线性代数实验报告
2013年12月24日
数学实验报告题目
一、 实验目的
1．熟悉MATLAB 的矩阵初等运算；
2．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令； 3．会用MABLAB 求解线性方程组
二、 实验问题
34⎤⎡4-22⎤⎡1
⎥，B =⎢-20-3⎥，在MATLAB 命令窗口中建立 1． 已知A =⎢-305⎢⎥⎢⎥
⎢⎢53⎥⎣1⎦⎣2-11⎥⎦
A 、B 矩阵并对其进行以下操作：
(1) 计算矩阵A 的行列式的值det(A ) =?
(2) 分别计算下列各式：2A -B 、 A *B 和A . *B 、 AB -1、 A -1B 、 A 2 、 A T
2． 在MATLAB 中分别利用矩阵的初等变换及函数rank 、函数inv 求下列矩阵的
⎡3501⎤
⎡1-632⎤⎢1200⎥
⎥ 求B -1=? 秩和逆：(1) A =⎢3-540⎥ 求 Rank(A)=? (2) B =⎢
⎢⎥⎢1020⎥⎢⎥-1-1124⎢⎥⎣⎦
1202⎣⎦
3. 在MATLAB 中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性无关组：α=(1,1,3,2)', α=(-1,1, -1,3)', α=(5, -2,8,9)', α=(-1,3,1,7)'
3412
4、在MATLAB 中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解：
⎧2x 1+3x 2+x 3=4⎧x 1-x 2+4x 3-2x 4=0
⎪x -2x +4x =-5⎪x -x -x +2x =0
⎪1231234
(2) ⎪ （1）⎨⎨
⎪3x 1+8x 2-2x 3=13⎪3x 1+x 2+7x 3-2x 4=0
⎪⎪⎩4x 1-x 2+9x 3=-6⎩x 1-3x 2-12x 3+6x 4=0
2-2⎫⎛2
5、化方阵A = 25-4⎪为对角阵.
⎪ -2-45⎪⎝⎭
226、 求一个正交变换，将二次型f =5x 12+5x 2+3x 3-2x 1x 2+6x 1x 3-6x 2x 3化为标准型。22+x 2-4x 1x 2-4x 2x 3=C （分C=0,>0,
三种情况讨论）。
三、 实验过程及结果分析
声明
34⎤⎡4-22⎤⎡1
⎥，B =⎢-20-3⎥，在MATLAB 命令窗口中建立A 、 1． 已知A =⎢-305⎢⎥⎢⎥
⎢⎢53⎥⎣1⎦⎣2-11⎥⎦
B 矩阵并对其进行以下操作：
(1)计算矩阵A 的行列式的值det(A ) =?
【程序设计】：
【结果分析】：
用det(A)算出矩阵A 的行列式的值：
(2) 分别计算下列各式：2A -B 、 A *B 和A . *B 、 AB -1、 A -1B 、 A 2 、
A T
【程序设计】：
【结果分析】：
A ’表示矩阵A 的转置；
A^n表示方阵A 的n 次方幂；
A/B在矩阵B 可逆的情况下，表示AB -1； A\B在矩阵A 可逆的情况下，表示A -1B ；
声明
2． 在MATLAB 中分别利用矩阵的初等变换及函数rank 、函数inv 求下列矩阵的
⎡3
⎡1-632⎤⎢1⎢⎥秩和逆：(1) A =3-540 求 Rank(A)=? (2) B =⎢⎢⎥⎢1⎢⎥-1-1124⎢⎣⎦
⎣1
【程序设计】：
501⎤200⎥⎥ 求B -1=? 020⎥
⎥
202⎦
【结果分析】：
用rank(A)算出矩阵A 的秩； 用inv(B)算出矩阵B 的逆；
3. 在MATLAB 中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性无关组：α=(1,1,3,2)', α=(-1,1, -1,3)', α=(5, -2,8,9)', α=(-1,3,1,7)'
3412
【程序设计】：
【结果分析】：
观察得知由αααα组成的矩阵A 化成的标准阶梯型的秩为3，3
1, 2, 3, 4相关；
又因为r=3，所以ααα组成的向量组是最大的线性无关组。
1, 2, 3
4. 在MATLAB 中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解：
⎧x 1-x 2+4x 3-2x 4=0⎪x -x -x +2x =0
1234
(2) （1）⎪⎨
⎪3x 1+x 2+7x 3-2x 4=0⎪⎩x 1-3x 2-12x 3+6x 4=0
【程序设计】：
⎧2x 1+3x 2+x 3=4
⎪x -2x +4x =-5⎪123
⎨
⎪3x 1+8x 2-2x 3=13⎪⎩4x 1-x 2+9x 3=-6
声明
【结果分析】：
根据下面的结果：
(1)由A 的标准阶梯型可知，A 为满秩矩阵，x =x =x =x =0, 是原方程组的唯一解；
1234
(2)秩为2，2
⎛1⎫⎛-2⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪x =k 2⎪ 1⎪+ 2⎪ x ⎪ 1⎪ 0⎪
⎝⎭⎝⎭⎝3⎭数。
2-2⎫⎛2
5、化方阵A = 25-4⎪为对角阵.
⎪ -2-45⎪⎝⎭
【程序设计】：
【结果分析】：
通过将矩阵A 化成标准阶梯型而化成对角阵。
226、求一个正交变换，将二次型f =5x 12+5x 2+3x 3-2x 1x 2+6x 1x 3-6x 2x 3化为标准
型。
【程序设计】：
声明
【结果分析】：
由下面算出的矩阵得知f =
4y 2+9y 2
12
22
+x 2-4x 1x 2-4x 2x 3=C （分C=0,>0,
三种情况讨论）。
【程序设计】：
【结果分析】：
由D 可以得知方程对应矩阵的特征值为-2、1、4； 所以标准型为-2y 2+y 2+4y 2=C ；
1
2
3
从而分如下三种情况讨论：
(ⅰ)C=0时, 此三元二次方程的空间图形为开口沿y 方向的椭圆锥面；
111
(ⅱ)C>0时, 此三元二次方程的空间图形为开口沿y 方向的单叶双曲面； (ⅲ)C
四、 实验总结与体会
在平时的线性代数运算中，时常会遇到繁琐的计算，费时费力，而MATLAB 提供了方便快捷的运算，大大地减少了题目的运算量，使我受益匪浅。
通过本次试验，我学习到多种MATLAB 有关线性代数运算的指令，主要学习运用MATLAB 解决矩阵除法，线性方程组的通解，矩阵相似对角化问题，二次型化为标准型，计算矩阵特征值等等。熟悉了MATLAB 的矩阵初等运算、掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令，会用MATLAB 求解线性方程组，并综合运用多种指令解决应用题，十分方便准确快捷。在此次实验学习实践的过程中，加深了对线性代数和MATLAB 的理解，也产生了对本学科更深的兴趣。相信在以后更多的实践中能够更加熟练地运用MATLAB 解决实际问题，并继续深入学习。
线性代数实验报告
2013年12月24日
数学实验报告题目
一、 实验目的
1．熟悉MATLAB 的矩阵初等运算；
2．掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令； 3．会用MABLAB 求解线性方程组
二、 实验问题
34⎤⎡4-22⎤⎡1
⎥，B =⎢-20-3⎥，在MATLAB 命令窗口中建立 1． 已知A =⎢-305⎢⎥⎢⎥
⎢⎢53⎥⎣1⎦⎣2-11⎥⎦
A 、B 矩阵并对其进行以下操作：
(1) 计算矩阵A 的行列式的值det(A ) =?
(2) 分别计算下列各式：2A -B 、 A *B 和A . *B 、 AB -1、 A -1B 、 A 2 、 A T
2． 在MATLAB 中分别利用矩阵的初等变换及函数rank 、函数inv 求下列矩阵的
⎡3501⎤
⎡1-632⎤⎢1200⎥
⎥ 求B -1=? 秩和逆：(1) A =⎢3-540⎥ 求 Rank(A)=? (2) B =⎢
⎢⎥⎢1020⎥⎢⎥-1-1124⎢⎥⎣⎦
1202⎣⎦
3. 在MATLAB 中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性无关组：α=(1,1,3,2)', α=(-1,1, -1,3)', α=(5, -2,8,9)', α=(-1,3,1,7)'
3412
4、在MATLAB 中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解：
⎧2x 1+3x 2+x 3=4⎧x 1-x 2+4x 3-2x 4=0
⎪x -2x +4x =-5⎪x -x -x +2x =0
⎪1231234
(2) ⎪ （1）⎨⎨
⎪3x 1+8x 2-2x 3=13⎪3x 1+x 2+7x 3-2x 4=0
⎪⎪⎩4x 1-x 2+9x 3=-6⎩x 1-3x 2-12x 3+6x 4=0
2-2⎫⎛2
5、化方阵A = 25-4⎪为对角阵.
⎪ -2-45⎪⎝⎭
226、 求一个正交变换，将二次型f =5x 12+5x 2+3x 3-2x 1x 2+6x 1x 3-6x 2x 3化为标准型。22+x 2-4x 1x 2-4x 2x 3=C （分C=0,>0,
三种情况讨论）。
三、 实验过程及结果分析
声明
34⎤⎡4-22⎤⎡1
⎥，B =⎢-20-3⎥，在MATLAB 命令窗口中建立A 、 1． 已知A =⎢-305⎢⎥⎢⎥
⎢⎢53⎥⎣1⎦⎣2-11⎥⎦
B 矩阵并对其进行以下操作：
(1)计算矩阵A 的行列式的值det(A ) =?
【程序设计】：
【结果分析】：
用det(A)算出矩阵A 的行列式的值：
(2) 分别计算下列各式：2A -B 、 A *B 和A . *B 、 AB -1、 A -1B 、 A 2 、
A T
【程序设计】：
【结果分析】：
A ’表示矩阵A 的转置；
A^n表示方阵A 的n 次方幂；
A/B在矩阵B 可逆的情况下，表示AB -1； A\B在矩阵A 可逆的情况下，表示A -1B ；
声明
2． 在MATLAB 中分别利用矩阵的初等变换及函数rank 、函数inv 求下列矩阵的
⎡3
⎡1-632⎤⎢1⎢⎥秩和逆：(1) A =3-540 求 Rank(A)=? (2) B =⎢⎢⎥⎢1⎢⎥-1-1124⎢⎣⎦
⎣1
【程序设计】：
501⎤200⎥⎥ 求B -1=? 020⎥
⎥
202⎦
【结果分析】：
用rank(A)算出矩阵A 的秩； 用inv(B)算出矩阵B 的逆；
3. 在MATLAB 中判断下列向量组是否线性相关，并找出向量组中的一个最大线性无关组：α=(1,1,3,2)', α=(-1,1, -1,3)', α=(5, -2,8,9)', α=(-1,3,1,7)'
3412
【程序设计】：
【结果分析】：
观察得知由αααα组成的矩阵A 化成的标准阶梯型的秩为3，3
1, 2, 3, 4相关；
又因为r=3，所以ααα组成的向量组是最大的线性无关组。
1, 2, 3
4. 在MATLAB 中判断下列方程组解的情况，若有多个解，写出通解：
⎧x 1-x 2+4x 3-2x 4=0⎪x -x -x +2x =0
1234
(2) （1）⎪⎨
⎪3x 1+x 2+7x 3-2x 4=0⎪⎩x 1-3x 2-12x 3+6x 4=0
【程序设计】：
⎧2x 1+3x 2+x 3=4
⎪x -2x +4x =-5⎪123
⎨
⎪3x 1+8x 2-2x 3=13⎪⎩4x 1-x 2+9x 3=-6
声明
【结果分析】：
根据下面的结果：
(1)由A 的标准阶梯型可知，A 为满秩矩阵，x =x =x =x =0, 是原方程组的唯一解；
1234
(2)秩为2，2
⎛1⎫⎛-2⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪ ⎪x =k 2⎪ 1⎪+ 2⎪ x ⎪ 1⎪ 0⎪
⎝⎭⎝⎭⎝3⎭数。
2-2⎫⎛2
5、化方阵A = 25-4⎪为对角阵.
⎪ -2-45⎪⎝⎭
【程序设计】：
【结果分析】：
通过将矩阵A 化成标准阶梯型而化成对角阵。
226、求一个正交变换，将二次型f =5x 12+5x 2+3x 3-2x 1x 2+6x 1x 3-6x 2x 3化为标准
型。
【程序设计】：
声明
【结果分析】：
由下面算出的矩阵得知f =
4y 2+9y 2
12
22
+x 2-4x 1x 2-4x 2x 3=C （分C=0,>0,
三种情况讨论）。
【程序设计】：
【结果分析】：
由D 可以得知方程对应矩阵的特征值为-2、1、4； 所以标准型为-2y 2+y 2+4y 2=C ；
1
2
3
从而分如下三种情况讨论：
(ⅰ)C=0时, 此三元二次方程的空间图形为开口沿y 方向的椭圆锥面；
111
(ⅱ)C>0时, 此三元二次方程的空间图形为开口沿y 方向的单叶双曲面； (ⅲ)C
四、 实验总结与体会
在平时的线性代数运算中，时常会遇到繁琐的计算，费时费力，而MATLAB 提供了方便快捷的运算，大大地减少了题目的运算量，使我受益匪浅。
通过本次试验，我学习到多种MATLAB 有关线性代数运算的指令，主要学习运用MATLAB 解决矩阵除法，线性方程组的通解，矩阵相似对角化问题，二次型化为标准型，计算矩阵特征值等等。熟悉了MATLAB 的矩阵初等运算、掌握求矩阵的秩、逆、化最简阶梯形的命令，会用MATLAB 求解线性方程组，并综合运用多种指令解决应用题，十分方便准确快捷。在此次实验学习实践的过程中，加深了对线性代数和MATLAB 的理解，也产生了对本学科更深的兴趣。相信在以后更多的实践中能够更加熟练地运用MATLAB 解决实际问题，并继续深入学习。