１．二次函数
一．填空题：
112
1． 在区间, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，
2x 1
那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．
2
⎧x +bx +c x ≤0
2．设函数f (x ) = ⎨，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x
⎩2 x >0
2
的解的个数为 3(-2,-1,2) ．
3．函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是 b>0 ．
4． 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得
f (c ) >0，则实数p 的取值范围是．
x 2，并且0
是 ．
6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ．
9．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，∆ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．
10． 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b = ． 11． 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最
大值为 ．
12．设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]， 不等式f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．
⎧x 2 (|x |≥1)
13．设f (x ) =⎨, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，+∞)，则g (x ) 的值
⎩x (|x |
．函数f (x ) =二、解答题：
2
4
2
22
2
b
的取值范围a
．
13
15．已知函数f (x )=x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．
22
16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．
17．已知f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象过点(-1，0) ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式
x 2+1
对一切实数x 都成立． x ≤f (x ) ≤2
2
18．已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围．
c 2
, 其中a 为实数． 19．设函数f (x )=2
x +ax +a
(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围；
(Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间．
20．已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x )=0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x ) 的导数；设a 1=1，
a n +1=a n -
f (a n )
（n =1,2,„„） f '(a n )
（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln
a n -β
（n =1,2,„„），求数列{b n }的前n 项和S n ． a n -α
1．二次函数答案
一、填空题：
112
1. 在区间[, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，
2x
1
那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．
2
⎧x +bx +c x ≤0
2. 设函数f (x ) = ⎨，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x
⎩2 x >0
2
的解的个数为 3 .
3. 函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是 b ≥0 .
4. 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得
f (c ) >0，则实数p 的取值范围是x 2，并且0
围是(-∞, -2].
6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(-∞, -1] [2,+∞) . 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ③ .
2
4
2
22
2
b
的取值范 a
9. 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，∆ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式
y =2(x -2) 2-18或y =-2(x -2) 2-18.
10. 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b =11. 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最
大值为 4 .
12. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x ，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式
2
f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t
的取值范围是+∞) .
⎧x 2 (|x |≥1)
13. 设f (x ) =⎨, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，+∞)，则g (x ) 的值域
⎩x (|x |
是[0,+∞) ；
14.
函数f (x ) =
二、解答题：
13
15．已知函数f (x ) =x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．
22
思路点拨:此题为动轴定区间问题, 需对对称轴进行讨论.
13
解:f (x ) =(x +m ) 2-m -
22
133
当-m ≤0即m ≥0时, f (0)≥0⇒m 2-m -≥0∴m ≥;
222
13
当-m >0即m 0∴m
223
综上得:m
2
点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况, 尤其是端点处的数值不可忽视. 最后结果要取并集.
变式训练:
已知f (x ) =a cos 2x sin x cos x +1(a ∈R ) , 当x ∈[0,] 时, f (x ) 的最小值为-2, 求
2
a 的值. 解: f (x ) =a sin(π-2x ) +a +1，π-2x ∈[-5π, π],sin(π-2x ) ∈[-1, 1].
6666262
当a >0时，f (x ) min =-a +当a
π
a
+1=-2, ∴a =6． 2
a a
++1=-2, ∴a =-3． 22
2
16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ， （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．
思路点拨:去绝对值, 将问题转化成研究分段函数的性质. 解:(1)当a =0时, f (x ) =x 2+x +1, 函数f (x ) 为偶函数;
当a ≠0时, f (a ) =a 2+1, f (-a ) =a 2+2a +1, f (x ) ≠f (-a ) ， 此时函数f (x ) 为非奇非偶函数;
123⎧(x +) +-a (x ≥a )
⎧⎪x +x -a +1(x ≥a ) ⎪⎪224(2)f (x ) =x +x -a +1=⎨2 =⎨
13⎪⎩x -x +a +1(x ≤a ) ⎪(x -) 2++a (x ≤a ) ⎪24⎩
13
当a ≥时, (x 2+x -a +1) min =a 2+1,(x 2-x +a +1) min =+a ,
24
3
此时, f min (x ) =+a ;
4
11
当-
2213
当a ≤-时, f min (x ) =-a .
24
点评:把握每段函数, 同时综观函数整体特点, 是解决本题的关键.
2
17. 已知f (x ) =ax 2+bx +c ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式(a ≠0) 的图象过点（-1，0）
x 2+1
对一切实数x 都成立. x ≤f (x ) ≤2
思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解:当x =1时，1≤f (x ) ≤1∴f (1)=1, a +b +c =1, 又f (-1) =0⇒a -b +c =0可得b =a +c =
1
；由f (x ) ≥x 对一切实数X 都成立， 2
⎧a >0
⎧a >0⎪1
则ax +(b -1) x +c ≥0⇒ax -x +c ≥0⇒⎨⇒⎨1
∆≤02ac ≥⎩⎪16⎩
2
2
a +c 2111
) =，∴ac =, 此时a =c =. 21616411x 2+1
综上可得, 存在a =c =, b =, 使得不等式x ≤f (x )≤对一切实数X 都成立.
422
于是c >0, 又ac ≤(
11x 2+1
点评: 挖掘不等式x ≤f (x ) ≤中隐含的特殊值, 得到1≤f (x ) ≤1以及≤ac ≤是解题关
16162
键.
ax 2+1
变式训练：设函数f (x ) =是奇函数（a , b , c 都是整数）且f (1)=2, f (2)
bx +c
（1）求a , b , c 的值；（2）当x
18. 已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1, 1]上有零点，求a
的取值范围.
解析1：函数y =f (x ) 在区间[-1，1]上有零点，即方程f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 方程f (x )=0在[-1，1]上有解f (-1) ⋅f (1)≤0或 ⎧af (-1) ≥0⎪af (1)≥0⎪⎪
或a ≥
5⇔a ≤或a ≥1. ⎨∆=4+8a (3+a ) ≥0⇔1≤a ≤
5或a ≤
⎪
⎪-1∈[-1.1]⎪⎩a
所以实数a
的取值范围是a ≤或a ≥1.
点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 又
12x 2-1
∴f (x ) =2ax +2x -3-a =0在[-1，1]上有解，1]上有解⇔=⇔(2x -1) a =3-2x 在[-1，
a 3-2x
2
2
2x 2-1
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y =[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x ∈[-1，1]，
3-2x 1(t -3) 2-217
则2x =3-t ，t ∈[1,5],y =⋅=(t +-6) ，
2t 2t
7t 2-7
设g (t ) =t +. g '(t ) =
2，t ∈时，g '(t )
单调递减，t ∈时，g '(t ) >0,
t t
此函数g (t)单调递增，∴y
的取值范围是3,1]，∴f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有
解
1
∈3,1]⇔a ≥
1或a ≤a
12x 2-12x 2-1
点评: 将原题中的方程化成=的形式, 问题转化为求函数y =[-1，1]上的
3-2x a 3-2x
值域的问题, 是解析2的思路走向.
变式训练:设全集为R ，集合A ={y |y =sin(2x -
ππ
),
≤x ≤，集合B ={a ∈R |关于x 的方程
642
π
x 2+ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求( R A ) ∩( R B ) ．
解：由
5π1π
, ∴≤sin(2x -) ≤1，
42236626
11
即 A ={y |≤y ≤1}, ∴ R A ={y |y 1}．
22
≤x ≤
得
≤2x ≤π,
≤2x -
≤
又关于x 的方程 x +ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数f (x ) =x +ax +1，则满足
2
πππππ
2
⎧f (0)>0,
⎧2+a
，∴-
2⎪f (2)>0, ⎩5+2a >0
⎩
∴ ∴(
R
B ={a |a ≤-
R
5
或a ≥-2} 2
R
A ) ∩(
15
B ) ={x |-2≤x 1或x ≤-．
22
c 2
, 其中a 为实数. 19. 设函数f (x )=2
x +ax +a
(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围； (Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间.
解：（1）由题意知，x +ax +a ≠0恒成立，∴∆2
x (x +a -2) e x （2）f '(x ) =2，令f '(x ) ≤0得x (x +a -2) ≤0；由f '(x ) =0得x =0或 2
(x +ax +a )
x =2-a 又 0
当a =2时，f '(x ) ≥0；当2
当2
1
变式训练：已知函数f (x ) =() x , x ∈[-1,1]，函数g (x ) =f 2(x ) -2af (x ) +3的最小值为h (a ) .
3（Ⅰ）求h (a ) ；（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a ) 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．
11解：（Ⅰ）∵x ∈[-1,1],∴() x ∈[,3].
33
设t =() x , t ∈[, 3]，则φ(t ) =t 2-2at +3=(t -a ) 2+3-a 2 当a
1313
11282a 时，y min =h (a ) =φ() =； -3393
1
≤a ≤3时，y min =h (a ) =φ(a ) =3-a 2； 3
当a >3时，y m in =h (a ) =φ(3) =12-6a .
⎧282a ⎪9-3⎪⎪
∴h (a ) =⎨3-a 2
⎪
⎪12-6a ⎪⎩
1(a
31
(≤a ≤3) 3
(a >3)
（Ⅱ）∵m >n >3， ∴h (a ) =12-6a 在(3,+∞) 上是减函数. ∵h (a ) 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，
2
⎧⎪12-6m =n , ∴⎨ 可得6(m -n ) =(m -n )(m +n ), 2
⎪⎩12-6n =m .
∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．
20. 已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x ) =0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x)的导数；设a 1=1，
a n +1=a n -
f (a n )
（n =1,2,„„） f '(a n )
（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln
a n -β
（n=1,2,„„），求数列{b n }的前n 项和S n .
a n -α
-1+-1. β=
22
2
思路点拨:本题考察数列的综合知识, 将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度. 解：（1）由求根公式，及α>
β得方程两根为α=
(2)要证a n >α, 需证a n -α>0. f '(x ) =2x +1
2a n +1
下面用数学归纳法证明:
f (a n ) a +a n -1a n +1
∴a n +1=a n -=a n -n =.
f '(a n ) 2a n +12a n +1
a n 2-2a n α+1-αa n 2-2a n α+α2-(α2+α-1) (a n -α) 2
a n +1-α===.
2a n +1
2a n +1
2
①当n =1时
, a n -α=1-α=
>0, 命题成立； ②假设n =k (k ≥1) 时命题成立, 即a k -α>0, a k >α>0．
(a k -α) 2
>0, 命题成立. 则当n =k +1时, a k +1-α=
2a k +1
根据数学归纳法可知, 对任意的正整数都有a n >α成立.
a n +1-β(a n -β) 21-β(3)由已知和
(2),b 1=ln , b n +1=ln =ln =2b n
=a n +1-α(a n -α) 21-α所以S n =(2n +2-. 点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即
将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高. 补充:函数y =x +
a
(a 是常数, 且a >0) 有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0, a ]上 x
是减函数，在[a , +∞) 上是增函数.
2b
（1）如果函数y =x +（x >0）的值域是[6, +∞) ，求b 的值；
x
（2）判断函数y =x 2+ （3）对函数y =x +
c
（常数c >0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明； x 2
a c
和y =x 2+2（常数c >0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特x x
例. 判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.
2b ≥6, 即b =log 29 解:（1
）因为x >0, 所以y =x +x （2）设f (x ) =x 2+
c
, 因为x ∈(-∞, 0) ⋃(0, +∞) x 2
c
为偶函数. 2x
c c c 222
-x -=(x -x )(1-). 12122x 2x 12x 12x 2
f (-x ) =(-x ) 2+
c c 2
=x +=f (x ), (-x ) 2x 2
故函数f (x ) =x 2+
2
设0
c ≤x 1f (x 1),
c
函数f (x ) =x 2+2在[-c , +∞) 上是增函数；
x
当0
f (x ) 则为减函数，设x 1
c 2
则-x 1>-x 2≥, 因f (x ) =x +2是偶函数，
x
所以f (x 1) -f (x 2) =f (-x 1) -f (-x 2) >0,
c
在(-∞, -]上是减函数， 2x
c
同理可证，函数f (x ) =x 2+2在[-c , 0) 上是增函数.
x
a n
（3）可以推广为研究函数y =x +n (常数a >0, n 是正整数) 的单调性.
x
所以函数f (x ) =x 2+
当n 是奇数时，函数y =x n +a 在[a , +∞) 和(-∞, -a ]上是增函数， n x
a 22在[a , +∞) 和[-a , 0) 上是增函数， n x 在(0, 2n a ]和[-2n a , 0) 上是减函数； 当n 是偶数时，函数y =x n +
在(0, 2a ]和[-∞, -a ) 上是减函数．
１．二次函数
一．填空题：
112
1． 在区间, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，
2x 1
那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．
2
⎧x +bx +c x ≤0
2．设函数f (x ) = ⎨，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x
⎩2 x >0
2
的解的个数为 3(-2,-1,2) ．
3．函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是 b>0 ．
4． 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得
f (c ) >0，则实数p 的取值范围是．
x 2，并且0
是 ．
6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ．
9．已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，∆ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．
10． 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b = ． 11． 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最
大值为 ．
12．设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]， 不等式f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．
⎧x 2 (|x |≥1)
13．设f (x ) =⎨, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，+∞)，则g (x ) 的值
⎩x (|x |
．函数f (x ) =二、解答题：
2
4
2
22
2
b
的取值范围a
．
13
15．已知函数f (x )=x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．
22
16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．
17．已知f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象过点(-1，0) ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式
x 2+1
对一切实数x 都成立． x ≤f (x ) ≤2
2
18．已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1,1]上有零点，求a 的取值范围．
c 2
, 其中a 为实数． 19．设函数f (x )=2
x +ax +a
(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围；
(Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间．
20．已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x )=0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x ) 的导数；设a 1=1，
a n +1=a n -
f (a n )
（n =1,2,„„） f '(a n )
（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln
a n -β
（n =1,2,„„），求数列{b n }的前n 项和S n ． a n -α
1．二次函数答案
一、填空题：
112
1. 在区间[, 2]上，函数f (x ) = x -px +q 与g (x ) = 2x + 2在同一点取得相同的最小值，
2x
1
那么f (x ) 在[ ,2]上的最大值是 4 ．
2
⎧x +bx +c x ≤0
2. 设函数f (x ) = ⎨，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x
⎩2 x >0
2
的解的个数为 3 .
3. 函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件的是 b ≥0 .
4. 对于二次函数f (x ) =4x 2-2(p -2) x -2p 2-p +1，若在区间[-1,1]内至少存在一个数c 使得
f (c ) >0，则实数p 的取值范围是x 2，并且0
围是(-∞, -2].
6．若函数f (x ) = x +(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x +2x +a -a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(-∞, -1] [2,+∞) . 8．已知函数f (x ) =|x -2ax +b | (x ∈R ) ，给出下列命题：①f (x ) 必是偶函数；②当f (0) = f (2) 时，f (x ) 的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x ) 在区间[a , +∞) 上是增函数；④f (x ) 有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ③ .
2
4
2
22
2
b
的取值范 a
9. 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c ，满足条件f (2+x ) =f (2-x ) ，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(-1,0) ，∆ABC 的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式
y =2(x -2) 2-18或y =-2(x -2) 2-18.
10. 已知a 、b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24，则5a -b =11. 已知函数f (x ) =x 2+2x +1, 若存在实数t ，当x ∈[1, m ]时，f (x +t ) ≤x 恒成立，则实数m 的最
大值为 4 .
12. 设f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x ) =x ，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式
2
f (x +t ) ≥2f (x ) 恒成立，则实数t
的取值范围是+∞) .
⎧x 2 (|x |≥1)
13. 设f (x ) =⎨, g (x ) 是二次函数，若f (g (x )) 的值域是[0，+∞)，则g (x ) 的值域
⎩x (|x |
是[0,+∞) ；
14.
函数f (x ) =
二、解答题：
13
15．已知函数f (x ) =x 2+2mx +m 2-m -，当x ∈(0,+∞) 时，恒有f (x ) >0，求m 的取值范围．
22
思路点拨:此题为动轴定区间问题, 需对对称轴进行讨论.
13
解:f (x ) =(x +m ) 2-m -
22
133
当-m ≤0即m ≥0时, f (0)≥0⇒m 2-m -≥0∴m ≥;
222
13
当-m >0即m 0∴m
223
综上得:m
2
点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况, 尤其是端点处的数值不可忽视. 最后结果要取并集.
变式训练:
已知f (x ) =a cos 2x sin x cos x +1(a ∈R ) , 当x ∈[0,] 时, f (x ) 的最小值为-2, 求
2
a 的值. 解: f (x ) =a sin(π-2x ) +a +1，π-2x ∈[-5π, π],sin(π-2x ) ∈[-1, 1].
6666262
当a >0时，f (x ) min =-a +当a
π
a
+1=-2, ∴a =6． 2
a a
++1=-2, ∴a =-3． 22
2
16．设a 为实数，函数f (x ) = x +|x -a |+1，x ∈R ， （1）讨论函数f (x ) 的奇偶性； （2）求函数f (x ) 的最小值．
思路点拨:去绝对值, 将问题转化成研究分段函数的性质. 解:(1)当a =0时, f (x ) =x 2+x +1, 函数f (x ) 为偶函数;
当a ≠0时, f (a ) =a 2+1, f (-a ) =a 2+2a +1, f (x ) ≠f (-a ) ， 此时函数f (x ) 为非奇非偶函数;
123⎧(x +) +-a (x ≥a )
⎧⎪x +x -a +1(x ≥a ) ⎪⎪224(2)f (x ) =x +x -a +1=⎨2 =⎨
13⎪⎩x -x +a +1(x ≤a ) ⎪(x -) 2++a (x ≤a ) ⎪24⎩
13
当a ≥时, (x 2+x -a +1) min =a 2+1,(x 2-x +a +1) min =+a ,
24
3
此时, f min (x ) =+a ;
4
11
当-
2213
当a ≤-时, f min (x ) =-a .
24
点评:把握每段函数, 同时综观函数整体特点, 是解决本题的关键.
2
17. 已知f (x ) =ax 2+bx +c ，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式(a ≠0) 的图象过点（-1，0）
x 2+1
对一切实数x 都成立. x ≤f (x ) ≤2
思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解:当x =1时，1≤f (x ) ≤1∴f (1)=1, a +b +c =1, 又f (-1) =0⇒a -b +c =0可得b =a +c =
1
；由f (x ) ≥x 对一切实数X 都成立， 2
⎧a >0
⎧a >0⎪1
则ax +(b -1) x +c ≥0⇒ax -x +c ≥0⇒⎨⇒⎨1
∆≤02ac ≥⎩⎪16⎩
2
2
a +c 2111
) =，∴ac =, 此时a =c =. 21616411x 2+1
综上可得, 存在a =c =, b =, 使得不等式x ≤f (x )≤对一切实数X 都成立.
422
于是c >0, 又ac ≤(
11x 2+1
点评: 挖掘不等式x ≤f (x ) ≤中隐含的特殊值, 得到1≤f (x ) ≤1以及≤ac ≤是解题关
16162
键.
ax 2+1
变式训练：设函数f (x ) =是奇函数（a , b , c 都是整数）且f (1)=2, f (2)
bx +c
（1）求a , b , c 的值；（2）当x
18. 已知a 是实数，函数f (x ) =2ax 2+2x -3-a ，如果函数y =f (x ) 在区间[-1, 1]上有零点，求a
的取值范围.
解析1：函数y =f (x ) 在区间[-1，1]上有零点，即方程f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 方程f (x )=0在[-1，1]上有解f (-1) ⋅f (1)≤0或 ⎧af (-1) ≥0⎪af (1)≥0⎪⎪
或a ≥
5⇔a ≤或a ≥1. ⎨∆=4+8a (3+a ) ≥0⇔1≤a ≤
5或a ≤
⎪
⎪-1∈[-1.1]⎪⎩a
所以实数a
的取值范围是a ≤或a ≥1.
点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0, 又
12x 2-1
∴f (x ) =2ax +2x -3-a =0在[-1，1]上有解，1]上有解⇔=⇔(2x -1) a =3-2x 在[-1，
a 3-2x
2
2
2x 2-1
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y =[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x ∈[-1，1]，
3-2x 1(t -3) 2-217
则2x =3-t ，t ∈[1,5],y =⋅=(t +-6) ，
2t 2t
7t 2-7
设g (t ) =t +. g '(t ) =
2，t ∈时，g '(t )
单调递减，t ∈时，g '(t ) >0,
t t
此函数g (t)单调递增，∴y
的取值范围是3,1]，∴f (x ) =2ax 2+2x -3-a =0在[-1，1]上有
解
1
∈3,1]⇔a ≥
1或a ≤a
12x 2-12x 2-1
点评: 将原题中的方程化成=的形式, 问题转化为求函数y =[-1，1]上的
3-2x a 3-2x
值域的问题, 是解析2的思路走向.
变式训练:设全集为R ，集合A ={y |y =sin(2x -
ππ
),
≤x ≤，集合B ={a ∈R |关于x 的方程
642
π
x 2+ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求( R A ) ∩( R B ) ．
解：由
5π1π
, ∴≤sin(2x -) ≤1，
42236626
11
即 A ={y |≤y ≤1}, ∴ R A ={y |y 1}．
22
≤x ≤
得
≤2x ≤π,
≤2x -
≤
又关于x 的方程 x +ax +1=0的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数f (x ) =x +ax +1，则满足
2
πππππ
2
⎧f (0)>0,
⎧2+a
，∴-
2⎪f (2)>0, ⎩5+2a >0
⎩
∴ ∴(
R
B ={a |a ≤-
R
5
或a ≥-2} 2
R
A ) ∩(
15
B ) ={x |-2≤x 1或x ≤-．
22
c 2
, 其中a 为实数. 19. 设函数f (x )=2
x +ax +a
(Ⅰ) 若f (x ) 的定义域为R , 求a 的取值范围； (Ⅱ) 当f (x ) 的定义域为R 时，求f (x ) 的单减区间.
解：（1）由题意知，x +ax +a ≠0恒成立，∴∆2
x (x +a -2) e x （2）f '(x ) =2，令f '(x ) ≤0得x (x +a -2) ≤0；由f '(x ) =0得x =0或 2
(x +ax +a )
x =2-a 又 0
当a =2时，f '(x ) ≥0；当2
当2
1
变式训练：已知函数f (x ) =() x , x ∈[-1,1]，函数g (x ) =f 2(x ) -2af (x ) +3的最小值为h (a ) .
3（Ⅰ）求h (a ) ；（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当h (a ) 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．
11解：（Ⅰ）∵x ∈[-1,1],∴() x ∈[,3].
33
设t =() x , t ∈[, 3]，则φ(t ) =t 2-2at +3=(t -a ) 2+3-a 2 当a
1313
11282a 时，y min =h (a ) =φ() =； -3393
1
≤a ≤3时，y min =h (a ) =φ(a ) =3-a 2； 3
当a >3时，y m in =h (a ) =φ(3) =12-6a .
⎧282a ⎪9-3⎪⎪
∴h (a ) =⎨3-a 2
⎪
⎪12-6a ⎪⎩
1(a
31
(≤a ≤3) 3
(a >3)
（Ⅱ）∵m >n >3， ∴h (a ) =12-6a 在(3,+∞) 上是减函数. ∵h (a ) 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，
2
⎧⎪12-6m =n , ∴⎨ 可得6(m -n ) =(m -n )(m +n ), 2
⎪⎩12-6n =m .
∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．
20. 已知函数f (x ) =x 2+x -1，α, β是方程f (x ) =0的两个根(α>β) ，f '(x ) 是f (x)的导数；设a 1=1，
a n +1=a n -
f (a n )
（n =1,2,„„） f '(a n )
（1）求α, β的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有a n >α； （3）记b n =ln
a n -β
（n=1,2,„„），求数列{b n }的前n 项和S n .
a n -α
-1+-1. β=
22
2
思路点拨:本题考察数列的综合知识, 将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度. 解：（1）由求根公式，及α>
β得方程两根为α=
(2)要证a n >α, 需证a n -α>0. f '(x ) =2x +1
2a n +1
下面用数学归纳法证明:
f (a n ) a +a n -1a n +1
∴a n +1=a n -=a n -n =.
f '(a n ) 2a n +12a n +1
a n 2-2a n α+1-αa n 2-2a n α+α2-(α2+α-1) (a n -α) 2
a n +1-α===.
2a n +1
2a n +1
2
①当n =1时
, a n -α=1-α=
>0, 命题成立； ②假设n =k (k ≥1) 时命题成立, 即a k -α>0, a k >α>0．
(a k -α) 2
>0, 命题成立. 则当n =k +1时, a k +1-α=
2a k +1
根据数学归纳法可知, 对任意的正整数都有a n >α成立.
a n +1-β(a n -β) 21-β(3)由已知和
(2),b 1=ln , b n +1=ln =ln =2b n
=a n +1-α(a n -α) 21-α所以S n =(2n +2-. 点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即
将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高. 补充:函数y =x +
a
(a 是常数, 且a >0) 有如下性质：①函数是奇函数；②函数在(0, a ]上 x
是减函数，在[a , +∞) 上是增函数.
2b
（1）如果函数y =x +（x >0）的值域是[6, +∞) ，求b 的值；
x
（2）判断函数y =x 2+ （3）对函数y =x +
c
（常数c >0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明； x 2
a c
和y =x 2+2（常数c >0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特x x
例. 判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.
2b ≥6, 即b =log 29 解:（1
）因为x >0, 所以y =x +x （2）设f (x ) =x 2+
c
, 因为x ∈(-∞, 0) ⋃(0, +∞) x 2
c
为偶函数. 2x
c c c 222
-x -=(x -x )(1-). 12122x 2x 12x 12x 2
f (-x ) =(-x ) 2+
c c 2
=x +=f (x ), (-x ) 2x 2
故函数f (x ) =x 2+
2
设0
c ≤x 1f (x 1),
c
函数f (x ) =x 2+2在[-c , +∞) 上是增函数；
x
当0
f (x ) 则为减函数，设x 1
c 2
则-x 1>-x 2≥, 因f (x ) =x +2是偶函数，
x
所以f (x 1) -f (x 2) =f (-x 1) -f (-x 2) >0,
c
在(-∞, -]上是减函数， 2x
c
同理可证，函数f (x ) =x 2+2在[-c , 0) 上是增函数.
x
a n
（3）可以推广为研究函数y =x +n (常数a >0, n 是正整数) 的单调性.
x
所以函数f (x ) =x 2+
当n 是奇数时，函数y =x n +a 在[a , +∞) 和(-∞, -a ]上是增函数， n x
a 22在[a , +∞) 和[-a , 0) 上是增函数， n x 在(0, 2n a ]和[-2n a , 0) 上是减函数； 当n 是偶数时，函数y =x n +
在(0, 2a ]和[-∞, -a ) 上是减函数．