□中国科学院院士
□
华中师范大学教育信息技术工程研究中心
彭翕成我们在上期引入了共边定理，并对共边定理的应用进行了举例说明．接下来我们将给出更多的例子，你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决．共边定理看似平凡，但只要运用得当，也会成为解题的利器．我们先来回顾一下这个定理．
共边定理若直线ＡＢ和ＰＱ相交于点Ｍ（如图１，有四种情形），则有Ｓ△ＰＡＢ
Ｓ＝ＰＭ
△ＱＡＢＱＭ．
图１
例１（２００２年“希望杯”初一竞赛题）如
图２，已知△ＡＢＣ的面积是１，ＡＦ＝２ＦＣ，ＢＤ＝
ＤＥ＝ＥＣ．求四边形ＧＤＥＨ的面积．
解：四边形ＧＤＥＨ不是规则四边形，不能
直接求其面积，可先求出Ｓ△ＢＥＨ和Ｓ△ＢＧＤ，相减即得．图２２Ｓ△ＣＢ
由共边定理，ＥＨ＝Ｓ△ＥＢＦ
ＡＨＳ＝３Ｆ
△ＡＢＦＳ＝２ＦＣ＝２１＝１，
得
△ＡＢＦ３ＡＦ３２３
Ｓ△ＢＥＨ＝１１２１Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＣ＝．４４３６
１Ｓ△ＣＢＦＤＧＳ３１ＦＣ１１１得△ＤＢＦ由共边定理，，＝＝＝＝＝Ｓ△ＡＢＦＳ△ＡＢＦ３ＡＦ３２６ＡＧ
１１１１Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＢＣ＝．Ｓ△ＢＧＤ＝７７３２１
１１５所以Ｓ四边形ＧＤＥＨ＝Ｓ△ＢＥＨ－Ｓ△ＢＧＤ＝－＝．６２１４２
例２（２００３年“希望杯”数学邀请赛试题）如图３，△ＡＢＣ的面积等于２５，ＡＥ＝ＥＤ，ＢＤ＝２ＤＣ，则△ＡＥＦ与△ＢＤＥ的面积之和等于，四边形ＣＤＥＦ的面积等于．
ＡＦＳＳ解：利用共边定理，＝△ＡＢＦ＝△ＡＢＦＦＣＳ△ＣＢＦＳ△ＤＢＦ
Ｓ△ＤＢＦ２２ＡＥＢＤ＝１＝．＝Ｓ△ＣＢＦ３３ＥＤＢＣ１１２１Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ．２２３３
３１所以Ｓ四边形ＣＤＥＦ＝Ｓ△ＣＢＦ－Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＣ＝５３
２０．３
１Ｓ△ＡＥＦ＋Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＢＤＥ＋Ｓ△ＡＤＣ－Ｓ四边形ＣＤＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ＋３
１０．
１例３如图４，△ＡＢＣ中，ＡＤ＝ＡＢ，ＢＥ＝３
１１ＢＣ，ＣＦ＝ＣＡ．连接ＡＥ、ＢＦ、ＣＤ，围成３３
△ＧＨＩ．问：△ＧＨＩ的面积是△ＡＢＣ的面积的几
分之几？
解：由图３４４Ｓ△ＡＢＣ＝２５＝１５１５１４Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＣ＝３１５图４Ｓ△ＡＢＣＳ△ＡＢＨ＝７Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＢＨＣ＋Ｓ△ＡＨＣ１＋２＝＝１＋Ｓ△ＡＢＨ２２由共边定理，ＣＦＳ△ＡＨＣ得２，Ｓ△ＡＢＨ＝Ｓ△ＡＢＣ．Ｓ△ＡＢＨＡＦＳ△ＡＢＨ
７
２２同理可得Ｓ△ＢＣＩ＝Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＡＣＧ＝Ｓ△ＡＢＣ．所以Ｓ△ＧＨＩ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＨ－７７
１Ｓ△ＡＢＣ
．Ｓ△ＢＣＩ－Ｓ△ＡＣＧ＝７＝Ｓ△ＢＨＣ７
八年级数学・
配合华师大教材２００８．３
例４（１９８５年美国数学邀请赛试题）
如图５，三条交于一点的直线把△ＡＢＣ分成
６个小三角形．已知其中４个小三角形的面
积，如图上所标．求△ＡＢＣ的面积．Ｏ解：根据共边定理，我们可以列出方程组
［比如，８４＋ｘＳ△ＡＢＯ图５
３５＋ｙ＝Ｓ，而由共边定理知
△ＡＣＯ
Ｓ△ＡＢＯ
Ｓ等于ＡＯ分ＢＣ的两部分的长的比．这个比等于４０（两个等高三角△ＡＣＯ３０
#%%８４＋ｘ４０%%３５＋ｙ＝３０，①%%
形）］：%
$３５＋ｙ８４%%３０＋４０＝ｘ，②%%%%８４＋ｘ%
&４０＋３０＝ｙ３５．③
从中选出容易计算的，如①和③，联立解得’ｘ＝５６，
ｙ＝７０．
所以，Ｓ△ＡＢＣ＝（８４＋４０＋３０＋３５）＋（５６＋７０）＝３１５．
对于例４，虽然使用共边定理能够轻松解答，但我们不能就此放过它．有必要进一步思考：为什么列出的３个方程，有一个竟然可以不用呢？是不是题目本身有什么问题？
假设我们将８４，４０，３０，３５这４个数中的一个换成ｚ，譬如将８４换成ｚ，那么方程组就有３个方程，３个未知数，也是可以求解的，但计算的难度就要增加不少了．
由以上分析可以知道，如果我们已知６个小三角形中其中３个的面积，就可以求出其余３个小三角形的面积．那么我们可以断定例４有多余的条件，这多余的条件带来的好处就是使题目的难度降低了．
本文的例４给予我们一个启示．对于较简单的题目，我们解答完成后，不要轻易丢弃，要进一步思考，这样就可能得到更一般的结论，甚至还能发现题目中的漏洞．这对于提高我们的解题能力会大有裨益．为学必须毕生力，攀高贵在少年时．
———苏步青
□中国科学院院士
□
华中师范大学教育信息技术工程研究中心
彭翕成我们在上期引入了共边定理，并对共边定理的应用进行了举例说明．接下来我们将给出更多的例子，你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决．共边定理看似平凡，但只要运用得当，也会成为解题的利器．我们先来回顾一下这个定理．
共边定理若直线ＡＢ和ＰＱ相交于点Ｍ（如图１，有四种情形），则有Ｓ△ＰＡＢ
Ｓ＝ＰＭ
△ＱＡＢＱＭ．
图１
例１（２００２年“希望杯”初一竞赛题）如
图２，已知△ＡＢＣ的面积是１，ＡＦ＝２ＦＣ，ＢＤ＝
ＤＥ＝ＥＣ．求四边形ＧＤＥＨ的面积．
解：四边形ＧＤＥＨ不是规则四边形，不能
直接求其面积，可先求出Ｓ△ＢＥＨ和Ｓ△ＢＧＤ，相减即得．图２２Ｓ△ＣＢ
由共边定理，ＥＨ＝Ｓ△ＥＢＦ
ＡＨＳ＝３Ｆ
△ＡＢＦＳ＝２ＦＣ＝２１＝１，
得
△ＡＢＦ３ＡＦ３２３
Ｓ△ＢＥＨ＝１１２１Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＢＣ＝．４４３６
１Ｓ△ＣＢＦＤＧＳ３１ＦＣ１１１得△ＤＢＦ由共边定理，，＝＝＝＝＝Ｓ△ＡＢＦＳ△ＡＢＦ３ＡＦ３２６ＡＧ
１１１１Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＢＣ＝．Ｓ△ＢＧＤ＝７７３２１
１１５所以Ｓ四边形ＧＤＥＨ＝Ｓ△ＢＥＨ－Ｓ△ＢＧＤ＝－＝．６２１４２
例２（２００３年“希望杯”数学邀请赛试题）如图３，△ＡＢＣ的面积等于２５，ＡＥ＝ＥＤ，ＢＤ＝２ＤＣ，则△ＡＥＦ与△ＢＤＥ的面积之和等于，四边形ＣＤＥＦ的面积等于．
ＡＦＳＳ解：利用共边定理，＝△ＡＢＦ＝△ＡＢＦＦＣＳ△ＣＢＦＳ△ＤＢＦ
Ｓ△ＤＢＦ２２ＡＥＢＤ＝１＝．＝Ｓ△ＣＢＦ３３ＥＤＢＣ１１２１Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＢＣ．２２３３
３１所以Ｓ四边形ＣＤＥＦ＝Ｓ△ＣＢＦ－Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＣ＝５３
２０．３
１Ｓ△ＡＥＦ＋Ｓ△ＢＤＥ＝Ｓ△ＢＤＥ＋Ｓ△ＡＤＣ－Ｓ四边形ＣＤＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ＋３
１０．
１例３如图４，△ＡＢＣ中，ＡＤ＝ＡＢ，ＢＥ＝３
１１ＢＣ，ＣＦ＝ＣＡ．连接ＡＥ、ＢＦ、ＣＤ，围成３３
△ＧＨＩ．问：△ＧＨＩ的面积是△ＡＢＣ的面积的几
分之几？
解：由图３４４Ｓ△ＡＢＣ＝２５＝１５１５１４Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＣ＝３１５图４Ｓ△ＡＢＣＳ△ＡＢＨ＝７Ｓ△ＡＢＨ＋Ｓ△ＢＨＣ＋Ｓ△ＡＨＣ１＋２＝＝１＋Ｓ△ＡＢＨ２２由共边定理，ＣＦＳ△ＡＨＣ得２，Ｓ△ＡＢＨ＝Ｓ△ＡＢＣ．Ｓ△ＡＢＨＡＦＳ△ＡＢＨ
７
２２同理可得Ｓ△ＢＣＩ＝Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＡＣＧ＝Ｓ△ＡＢＣ．所以Ｓ△ＧＨＩ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＢＨ－７７
１Ｓ△ＡＢＣ
．Ｓ△ＢＣＩ－Ｓ△ＡＣＧ＝７＝Ｓ△ＢＨＣ７
八年级数学・
配合华师大教材２００８．３
例４（１９８５年美国数学邀请赛试题）
如图５，三条交于一点的直线把△ＡＢＣ分成
６个小三角形．已知其中４个小三角形的面
积，如图上所标．求△ＡＢＣ的面积．Ｏ解：根据共边定理，我们可以列出方程组
［比如，８４＋ｘＳ△ＡＢＯ图５
３５＋ｙ＝Ｓ，而由共边定理知
△ＡＣＯ
Ｓ△ＡＢＯ
Ｓ等于ＡＯ分ＢＣ的两部分的长的比．这个比等于４０（两个等高三角△ＡＣＯ３０
#%%８４＋ｘ４０%%３５＋ｙ＝３０，①%%
形）］：%
$３５＋ｙ８４%%３０＋４０＝ｘ，②%%%%８４＋ｘ%
&４０＋３０＝ｙ３５．③
从中选出容易计算的，如①和③，联立解得’ｘ＝５６，
ｙ＝７０．
所以，Ｓ△ＡＢＣ＝（８４＋４０＋３０＋３５）＋（５６＋７０）＝３１５．
对于例４，虽然使用共边定理能够轻松解答，但我们不能就此放过它．有必要进一步思考：为什么列出的３个方程，有一个竟然可以不用呢？是不是题目本身有什么问题？
假设我们将８４，４０，３０，３５这４个数中的一个换成ｚ，譬如将８４换成ｚ，那么方程组就有３个方程，３个未知数，也是可以求解的，但计算的难度就要增加不少了．
由以上分析可以知道，如果我们已知６个小三角形中其中３个的面积，就可以求出其余３个小三角形的面积．那么我们可以断定例４有多余的条件，这多余的条件带来的好处就是使题目的难度降低了．
本文的例４给予我们一个启示．对于较简单的题目，我们解答完成后，不要轻易丢弃，要进一步思考，这样就可能得到更一般的结论，甚至还能发现题目中的漏洞．这对于提高我们的解题能力会大有裨益．为学必须毕生力，攀高贵在少年时．
———苏步青