初中数学中整体思想在代数中的应用
有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．
一、 整体代换
整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。
例1：已知a +d =2007，b +d =2008，c +d =2009，且abc ＝24，求222
a b c 111++的值。 bc ca ab a b c
解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：
由已知可得：a -b =-1，b -c =-1，c -a =2则 原式＝1(a 2+b 2+c 2-bc -ac =ab ) abc
=111[(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2]=⨯(1+1+4) = 2abc 488
二、整体设元
整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：(1-1111111--⋅⋅⋅-)(+++⋅⋅⋅+) [1**********]08
1111111-(1---⋅⋅⋅-)(+++⋅⋅⋅+) [1**********]07
解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设1111+++⋅⋅⋅+=a 2342007，则原式＝(1-a )(a +11) -(1-a -) a 20082008
1a a 1 =a +-a 2--a +a 2+=[**************]8
三、整体变形
整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。
例3：计算：99⋅⋅⋅9⨯99⋅⋅⋅9+199⋅⋅⋅ 99
2008个92008个92008个9
解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。
原式=99⋅⋅⋅9⨯(99⋅⋅⋅9+1) -99⋅⋅⋅9+199⋅⋅⋅ 99
2008个92008个92008个92008个9
=99 9⨯100 0+100 0
2008个92008个02008个0
=100⋅⋅⋅0⨯(99⋅⋅⋅ 99+1)
2008个02008个9
=100⋅⋅⋅0
4016个0
四、整体补形
整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。
例4：如图，在四边形ABCD 中，AB =2, CD =1, ∠A =60︒, ∠B =∠D =90︒，求四边形ABCD 的面积。
解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。
延长AD 、BC 相交于点E ，如图1
B t a n A =3在Rt ∆ABE 中，∠A =60︒, AB =2
∴B E =A
在Rt ∆CDE 中，CD =1, ∠ECD =180︒-∠BCD =60︒
∴DE =CD tan ∠ECD =1⨯tan 60︒=11S 四边形
ABCD =S ∆ABE -S ∆CDE =AB BE -CD DE 22
11=⨯2⨯⨯1= 22
说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等
边三角形或平行四边形，如图2—图5。
五、整体配凑
整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。
例5：若a +2b +3c =12，且a +b +c =ab +bc +ca ，则a +b +c =＿＿＿
22222
解析：要求a +b +c 的值，需求a 、b 、c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出a 、b 、c 之间的关系，再利用a +2b +3c =12就可以求出a 、b 、22c 的值。事实上，由a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，有
2) 0+a (b -2c ) +(c -2a ) ，=故02a 2+2b 2+2c 2-2a -b 2，-b 即c 2(a -=b c
a -b =，将之代入c a +2b +3c =12有a =b =c =2，故a +b 2+c 2=10
六、整体构造
整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。
例6：已知0
12, 的最小值。
解析：作出图6，赋予以上式子如下的几何意
义
，AC =CE =，所以
求
CD +CE 的
最小值，当D , C , E
三点共线时值最小，最小值为
DE ==13。
初中数学中整体思想在代数中的应用
有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．
一、 整体代换
整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。
例1：已知a +d =2007，b +d =2008，c +d =2009，且abc ＝24，求222
a b c 111++的值。 bc ca ab a b c
解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：
由已知可得：a -b =-1，b -c =-1，c -a =2则 原式＝1(a 2+b 2+c 2-bc -ac =ab ) abc
=111[(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2]=⨯(1+1+4) = 2abc 488
二、整体设元
整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。
例2：计算：(1-1111111--⋅⋅⋅-)(+++⋅⋅⋅+) [1**********]08
1111111-(1---⋅⋅⋅-)(+++⋅⋅⋅+) [1**********]07
解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设1111+++⋅⋅⋅+=a 2342007，则原式＝(1-a )(a +11) -(1-a -) a 20082008
1a a 1 =a +-a 2--a +a 2+=[**************]8
三、整体变形
整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。
例3：计算：99⋅⋅⋅9⨯99⋅⋅⋅9+199⋅⋅⋅ 99
2008个92008个92008个9
解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。
原式=99⋅⋅⋅9⨯(99⋅⋅⋅9+1) -99⋅⋅⋅9+199⋅⋅⋅ 99
2008个92008个92008个92008个9
=99 9⨯100 0+100 0
2008个92008个02008个0
=100⋅⋅⋅0⨯(99⋅⋅⋅ 99+1)
2008个02008个9
=100⋅⋅⋅0
4016个0
四、整体补形
整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。
例4：如图，在四边形ABCD 中，AB =2, CD =1, ∠A =60︒, ∠B =∠D =90︒，求四边形ABCD 的面积。
解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。
延长AD 、BC 相交于点E ，如图1
B t a n A =3在Rt ∆ABE 中，∠A =60︒, AB =2
∴B E =A
在Rt ∆CDE 中，CD =1, ∠ECD =180︒-∠BCD =60︒
∴DE =CD tan ∠ECD =1⨯tan 60︒=11S 四边形
ABCD =S ∆ABE -S ∆CDE =AB BE -CD DE 22
11=⨯2⨯⨯1= 22
说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等
边三角形或平行四边形，如图2—图5。
五、整体配凑
整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。
例5：若a +2b +3c =12，且a +b +c =ab +bc +ca ，则a +b +c =＿＿＿
22222
解析：要求a +b +c 的值，需求a 、b 、c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出a 、b 、c 之间的关系，再利用a +2b +3c =12就可以求出a 、b 、22c 的值。事实上，由a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，有
2) 0+a (b -2c ) +(c -2a ) ，=故02a 2+2b 2+2c 2-2a -b 2，-b 即c 2(a -=b c
a -b =，将之代入c a +2b +3c =12有a =b =c =2，故a +b 2+c 2=10
六、整体构造
整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。
例6：已知0
12, 的最小值。
解析：作出图6，赋予以上式子如下的几何意
义
，AC =CE =，所以
求
CD +CE 的
最小值，当D , C , E
三点共线时值最小，最小值为
DE ==13。