反思你的假定
经常乘飞机的人都会有一个烦恼：为了确保不误机，就要提前几个小时去机场，长此以往会浪费很多宝贵的时间。诺贝尔经济学奖获得者乔治・斯蒂格勒曾经说过：“如果你从未错过航班，这说明你在机场花了太多时间。”艾伦伯格提议的做法是，你弄清前往机场的末班车的时间，然后搭乘它前面的那一班。
到底该什么时候去机场？到机场太早和太晚都不好，对早到和晚到的坏处进行量化有助于我们寻找最佳的到达时间。假如在机场等候一个小时要花费10个效用，误机要花费50个效用。如果你早到半小时，你误机的概率是20%，早到1个小时，误机的概率为5%，早到两个小时误机的概率就只有1%。假如你早到1个小时，候机的损失是10个效用，误机的损失是误机的概率乘以误机损失的效用，假如早到1小时，你误机的概率是5%，这将令你损失50个效用，预期的损失就是5%乘以50，等于2.5个效用。加在一起的话，早到1小时的预期损失是12.5个效用。
如果早到2个小时，候机损失20个效用，而误机的预期损失只有1%乘以50，等于0.5，总的预期损失为20.5，这比早到1个小时大多了。如果你提前半小时到达机场，你候机时只损失5个效用，但误机概率是20%，预期损失是20%乘以50，结果是10个效用，总的预期损失是15个效用，大于早到1个小时的结果。预期效用分析是经济学的基本观念，许多经济学模型都是以效用最大化为基础。
跟到达机场的最佳时间类似，“二战”期间，美军遇到一个问题：为了不让飞机被敌机击落，就要给飞机装上护甲。但护甲会加大飞机的重量，这样飞机就不容易操控，而且会消耗更多燃油。护甲太多不行，太少也不行。在这之间有一个最优值，需要数学家来确定它。
当时，美国数学家组成了一个统计学研究小组，担任美军的顾问。这个小组中最聪明的人是匈牙利裔数学家亚伯拉罕・沃尔德（Abraham Wald），后来获得诺贝尔经济学奖的米尔顿・弗里德曼在这个小组中只是第四聪明的人。军方带着一些他们认为有用的数据来到了统计研究小组。当美军的飞机交战后从欧洲返回后，身上布满了弹孔。但弹孔在飞机上的分布是不均匀的。机身上有许多弹孔，但引擎周围的弹孔不多。军官们认为可以把护甲装到最需要的地方，从而提高效率。但沃尔德说，护甲不应该装到有弹孔的地方，而是应该装到没有弹孔的地方――引擎上。沃尔德的思路是：引擎没有遭到严重打击的飞机回来了，是因为引擎被打中的飞机都没能回来。那么多机身中弹的飞机回到了基地，证明机身中弹是可以忍受的。
艾伦伯格说，在这里沃尔德用到了数学家们一个很古老的技巧：把某个变量设为零。在这里要调整的变量是引擎中弹的飞机仍能平稳飞行的可能性。把这一可能性设为零，意味着引擎中弹一次飞机就会被击落。回来的飞机机身上弹孔累累，但引擎都没中弹。这种情况有两种解释，要么德国的子弹只会打中引擎之外的地方，要么引擎特别脆弱。它们都能解释已有的数据，但是后者更说得通。沃尔德的建议很快被采纳，并一直被沿用。
沃尔德为什么能够看到军官们没有看到的问题？这跟他数学家的思考习惯有关。数学家总是问：你做了什么假定？它们有道理吗？军官们的假定是：返回的飞机是全部飞机的一个随机样本。一旦你认识到你做了一个假定，你马上就会意识到它是错误的。不是无论哪里被击中都有同样的生存机会。
沃尔德的另一个优势是他喜欢抽象的东西，他不喜欢去关注实用性问题，如飞机和枪的细节。有时这种思考方式会令你忽略问题的一些特征，但也会让你看到表面上看不一样的问题共同的构架。对数学家来说，弹孔问题的基本结构是一种叫“幸存者偏见”的现象：我们只注意到了幸存者。在判断基金的表现时，也要小心“幸存者偏见”，不要忽略已经死掉的基金，而已经死掉的往往是不挣钱的。所以，判断共同基金十年间的价值时，如果只计算十年之后仍然存在的基金，就像通过计算返航飞机身上的弹孔来判断飞行员的躲避策略。
如何解决无限循环？
一般人都会认为0.999……这个无限循环小数不等于1，它比1小，虽然它越来越接近1，但永远都到不了1。有人说，0.999……就是1，很多人都知道如何证明：0.333……=1/3，两边都乘以3，结果就是0.999……等于1。
还有一个更诡异的例子：1-1+1-1+1-1+……是多少？如果这样变换：（1-1）+（1-1）+（1-1）+……=0+0+0+……它就等于0。如果这样变换：1-（1-1）-（1-1）-（1-1）-……=1-0-0-0……它就等于1。出现这种情况，肯定要从无限上找原因。
艾伦伯格说，无限循环的数学符号到底是多少，这取决于我们如何定义它，或者说这种提问方式本身就有问题。0.999……到底是多少？它好像是许多加数的结果：0.9+0.09+0.009+0.0009+……问题就在这个省略号。把2个、3个或者100个数加起来时，不会引起什么争议。这就是用数字表示把100堆东西放在一起的物理过程。但是无限个东西相加就不一样了。在现实世界中，你不会弄到无限个东西。一个无限的数字的数量是多少呢？它没有数量，直到我们赋予它一个数量。数学家哈代解释说：“近代的数学家不会认为一组数学符号要我们通过定义指派给它一个意义时，它才有意义。他们没有下定义的习惯，他们不会问我们该如何定义1-1+1-1+……而是问它是多少。这一习惯导致他们陷入了不必要的困惑和争议。”
艾伦伯格说，给数学符号下定义并不是相对主义。单单因为我们可以随意给一系列数学符号指派意义，并不等于我们就应该这么做。在数学上，跟生活中一样，有好的选择，也有坏的选择。在数学上，好的选择就是能够解决困惑而又不带来新的困惑的选择。18世纪法国数学家柯西说，我们应该把0.999……定义为1，接着他证明这一选择并不会造成冲突。
艾伦伯格谈到了法国大革命时期的政治哲学家孔多塞，孔多塞曾试图改善选举办法。在有三个以上候选人的选举中，多数人裁定的制度会产生问题。他希望想出一个公平的投票方法，这个方法要满足这样一个公理：如果大部分选民更喜欢候选人A而非B，那么候选人B就不是人民的选择。但是有可能会出现这样一种剪刀石头布式的情形：大部分人更喜欢A而不是B，更喜欢B而不是C，更喜欢C而不是A。这样谁都赢不了。“数学家哈代会建议孔多塞，不要问谁是最佳候选人，或者公众想让谁当选，而是问应该把哪个候选人定义为公众的选择。”数学形式主义把找到正确答案变成了遵循规则去寻找答案。 法国哲学家、数学家孔多塞
反思你的假定
经常乘飞机的人都会有一个烦恼：为了确保不误机，就要提前几个小时去机场，长此以往会浪费很多宝贵的时间。诺贝尔经济学奖获得者乔治・斯蒂格勒曾经说过：“如果你从未错过航班，这说明你在机场花了太多时间。”艾伦伯格提议的做法是，你弄清前往机场的末班车的时间，然后搭乘它前面的那一班。
到底该什么时候去机场？到机场太早和太晚都不好，对早到和晚到的坏处进行量化有助于我们寻找最佳的到达时间。假如在机场等候一个小时要花费10个效用，误机要花费50个效用。如果你早到半小时，你误机的概率是20%，早到1个小时，误机的概率为5%，早到两个小时误机的概率就只有1%。假如你早到1个小时，候机的损失是10个效用，误机的损失是误机的概率乘以误机损失的效用，假如早到1小时，你误机的概率是5%，这将令你损失50个效用，预期的损失就是5%乘以50，等于2.5个效用。加在一起的话，早到1小时的预期损失是12.5个效用。
如果早到2个小时，候机损失20个效用，而误机的预期损失只有1%乘以50，等于0.5，总的预期损失为20.5，这比早到1个小时大多了。如果你提前半小时到达机场，你候机时只损失5个效用，但误机概率是20%，预期损失是20%乘以50，结果是10个效用，总的预期损失是15个效用，大于早到1个小时的结果。预期效用分析是经济学的基本观念，许多经济学模型都是以效用最大化为基础。
跟到达机场的最佳时间类似，“二战”期间，美军遇到一个问题：为了不让飞机被敌机击落，就要给飞机装上护甲。但护甲会加大飞机的重量，这样飞机就不容易操控，而且会消耗更多燃油。护甲太多不行，太少也不行。在这之间有一个最优值，需要数学家来确定它。
当时，美国数学家组成了一个统计学研究小组，担任美军的顾问。这个小组中最聪明的人是匈牙利裔数学家亚伯拉罕・沃尔德（Abraham Wald），后来获得诺贝尔经济学奖的米尔顿・弗里德曼在这个小组中只是第四聪明的人。军方带着一些他们认为有用的数据来到了统计研究小组。当美军的飞机交战后从欧洲返回后，身上布满了弹孔。但弹孔在飞机上的分布是不均匀的。机身上有许多弹孔，但引擎周围的弹孔不多。军官们认为可以把护甲装到最需要的地方，从而提高效率。但沃尔德说，护甲不应该装到有弹孔的地方，而是应该装到没有弹孔的地方――引擎上。沃尔德的思路是：引擎没有遭到严重打击的飞机回来了，是因为引擎被打中的飞机都没能回来。那么多机身中弹的飞机回到了基地，证明机身中弹是可以忍受的。
艾伦伯格说，在这里沃尔德用到了数学家们一个很古老的技巧：把某个变量设为零。在这里要调整的变量是引擎中弹的飞机仍能平稳飞行的可能性。把这一可能性设为零，意味着引擎中弹一次飞机就会被击落。回来的飞机机身上弹孔累累，但引擎都没中弹。这种情况有两种解释，要么德国的子弹只会打中引擎之外的地方，要么引擎特别脆弱。它们都能解释已有的数据，但是后者更说得通。沃尔德的建议很快被采纳，并一直被沿用。
沃尔德为什么能够看到军官们没有看到的问题？这跟他数学家的思考习惯有关。数学家总是问：你做了什么假定？它们有道理吗？军官们的假定是：返回的飞机是全部飞机的一个随机样本。一旦你认识到你做了一个假定，你马上就会意识到它是错误的。不是无论哪里被击中都有同样的生存机会。
沃尔德的另一个优势是他喜欢抽象的东西，他不喜欢去关注实用性问题，如飞机和枪的细节。有时这种思考方式会令你忽略问题的一些特征，但也会让你看到表面上看不一样的问题共同的构架。对数学家来说，弹孔问题的基本结构是一种叫“幸存者偏见”的现象：我们只注意到了幸存者。在判断基金的表现时，也要小心“幸存者偏见”，不要忽略已经死掉的基金，而已经死掉的往往是不挣钱的。所以，判断共同基金十年间的价值时，如果只计算十年之后仍然存在的基金，就像通过计算返航飞机身上的弹孔来判断飞行员的躲避策略。
如何解决无限循环？
一般人都会认为0.999……这个无限循环小数不等于1，它比1小，虽然它越来越接近1，但永远都到不了1。有人说，0.999……就是1，很多人都知道如何证明：0.333……=1/3，两边都乘以3，结果就是0.999……等于1。
还有一个更诡异的例子：1-1+1-1+1-1+……是多少？如果这样变换：（1-1）+（1-1）+（1-1）+……=0+0+0+……它就等于0。如果这样变换：1-（1-1）-（1-1）-（1-1）-……=1-0-0-0……它就等于1。出现这种情况，肯定要从无限上找原因。
艾伦伯格说，无限循环的数学符号到底是多少，这取决于我们如何定义它，或者说这种提问方式本身就有问题。0.999……到底是多少？它好像是许多加数的结果：0.9+0.09+0.009+0.0009+……问题就在这个省略号。把2个、3个或者100个数加起来时，不会引起什么争议。这就是用数字表示把100堆东西放在一起的物理过程。但是无限个东西相加就不一样了。在现实世界中，你不会弄到无限个东西。一个无限的数字的数量是多少呢？它没有数量，直到我们赋予它一个数量。数学家哈代解释说：“近代的数学家不会认为一组数学符号要我们通过定义指派给它一个意义时，它才有意义。他们没有下定义的习惯，他们不会问我们该如何定义1-1+1-1+……而是问它是多少。这一习惯导致他们陷入了不必要的困惑和争议。”
艾伦伯格说，给数学符号下定义并不是相对主义。单单因为我们可以随意给一系列数学符号指派意义，并不等于我们就应该这么做。在数学上，跟生活中一样，有好的选择，也有坏的选择。在数学上，好的选择就是能够解决困惑而又不带来新的困惑的选择。18世纪法国数学家柯西说，我们应该把0.999……定义为1，接着他证明这一选择并不会造成冲突。
艾伦伯格谈到了法国大革命时期的政治哲学家孔多塞，孔多塞曾试图改善选举办法。在有三个以上候选人的选举中，多数人裁定的制度会产生问题。他希望想出一个公平的投票方法，这个方法要满足这样一个公理：如果大部分选民更喜欢候选人A而非B，那么候选人B就不是人民的选择。但是有可能会出现这样一种剪刀石头布式的情形：大部分人更喜欢A而不是B，更喜欢B而不是C，更喜欢C而不是A。这样谁都赢不了。“数学家哈代会建议孔多塞，不要问谁是最佳候选人，或者公众想让谁当选，而是问应该把哪个候选人定义为公众的选择。”数学形式主义把找到正确答案变成了遵循规则去寻找答案。 法国哲学家、数学家孔多塞