构造法求数列的通项公式
利津二中 刘志兰
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的
求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列
求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”. 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一
新的感觉. 供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1 设各项均为正数的数列
都有等式：
的前n 项和为S n ，对于任意正整数n ，成立，求
的通项a n .
解：
即
，∵
是以2为公差的等差数列，且
∴
例2 数列
中前n 项的和
解：∵
当n ≥2时，
， ∴
，∴
. .
，求数列的通项公式
.
令
，则
是以
为公比的等比数列，
∴
.
，且
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的
方法就可求得这一数列的通项公式.
例3 设
是首项为1的正项数列，且
∈N*），求数列的通项公式a n .
解：由题设得
∵
，
∴
，∴
. .
，（n
.
例4 数列
中，
，且
∈N*），求通项公式a n .
解：∵
，（n
∴（n
∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方
法.
例5 数列解：
∴
∴
，
中，
，前n 项的和
，求
.
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使
问题得以解决.
例6 设正项数列
满足
，项公式.
，
，则
是以2为公比的等比数列，
，
∴
，
. ，
（n ≥2）. 求数列
的通
解：两边取对数得：，设
例7 已知数列
中，
，n ≥2时
，求通项公式.
解：∵
，两边取倒数得
可化为等差数列关系式.
∴
.
构造法求数列的通项公式
利津二中 刘志兰
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的
求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列
求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”. 若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一
新的感觉. 供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1 设各项均为正数的数列
都有等式：
的前n 项和为S n ，对于任意正整数n ，成立，求
的通项a n .
解：
即
，∵
是以2为公差的等差数列，且
∴
例2 数列
中前n 项的和
解：∵
当n ≥2时，
， ∴
，∴
. .
，求数列的通项公式
.
令
，则
是以
为公比的等比数列，
∴
.
，且
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的
方法就可求得这一数列的通项公式.
例3 设
是首项为1的正项数列，且
∈N*），求数列的通项公式a n .
解：由题设得
∵
，
∴
，∴
. .
，（n
.
例4 数列
中，
，且
∈N*），求通项公式a n .
解：∵
，（n
∴（n
∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方
法.
例5 数列解：
∴
∴
，
中，
，前n 项的和
，求
.
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使
问题得以解决.
例6 设正项数列
满足
，项公式.
，
，则
是以2为公比的等比数列，
，
∴
，
. ，
（n ≥2）. 求数列
的通
解：两边取对数得：，设
例7 已知数列
中，
，n ≥2时
，求通项公式.
解：∵
，两边取倒数得
可化为等差数列关系式.
∴
.