相似三角形的判定
知识点1．相似三角形的判定方法
①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． ∵ ∠A =∠ A '⎫ ∠ B = ∠ B '⎬ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′
⎭
（简记为：两个角对应相等，三角形相似）
②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似． ∵ AB AC ⎫
=
A ''C ' ⎪B ' A ⎬ ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′ ∠A =∠A '⎪⎭
③果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． ∵
AB AC BC
= = ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′
A 'B 'A 'C 'B 'C '
④平行于三角形的一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ∵DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE
A
B
①
A
C D
②
E
B
C
③
知识点2．相似三角形的基本图形
题型1
、证明三角形相似
1-1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 边上的一点，DM ⊥AB ，且DM=AC，过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ．求证：△ABC ∽△MED ．
1-2、如图, ⊿ABC 是等边三角形, 点D,E 分别在BC,AC 上, 且BD=CE,AD与BE 相交于点F.
(1)试说明⊿ABD ≌⊿BCE 。 (2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗? 说说你的理由。
题型2、证明含有分式的恒等式
2-1、如图，已知Rt △ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 交AB 于D ，E 为BC 的中点，连ED 并延长交CA 的延长线于
F ，求证：
AF AC
= DF BC
2-2、如图，AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F. 则
吗？说说你的理由。
题型3、证明含有乘积的恒等式
2-1、已知:如图,CE 是RtΔABC的斜边AB 上的高,BG ⊥AP 。
2
EB ; (2) AE·EB=ED·EP 求证:(1)CE=AE·
AF BE
=AD BD
2-2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是劣弧AC 的中点，BD 交AC 于点E.
求证：AD =DE ⋅DB
2
C
2-3、如图，直线PM 切⊙O 于点M , 直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC ∥PM , 连接OM 、BC . 求证：（1）△ABC ∽△POM ; (2)2OA 2=OP ·BC . B
M
O A
P
一、选择题（每题4分，共计40分）
1、从下面这些三角形中，选出相似的三角形．
2、在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中， 相似的是( )
A. △ABD ∽△BCD C. △ABC ∽△ABD
B. △ABC ∽△BDC D. 不存在
3、下列命题中，真命题是( )
A. 有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似 C. 底角为40°的两个等腰梯形相似 D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似 4、下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．
6．如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ） （A ）△ABE ∽△DGE （B ）△CGB ∽△DGE （C ）△BCF ∽△EAF （D ）△ACD ∽△GCF
（第6 题图） （第7题图） 7．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，在下列条件中：
（1）∠ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝∠ACB ， 一定使△ABC ∽△ACD 的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
8．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对
（第8题图） （第9题图） 9．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对
10．在等腰△ABC 和等腰△DEF 中，∠A 与∠D 是顶角，下列判断正确的是（ ） ①∠A=∠D 时，两三角形相似；②∠A=∠E 时，两三角形相似； ③
=
时，两三角形相似；④∠B=∠E 时，两三角形相似．
二、填空题（每题4分，共计20分） 1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，有下列条件：①
=
，②=
，③∠A=∠A 1，④∠B=∠B 1，⑤∠C=∠C 1，
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的有哪些组合
2. 如图，D ，E 分别是AB ，AC
上的点，在下列条件中： （1）∠AED=∠B ； （2）
； （3）
，
其中能判定△ADE 与△ACB 相似的有
3. 如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，正确的有 （1）∠ABD=∠C （2）∠ADB=∠ABC （3）
AB CB AD AB
== （4）BD CD AB AC
4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则有哪些三角形相识？
三、解答题（每题8分，共40分）
1. 如图，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合) ，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点。 求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；
D
2. 如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M. 求证：
AM HG
=; AD BC
3. （杭州一模）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF=∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG ⋅DF =DB ⋅EF ．
B
C
4．（安徽芜湖模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交AC 与E ，交BC 与D ．求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）BC =2AB·CE．
2
5. （1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：
DP PE
．
BQ QC
（2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；
2
②如图3，求证MN =DM·EN．
相似三角形的判定
知识点1．相似三角形的判定方法
①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． ∵ ∠A =∠ A '⎫ ∠ B = ∠ B '⎬ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′
⎭
（简记为：两个角对应相等，三角形相似）
②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似． ∵ AB AC ⎫
=
A ''C ' ⎪B ' A ⎬ ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′ ∠A =∠A '⎪⎭
③果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． ∵
AB AC BC
= = ∴ △ABC ∽△A ′B ′C ′
A 'B 'A 'C 'B 'C '
④平行于三角形的一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ∵DE ∥BC ∴△ABC ∽△ADE
A
B
①
A
C D
②
E
B
C
③
知识点2．相似三角形的基本图形
题型1
、证明三角形相似
1-1、如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 边上的一点，DM ⊥AB ，且DM=AC，过点M 作ME ∥BC 交AB 于点E ．求证：△ABC ∽△MED ．
1-2、如图, ⊿ABC 是等边三角形, 点D,E 分别在BC,AC 上, 且BD=CE,AD与BE 相交于点F.
(1)试说明⊿ABD ≌⊿BCE 。 (2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗? 说说你的理由。
题型2、证明含有分式的恒等式
2-1、如图，已知Rt △ABC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB 交AB 于D ，E 为BC 的中点，连ED 并延长交CA 的延长线于
F ，求证：
AF AC
= DF BC
2-2、如图，AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F. 则
吗？说说你的理由。
题型3、证明含有乘积的恒等式
2-1、已知:如图,CE 是RtΔABC的斜边AB 上的高,BG ⊥AP 。
2
EB ; (2) AE·EB=ED·EP 求证:(1)CE=AE·
AF BE
=AD BD
2-2、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是劣弧AC 的中点，BD 交AC 于点E.
求证：AD =DE ⋅DB
2
C
2-3、如图，直线PM 切⊙O 于点M , 直线PO 交⊙O 于A 、B 两点，弦AC ∥PM , 连接OM 、BC . 求证：（1）△ABC ∽△POM ; (2)2OA 2=OP ·BC . B
M
O A
P
一、选择题（每题4分，共计40分）
1、从下面这些三角形中，选出相似的三角形．
2、在△ABC 中，AB=AC,∠A=36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，则构成的三个三角形中， 相似的是( )
A. △ABD ∽△BCD C. △ABC ∽△ABD
B. △ABC ∽△BDC D. 不存在
3、下列命题中，真命题是( )
A. 有一个角为30°的两个等腰三角形相似 B.邻边之比都等于2的两个平行四边形相似 C. 底角为40°的两个等腰梯形相似 D.有一个角为120°的两个等腰三角形相似 4、下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？
（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．
6．如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ） （A ）△ABE ∽△DGE （B ）△CGB ∽△DGE （C ）△BCF ∽△EAF （D ）△ACD ∽△GCF
（第6 题图） （第7题图） 7．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，在下列条件中：
（1）∠ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝∠ACB ， 一定使△ABC ∽△ACD 的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
8．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对
（第8题图） （第9题图） 9．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） （A ）1对 （B ）2对 （C ）3对 （D ）4对
10．在等腰△ABC 和等腰△DEF 中，∠A 与∠D 是顶角，下列判断正确的是（ ） ①∠A=∠D 时，两三角形相似；②∠A=∠E 时，两三角形相似； ③
=
时，两三角形相似；④∠B=∠E 时，两三角形相似．
二、填空题（每题4分，共计20分） 1．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，有下列条件：①
=
，②=
，③∠A=∠A 1，④∠B=∠B 1，⑤∠C=∠C 1，
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的有哪些组合
2. 如图，D ，E 分别是AB ，AC
上的点，在下列条件中： （1）∠AED=∠B ； （2）
； （3）
，
其中能判定△ADE 与△ACB 相似的有
3. 如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，正确的有 （1）∠ABD=∠C （2）∠ADB=∠ABC （3）
AB CB AD AB
== （4）BD CD AB AC
4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC = OB ∶OD ，则有哪些三角形相识？
三、解答题（每题8分，共40分）
1. 如图，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ∶CA ＝4∶3，点P 在半圆弧AB 上运动(不与A 、B 重合) ，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点。 求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；
D
2. 如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M. 求证：
AM HG
=; AD BC
3. （杭州一模）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF=∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG ⋅DF =DB ⋅EF ．
B
C
4．（安徽芜湖模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交AC 与E ，交BC 与D ．求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）BC =2AB·CE．
2
5. （1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：
DP PE
．
BQ QC
（2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；
2
②如图3，求证MN =DM·EN．