07均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布2

7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间

不超过3分钟的概率．

解：设随机变量X表示“乘客的候车时间”，则X服从[0,5]上的均匀分布，其密度函数为

于是有P(0X3)



3

,x[0,5]

f(x)

x[0,5]0,

3

f(x)dx0.6.

5

二、已知某种电子元件的使用寿命X(单位:h)服从指数分布，概率密度为

x

1800,x0; f(x)800ex0.0,

任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h以上的概率．

解：设A表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；A1、A2、A3分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．则

1800

8004

P(A1)P(A2)P(A3)P(X1000)edxe0.287 1000e1000800

P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(A2A3)P(A1A3)P(A1A2A3)



x

x

5

30.28730.2870.2870.638

（另解）设A表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”．则

1800

P(X1000)edxe800

1000800



x

x

1000

23

e



54

0.287

从而有P(X1000)1P(X1000)1e

0.713，进一步有

P(A)1[P(X1000)]310.71330.638



5

4

三、(1) 设随机变量X服从指数分布e()．证明：对于任意非负实数s及t，有

P(XstXs)P(Xt).

这个性质叫做指数分布的无记忆性．

1)．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 (2) 设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．

的概率．

x

解：（１）因为X~e()，所以xR，有F(x)1e，其中F(x)为X的分布函数．

设AXst，BXt．因为s及t都是非负实数，所以AB，从而ABA．根据条件概率公式，我们有

P(XstXs)P(AB)

P(AB)P(A)P(Xst)1P(Xst)



P(B)P(B)P(Xs)1P(Xs)

1[1e(st)]t

． es

1[1e]

另一方面，我们有

P(Xt)1P(Xt)1P(Xt)1F(t)1(1et)et．

综上所述，故有

P(XstXs)P(Xt)．

（２）由题设，知X的概率密度为

0.1e0.1x，x0；

f(x)

x0．0，

设某人购买的这台旧电视机已经使用了s年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用

5年以上的概率为

P(Xs5Xs)P(X5)

5

f(x)dx0.1

5

e0.1xdxe0.1x

5

e0.50.6065．

答：该电视机还能使用5年以上的概率约为0.6065．

四、设随机变量X服从二项分布B(3, 0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y112X；（2）Y2

X(3X)

． 2

解：X的分布律为

（1）Y112X的分布律为

（2）Y2

X

(3X)

的分布律为 2

即

五、设随机变量X的概率密度为

2

,x0;

f(x)(x21)

x0.0,

求随机变量函数YlnX的概率密度．

解：因为FY(y)P(Yy)P(lnXy)P(Xe)FX(e) 所以随机变量函数YlnX的概率密度为

y

y

2ey

fY(y)F(y)F(e)ef(e)e(y)，即 2y

(e1)

'Y

'X

y

y

y

y

2ey

fY(y)(y)．

(e2y1)

7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间

不超过3分钟的概率．

解：设随机变量X表示“乘客的候车时间”，则X服从[0,5]上的均匀分布，其密度函数为

于是有P(0X3)



3

,x[0,5]

f(x)

x[0,5]0,

3

f(x)dx0.6.

5

二、已知某种电子元件的使用寿命X(单位:h)服从指数分布，概率密度为

x

1800,x0; f(x)800ex0.0,

任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h以上的概率．

解：设A表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；A1、A2、A3分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”．则

1800

8004

P(A1)P(A2)P(A3)P(X1000)edxe0.287 1000e1000800

P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)P(A1A2)P(A2A3)P(A1A3)P(A1A2A3)



x

x

5

30.28730.2870.2870.638

（另解）设A表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”．则

1800

P(X1000)edxe800

1000800



x

x

1000

23

e



54

0.287

从而有P(X1000)1P(X1000)1e

0.713，进一步有

P(A)1[P(X1000)]310.71330.638



5

4

三、(1) 设随机变量X服从指数分布e()．证明：对于任意非负实数s及t，有

P(XstXs)P(Xt).

这个性质叫做指数分布的无记忆性．

1)．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 (2) 设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．

的概率．

x

解：（１）因为X~e()，所以xR，有F(x)1e，其中F(x)为X的分布函数．

设AXst，BXt．因为s及t都是非负实数，所以AB，从而ABA．根据条件概率公式，我们有

P(XstXs)P(AB)

P(AB)P(A)P(Xst)1P(Xst)



P(B)P(B)P(Xs)1P(Xs)

1[1e(st)]t

． es

1[1e]

另一方面，我们有

P(Xt)1P(Xt)1P(Xt)1F(t)1(1et)et．

综上所述，故有

P(XstXs)P(Xt)．

（２）由题设，知X的概率密度为

0.1e0.1x，x0；

f(x)

x0．0，

设某人购买的这台旧电视机已经使用了s年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用

5年以上的概率为

P(Xs5Xs)P(X5)

5

f(x)dx0.1

5

e0.1xdxe0.1x

5

e0.50.6065．

答：该电视机还能使用5年以上的概率约为0.6065．

四、设随机变量X服从二项分布B(3, 0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y112X；（2）Y2

X(3X)

． 2

解：X的分布律为

（1）Y112X的分布律为

（2）Y2

X

(3X)

的分布律为 2

即

五、设随机变量X的概率密度为

2

,x0;

f(x)(x21)

x0.0,

求随机变量函数YlnX的概率密度．

解：因为FY(y)P(Yy)P(lnXy)P(Xe)FX(e) 所以随机变量函数YlnX的概率密度为

y

y

2ey

fY(y)F(y)F(e)ef(e)e(y)，即 2y

(e1)

'Y

'X

y

y

y

y

2ey

fY(y)(y)．

(e2y1)