4

21．计算行列式

24-6124

21． 12

22．设矩阵A =35

，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．

23．设向量组α1=(3,1,2,0),α2=(0,7,1,3),α3=(-1,2,0,1), α4=(6,9,4,3),求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性

无关组表示出来．

-143

24．设三阶矩阵A =-253，求矩阵A 的特征值和特征向量．

2-4-2

25．求下列齐次线性方程组的通解．

⎧x 1+x 3-5x 4=0⎪

⎨2x 1+x 2-3x 4=0

⎪x +x -x +2x =0

234⎩1

2-2

26．求矩阵A =

031-1

4-206-11

的秩．

001210

四、证明题（本大题共1小题，6分） a 11

27．设三阶矩阵A =a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 13

a 23的行列式不等于0，证明： a 33

⎛a 13⎫⎛a 11⎫⎛a 12⎫

⎪ ⎪ ⎪

α1= a 21⎪, α2= a 22⎪, α3= a 23⎪线性无关．

a ⎪ a ⎪ a ⎪⎝31⎭⎝32⎭⎝33⎭

全国2012年10月自考《线性代数(经管类) 》答案

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A , B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．|A +B |=|A |+|B | B ．AB =BA

C ．(AB ) T =A T B T

D ．|AB |=|BA |

2．设n 阶方阵A , B , C 满足ABC =E ，则必有（ C ） A ．ACB =E

B ．CBA =E

C ．BCA =E

D ．BAC =E

3．设A 为三阶方阵，且|A |=2，则|-2A |=（ A ） A ．-16

B ．-4

C ．4

D ．16

4．若同阶方阵A 与B 等价，则必有（ C ） A ．|A |=|B |

B ．A 与B 相似

C ．R (A ) =R (B )

D ．∑a ii =∑b ii

i =1

5．设α1=(1, 0, 0) , α2=(2, 0, 0) , α3=(1, 1, 0) ，则（ C ） A ．α1, α2, α3线性无关 C ．α1可由α2, α3线性表示

B ．α3可由α1, α2线性表示 D ．α1, α2, α

3的秩等于3

6．设α1, α2是非齐次方程组Ax =b 的解，β是对应齐次方程组的解，则Ax =b 一定有一个解是（ D ）

A ．α1+α2

B ．α1-α2

C ．β+α1+α2 D ．

α1+

α2-β ⎡200⎤

⎥相似，则下列说法错误的是（ B ） 7．若3阶方阵A 与对角阵Λ=⎢000．．⎢⎥

⎢⎣003

⎥⎦

A ．|A |=0

B ．|A +E |=0 D ．R (A ) =2

C ．A 有三个线性无关特征向量

8．齐次方程x 1+x 2-x 3=0的基础解系所含向量个数是（ C ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

9．若α=(1, 1, t ) 与β=(1, 1, 1) 正交，则t =（ A ） A ．-2

B ．-1

C ．0

D ．1

⎡21⎤

10．对称矩阵A =⎢⎥是（）

12⎣⎦

A ．负定矩阵

B ．正定矩阵

C ．半正定矩阵

D ．不定矩阵

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．设

A , B 均为三阶可逆方阵，且|A |=2，则|-2B -1A 2B |=____________．

12．四阶行列式中项a 21a 32a 13a 44的符号为____________．

⎡1-1⎤*

A =____________． 13．设A =⎢，则的伴随阵A ⎥

⎣-12⎦

⎡121⎤

14．设A =⎢023⎥，且R (A ) =2，则t =____________．

⎢⎥⎢⎣10t ⎥⎦15．设三阶方阵A

=[α1, α2, α3]，其中αi 为A 的列向量，且|A |=3，若B =[α1, α1+α2, α1+α2+α3]，则|B |=____________．

⎧x 1+x 3=016．三元方程组⎨的通解是____________．

x -x =02⎩1

⎡21⎤

17．设A =⎢⎥，则A 的特征值是____________．

-14⎣⎦

18．若三阶矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3，则|A +2E |=____________．

⎡200⎤⎡200⎤⎢⎥⎢⎥19．若A =⎢001⎥与B =⎢010⎥相似，则x =____________． ⎢⎢⎣01x ⎥⎦⎣00-1⎥⎦

⎡1-1⎤

20．实对称矩阵A =⎢⎥的正交相似标准形矩阵是____________．

-11⎣⎦三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

123

-123

21．计算四阶行列式

-1-23-1-2-344． 44

123-123解：

-1-23-1-2-3412404=4004003

66048

=1⨯4⨯6⨯8=192． 88

5⎤⎡21

⎥，是三阶方阵，且满足AB -A 2=B -E ，求． 22．设A =⎢04-2B ⎢⎥B

⎢⎣4-31⎥⎦

115115

3-2

解：因为|A -E |=03-2=03-2==-74≠0，所以A -E 可逆，

-7-20

4-300-7-205⎤⎡31

⎥．由AB -A 2=B -E ，得AB -B =A 2-E ，(A -E ) B =(A -E )(A +E ) ，B =A +E =⎢05-2⎢⎥

⎢⎣4-32⎥⎦

23．设α1=(1, 1, 2, 3) , α2=(1, -1, 1, 1) , α3=(1, 3, 3, 5) , α4=(4, -2, 5, 6) , α5=(-3, -1, -5, -7) ，试求向量组α1, α2, α3, α4, α5的秩和一个极大无关组．

⎡11

⎢1-1

T T T T T

解：[α1, α2, α3, α4, α5]=⎢

⎢21⎢

⎣31⎡11⎢0-2→⎢

⎢00⎢

⎣00

14-3⎤⎡1

⎢02-62⎥⎥→⎢⎢0000⎥⎥⎢

000⎦⎣0

14-3⎤⎡11

⎢3-2-1⎥⎥→⎢0-2

35-5⎥⎢0-1

⎥⎢

56-7⎦⎣0-2

4-3⎤⎡1

⎢03-1⎥⎥→⎢⎢000⎥⎥⎢00⎦⎣0

14-3⎤

2-62⎥⎥ 1-31⎥

⎥

2-62⎦

1-2⎤3-1⎥⎥， 00⎥

⎥00⎦

111-10000021-10000

向量组的秩是2，α1, α2是向量组的一个极大无关组．

⎧x 1-x 2+3x 3+2x 4=3⎪

24．设四元方程组⎨2x 1-x 2+2x 3-x 4=2，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．

⎪x -2x +7x +7x =t

234⎩123⎤23⎤⎡1-1323⎤⎡1-13⎡1-13

⎥→⎢01-4-5-4⎥→⎢01-4-5-4⎥，解：[A , b ]=⎢2-12-12⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎢5t -3⎥00t -7⎥⎣1-277t ⎥⎦⎢⎣0-14⎦⎣00⎦

t =7时，R (A , b ) =R (A ) =2，该方程组有解，此时

⎧x 1=-1+x 3+3x 41-132310-1-3-1⎡⎤⎡⎤⎪

⎪x 2=-4+4x 3+5x 4⎢⎥⎢⎥[A , b ]→⎢01-4-5-4⎥→⎢01-4-5-4⎥，⎨， x =x 3⎪3⎢⎢000⎥00⎥⎣00⎦⎣000⎦⎪

x 4⎩x 4=

⎛-1⎫⎛1⎫⎛3⎫ ⎪ ⎪ ⎪ -4⎪ 4⎪ 5⎪该方程组通解为 ⎪+k 1 ⎪+k 2 ⎪，k 1, k 2是任意常数． 010 ⎪ ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎡-1-4⎤⎡-10⎤25．设矩阵P =⎢，，矩阵A 由矩阵方程P -1AP =D 确定，试求A 5． D =⎥⎢⎥1⎦⎣1⎣02⎦

解：P -1=1*1⎡14⎤1⎡-1-4⎤，A =PDP -1， P =-⎢=⎢⎥⎥1⎦|P |3⎣-1-1⎦3⎣1

26．求正交变换X =PY ，化二次型f (x 1, x 2, x 3) =-2x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3为标准形．

⎡0-11⎤⎥，解：二次型的矩阵为A =⎢-101⎢⎥⎢⎣110⎥⎦

-1λ1-1λ1-1λ2-1

|λE -A |=1λ-1=1λ-1=(λ-1) 1λ-1=(λ-1) 1λ+1-1

-1-1λ0λ-1λ-10110011

=(λ-1) λλ2=(λ-1)(λ2+λ-2) =(λ+2)(λ-1) 2，A 的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2． 1λ+1

对于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

⎛-1⎫⎛1⎫⎛-1⎫⎛1/2⎫ ⎪ ⎪⎪(α, β) -1 ⎪ 正交化：β1=α1= 1⎪，β2=α2-21β=0-1=1/2 ⎪ ⎪ ⎪， 1||β1|| 0⎪ 1⎪2 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛-1⎫⎛1/2⎫⎛1⎫⎪1 ⎪1 ⎪12 单位化：p 1=β1=β2= 1⎪，p 2= 1/2⎪= 1⎪； ||β1||||β2||2 ⎪6 6⎪ 2⎪⎝0⎭⎝1⎭⎝⎭1

对于λ3=-2，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：11λ-1-1

-1-1λ

⎡-21-1⎤⎡101⎤⎧x 1=-x 3⎛-1⎫⎥→⎢011⎥，⎪x =-x ，α= -1⎪， λE -A =⎢1-2-1 ⎪33⎢⎥⎢⎥⎨2 1⎪⎪⎢⎣-1-1-2⎥⎦⎢⎣000⎥⎦⎩x 3=x 3⎝⎭

⎛-1⎫11 ⎪单位化：p 3=α3= -1⎪． ||α3||3 ⎪⎝1⎭

⎡-1/2⎢令P =⎢1/2

⎢0⎣1/61/62/-1/3⎤⎡100⎤⎥-1/3⎥，则P 是正交矩阵，使得P T AP =⎢010⎥， ⎢⎥⎥⎢1/3⎣00-2⎥⎦⎦

222经过正交变换X =PY ，二次型化为标准形f =y 1． +y 2-2y 3

四、证明题（本题6分）

27．证明任意4个3维向量组线性相关．

证：设αi =(a i 1, a i 2, a i 3) 是任意的3维向量，i =1, 2, 3, 4．

令k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4=0，即

k 1(a 11, a 12, a 13) +k 2(a 21, a 22, a 23) +k 3(a 31, a 32, a 33) +k 4(a 41, a 42, a 43) =0，

⎧a 11k 1+a 21k 2+a 31k 3+a 41k 4=0⎪得齐次线性方程组⎨a 12k 1+a 22k 2+a 32k 3+a 42k 4=0，

⎪a k +a k +a k +a k =0⎩[1**********]4

方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，α1, α2, α3, α4线性相关．

全国2013年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

a 11

1．行列式a 21

a 31

A ．a 12a 22a 32a 13a 23中a 22的代数余子式为（ C ） a 33B ．-a 22

a 32a 23 a 33a 11a 31a 13 a 33C ．a 11a 31a 13 a 33 D ．-a 21a 31a 22 a 32

2．设A , B 均为n 阶方阵，(A +B )(A -B ) =A 2-B 2的充分必要条件是（ D ）

A ．A =E B ．B =O C ．A =B D ．AB =BA

3．设向量组α1, α2, α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ A ）

A ．α1, α2, α1+α3 B ．α1-α2, α2-α3, α3-α1

C ．α1, α2, 2α1-3α2 D ．α2, 2α3, 2α2+α3

2x 2-x 3-x 4=0⎧⎪4．4元齐次线性方程组⎨x 1+x 2+x 3=0的基础解系所含解向量的个数为（ B ）

⎪x +3x -x 4=02⎩1

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

5．设-2是3阶矩阵A 的一个特征值，则A 2必有一个特征值为（ C ）

A ．-8 B ．-4 C ．4 D ．8

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a 1

6．已知行列式a 2

a 3

b 1b 2b 3c 1a 1c 2=3，则a 2c 3

a 32b 1+c 12b 2+c 22b 3+c 3c 1c 2=____________． c 37．A 是3阶矩阵，若|A *|=4，且|A |

⎛111⎫ ⎪8．设矩阵A = 022⎪，则A T A =____________．

003⎪⎝⎭

9．设α1=(1, -2, 5) ，α2=(4, 7, -2) ，则-2α1+3α2=____________．

⎧x 1+2x 2=010．3元齐次线性方程组⎨的一个基础解系为____________．

x =03⎩

11．设A 为3阶矩阵，r (A ) =2，若存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B ，则r (B ) =____________．

12．已知向量组α1=(1, 2, -1, 1) ，α2=(2, 0, t , 0) ，α3=(-1, 2-4, 1) 的秩为2，则数t =____________．

13．设A 为

3阶矩阵，2是A 的一个2重特征值，-1为它的另一个特征值，则|A |=____________．

14．设向量α1=(1, 2, -1) ，α2=(3, 2

, 1) ，则内积(α1, α2) =____________．

0⎫⎛10 ⎪15．设矩阵A = 02-2⎪，则二次型x T Ax =____________．

0-20⎪⎝⎭

三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）

100

-11016．计算行列式D =0-11

00-1

100

-110D =解：0-11

00-1

0=0

00100a b ，其中a , b , c , d 为常数． c d a 100a 100a b 010a +b 010a +b == c 0-11c 001a +b +c d 00-1d 00-1d 0a 0a +b =a +b +c +d ． 1a +b +c 0a +b +c +d

⎛11-1⎫ ⎪⎛21-1⎫17．已知X 022⎪= 40-1⎪⎪，求矩阵X ． ⎭ 0-10⎪⎝⎝⎭

⎛11-1⎫ ⎪⎛21-1⎫解：记A = 022⎪，B = 40-1⎪⎪，则XA =B ， ⎝⎭ 0-10⎪⎝⎭

⎛11-1100⎫⎛11-1100⎫⎛11-1100⎫ ⎪ ⎪ ⎪(A , E ) = 022010⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪

0-10001⎪ 022010⎪ 002012⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛22-2200⎫⎛220212⎫⎛200214⎫ ⎪ ⎪ ⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪→ 0-10001⎪

00 ⎪ ⎪2012⎪⎝⎭⎝002012⎭⎝002012⎭

⎛10011/22⎫⎛214⎫ ⎪⎪1 → 01000-1⎪，A -1= 00-2⎪， 2 00101/21⎪⎪⎝⎭⎝012⎭

⎛214⎫⎪1⎛414⎫⎛21/22⎫1⎛21-1⎫ ⎪⎪ 00-2⎪=2 8314⎪⎪= 43/27⎪⎪． 40-12 ⎝⎭ 012⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X =BA -1

18．设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列互换得到矩阵B ，再将B 的第2列加到第3列得到矩阵C ，求满足关系式AQ =C 的矩阵Q ．

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪解：由题意有A 001⎪=B ，B 011⎪=C ，所以A 001⎪ 011⎪=C ，

010⎪ 001⎪ 010⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛100⎫⎛100⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪ ⎪满足关系式AQ =C 的矩阵Q = 001⎪ 011⎪= 001⎪．

010⎪ 001⎪ 011⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

示式．

⎛1-3 01→ 00 00⎝0-1⎫⎛1-3⎪ 12⎪ 01→ 0011⎪⎪ ⎪ 0000⎭⎝0-1⎫⎛10⎪ 01⎪ 01→ 0011⎪⎪ ⎪ 0000⎭⎝00102⎫⎪⎧x 1=21⎪⎪，⎨x =1， 1⎪⎪2⎪⎩x 3=10⎪⎭

α4可以由α1, α2, α3线性表出，α4=2α1+α2+α3．

=a ⎧x 1-x 2⎪x 2-x 3=2a ⎪20．已知4元线性方程组⎨，（1）确定a 的值，使；（2）在有解时，求出其通解（要求用它的一个特解和x -x =3a 34⎪⎪+x 4=1⎩-x 1

导出组的基础解系表示）．

a ⎫⎛1-100 ⎪01-102a 1 ⎪→ ，时，r (A , b ) =r (A ) =3，方程组有解； a =-001-13a ⎪6 ⎪ 00006a +1⎪⎝⎭

⎛1-100-1/6⎫⎛1-1 ⎪ 01-10-1/3 ⎪ 01→（2）有解时，(A , b ) → 00001-1-1/2⎪ ⎪ 0000⎪ 000⎭⎝⎝00-1/6⎫⎪0-1-5/6⎪ ⎪1-1-1/2⎪000⎪⎭

2221．求正交变换x =Py ，将二次型f (x 1, x 2) =3x 1化为标准形，并指出f 是否为正定二次型． -2x 1x 2+3x 2

⎛3-1⎫解：二次型的矩阵为A = -13⎪⎪， ⎝⎭

|λE -A |=λ-3

11=λ2-6λ+8=(λ-2)(λ-4) ，A 的特征值为λ1=2，λ2=4． λ-3

对于λ1=2，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

⎛-11⎫⎛1-1⎫⎧x 1=x 2⎛1⎫11⎛1⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪，，，单位化：； λE -A = →α=p =α=⎨111 1-1⎪ 00⎪ ⎪ ⎪||α1||2⎝1⎭⎝⎭⎝⎭⎩x 2=x 2⎝1⎭

对于λ2=4，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：

λE -A = ⎛11⎫⎛11⎫⎧x 1=-x 2⎛-1⎫11⎛-1⎫⎪ ⎪ ⎪，，，单位化：→α=p =α=222⎪ 00⎪⎨x =x 1⎪⎪． 1⎪11||α||2⎝⎭⎝⎭⎩2⎝⎭⎝⎭22

令P = ⎛1/2-1/2⎫⎛20⎫⎪，则P 是正交矩阵，使得P T AP = 04⎪⎪，经过正交变换x =Py ，二次型化为标准形 1/21/2⎪⎝⎭⎝⎭

22． f =2y 1+4y 2

因为A 的特征值均大于零，所以f 是正定二次型．

⎛100⎫ ⎪22．求矩阵A = 010⎪的特征值，并判定A 能否与对角矩阵相似（需说明理由）． 021⎪⎝⎭

λ-1

解：|λE -A |=0

000λ-10=(λ-1) 3，A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1．

-2λ-1

⎛000⎫⎛010⎫ ⎪ ⎪对于λ1=λ2=λ3=1，解齐次线性方程组(λE -A ) x =0：λE -A = 000⎪→ 000⎪，

0-20⎪ 000⎪⎝⎭⎝⎭

n -r =3-1=2，A 只有两个线性无关的特征向量，不能与对角矩阵相似．

四、证明题（本题7分）

23．设A 为n 阶矩阵，k 为正整数，且A k =O ，证明A 的特征值均为0．

证：设λ是A 的任意一个特征值，则λk 是A k 的特征值，由A k =O ，得λk =0，从而λ=0．

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