二次根式
知识点1
a ≥0）叫做二次根式． 1、 下列各式 ①－
m 2+1 ②-8 ③x -1 ④5 ⑤π 是二次根式的是
2、x 为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义
知识点 2．最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 1、下列式子中是最简的二次根式的是：
4
2①
y
2
③a ④. 7⑤3⑥7
3
2、（1
, 求自然数n 的值是
n 的最小值是知识点3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 1
、若a
a =b =2
x 知识点4．二次根式的性质
2
=a（a ≥0）
≥0(a 0) ≥
⎧│a │=⎪a (a >0)
⎨0(a =0) ；
⎪⎩
-a (a
，化简a -3______.
3、要使3-x +
1
有意义，则x -1
x 的取值范围是 2
4、若x , y 为实数，
且x +2=0，则
(x +y ) 2010的值为___________．
知识点5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；
两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积
不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化
因式．
1
、已知：a =2
b =2a b -b a 的值 2
、a =b =
则a b
知识点6．二次根式的运算
a ≥0，b ≥0）
；
=
b ≥0，a>0）． 1
、÷
、2
3
、 4、÷(13-1
)
一元二次方程
知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程
（2）只有一个未知数——（一元）
（3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2
-2x=1；③x+3=
1x
；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2
-1．一元二次方程的个数是 .
2、若方程kx 2+x=3x2
+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程x
k 2-2
+k -1x +5=0是一元二
次方程，则k 的取值范围是_________．
|m|+1
4、若方程（m-1）x -2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，1
(x -6) 2+3=0 (x -3) 2=2
2
2、用配方法解方程
x 2+2x -1=0 x 2-4x +3=0
都能化成一元二次方程的一般形式
ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ，
ax 2是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b
为一次项系数，c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 1、将一元二次方程3x (x -1) =5(x +2) 化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式
1、说明代数式2x 2
-4x -1总大于x 2
-2x -4
2
、已知a +
1a =求a -1
a
的值.
3、若x 2
+mx+9是一个完全平方式，则m= ，
若x 2+6x+m2
是一个完全平方式，则m 的值是 。若4x 2+kx +9是完全平方式，则k = 。 知识点4．整体运算
1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2
+9x+12的值为
2、已知实数x 满足x 2+x -1=0则代数式3x 2+3x +7的值为____________ 知识点5．方程的解
1、已知关于x 的方程x 2+3x+k2
=0的一个根是x=-1，则k=_ __．
2、求以x 1=-1，x 2=-3为两根的关于x 的一元二次方程 。
知识点6．方程的解法 ⑴方法：①直接开方法；
②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次
1、直接开方解法方程
3、用公式法解方程
2x 2-7x +3=0 x 2-x -1=0
4、用因式分解法解方程
3x (x -2) =2x -4 (2x -4) 2=(x +5) 2
5、用十字相乘法解方程
x 2-x -90=0 2x 2+x -10=0
知识点7．一元二次方程根的判别式：∆=b 2
-4ac 1、 关于x 的一元二次方程x 2+(m +2) x +2m -1=0.
求证：方程有两个不相等的实数根
2、若关于x 的方程x 2+2k x -1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
3、关于x 的方程(m -1)x 2
+2mx +m =0有实数根，
则m 的取值范围是 知识点8．韦达定理
x b c
1+x 2=-a , x 1x 2=a
(a ≠0, Δ=b2-4ac ≥0)
使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件∆≥0
1、 已知方程5x 2
+ mx-6=0的一个根为x=3,求它
的另一个根及m 的值。
2、 已知2x 2
+4x -3=0的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于
系数的关系求下列各式的值
1x +1x x 2+x 2
12
(x 1+1)(x 2+1) (x 1-x 2) 2 12
3、已知关于x 的一元二次方程x 2
－（m+2）x+
14
m 2
－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 2
2
1，x 2满足x 1+x2=18，求m 的值．
知识点9．一元二次方程与实际问题 1、 病毒传播问题 2、 树干问题
3、 握手问题（单循环问题） 4、 贺卡问题（双循环问题） 5、 围栏问题
6、 几何图形（道路、做水箱） 7、 增长率、折旧、降价率问题
8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、 数字问题 10、折扣问题
旋转
知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D′的形状是 。
2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度
知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；
1、如图，∠AOB =90°
，∠B =30°，△A 'OB '可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。（1）求旋转角大小；
（2）判断OB 与A 'B '的位置关系，并说明理由。
B
A B ' A O
2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15后得到△AB 'C '，则图中阴影部分的面积是多少？
B '
3、如图，在△ABC 中, ∠CAB =70
. 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△AB /
C /的位置, 使得
CC ///AB , 求∠BAB /
的度数。
4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，∆DCM 是由∆ADE 逆时针旋转得到的图形。
（1）旋转中心是点__________；
（2）旋转角是________度，∠EDM =_________度； （2）若∠EDF =45︒，求证∆EDF ≌∆MDF . 并求此时∆BEF 的周长. 图
6
5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3. （1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。
6、如图，将正方形ABCD 中的△ABD 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．
7、如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 、E 是斜边BC 上 两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接 EF ，证明①△AED ≌△AEF ②BE 2+DC 2=DE 2
8、如图（1），点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． （1）求∠AEB 的大小； （2）如图（2），ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠) ，求∠AEB 的大小.
知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角) 后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。
1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．
2、如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O 旋转___ ___度能与自身重合。
3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合, 则旋转的角度可能是__
知识点4．中心对称和中心对称图形
1、如图，下列4个数字有（ ）个是中心对称图形．
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A 、①③ B、②④ C、②③ D、①④
知识点5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关
于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交
点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
1、已知A （-1，-1），B （-4，-3）C （-4，-1）(1)作△A 1B 1C 1，使它与△ABC 关于原点O 中心对称；写出A 1 ，B 1， C 1点坐标；
(3)将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90º后得到△A 3B 3C 3，画出△A 3B 3C 3，并写出A 3，B 3，C 3的坐标
2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形； （2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有 条； 这个整体图形至少旋转 度与自身重合
知识点6．旋转割补法 如图, 四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E ，若线段AE=5，求S 四边形ABCD （提示：将四边形ABCD 割补为正方形） A
D
B
E
知识点7．关于原点对称
填空：⑴点A （－2，1）关于x 轴的对称点为A ′（ ， ）；⑵点B （1，－3）与点B （1，3）关
于 的对称。⑶C （－4，－2）关于y 轴的对称
点为C （′ ， ）；⑷点D （5，0）关于原点的对
称点为D ′（ ， ）。
圆
【考点1】和圆有关的概念
（1）等弦对等圆心角（ ）
（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ）
（3）等弧对等弦( ) （4）等弦对等弧（ ）
（5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ）
【考点2】垂径定理及其推论
如果一条直线满足
(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优
弧和劣弧） （5）平分圆心角
知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：
当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。 (1)平分弦的直径垂直于弦. （ ） (2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）
1、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．
2、如图，⊙O 中，OE ⊥弦AB 于E ，OF ⊥弦CD 于F ，OE=OF，(1)求证：AB ＝CD (2) 如果AB>CD，则OF
3．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
4、已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C 为圆心，CA 为半径画圆交AB 于点D ，求AD 的长
【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系： （举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角） 1. 如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． 求证：AM =BN （连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD, 等角等弧） A
B
2、如图15，AB 、CD 是⊙O 的直径，DE 、BF 是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B 。
F
3．如图，⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP =PC ，求证：AD ⌒ =3CB ⌒ 圆心角证弧)
4．AB 是⊙O的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ； （2）若AD =2，⊙O的半径为3，求BC 的长．
【考点4】：直径所对的圆90°
1. 已知△ABC 中，AB=AC，AB 为⊙O 的直径，BC 交⊙O 于D ，求证：点D 为BC 中点
【考点5】知识点(4)圆内接四边形对角互补 1、如图，AB 、AC 与⊙O 相切 于点B 、C ，∠A=40º，
点P 是圆上异的一动点，则∠BPC 的度数是 【考点6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点，它到 三个顶点 的距离相等；
三角形的内心是 三个内角平分线 的交点，它到 三边 的距离相等
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。
3、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D 、E 、F ，若∠B=50°, ∠C=60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，则∠EDF 等于
【考点6】与圆有关的位置关系 画圆与圆位置关系的数轴
【考点7】切线的性质
切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径 4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 。
【考点8】切线的证明（两种方法）
1、 已知圆上一点 “连半径，证垂直” 2、 没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。 1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。
2、如图，AB=AC，OB=OC，AB 切⊙O 于D ， 证明⊙O 与AC 相切
【考点9】切线长定理
切线长相等，平分切线所成的夹角。
1、如图5，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，
∠BAC =
（1）求∠P 的度数；
（2）若BC =2cm ，求PB 的长。
图5
3、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是一条弦，连结OC 并延长OC 至P 点，并使PC=BC，
∠BOC = 60o (1)求证：PB 是⊙O 的切线。
(2)若⊙O 的半径长为1，且AB 、PB 的长是一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根，求b 、c 的值。
4、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于点A 、B ，是点C 劣弧AB 上任一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E 若PA=10，求△PDE 的周长
1、如图，正五边形ABCDE 的顶点都 在⊙O 上，P 是CD 上一点，
则∠BPC=____________
2、如图，小明在操场上从点O 出发，沿直线前进5米后向左转45，再沿直线前进5米后，又向左转
0⋂
450，……照这样走下去，他第一次回到出发地O 点
时，一共走了___ __米。
3、求半径为6的正六边形的中心角度数 . 周长和面积。
3
5、如图（1）所示，直线y =-x +3与x 轴相交于
4
点A ，与y 轴相交于点B ，点C （m ，n ）是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F 。所示，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r 。
【考点10】正多边形的计算
(n -2) ⋅1800
1、 正n 边形的每内角=
n
2、 正n 边形的中心角=
360
n
4已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，尺规作图: (1)作出⊙O 1的内接正三角形; (2)作出⊙O 2的内接正四边形; (3)作出⊙O 3的内接正六边形
3600
3、 正n 边形的外角=
n
4、 边心距r 、半径R 、边长a 之间的关系：
a
R 2=r 2+() 2
2
5、 正n 边形的周长C=na 6、 正n 边形的面积S=nCr/2
二次根式
知识点1
a ≥0）叫做二次根式． 1、 下列各式 ①－
m 2+1 ②-8 ③x -1 ④5 ⑤π 是二次根式的是
2、x 为怎么样的值时，下列各式在实数范围内有意义
知识点 2．最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式． 1、下列式子中是最简的二次根式的是：
4
2①
y
2
③a ④. 7⑤3⑥7
3
2、（1
, 求自然数n 的值是
n 的最小值是知识点3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式． 1
、若a
a =b =2
x 知识点4．二次根式的性质
2
=a（a ≥0）
≥0(a 0) ≥
⎧│a │=⎪a (a >0)
⎨0(a =0) ；
⎪⎩
-a (a
，化简a -3______.
3、要使3-x +
1
有意义，则x -1
x 的取值范围是 2
4、若x , y 为实数，
且x +2=0，则
(x +y ) 2010的值为___________．
知识点5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；
两个含有二次根式的代数式相乘，•若它们的积
不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化
因式．
1
、已知：a =2
b =2a b -b a 的值 2
、a =b =
则a b
知识点6．二次根式的运算
a ≥0，b ≥0）
；
=
b ≥0，a>0）． 1
、÷
、2
3
、 4、÷(13-1
)
一元二次方程
知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是整式方程
（2）只有一个未知数——（一元）
（3）未知数的最高次数是2——（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程
1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2
-2x=1；③x+3=
1x
；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2
-1．一元二次方程的个数是 .
2、若方程kx 2+x=3x2
+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程x
k 2-2
+k -1x +5=0是一元二
次方程，则k 的取值范围是_________．
|m|+1
4、若方程（m-1）x -2x=4是一元二次方程，则m=______．
知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，1
(x -6) 2+3=0 (x -3) 2=2
2
2、用配方法解方程
x 2+2x -1=0 x 2-4x +3=0
都能化成一元二次方程的一般形式
ax 2+bx +c =0 (a ≠0) ，
ax 2是二次项，a 为二次项系数，bx 是一次项，b
为一次项系数，c 为常数项。注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 1、将一元二次方程3x (x -1) =5(x +2) 化成一般形式为_____________，其中二次项系数a =________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式
1、说明代数式2x 2
-4x -1总大于x 2
-2x -4
2
、已知a +
1a =求a -1
a
的值.
3、若x 2
+mx+9是一个完全平方式，则m= ，
若x 2+6x+m2
是一个完全平方式，则m 的值是 。若4x 2+kx +9是完全平方式，则k = 。 知识点4．整体运算
1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2
+9x+12的值为
2、已知实数x 满足x 2+x -1=0则代数式3x 2+3x +7的值为____________ 知识点5．方程的解
1、已知关于x 的方程x 2+3x+k2
=0的一个根是x=-1，则k=_ __．
2、求以x 1=-1，x 2=-3为两根的关于x 的一元二次方程 。
知识点6．方程的解法 ⑴方法：①直接开方法；
②因式分解法；③配方法；④公式法；⑤十字相乘法；⑵关键点：降次
1、直接开方解法方程
3、用公式法解方程
2x 2-7x +3=0 x 2-x -1=0
4、用因式分解法解方程
3x (x -2) =2x -4 (2x -4) 2=(x +5) 2
5、用十字相乘法解方程
x 2-x -90=0 2x 2+x -10=0
知识点7．一元二次方程根的判别式：∆=b 2
-4ac 1、 关于x 的一元二次方程x 2+(m +2) x +2m -1=0.
求证：方程有两个不相等的实数根
2、若关于x 的方程x 2+2k x -1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
3、关于x 的方程(m -1)x 2
+2mx +m =0有实数根，
则m 的取值范围是 知识点8．韦达定理
x b c
1+x 2=-a , x 1x 2=a
(a ≠0, Δ=b2-4ac ≥0)
使用的前提：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）定理成立的条件∆≥0
1、 已知方程5x 2
+ mx-6=0的一个根为x=3,求它
的另一个根及m 的值。
2、 已知2x 2
+4x -3=0的两根是x 1 ,x 2 ，利用根于
系数的关系求下列各式的值
1x +1x x 2+x 2
12
(x 1+1)(x 2+1) (x 1-x 2) 2 12
3、已知关于x 的一元二次方程x 2
－（m+2）x+
14
m 2
－2=0．（1）当m 为何值时，这个方程有两个的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x 2
2
1，x 2满足x 1+x2=18，求m 的值．
知识点9．一元二次方程与实际问题 1、 病毒传播问题 2、 树干问题
3、 握手问题（单循环问题） 4、 贺卡问题（双循环问题） 5、 围栏问题
6、 几何图形（道路、做水箱） 7、 增长率、折旧、降价率问题
8、 利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样） 9、 数字问题 10、折扣问题
旋转
知识点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度
1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D′的形状是 。
2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度
知识点2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；
1、如图，∠AOB =90°
，∠B =30°，△A 'OB '可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。（1）求旋转角大小；
（2）判断OB 与A 'B '的位置关系，并说明理由。
B
A B ' A O
2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15后得到△AB 'C '，则图中阴影部分的面积是多少？
B '
3、如图，在△ABC 中, ∠CAB =70
. 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△AB /
C /的位置, 使得
CC ///AB , 求∠BAB /
的度数。
4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，∆DCM 是由∆ADE 逆时针旋转得到的图形。
（1）旋转中心是点__________；
（2）旋转角是________度，∠EDM =_________度； （2）若∠EDF =45︒，求证∆EDF ≌∆MDF . 并求此时∆BEF 的周长. 图
6
5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3. （1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。
6、如图，将正方形ABCD 中的△ABD 绕对称中心O 旋转至△GEF 的位置，EF 交AB 于M ，GF 交BD 于N ．请猜想BM 与FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．
7、如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 、E 是斜边BC 上 两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接 EF ，证明①△AED ≌△AEF ②BE 2+DC 2=DE 2
8、如图（1），点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． （1）求∠AEB 的大小； （2）如图（2），ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠) ，求∠AEB 的大小.
知识点3．旋转对称：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角) 后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心。
1、如图，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度．
2、如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，问此正六边形绕正六边形的中心O 旋转___ ___度能与自身重合。
3、如图的图形旋转一定角度后能与自身重合, 则旋转的角度可能是__
知识点4．中心对称和中心对称图形
1、如图，下列4个数字有（ ）个是中心对称图形．
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A 、①③ B、②④ C、②③ D、①④
知识点5．作图
1、网格旋转90°（注意旋转的方向），中心对称，关
于原点对称。结合直角坐标系写出对称后坐标
2、找出旋转对称中心（两条对应线段垂直平分线的交
点），中心对称中心（两组对应点连线的交点）
1、已知A （-1，-1），B （-4，-3）C （-4，-1）(1)作△A 1B 1C 1，使它与△ABC 关于原点O 中心对称；写出A 1 ，B 1， C 1点坐标；
(3)将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90º后得到△A 3B 3C 3，画出△A 3B 3C 3，并写出A 3，B 3，C 3的坐标
2、如图，网格中有一个四边形和两个三角形．
（1）请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形； （2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴有 条； 这个整体图形至少旋转 度与自身重合
知识点6．旋转割补法 如图, 四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC于E ，若线段AE=5，求S 四边形ABCD （提示：将四边形ABCD 割补为正方形） A
D
B
E
知识点7．关于原点对称
填空：⑴点A （－2，1）关于x 轴的对称点为A ′（ ， ）；⑵点B （1，－3）与点B （1，3）关
于 的对称。⑶C （－4，－2）关于y 轴的对称
点为C （′ ， ）；⑷点D （5，0）关于原点的对
称点为D ′（ ， ）。
圆
【考点1】和圆有关的概念
（1）等弦对等圆心角（ ）
（2）在同圆或等圆中，等弦对等圆心角（ ）
（3）等弧对等弦( ) （4）等弦对等弧（ ）
（5）等弧对等圆心角（ ） (6)直径是圆的对称轴（ ）
【考点2】垂径定理及其推论
如果一条直线满足
(1)过圆心 （2）垂直弦 （3） 平分弦 (4)平分弧（优
弧和劣弧） （5）平分圆心角
知之其中两个条件可以推出三个 （知二求三）特别：
当选择过圆心和平分弦时，必须强调该弦不是直径。 (1)平分弦的直径垂直于弦. （ ） (2) 垂直于弦的直径平分弦. （ ）
1、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．
2、如图，⊙O 中，OE ⊥弦AB 于E ，OF ⊥弦CD 于F ，OE=OF，(1)求证：AB ＝CD (2) 如果AB>CD，则OF
3．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道?
4、已知△ABC 中，∠C=90°，AC=3,BC=4，以C 为圆心，CA 为半径画圆交AB 于点D ，求AD 的长
【考点3】弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系： （举一反三）在同圆和等圆中，等弧对等弦对等角（包括圆心角和圆周角） 1. 如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N 在⊙O 上． 求证：AM =BN （连接MO,NO ,利用全等求证∠MOC=∠NOD, 等角等弧） A
B
2、如图15，AB 、CD 是⊙O 的直径，DE 、BF 是弦，且DE=BF,求证：∠D=∠B 。
F
3．如图，⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于P ，且OP =PC ，求证：AD ⌒ =3CB ⌒ 圆心角证弧)
4．AB 是⊙O的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF =BF ； （2）若AD =2，⊙O的半径为3，求BC 的长．
【考点4】：直径所对的圆90°
1. 已知△ABC 中，AB=AC，AB 为⊙O 的直径，BC 交⊙O 于D ，求证：点D 为BC 中点
【考点5】知识点(4)圆内接四边形对角互补 1、如图，AB 、AC 与⊙O 相切 于点B 、C ，∠A=40º，
点P 是圆上异的一动点，则∠BPC 的度数是 【考点6】外接圆与内切圆相关概念
三角形的外心是 三边垂直平分线 的交点，它到 三个顶点 的距离相等；
三角形的内心是 三个内角平分线 的交点，它到 三边 的距离相等
1、边长为6的正三角形的内切圆半径是______，外接圆半径是
2、如图，已知⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∠C=90°，AC=3，BC=4，求该内切圆的半径。
3、如图，⊙O 内切于△ABC ，切点为D 、E 、F ，若∠B=50°, ∠C=60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，则∠EDF 等于
【考点6】与圆有关的位置关系 画圆与圆位置关系的数轴
【考点7】切线的性质
切线性质定理：圆的切线垂直于 过切点 的半径 4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，求证：AC 平分∠DAB 。
【考点8】切线的证明（两种方法）
1、 已知圆上一点 “连半径，证垂直” 2、 没告诉圆与直线有交点 “作垂直，证半径”。 1、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，求证：DE 是⊙O 的切线。
2、如图，AB=AC，OB=OC，AB 切⊙O 于D ， 证明⊙O 与AC 相切
【考点9】切线长定理
切线长相等，平分切线所成的夹角。
1、如图5，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，
∠BAC =
（1）求∠P 的度数；
（2）若BC =2cm ，求PB 的长。
图5
3、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是一条弦，连结OC 并延长OC 至P 点，并使PC=BC，
∠BOC = 60o (1)求证：PB 是⊙O 的切线。
(2)若⊙O 的半径长为1，且AB 、PB 的长是一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根，求b 、c 的值。
4、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于点A 、B ，是点C 劣弧AB 上任一点，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E 若PA=10，求△PDE 的周长
1、如图，正五边形ABCDE 的顶点都 在⊙O 上，P 是CD 上一点，
则∠BPC=____________
2、如图，小明在操场上从点O 出发，沿直线前进5米后向左转45，再沿直线前进5米后，又向左转
0⋂
450，……照这样走下去，他第一次回到出发地O 点
时，一共走了___ __米。
3、求半径为6的正六边形的中心角度数 . 周长和面积。
3
5、如图（1）所示，直线y =-x +3与x 轴相交于
4
点A ，与y 轴相交于点B ，点C （m ，n ）是第二象限内任意一点，以点C 为圆心的圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F 。所示，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r 。
【考点10】正多边形的计算
(n -2) ⋅1800
1、 正n 边形的每内角=
n
2、 正n 边形的中心角=
360
n
4已知⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3，尺规作图: (1)作出⊙O 1的内接正三角形; (2)作出⊙O 2的内接正四边形; (3)作出⊙O 3的内接正六边形
3600
3、 正n 边形的外角=
n
4、 边心距r 、半径R 、边长a 之间的关系：
a
R 2=r 2+() 2
2
5、 正n 边形的周长C=na 6、 正n 边形的面积S=nCr/2