浅谈几何解题中添加辅助线的作用
胡晓 潘集区实验中学
辅助线的添加是几何解题的关键和难点,进行几何解题时,准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解,现把几何解题中添加辅助线的作用归纳如下。
一、揭示图形中隐含的性质
当条件与结论间的逻辑关系不明朗时,通过适当添加辅助线,将条件中隐含的有关图像性质充分显示出来,从而扩大已知条件,以便取得有关过渡性的推论,达到推导出结论的目的。
例证:如图1,在△ABC 中,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高,M 、N 分别是DE 、
BC 的中点,求证:MN ⊥DE
分析:本题利用添置的两条辅助线EN 、DN 把题中隐含的直角三角形斜边上中线的
1
性质转化为直接条件EN = DN = BC
2
证明:分别连接EN 、DN (作图)
A
∵ N是BC 的中点,CE ⊥AB,DB ⊥ AC (已知) ∴ EN是Rt △BEC 斜边上的中线
DN是Rt △CDB 斜边上的中线 1∴ EN = BC (直角三角形斜边上中线的性质) 21
DN = BC (直角三角形斜边上中线的性质)
2
∴ EN = DN (等量代换) N C 又∵M 是ED 的中点, (已知)
∴MN ⊥DE (等腰三角形三线合一性质) 图1
二、聚拢集中原则
通过添置适当的辅助线,将图形中分散、远离的元素,通过变换和转化,使它们相对集中,聚拢到有关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑联系,从而导出要求的结论。
例证:已知在四边形ABCD 中,AB = CD,点F 和E 分别为AD 、BC 边上的中点,延长BA 、CD ,分别交EF 的延长线于P 、Q,
求证:∠APF =∠ DQF
分析:本题中的条件与结论中的有关元素位置比较分散,通过平行移动,可使有关元素集中在
一起,方便解题。如图2,将AB 、CD 分别平移到FG 、FH, 由△BEG ≌△CEH 可可求EF 是等腰三角形FGH 底边上的中线,再由∠GFE =∠ HFE推出∠APF =∠ DQF。
证明:如图,过点F 作FG ∥AB,FH ∥DC, 过点B 点C 分别作BG ∥AD,CH ∥AD, 交FG 、FH 于G 、H 点,连接GE 、HE 。
∵ FG∥AB BG∥AD CH∥AD FH∥DC,
∴ 四边形ABGF 和四边形FHCD 都是平行四边形 ∴ AB = FG AF = BG FD = CH FH = CD
又∵ F和E 分别为AD 、BC 的中点,
∴ AF = FD BE = CE FG = FH
∴ BG = CH
∵ BG∥
AD,CH ∥AD ∴ BG
∥HC
∴ ∠GBE = ∠ HCE D ∴ △BEG ≌ △CEH (SAS) ∴ GE = HE
∴ △FGE ≌ △FHE (SSS)
∴ ∠GFE =∠ HFE
又∵ FG∥AB, FH∥DC C ∴ ∠GFE =∠ APF ∠Q =∠ HFE
∴ ∠APF =∠ DQF
便于解题。
三、发挥特殊点的作用
在题设条件所给的图形中,对尙未直接显示出来的各元素,通过添置辅助线,将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来,并充分发挥这些特殊点线的作用,达到化难为易、导出结论的目的。
例:如图3,两圆⊙1 ⊙2相交于A 和B 两点,经过交点B 的任一直线和两圆分别相交于C 、D 两点,求证:AC :AD 为定值。
分析:本题通过物色特殊点去求得AC :AD 为定值。即过点B 作EF ⊥BA 分别交两圆于E 、F 点,此时有AE:AF = d 1 :d 2(d 1、d 2分别是两圆的直径),故只需证AC:AD = d 1 :d 2即可。
证明:如图4,延长A ⊙1 ,A ⊙2分别交⊙1 ⊙2于E 、F 点,连接BE 、BF 则∠ABE +∠ ABF = 1800 ∴ E、B 、F 三点共线 ∵ ∠ACD = ∠ AEF ∠ADC = ∠ AEF ∴ △ACD ∽ △AEF
∴ AC :AD = AE:AF = d1 :d 2 (定值)
C
( d1、d 2分别是两圆的直径) 四、构造图形的作用 对一类几何证明题,常需要用到某种图形,而这种图形在题设条件所给定的图形中
却没有出现,必须添置这些图形,才能导出结论。
例如:如图4,点D 为△ABC 的底边BC 延长线上一点,直线DF 交AB 于F 点,交AC
于E 点,且∠FEA = ∠ AFE ,求证:分析:横看比例式
BD BF
=. CD CE
BD BF
=,BD 、BF 与CD 、CE 虽然分别在△DBF 与△DCE 上,但这CD CE
两个三角形并不相似。竖看这个比例式,BD 、BF 与CD 、CE 都不是某两个三角形上的边,因此必须寻找别的出路,考虑到BD 、BC 在同一直线BD 上,所以不妨通过添置平行线为辅助线,构造新的三角形
相似(或应用平行线截割定理)进行论证。
如过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
BD BF
=则△DCG ∽△DBF, 因而得到,
CD CG
BD BF
=易证CE = CG,所以可得. CD CE
证明:如图4,过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
∵ CG∥AB ∴ △DCG ∽△DBF ∠AFE = ∠ CGE
BD BF
=∴ ,
B C D CD CG
又∵ ∠FEA = ∠ AFE ∠FEA = ∠ CEG
∴ ∠ CEG= ∠ CGE
∴ CE = CG
BD BF
=∴ . CD CE
当然,在几何解题中添加辅助线除了能起到揭示图形中隐含的性质,使图像中分散远离的元素聚拢集中,发挥特殊点线的作用外,还能起到化繁为简,化难为易的目的。仅从以上例证就足以证明添加辅助线在几何解题中的重要作用了。
浅谈几何解题中添加辅助线的作用
胡晓 潘集区实验中学
辅助线的添加是几何解题的关键和难点,进行几何解题时,准确的添加辅助线可以使问题迎刃而解,现把几何解题中添加辅助线的作用归纳如下。
一、揭示图形中隐含的性质
当条件与结论间的逻辑关系不明朗时,通过适当添加辅助线,将条件中隐含的有关图像性质充分显示出来,从而扩大已知条件,以便取得有关过渡性的推论,达到推导出结论的目的。
例证:如图1,在△ABC 中,BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高,M 、N 分别是DE 、
BC 的中点,求证:MN ⊥DE
分析:本题利用添置的两条辅助线EN 、DN 把题中隐含的直角三角形斜边上中线的
1
性质转化为直接条件EN = DN = BC
2
证明:分别连接EN 、DN (作图)
A
∵ N是BC 的中点,CE ⊥AB,DB ⊥ AC (已知) ∴ EN是Rt △BEC 斜边上的中线
DN是Rt △CDB 斜边上的中线 1∴ EN = BC (直角三角形斜边上中线的性质) 21
DN = BC (直角三角形斜边上中线的性质)
2
∴ EN = DN (等量代换) N C 又∵M 是ED 的中点, (已知)
∴MN ⊥DE (等腰三角形三线合一性质) 图1
二、聚拢集中原则
通过添置适当的辅助线,将图形中分散、远离的元素,通过变换和转化,使它们相对集中,聚拢到有关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑联系,从而导出要求的结论。
例证:已知在四边形ABCD 中,AB = CD,点F 和E 分别为AD 、BC 边上的中点,延长BA 、CD ,分别交EF 的延长线于P 、Q,
求证:∠APF =∠ DQF
分析:本题中的条件与结论中的有关元素位置比较分散,通过平行移动,可使有关元素集中在
一起,方便解题。如图2,将AB 、CD 分别平移到FG 、FH, 由△BEG ≌△CEH 可可求EF 是等腰三角形FGH 底边上的中线,再由∠GFE =∠ HFE推出∠APF =∠ DQF。
证明:如图,过点F 作FG ∥AB,FH ∥DC, 过点B 点C 分别作BG ∥AD,CH ∥AD, 交FG 、FH 于G 、H 点,连接GE 、HE 。
∵ FG∥AB BG∥AD CH∥AD FH∥DC,
∴ 四边形ABGF 和四边形FHCD 都是平行四边形 ∴ AB = FG AF = BG FD = CH FH = CD
又∵ F和E 分别为AD 、BC 的中点,
∴ AF = FD BE = CE FG = FH
∴ BG = CH
∵ BG∥
AD,CH ∥AD ∴ BG
∥HC
∴ ∠GBE = ∠ HCE D ∴ △BEG ≌ △CEH (SAS) ∴ GE = HE
∴ △FGE ≌ △FHE (SSS)
∴ ∠GFE =∠ HFE
又∵ FG∥AB, FH∥DC C ∴ ∠GFE =∠ APF ∠Q =∠ HFE
∴ ∠APF =∠ DQF
便于解题。
三、发挥特殊点的作用
在题设条件所给的图形中,对尙未直接显示出来的各元素,通过添置辅助线,将那些特殊点、特殊线、特殊图形的性质恰当地揭示出来,并充分发挥这些特殊点线的作用,达到化难为易、导出结论的目的。
例:如图3,两圆⊙1 ⊙2相交于A 和B 两点,经过交点B 的任一直线和两圆分别相交于C 、D 两点,求证:AC :AD 为定值。
分析:本题通过物色特殊点去求得AC :AD 为定值。即过点B 作EF ⊥BA 分别交两圆于E 、F 点,此时有AE:AF = d 1 :d 2(d 1、d 2分别是两圆的直径),故只需证AC:AD = d 1 :d 2即可。
证明:如图4,延长A ⊙1 ,A ⊙2分别交⊙1 ⊙2于E 、F 点,连接BE 、BF 则∠ABE +∠ ABF = 1800 ∴ E、B 、F 三点共线 ∵ ∠ACD = ∠ AEF ∠ADC = ∠ AEF ∴ △ACD ∽ △AEF
∴ AC :AD = AE:AF = d1 :d 2 (定值)
C
( d1、d 2分别是两圆的直径) 四、构造图形的作用 对一类几何证明题,常需要用到某种图形,而这种图形在题设条件所给定的图形中
却没有出现,必须添置这些图形,才能导出结论。
例如:如图4,点D 为△ABC 的底边BC 延长线上一点,直线DF 交AB 于F 点,交AC
于E 点,且∠FEA = ∠ AFE ,求证:分析:横看比例式
BD BF
=. CD CE
BD BF
=,BD 、BF 与CD 、CE 虽然分别在△DBF 与△DCE 上,但这CD CE
两个三角形并不相似。竖看这个比例式,BD 、BF 与CD 、CE 都不是某两个三角形上的边,因此必须寻找别的出路,考虑到BD 、BC 在同一直线BD 上,所以不妨通过添置平行线为辅助线,构造新的三角形
相似(或应用平行线截割定理)进行论证。
如过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
BD BF
=则△DCG ∽△DBF, 因而得到,
CD CG
BD BF
=易证CE = CG,所以可得. CD CE
证明:如图4,过点C 作CG ∥AB, 交FD 于G 点
∵ CG∥AB ∴ △DCG ∽△DBF ∠AFE = ∠ CGE
BD BF
=∴ ,
B C D CD CG
又∵ ∠FEA = ∠ AFE ∠FEA = ∠ CEG
∴ ∠ CEG= ∠ CGE
∴ CE = CG
BD BF
=∴ . CD CE
当然,在几何解题中添加辅助线除了能起到揭示图形中隐含的性质,使图像中分散远离的元素聚拢集中,发挥特殊点线的作用外,还能起到化繁为简,化难为易的目的。仅从以上例证就足以证明添加辅助线在几何解题中的重要作用了。