说题稿
实验中学 徐顺从
原题 已知：如图，AD 垂直平分BC ，D 为垂足，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，M ，N 分别为垂足，求证：DM=DN
A
一、说背景与价值
本题选自八年级上第一章《三角形的初步知识》之《1.5三角形全等的判定4》的 课内练习2。解决此题涉及的知识有垂直的定义，垂直平分线的定义及性质，三角形全等的判定，角平分线的性质，三角形的面积等。
本习题是在学生学习三角形全等的判定定理“AAS ”，及角平分线的性质的基础上给出的。课本设置此练习的目的旨在巩固三角形全等的判定及角平分线的性质。大部分学生想到利用三角形全等，然而解题的方法较多，需要学生发散思维，充分联系已知与求证，综合运用已学的知识来解决，在众多的方法中进行选优，从而获得一定的解题经验。
二、说教学与改进
学生已经学会了三角形全等的判定定理“SSS ”, “SAS ”, “ASA ”, “AAS ”, 对于证明相等的线段，基本上具备了解决此题的知识储备和技能。而学生往往会思维定势，联想到证明三角形全等，而忽视了此时证明的是垂线段这个重要信息，缺乏相应的想象。
学生可能的做法：
1、先证明△ADC ≅△ADB 得∠B=∠C ，再证明△DCM ≅△DBN ，得到DM=DN；
2、先证明△ADC ≅△ADB 得∠CAD=∠BAD ，再证明△DAM ≅△DAN ，得到DM=DN；
3、先证明△ADC ≅△ADB 得AD 是角平分线，再利用角平分线的性质，得到DM=DN；
4、先由中垂线的性质证明AB=AC，再由三角形的中线将三角形的面积二等分， 得S ∆ADB =S ∆ADC ，由DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，得到DM=DN。
在原先的教学中，让学生思考后回答，发现大部分学生是第1,2种解法，很少出现第3,4的解法，然后再追问，还有其他的方法吗？能利用今天学过的知识 来解决吗？能利用角平分线的性质吗？终于有了第3种方法，可是学生缺乏想
象，这样的教学效果不好。
针对很少学生想出方法3，方法4，以及充分发挥这道题目的价值，我在第二节课时对教学进行了如下的改进。首先是讲解角平分线的性质时做好铺垫，在讲解角平分线时，引导学生理解角平分线上的点到角两边的距离相等，这个距离指的是垂线段的长度。以及应用角平分线性质时具备3个条件：角平分线，两条垂线段。其次在讲解时让学生说出各自的解法，当大部分学生出现前两种方法时，进行如下的引导启发。引导关注条件，所求证的DM=DN，与它相关的条件是什么？DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，发现所证明的两条线段与众不同，它们是垂线段，再启发学生对垂线段展开联想。由“垂线段”能联想到什么？这时学生积极思考，而且有有惊喜。有了刚才的铺垫和现在的启发，有学生联想到了刚学过的角平分线的性质。问题转化为证明AD 是∠BAC 的平分线。惊喜的是有的学生在启发引导下，由垂线段联想到了三角形的高，进而联想到三角形的面积。由中线将三角形的面积二等分得S ∆ADB =S ∆ADC ，要证DM=DN，只需证明AB=AC。
通过此题，有什么收获？对于这几种方法，你喜欢哪一种？最欣赏哪一种？师生共同提炼：
1、证明相等的线段，一般可通过证明两条线段所在的三角形全等。
2、对于证明垂线段相等时，可联想到角平分线的性质或利用三角形面积等。
3、对解题方法进行比较，让学生从中选优，体现最优化思想。
有些学生喜欢利用三角形全等，因为他最拿手，有些学生喜欢利用角平分线的性质，因为它最直接，有些学生喜欢利用等积法，因为解法巧妙，而在几何教学中我们也经常利用等积法，如可由面积相等这个等量关系来解决问题，也可以利用面积相等进行等积变形，改变图形的形状以便于求解，是个非常巧妙的方法。所以我对此进行有关计算，推理的拓展与命题。
设计意图：让学生养成解题后反思的习惯，促进学生会反思，形成一定的解题经验，让学生选优体现解题方法的优化。
三、说拓展与命题
拓展1 已知在Rt △ABD 中，AD=4，BD=3，DN ⊥AB ，N 为垂足，则DN=____________
设计意图：在原题的基础上拓展，渗透等积法。
A
D A B
拓展2 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 为边BC 上一点，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，M ，N 分别为垂足，随着点D 在线段上运动，DM+DN
的值是否发生改变；若改变，说出变化的情况，若不改变，求出它的值。
A
在原题的基础上改变点D 的位置，还是在BC 上，但是动点，判断这两条垂线段的和会不会改变？此时学生很难想到通过三角形的全等，但会“截长补短”的学生可能会解决；而利用等积法来解决，是非常巧妙的做法。实质上所求的垂线段的和就是一腰上的高。
设计意图：改变条件，使原来的点变成边上的动点，此时学生很难想到通过三角形的全等来解决问题，而利用等积法来解决，从而发展学生解决问题的能力。.
拓展3 某数学兴趣小组组织了以“等积变形
”为的主题的课题研究。 第1小组发现：
如图（1），点A 、点B 在直线l 1上，点C 、点D 在直线l 2
上，若l 1l 2，则S AB C =SABD ；反之，若S AB C =SABD ，则l 1l 2.
第2小组发现：k 如图（2），点P 是反比例函数y=上任意一点，过点P x
作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，则矩形OMPN 的面积为定值 请利用上述结论解决下列问题：
l 2
（1）如图（3）, 点C 、D 是半圆上的三等分点，圆O 的半径是2，则阴影部分的面积是___________________.
（2）如图（4）, 四边形ABCD 是正方形，圆A 的半径是2，交边AD 于点E ，则S ∆CEF =_____________________. .
（3）如图（5）, 点A ，B 在反比例函数y =
2的图象上，则S ∆OAB =
____________.
x ,0.5）
第一小组讨论的问题是常见的“同底等高”的两个三角形面积相等，反之成立，类似的有“等底同高”，“等底等高”。
第二小组讨论的问题是反比例函数的几何意义，图象上的点与坐标轴围成的矩形面积不变。
3小题考查等积变形，第1题在圆中求不规则图形面积，已经具有平行线，学生容易想到利用等积变形，将阴影图形转化为扇形；第2题求三角形面积，没有平行线，需要利用正方形对角线构造平行线，将S ∆CEF 转化为S ∆AEF ，此题也可运用割补法，等积变形显然更巧妙。第3题是求直角坐标系中斜放的三角形面积，利用反比例函数的几何意义，S ∆AOC =S ∆BOD ，则S ∆A O E =S 四边形C D B E 。可将斜放的三
角形等积变形为直角梯形，直接利用坐标的意义求解，体现出等积法的优越性。
设计意图：将等积法进行研究，了解基本图形，渗透等积法，体验等积法的巧妙。
拓展4 如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax2﹣10ax+c经
过点C ，顶点M 在直线BC 上．
（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标；（10,8）
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（直线x=5,函数表达式为y= 5x ﹣4x+8）22（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？
若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
考查动点产生的面积问题。由三角形面积相等，联想到“同底等高”，“等底同高”，“等底等高”。“同底等高”两个三角形可以以PD 为底，则点P 是BC 的平行线与图象的交点; “等底同高”不存在；“等底等高”第一小题证明的菱形ABCD ，CD=BD，可以分别以它们为底，等高联想到了∠BDC 的平分线，则点P 是∠BDC 的平分线与图象的交点。
设计意图：通过此题，即联系了原题，又对原题中拓展的方法进行综合应用。
命题说明：
拓展1预计难度值0.75，属于a 级题，实测0.75；
拓展2预计难度值0.6，属于b 级题，实测0.3，据了解部分学生对等积法不够了解；
拓展3第1小题预计难度值0.7，属于b 级题，
拓展3第2小题预计难度值0.65，属于b 级题，实测0.7
拓展3第3小题预计难度值0.6，属于b 级题，实测0.65
拓展4预计难度值0.35，属于c 级题，实测0.2。
等面积法是一种重要的数学解题方法。利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的
数学思维能力，发展学生的数学能力，在数学解题教学中值得借鉴。
说题稿
实验中学 徐顺从
原题 已知：如图，AD 垂直平分BC ，D 为垂足，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，M ，N 分别为垂足，求证：DM=DN
A
一、说背景与价值
本题选自八年级上第一章《三角形的初步知识》之《1.5三角形全等的判定4》的 课内练习2。解决此题涉及的知识有垂直的定义，垂直平分线的定义及性质，三角形全等的判定，角平分线的性质，三角形的面积等。
本习题是在学生学习三角形全等的判定定理“AAS ”，及角平分线的性质的基础上给出的。课本设置此练习的目的旨在巩固三角形全等的判定及角平分线的性质。大部分学生想到利用三角形全等，然而解题的方法较多，需要学生发散思维，充分联系已知与求证，综合运用已学的知识来解决，在众多的方法中进行选优，从而获得一定的解题经验。
二、说教学与改进
学生已经学会了三角形全等的判定定理“SSS ”, “SAS ”, “ASA ”, “AAS ”, 对于证明相等的线段，基本上具备了解决此题的知识储备和技能。而学生往往会思维定势，联想到证明三角形全等，而忽视了此时证明的是垂线段这个重要信息，缺乏相应的想象。
学生可能的做法：
1、先证明△ADC ≅△ADB 得∠B=∠C ，再证明△DCM ≅△DBN ，得到DM=DN；
2、先证明△ADC ≅△ADB 得∠CAD=∠BAD ，再证明△DAM ≅△DAN ，得到DM=DN；
3、先证明△ADC ≅△ADB 得AD 是角平分线，再利用角平分线的性质，得到DM=DN；
4、先由中垂线的性质证明AB=AC，再由三角形的中线将三角形的面积二等分， 得S ∆ADB =S ∆ADC ，由DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，得到DM=DN。
在原先的教学中，让学生思考后回答，发现大部分学生是第1,2种解法，很少出现第3,4的解法，然后再追问，还有其他的方法吗？能利用今天学过的知识 来解决吗？能利用角平分线的性质吗？终于有了第3种方法，可是学生缺乏想
象，这样的教学效果不好。
针对很少学生想出方法3，方法4，以及充分发挥这道题目的价值，我在第二节课时对教学进行了如下的改进。首先是讲解角平分线的性质时做好铺垫，在讲解角平分线时，引导学生理解角平分线上的点到角两边的距离相等，这个距离指的是垂线段的长度。以及应用角平分线性质时具备3个条件：角平分线，两条垂线段。其次在讲解时让学生说出各自的解法，当大部分学生出现前两种方法时，进行如下的引导启发。引导关注条件，所求证的DM=DN，与它相关的条件是什么？DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，发现所证明的两条线段与众不同，它们是垂线段，再启发学生对垂线段展开联想。由“垂线段”能联想到什么？这时学生积极思考，而且有有惊喜。有了刚才的铺垫和现在的启发，有学生联想到了刚学过的角平分线的性质。问题转化为证明AD 是∠BAC 的平分线。惊喜的是有的学生在启发引导下，由垂线段联想到了三角形的高，进而联想到三角形的面积。由中线将三角形的面积二等分得S ∆ADB =S ∆ADC ，要证DM=DN，只需证明AB=AC。
通过此题，有什么收获？对于这几种方法，你喜欢哪一种？最欣赏哪一种？师生共同提炼：
1、证明相等的线段，一般可通过证明两条线段所在的三角形全等。
2、对于证明垂线段相等时，可联想到角平分线的性质或利用三角形面积等。
3、对解题方法进行比较，让学生从中选优，体现最优化思想。
有些学生喜欢利用三角形全等，因为他最拿手，有些学生喜欢利用角平分线的性质，因为它最直接，有些学生喜欢利用等积法，因为解法巧妙，而在几何教学中我们也经常利用等积法，如可由面积相等这个等量关系来解决问题，也可以利用面积相等进行等积变形，改变图形的形状以便于求解，是个非常巧妙的方法。所以我对此进行有关计算，推理的拓展与命题。
设计意图：让学生养成解题后反思的习惯，促进学生会反思，形成一定的解题经验，让学生选优体现解题方法的优化。
三、说拓展与命题
拓展1 已知在Rt △ABD 中，AD=4，BD=3，DN ⊥AB ，N 为垂足，则DN=____________
设计意图：在原题的基础上拓展，渗透等积法。
A
D A B
拓展2 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 为边BC 上一点，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，M ，N 分别为垂足，随着点D 在线段上运动，DM+DN
的值是否发生改变；若改变，说出变化的情况，若不改变，求出它的值。
A
在原题的基础上改变点D 的位置，还是在BC 上，但是动点，判断这两条垂线段的和会不会改变？此时学生很难想到通过三角形的全等，但会“截长补短”的学生可能会解决；而利用等积法来解决，是非常巧妙的做法。实质上所求的垂线段的和就是一腰上的高。
设计意图：改变条件，使原来的点变成边上的动点，此时学生很难想到通过三角形的全等来解决问题，而利用等积法来解决，从而发展学生解决问题的能力。.
拓展3 某数学兴趣小组组织了以“等积变形
”为的主题的课题研究。 第1小组发现：
如图（1），点A 、点B 在直线l 1上，点C 、点D 在直线l 2
上，若l 1l 2，则S AB C =SABD ；反之，若S AB C =SABD ，则l 1l 2.
第2小组发现：k 如图（2），点P 是反比例函数y=上任意一点，过点P x
作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，则矩形OMPN 的面积为定值 请利用上述结论解决下列问题：
l 2
（1）如图（3）, 点C 、D 是半圆上的三等分点，圆O 的半径是2，则阴影部分的面积是___________________.
（2）如图（4）, 四边形ABCD 是正方形，圆A 的半径是2，交边AD 于点E ，则S ∆CEF =_____________________. .
（3）如图（5）, 点A ，B 在反比例函数y =
2的图象上，则S ∆OAB =
____________.
x ,0.5）
第一小组讨论的问题是常见的“同底等高”的两个三角形面积相等，反之成立，类似的有“等底同高”，“等底等高”。
第二小组讨论的问题是反比例函数的几何意义，图象上的点与坐标轴围成的矩形面积不变。
3小题考查等积变形，第1题在圆中求不规则图形面积，已经具有平行线，学生容易想到利用等积变形，将阴影图形转化为扇形；第2题求三角形面积，没有平行线，需要利用正方形对角线构造平行线，将S ∆CEF 转化为S ∆AEF ，此题也可运用割补法，等积变形显然更巧妙。第3题是求直角坐标系中斜放的三角形面积，利用反比例函数的几何意义，S ∆AOC =S ∆BOD ，则S ∆A O E =S 四边形C D B E 。可将斜放的三
角形等积变形为直角梯形，直接利用坐标的意义求解，体现出等积法的优越性。
设计意图：将等积法进行研究，了解基本图形，渗透等积法，体验等积法的巧妙。
拓展4 如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （﹣6，0），B （4，0），C （0，8），把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线y=ax2﹣10ax+c经
过点C ，顶点M 在直线BC 上．
（1）证明四边形ABCD 是菱形，并求点D 的坐标；（10,8）
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（直线x=5,函数表达式为y= 5x ﹣4x+8）22（3）在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？
若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
考查动点产生的面积问题。由三角形面积相等，联想到“同底等高”，“等底同高”，“等底等高”。“同底等高”两个三角形可以以PD 为底，则点P 是BC 的平行线与图象的交点; “等底同高”不存在；“等底等高”第一小题证明的菱形ABCD ，CD=BD，可以分别以它们为底，等高联想到了∠BDC 的平分线，则点P 是∠BDC 的平分线与图象的交点。
设计意图：通过此题，即联系了原题，又对原题中拓展的方法进行综合应用。
命题说明：
拓展1预计难度值0.75，属于a 级题，实测0.75；
拓展2预计难度值0.6，属于b 级题，实测0.3，据了解部分学生对等积法不够了解；
拓展3第1小题预计难度值0.7，属于b 级题，
拓展3第2小题预计难度值0.65，属于b 级题，实测0.7
拓展3第3小题预计难度值0.6，属于b 级题，实测0.65
拓展4预计难度值0.35，属于c 级题，实测0.2。
等面积法是一种重要的数学解题方法。利用此法解决相关数学问题时，不但思路清晰、过程简捷，而且更能体现出知识间的相互联系，更有利于培养学生的
数学思维能力，发展学生的数学能力，在数学解题教学中值得借鉴。