微分算子法小结
一、n阶微分方程 1、二阶微分方程：
dydx
22
+p(x)
dy dx
+q(x)y=f(x)
2、n阶微分方程： y+a1y二、微分算子法 1、定义符号：
ddx=D
(n)(n-1)
+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x)
，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x
1D
求导n次；表示积分，如x=
D
1
12
x2 ,
1D
n
x表示
对x 积分n次，不要常数。 2、计算
将n阶微分方程改写成下式：
Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ ... +an-1Dy+any=f(x) 即 （Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an）y=f(x) 记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an
规定特解：
y=F(D)
*
1
f(x)
3、
1
F(D)
的性质
1F(D)
(1)性质一：
e=F(k)e (F(k) 不等于0）
kx
m
kx
1
kx
注：若k为特征方程的m重根时，有
1
F(D)
e= x
1F
(m)
(D)
e= xF
m
kx
1
(m)
(k)
e
kx
1
(2)性质二：
1F(D)
ev(x)= e
1
kx
kx1F(D+k)
v(x)
(3)性质三：特解形如F(D)sin(ax)和 F(D)cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：
F(D)
作为原方程的特解 注：欧拉公式 e
2
1
1
e
iax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部
iax
= cos(ax)+isin(ax)
1
虚数 i= -1
ii.若特解形如F(D 2)sin(ax)和F(D 2)cos(ax)，也
可按以下方法考虑： 若F(-a2)≠ 0，则
1F(D)
2
1
sin(ax)=F(-a)sin(ax)
2
1
F(D)cos(ax)=F(-a)cos(ax)
2
1
1
2
若F(-a2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2)
的m重根，则
1F(D)1
2
sin(ax)=xcos(ax)=x
m
1F
(m)
(D)
2
sin(ax)
F(D
m
(m)
1F(D )
2
2
)
cos(ax)
2
(4)性质四（多项式）：
1F(D)
（x+b1x+b2x+...+bp-1x+bp）
p
p-1
p-2
pp-1p-2
= Q(D)（x+b1x+b2x+...+bp-1x+bp） 注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。
(5)性质五（分解因式）:
1F(D)
f(x)
=F(D)•F(D)
1
2
1
f(x)
=F
1(D)•F1(D)
f(x)
2
(6)性质六:
三、例题练习
例1.
2
1F(D)
(f1(x)+f2(x))
=F(D)
1
f1(x)+
1F(D)
f2(x)
dydx
2
2
+4y=e
x
x
则(D+4)y=e
,特解y=
*
1D
2
e=
1+4
x
1
2
e=5e(性质一)+4
cos(3x）
x
1
x
例2、 y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y= 2cos(3x） 特解y
*
=
1D+1
1
4
2cos(3x）= 2cos(3x）=
1D+1
141
4
= 2
(-3)+1
22
cos(3x）(性质三)
3
例3、
dydx
2
2
-4 dx
*
dy
+4y= xe
2
2x
,则(D-4D+4)y= xe
2
2
2x
特解y
=
1D-4D+4
2
xe
22
2x
= e
4
2x
1
2
（D+2-2）
x2
= e例4、
dydx
33
2x1D
2
x =
x
112
xe （性质二）
3
2
2x
-3 dx
2
dy
2
+3
dy dx
- y=e ,则(D-3D+3D-1)y=e
3
x
特解y
*
=
1
x1
（D-1）
3
e=e（D+1-1）
3
x
x
1
•
1
=e例5、
dydx
33
•
D
1=
3
16
xe
3
x
(性质二）
1D-1
3
-y=sinx ,则(D-1)y=sinx ,特解y*=
1D
3
sinx
考察
e-1
ix
1D
3
e=-1
=
ix
1i
3
e=-1
ix
-
e=i+1
1
ix
i-12
e
ix
i-121
(cosx+isinx) (cosx+sinx)+i
1
12
=-2
*
(cosxsinx)
-
取虚部为特解y
=2(cosx-sinx) (性质一、三)
4
例6、
dydx
2
2
+y=cosx ，则(D+1)y=cosx ，特解y
2
*
=
1D+1
2
cosx
考察
1D
2
e+1
ix
1D
2
e=+1
ix
1(D-i)(D +i)
1
ix
e=(D-i)(D+i)e
ix
ix
1
ix
1
=(D-i)•2ie=e
i2
2i•(D+i-i)1
•
=- 取实部为特解y 例7、
dydx
44
xe
12
4
ix
=2xsinx-i2xcosx
11
*
=
xsinx (性质一、二、三）
x
-y=e ，则(D-1)y= e
*
x
特解y=
1D
4
e=(D-1)(D+1)(D-1
1
2
x
1
2
e+1)
x
=
(D-1)(1+1)(1+1)
e
x
=
1D-1
•
x
11
•221D+1-1
e=D-14e
•
x
1
1
x
=4e
2
1
1=
14
xe （性质一、二、五）
x
例8、
d
2
y
2
dx
+y=x
*
-x+2 , 则(D2+1)y= x2-x+2
1
2
特解y=
D+1
(x
2
-x+2)
2
=(1-D2)(x-x+2)=x-x (性质四)
5
2
例6、
dydx
2
2
+y=cosx ，则(D+1)y=cosx ，特解y
2
*
=
1D+1
2
cosx
考察
1D
2
e+1
ix
1D
2
e=+1
ix
1(D-i)(D +i)
1
ix
e=(D-i)(D+i)e
ix
ix
1
ix
1
=(D-i)•2ie=e
i2
2i•(D+i-i)1
•
=- 取实部为特解y 例7、
dydx
44
xe
12
4
ix
=2xsinx-i2xcosx
11
*
=
xsinx (性质一、二、三）
x
-y=e ，则(D-1)y= e
*
x
特解y=
1D
4
e=(D-1)(D+1)(D-1
1
2
x
1
2
e+1)
x
=
(D-1)(1+1)(1+1)
e
x
=
1D-1
•
x
11
•221D+1-1
e=D-14e
•
x
1
1
x
=4e
2
1
1=
14
xe （性质一、二、五）
x
例8、
d
2
y
2
dx
+y=x
*
-x+2 , 则(D2+1)y= x2-x+2
1
2
特解y=
D+1
(x
2
-x+2)
2
=(1-D2)(x-x+2)=x-x (性质四)
5
2
例9、
dydx
22
+2
dy dx
*
+2y=x
1
2-x
e ,则(D+2D+2)y=xe
2
2-x
特解y
=(D+1)2+1xe
-x
2-x
=e
-x
2 x 2
(D-1+1)+1
2
1
=e
1D+1
2
x=e
2
-x
(1-D)x
2
=e(x2-2)
-x
（性质二、四）
例10、
dydx
22
+y=xcosx ，则(D2+1)y=xcosx ，
*
特解y=
1D+1
2
xcosx ，考察
1
ix
1D+1
2
xe
ix
1
D
1
2
+1
xe
ix
=(D-i)(D+i)xe=e
ix
ix
(D+i-i)(D+i+i)
x
=e
1D(D+2i)
x=e
ix1
D2i
ixx
2
(
1
+
D4
)x
=e = =
ix1
+)x D2i4(
x1
=e
x
2
(
+x)x 4i4
1
(cosx+isinx)(
14
2
1
+x)x 4i4
(xcosx+xsinx)+i
*
14
(xsinx-x2cosx)
取实部为特解y=
14
(xcosx+x2sinx) (性质二、三、四）
6
微分算子法小结
一、n阶微分方程 1、二阶微分方程：
dydx
22
+p(x)
dy dx
+q(x)y=f(x)
2、n阶微分方程： y+a1y二、微分算子法 1、定义符号：
ddx=D
(n)(n-1)
+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x)
，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x
1D
求导n次；表示积分，如x=
D
1
12
x2 ,
1D
n
x表示
对x 积分n次，不要常数。 2、计算
将n阶微分方程改写成下式：
Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ ... +an-1Dy+any=f(x) 即 （Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an）y=f(x) 记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an
规定特解：
y=F(D)
*
1
f(x)
3、
1
F(D)
的性质
1F(D)
(1)性质一：
e=F(k)e (F(k) 不等于0）
kx
m
kx
1
kx
注：若k为特征方程的m重根时，有
1
F(D)
e= x
1F
(m)
(D)
e= xF
m
kx
1
(m)
(k)
e
kx
1
(2)性质二：
1F(D)
ev(x)= e
1
kx
kx1F(D+k)
v(x)
(3)性质三：特解形如F(D)sin(ax)和 F(D)cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：
F(D)
作为原方程的特解 注：欧拉公式 e
2
1
1
e
iax
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部
iax
= cos(ax)+isin(ax)
1
虚数 i= -1
ii.若特解形如F(D 2)sin(ax)和F(D 2)cos(ax)，也
可按以下方法考虑： 若F(-a2)≠ 0，则
1F(D)
2
1
sin(ax)=F(-a)sin(ax)
2
1
F(D)cos(ax)=F(-a)cos(ax)
2
1
1
2
若F(-a2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2)
的m重根，则
1F(D)1
2
sin(ax)=xcos(ax)=x
m
1F
(m)
(D)
2
sin(ax)
F(D
m
(m)
1F(D )
2
2
)
cos(ax)
2
(4)性质四（多项式）：
1F(D)
（x+b1x+b2x+...+bp-1x+bp）
p
p-1
p-2
pp-1p-2
= Q(D)（x+b1x+b2x+...+bp-1x+bp） 注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。
(5)性质五（分解因式）:
1F(D)
f(x)
=F(D)•F(D)
1
2
1
f(x)
=F
1(D)•F1(D)
f(x)
2
(6)性质六:
三、例题练习
例1.
2
1F(D)
(f1(x)+f2(x))
=F(D)
1
f1(x)+
1F(D)
f2(x)
dydx
2
2
+4y=e
x
x
则(D+4)y=e
,特解y=
*
1D
2
e=
1+4
x
1
2
e=5e(性质一)+4
cos(3x）
x
1
x
例2、 y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y= 2cos(3x） 特解y
*
=
1D+1
1
4
2cos(3x）= 2cos(3x）=
1D+1
141
4
= 2
(-3)+1
22
cos(3x）(性质三)
3
例3、
dydx
2
2
-4 dx
*
dy
+4y= xe
2
2x
,则(D-4D+4)y= xe
2
2
2x
特解y
=
1D-4D+4
2
xe
22
2x
= e
4
2x
1
2
（D+2-2）
x2
= e例4、
dydx
33
2x1D
2
x =
x
112
xe （性质二）
3
2
2x
-3 dx
2
dy
2
+3
dy dx
- y=e ,则(D-3D+3D-1)y=e
3
x
特解y
*
=
1
x1
（D-1）
3
e=e（D+1-1）
3
x
x
1
•
1
=e例5、
dydx
33
•
D
1=
3
16
xe
3
x
(性质二）
1D-1
3
-y=sinx ,则(D-1)y=sinx ,特解y*=
1D
3
sinx
考察
e-1
ix
1D
3
e=-1
=
ix
1i
3
e=-1
ix
-
e=i+1
1
ix
i-12
e
ix
i-121
(cosx+isinx) (cosx+sinx)+i
1
12
=-2
*
(cosxsinx)
-
取虚部为特解y
=2(cosx-sinx) (性质一、三)
4
例6、
dydx
2
2
+y=cosx ，则(D+1)y=cosx ，特解y
2
*
=
1D+1
2
cosx
考察
1D
2
e+1
ix
1D
2
e=+1
ix
1(D-i)(D +i)
1
ix
e=(D-i)(D+i)e
ix
ix
1
ix
1
=(D-i)•2ie=e
i2
2i•(D+i-i)1
•
=- 取实部为特解y 例7、
dydx
44
xe
12
4
ix
=2xsinx-i2xcosx
11
*
=
xsinx (性质一、二、三）
x
-y=e ，则(D-1)y= e
*
x
特解y=
1D
4
e=(D-1)(D+1)(D-1
1
2
x
1
2
e+1)
x
=
(D-1)(1+1)(1+1)
e
x
=
1D-1
•
x
11
•221D+1-1
e=D-14e
•
x
1
1
x
=4e
2
1
1=
14
xe （性质一、二、五）
x
例8、
d
2
y
2
dx
+y=x
*
-x+2 , 则(D2+1)y= x2-x+2
1
2
特解y=
D+1
(x
2
-x+2)
2
=(1-D2)(x-x+2)=x-x (性质四)
5
2
例6、
dydx
2
2
+y=cosx ，则(D+1)y=cosx ，特解y
2
*
=
1D+1
2
cosx
考察
1D
2
e+1
ix
1D
2
e=+1
ix
1(D-i)(D +i)
1
ix
e=(D-i)(D+i)e
ix
ix
1
ix
1
=(D-i)•2ie=e
i2
2i•(D+i-i)1
•
=- 取实部为特解y 例7、
dydx
44
xe
12
4
ix
=2xsinx-i2xcosx
11
*
=
xsinx (性质一、二、三）
x
-y=e ，则(D-1)y= e
*
x
特解y=
1D
4
e=(D-1)(D+1)(D-1
1
2
x
1
2
e+1)
x
=
(D-1)(1+1)(1+1)
e
x
=
1D-1
•
x
11
•221D+1-1
e=D-14e
•
x
1
1
x
=4e
2
1
1=
14
xe （性质一、二、五）
x
例8、
d
2
y
2
dx
+y=x
*
-x+2 , 则(D2+1)y= x2-x+2
1
2
特解y=
D+1
(x
2
-x+2)
2
=(1-D2)(x-x+2)=x-x (性质四)
5
2
例9、
dydx
22
+2
dy dx
*
+2y=x
1
2-x
e ,则(D+2D+2)y=xe
2
2-x
特解y
=(D+1)2+1xe
-x
2-x
=e
-x
2 x 2
(D-1+1)+1
2
1
=e
1D+1
2
x=e
2
-x
(1-D)x
2
=e(x2-2)
-x
（性质二、四）
例10、
dydx
22
+y=xcosx ，则(D2+1)y=xcosx ，
*
特解y=
1D+1
2
xcosx ，考察
1
ix
1D+1
2
xe
ix
1
D
1
2
+1
xe
ix
=(D-i)(D+i)xe=e
ix
ix
(D+i-i)(D+i+i)
x
=e
1D(D+2i)
x=e
ix1
D2i
ixx
2
(
1
+
D4
)x
=e = =
ix1
+)x D2i4(
x1
=e
x
2
(
+x)x 4i4
1
(cosx+isinx)(
14
2
1
+x)x 4i4
(xcosx+xsinx)+i
*
14
(xsinx-x2cosx)
取实部为特解y=
14
(xcosx+x2sinx) (性质二、三、四）
6