求函数周期问题

函数的周期性

周期函数：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得对定义域内的任意一个x ，总有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期函数。T 叫做这个函数的一个周期，其中最小正数T 叫做最小正周期。（定义的实质，是存在一个常数T ，（T ≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自变量每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次）

关于函数的周期性，有如下结论：

（1）若T 为函数f (x ) 的一个周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0) 也是f (x ) 的周期，即 f (x +kT ) =f (x ) 。

期的函数。（2）若f (x ) 是一个以T 为周期的函数，则f (ax +b )(a ≠0) 是一个以T 为周a

证明：（证明的方向f [a (x +T ) +b ]=f (ax +b ) ）a

f [a (x +T ) +b ]=f [(ax +b ) +T ]a 设u =ax +b ∴f (u +T ) 由T 是f (x ) 的周期f (u ) =f (ax +b ) T 是函数f (ax +b ) 的周期a 如：y =sin x 的周期为T =2π，则y =sin(ωx +ϕ)(ω≠0) 的周期为2πω

（3）若f (x ) 满足f (x +a ) =f (x +b ) 恒成立，a , b 为常数且a ≠b ，则T =a -b 是f (x ) 的一个周期。

这是因为f (x +a -b ) =f [(x -b ) +a ]=f [(x -b ) +b ]=f (x )

∴T =a -b

（4）若f (x ) 满足f (x +a ) =-f (x +b ) ，则f (x ) 以T =2(a -b ) 为一个周期。证明：f [x +2(a -b )]=f [(x -2b +a ) +a ]

=-f [(x -2b +a ) +b ]

=-f [(x -b ) +a ]

=-[-f (x -b +b )]=f (x )

∴T =2(a -b )

推论：f (x +a ) =-f (x )

则f (x ) 以T =2a 为一个周期

（只要令上式中的b=0即可）

（5）若f (x ) 满足f (x +a ) =-

一个周期。证明：∵f (x +a ) =-11），则f (x ) 以T =2a 为, （或f (x ) =-f (x ) f (x +a ) 11, ∴f (x +2a ) =-, ∴f (x ) =f (x +2a ) ， f (x )

∴f (x ) 以T =2a 为一个周期。

f (x +a ) 2