多尺度方法
1. 多尺度方法的意义
很多自然科学和工程的问题都具有多尺度的特征。例如，高雷诺湍流的涡有大小不同的尺度，材料的微损伤有大小不同的尺度，多孔介质的孔径大小存在着不同的尺度等。然而，在实际应用中却常常忽略多尺度特征而采用经验模型。这些模型在应用中取得很大的成功，但经验模型也存在本身的局限性，主要体现在：
（1）由于模型的误差大，导致很多问题求解的精度不高；
（2）完全忽略细观结构的影响，不能完全反映问题本身的自然特征；
（3）缺乏可靠的理论基础。
因此，对于很多问题，需要建立能反映自然属性、精度更高且具有理论基础的多尺度模型。在建立多尺度模型的同时，首先必须考虑问题自身的特征。按照问题的特征可以把多尺度问题分为以下几类：
第一类：这类多尺度问题包含了孤立的瑕点或奇异点，比如裂痕、断层、突变以及接触线。对于这类问题，只需要在孤立的瑕点火奇异点附近建立细观尺度的模型，其它区域满足某个宏观模型即可。这样细观尺度的模型只需在很小的计算区域里求解。
第二类：这类多尺度问题存在相关的宏观模型，但宏观模型不清晰，不能直接用于求解。典型的一个例子是均匀化问题，这时系数aε(x) =a(x,x⁄ε) ，其中ε表示细观尺度，虽然与宏观变量x相关的宏观模型确实存在，但宏观模型不明确。 第三类：这类问题是包含第一类和第二类特征的多尺度问题。
第四类：这类多尺度问题的习惯结构具有强烈的不规则性，难以找到相关的宏观模型。
随着多尺度模型的发展，还会出现更多类型的多尺度问题，对各类多尺度问题的求解引起了人们广泛的关注，也推动了多尺度计算方法的发展。很多科学和工程问题都存在多尺度问题，多尺度模拟是一个典型的跨学科问题，它涉及到数学、化学、物理、工程、计算机科学、环境科学等学科，越来越受到科学家的重视。目前为止，已经有一些经典的多尺度计算方法，如多重网格方法、均匀化方
法、小波数值均匀化方法、多尺度有限元法、非均匀化多尺度方法等，这些方法在很多科学和工程领域中的应用已取得了一定的成功。
2. 多尺度计算方法
随着多尺度问题在工程中的应用越来越广泛，基于多尺度问题求解的复杂性，国内外学者提出了一些多尺度计算方法，这些数值方法主要可分为传统的多尺度计算方法和近年来发展的多尺度计算方法。
传统的多尺度计算方法包括多重网格法、自适应方法等。其中多重网格方法通过粗网格校正和误差光滑技术，在减小工作量的同时保证了细尺度上解的计算精度。然而，传统的多尺度计算方法需要在细观尺度上求解原问题，使得在解决很多实际问题时仍需要巨大的计算量，甚至难以求解。因此，人们希望找到更有效的数值方法来求解多尺度问题。近年来发展的多尺度计算方法包括多尺度有限体积法、多尺度有限元法、非均匀化多尺度方法以及小波数值均匀化方法等。
2.1 多尺度有限元方法
多尺度有限体积法有Jenny 等提出的，多尺度有限元方法是由Babuska 等提出，这两类方法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程（构造线性或者振荡的边界条件）来获得基函数。从而把细观尺度的信息反映到有限元或有限体积法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法和多尺度有限体积法在构造基函数时需要较大的计算量。
2.2 均匀化方法
均匀化方法是一种多尺度分析的方法，该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围收到了很大限制。
均匀化方法通过对单胞问题的求解把细观尺度信息反映到宏观尺度上，得到宏观尺度的均匀化等式。大体上来说，均匀化方法是沿四种不同的途径平行发展起来的，包括：（1）级数渐进展开的方法；（2）能量估计的方法；（3）基于概率
分析的方法；（4）具有周期性系数算子的谱分解方法。
2.3 非均匀化方法
鄂维南等综合了多尺度问题求解的一些方法，于2003年提出了一种新的求解多尺度问题的数值方法—非均匀化多尺度方法，并成功地应用于求解了大量的多尺度问题。Abdulle 则把HMM 应用于求解多尺度抛物型方程。非均匀化多尺度方法不仅是一个具体的多尺度计算方法，而且是构造多尺度计算方法的一个框架。
给定一个细观尺度的问题，其方程为
f(u,b) =0
式中u表示细观尺度的解，b表示一些辅助的条件，比如问题的初始条件和边界条件。对于细观尺度的问题，一般不关心u的具体信息，而是关心细观尺度的信息对宏观尺度解（记作U）的影响。设U满足宏观尺度的方程
f(U,D) =0
D表示宏观尺度模型所缺少的数据。
非均匀化多尺度方法的目标是通过F和细观尺度的模型，来求解宏观尺度的解U。HMM 方法主要包括两个重要的组成部分：（1）选择合适的宏观尺度的模型；（2）用细观尺度模型的解来估计缺少的宏观数据D。这个过程可以分解为两个步骤：对细观尺度进行求解，构造适当的初值条件和边界条件，以求解细观模型；数据处理，由细观的解来得到所需的宏观数据。
2.4 小波数值均匀化方法
小波数值均匀化方法是由Dorobantu 和Engquist 提出的求解椭圆型方程的新型方法。该方法基于多分辨分析，在细观尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上求解方程，大大地减小了计算时间。
小波数值均匀化方法基于小波的多分辨率分析，利用小波映射把小尺度的信息反映到大尺度上，然后在大尺度上求解方程，这样只需在大尺度空间上求解就能捕捉到小尺度的特征。近年来，小波理论在信号处理、图像压缩、音乐语音合成、两字物理等领域都取得了成功的应用。它主要是应用了各类小波和小波基函
数所共有的被称为“数学显微镜”的良好的时频局部化能力，以及小波基可构成各种常用空间的无条件基这两个重要的性质。小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Haar 提出的小波规范正交基及1938年Littlewood 对Fourier 级数建立的L-P 理论，即按二进制频率成分分组Fourier 变换的相位变化，在本质上不影响函数的形状及量值。1981年Stromberg 对Haar 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。
3. 小结
上述各类近年来发展的多尺度计算方法着重抓住宏观尺度的特征，而不直接在细观尺度求解多尺度问题，因而能大大地减小计算工资量。随着多尺度计算方法的不断发展，它在科学和工程领域中的应用也越来越广泛。然而，无论多尺度计算方法本身，还是在工程领域中的应用都仍然处于探索阶段。进一步研究多尺度计算方法及其在工程领域中的应用具有很重要的意义。
参考文献
[1] 张洪武，王鲲鹏. 材料非线性微-宏观分析的多尺度方法研究[J]. 力学学报，2004，36(3)：359-363
[2] 徐长发，李红. 偏微分方程数值解法[M]. 武汉：华中理工大学出版社，2000.
[3] 刘明才. 小波分析及应用[M] . 北京:清华大学出版社，2005.
[4] 孙西芝，陈时锦，程凯等. 多尺度仿真方法研究综述[J]. 系统仿真学报，2006，18(10)：1061-1065.
[5] 王军华. 多尺度计算方法的初探及应用[D]. 西北工业大学硕士学位论文，2006.
多尺度方法
1. 多尺度方法的意义
很多自然科学和工程的问题都具有多尺度的特征。例如，高雷诺湍流的涡有大小不同的尺度，材料的微损伤有大小不同的尺度，多孔介质的孔径大小存在着不同的尺度等。然而，在实际应用中却常常忽略多尺度特征而采用经验模型。这些模型在应用中取得很大的成功，但经验模型也存在本身的局限性，主要体现在：
（1）由于模型的误差大，导致很多问题求解的精度不高；
（2）完全忽略细观结构的影响，不能完全反映问题本身的自然特征；
（3）缺乏可靠的理论基础。
因此，对于很多问题，需要建立能反映自然属性、精度更高且具有理论基础的多尺度模型。在建立多尺度模型的同时，首先必须考虑问题自身的特征。按照问题的特征可以把多尺度问题分为以下几类：
第一类：这类多尺度问题包含了孤立的瑕点或奇异点，比如裂痕、断层、突变以及接触线。对于这类问题，只需要在孤立的瑕点火奇异点附近建立细观尺度的模型，其它区域满足某个宏观模型即可。这样细观尺度的模型只需在很小的计算区域里求解。
第二类：这类多尺度问题存在相关的宏观模型，但宏观模型不清晰，不能直接用于求解。典型的一个例子是均匀化问题，这时系数aε(x) =a(x,x⁄ε) ，其中ε表示细观尺度，虽然与宏观变量x相关的宏观模型确实存在，但宏观模型不明确。 第三类：这类问题是包含第一类和第二类特征的多尺度问题。
第四类：这类多尺度问题的习惯结构具有强烈的不规则性，难以找到相关的宏观模型。
随着多尺度模型的发展，还会出现更多类型的多尺度问题，对各类多尺度问题的求解引起了人们广泛的关注，也推动了多尺度计算方法的发展。很多科学和工程问题都存在多尺度问题，多尺度模拟是一个典型的跨学科问题，它涉及到数学、化学、物理、工程、计算机科学、环境科学等学科，越来越受到科学家的重视。目前为止，已经有一些经典的多尺度计算方法，如多重网格方法、均匀化方
法、小波数值均匀化方法、多尺度有限元法、非均匀化多尺度方法等，这些方法在很多科学和工程领域中的应用已取得了一定的成功。
2. 多尺度计算方法
随着多尺度问题在工程中的应用越来越广泛，基于多尺度问题求解的复杂性，国内外学者提出了一些多尺度计算方法，这些数值方法主要可分为传统的多尺度计算方法和近年来发展的多尺度计算方法。
传统的多尺度计算方法包括多重网格法、自适应方法等。其中多重网格方法通过粗网格校正和误差光滑技术，在减小工作量的同时保证了细尺度上解的计算精度。然而，传统的多尺度计算方法需要在细观尺度上求解原问题，使得在解决很多实际问题时仍需要巨大的计算量，甚至难以求解。因此，人们希望找到更有效的数值方法来求解多尺度问题。近年来发展的多尺度计算方法包括多尺度有限体积法、多尺度有限元法、非均匀化多尺度方法以及小波数值均匀化方法等。
2.1 多尺度有限元方法
多尺度有限体积法有Jenny 等提出的，多尺度有限元方法是由Babuska 等提出，这两类方法在宏观尺度上进行网格剖分，然后通过在每个单元里求解细观尺度的方程（构造线性或者振荡的边界条件）来获得基函数。从而把细观尺度的信息反映到有限元或有限体积法的基函数里，使宏观尺度的解包含了细观尺度的信息。但多尺度有限元方法和多尺度有限体积法在构造基函数时需要较大的计算量。
2.2 均匀化方法
均匀化方法是一种多尺度分析的方法，该方法通过对单胞问题的求解，把细观尺度的信息映射到宏观尺度上，从而推导出宏观尺度上的均匀化等式，即可在宏观尺度上求解原问题。均匀化方法在很多科学和工程应用中取得了巨大成功，但这种方法建立在系数细观结构周期性假设的基础上，因此应用范围收到了很大限制。
均匀化方法通过对单胞问题的求解把细观尺度信息反映到宏观尺度上，得到宏观尺度的均匀化等式。大体上来说，均匀化方法是沿四种不同的途径平行发展起来的，包括：（1）级数渐进展开的方法；（2）能量估计的方法；（3）基于概率
分析的方法；（4）具有周期性系数算子的谱分解方法。
2.3 非均匀化方法
鄂维南等综合了多尺度问题求解的一些方法，于2003年提出了一种新的求解多尺度问题的数值方法—非均匀化多尺度方法，并成功地应用于求解了大量的多尺度问题。Abdulle 则把HMM 应用于求解多尺度抛物型方程。非均匀化多尺度方法不仅是一个具体的多尺度计算方法，而且是构造多尺度计算方法的一个框架。
给定一个细观尺度的问题，其方程为
f(u,b) =0
式中u表示细观尺度的解，b表示一些辅助的条件，比如问题的初始条件和边界条件。对于细观尺度的问题，一般不关心u的具体信息，而是关心细观尺度的信息对宏观尺度解（记作U）的影响。设U满足宏观尺度的方程
f(U,D) =0
D表示宏观尺度模型所缺少的数据。
非均匀化多尺度方法的目标是通过F和细观尺度的模型，来求解宏观尺度的解U。HMM 方法主要包括两个重要的组成部分：（1）选择合适的宏观尺度的模型；（2）用细观尺度模型的解来估计缺少的宏观数据D。这个过程可以分解为两个步骤：对细观尺度进行求解，构造适当的初值条件和边界条件，以求解细观模型；数据处理，由细观的解来得到所需的宏观数据。
2.4 小波数值均匀化方法
小波数值均匀化方法是由Dorobantu 和Engquist 提出的求解椭圆型方程的新型方法。该方法基于多分辨分析，在细观尺度上建立原方程的离散算子，然后对离散算子进行小波变换，得到了大尺度上的数值均匀化算子。此方法在大尺度上求解方程，大大地减小了计算时间。
小波数值均匀化方法基于小波的多分辨率分析，利用小波映射把小尺度的信息反映到大尺度上，然后在大尺度上求解方程，这样只需在大尺度空间上求解就能捕捉到小尺度的特征。近年来，小波理论在信号处理、图像压缩、音乐语音合成、两字物理等领域都取得了成功的应用。它主要是应用了各类小波和小波基函
数所共有的被称为“数学显微镜”的良好的时频局部化能力，以及小波基可构成各种常用空间的无条件基这两个重要的性质。小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Haar 提出的小波规范正交基及1938年Littlewood 对Fourier 级数建立的L-P 理论，即按二进制频率成分分组Fourier 变换的相位变化，在本质上不影响函数的形状及量值。1981年Stromberg 对Haar 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。
3. 小结
上述各类近年来发展的多尺度计算方法着重抓住宏观尺度的特征，而不直接在细观尺度求解多尺度问题，因而能大大地减小计算工资量。随着多尺度计算方法的不断发展，它在科学和工程领域中的应用也越来越广泛。然而，无论多尺度计算方法本身，还是在工程领域中的应用都仍然处于探索阶段。进一步研究多尺度计算方法及其在工程领域中的应用具有很重要的意义。
参考文献
[1] 张洪武，王鲲鹏. 材料非线性微-宏观分析的多尺度方法研究[J]. 力学学报，2004，36(3)：359-363
[2] 徐长发，李红. 偏微分方程数值解法[M]. 武汉：华中理工大学出版社，2000.
[3] 刘明才. 小波分析及应用[M] . 北京:清华大学出版社，2005.
[4] 孙西芝，陈时锦，程凯等. 多尺度仿真方法研究综述[J]. 系统仿真学报，2006，18(10)：1061-1065.
[5] 王军华. 多尺度计算方法的初探及应用[D]. 西北工业大学硕士学位论文，2006.