初三数学复习教案
课 题：相似三角形（2）
教学目的：综合运用相似三角形的性质，判定定理探究一些以相似为背景的综合性考题。 教学重点：注意数形结合、分类讨论以及转化的思考方法。
教学过程：例题分析
例1．如图，将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题： （1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2一写出来。 C
例2．如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合) ，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B
(1)求证：△ABP∽△PCE；(2)求等腰梯形的腰AB 的长；
(3)在底边BC 上是否存在一点P ，使得DE ：EC=5：3？如果
存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．
例3．已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且AE=BE.
求证：（1）AB ︵=AF ︵；
（2）AH ·BC=2AB·BE.
例4．如图矩形ABCD 的边长AB=2，AD=3，点D 在直线y =-293x +2上，AB 在x 轴上。 （1）求矩形ABCD 四个顶点的坐标； （2）设直线y =-23x +92与y 轴的交点为E ，M （x ，0）为轴上的一点（x ＞0），若ΔEOM ∽ΔCBM ，求点M （3）设点P 沿y 轴在原点O （0，0），与H （0，-6动，问过P 、A 、B 三点的抛物线的顶点是否在此矩形的内
部，请说名理由。 例5．已知如图，ΔABC 的内接矩形EFGH 的一边在BC 上，高AD=16，BC=48。 （1）若EF ：FH=5：9，求矩形EFGH 的面积； （2）设EH=x，矩形EFGH 的面积为y ，写出y 与（3）的矩形，使它们的面积之和等于ΔABC 请你求出它们的边长EH
例6．如图（1），AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，我们可以证明1
AB +1
CD =1
EF 成立（不要求证明），若将图中的垂直改为斜交，如图（2），
AB ∥CD ，AD ，BC ，相交于点E ，过E 作EF ∥AB ，交BD 于F ，则：
（1）1AB +1
CD =1
EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；
如果不成立，请说明理由；
（2）若AB 、CD 是方程x 2-(2m +1) x +m 2=0的两根，
设EF 为y ，求y 与m 之间的关系式及m 的取值范围。 （3）请给出S ∆ABD ，S ∆BED ，S ∆BDC 间的关系式，
(2)
例7. 如图1，已知AB 是⊙O的直径，AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，弦AE 与CD 交于F ，则有结论AD 2=AE·AF成立(不要求证明) ．
(1)若将弦CD 向下平移至与⊙O相切于B 点时，如图2，则AE ．AF 是否等于AG 2? 如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积? 并给出证明．
(2)当CD 继续向下平移至与⊙O 相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由
二．同步检测 1．在梯形ABCD 中AD ∥BC,AC 与BD 交于点O ，如果AD:BC=1:3，下列结论正确（ ） A. S ∆COD =9S ∆AOD B. S ∆ABC =9S ∆AOD C. S ∆BOC =9S ∆AOD D. S ∆D BC =9S ∆AO D 2．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为1：4，那么两底的比为（ ） A.1:2 B.1:4 C.1:8 D:1:16 3．一油桶高0.8m ，桶内未盛满油，一根木棒长1m ，从桶该小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油面的高度为__________m。 4．如图，PA 为圆的切线，A 为切点，PBC 为割线，∠APC 的平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，求证：(1)AD=AE； (2)AB·AE=AC·DB ． 5．已知如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD 于点H ，P 为AD 上的一个动点（点P 与点A 、D 不重合），CP 与BD 交于点E ，若CH=60/13，DH ：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP 的面积为y 。 （1）求BD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
D （3）当四边形ABEP 的面积是ΔPED 面积的5倍时，连接PB ，判断ΔPAB 与ΔPDC 是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
6．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，FE ⊥EC 交AB 于F ，连接FC （AB ＞AE ）。
（1）ΔAEF 与ΔEFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请
D 说明理由。
（2）设AB BC =k ，是否存在这样的k 值，使得ΔAEF ∽ΔBCF ？若存在，
证明你的结论并求出k 值；若不存在，请说明理由。
7．如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF ⊥BP ，垂足是B 。请在射线BF 上找一点M ，使以点B 、M 、C 为顶点的三角形与∆ABP 相似（请注意：全等三角形是相似图形的特例）。
8．如图，在∆ABC 中，点E 、F 在BC 边上，点D 、G 分别在AB 、AC 上，四边形DEFG 是矩形，若矩形DEFG 的面积与∆ADG 的面积相等，设∆ABC 的BC 边上的高AH 与DG 相交于点K 。求DG
BC 的值。
E
9．如图，正∆ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP=PE； （2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 10．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD=BD，过点E 作EF ∥AB 交AD 于F 。 求证：（1）AF=BE； （2）AF 2=AE ∙EC
B
初三数学复习教案
课 题：相似三角形（2）
教学目的：综合运用相似三角形的性质，判定定理探究一些以相似为背景的综合性考题。 教学重点：注意数形结合、分类讨论以及转化的思考方法。
教学过程：例题分析
例1．如图，将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，回答下列问题： （1）图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；
（2一写出来。 C
例2．如图，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC ，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P 为下底BC 上一点(不与B 、C 重合) ，连结AP ，过P 点作PE 交DC 于E ，使得∠APE=∠B
(1)求证：△ABP∽△PCE；(2)求等腰梯形的腰AB 的长；
(3)在底边BC 上是否存在一点P ，使得DE ：EC=5：3？如果
存在，求BP 的长；如果不存在，请说明理由．
例3．已知：如图，BC 为半圆O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，过点B 作弦BF 交AD 于点E ，交半圆O 于点F ，弦AC 与BF 交于点H ，且AE=BE.
求证：（1）AB ︵=AF ︵；
（2）AH ·BC=2AB·BE.
例4．如图矩形ABCD 的边长AB=2，AD=3，点D 在直线y =-293x +2上，AB 在x 轴上。 （1）求矩形ABCD 四个顶点的坐标； （2）设直线y =-23x +92与y 轴的交点为E ，M （x ，0）为轴上的一点（x ＞0），若ΔEOM ∽ΔCBM ，求点M （3）设点P 沿y 轴在原点O （0，0），与H （0，-6动，问过P 、A 、B 三点的抛物线的顶点是否在此矩形的内
部，请说名理由。 例5．已知如图，ΔABC 的内接矩形EFGH 的一边在BC 上，高AD=16，BC=48。 （1）若EF ：FH=5：9，求矩形EFGH 的面积； （2）设EH=x，矩形EFGH 的面积为y ，写出y 与（3）的矩形，使它们的面积之和等于ΔABC 请你求出它们的边长EH
例6．如图（1），AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF ⊥BD ，垂足为F ，我们可以证明1
AB +1
CD =1
EF 成立（不要求证明），若将图中的垂直改为斜交，如图（2），
AB ∥CD ，AD ，BC ，相交于点E ，过E 作EF ∥AB ，交BD 于F ，则：
（1）1AB +1
CD =1
EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；
如果不成立，请说明理由；
（2）若AB 、CD 是方程x 2-(2m +1) x +m 2=0的两根，
设EF 为y ，求y 与m 之间的关系式及m 的取值范围。 （3）请给出S ∆ABD ，S ∆BED ，S ∆BDC 间的关系式，
(2)
例7. 如图1，已知AB 是⊙O的直径，AB 垂直于弦CD ，垂足为M ，弦AE 与CD 交于F ，则有结论AD 2=AE·AF成立(不要求证明) ．
(1)若将弦CD 向下平移至与⊙O相切于B 点时，如图2，则AE ．AF 是否等于AG 2? 如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积? 并给出证明．
(2)当CD 继续向下平移至与⊙O 相离时，如图3，在(1)中探求的结论是否还成立，并说明理由
二．同步检测 1．在梯形ABCD 中AD ∥BC,AC 与BD 交于点O ，如果AD:BC=1:3，下列结论正确（ ） A. S ∆COD =9S ∆AOD B. S ∆ABC =9S ∆AOD C. S ∆BOC =9S ∆AOD D. S ∆D BC =9S ∆AO D 2．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为1：4，那么两底的比为（ ） A.1:2 B.1:4 C.1:8 D:1:16 3．一油桶高0.8m ，桶内未盛满油，一根木棒长1m ，从桶该小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油面的高度为__________m。 4．如图，PA 为圆的切线，A 为切点，PBC 为割线，∠APC 的平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，求证：(1)AD=AE； (2)AB·AE=AC·DB ． 5．已知如图，矩形ABCD 中，CH ⊥BD 于点H ，P 为AD 上的一个动点（点P 与点A 、D 不重合），CP 与BD 交于点E ，若CH=60/13，DH ：CD=5：13，设AP=x，四边形ABEP 的面积为y 。 （1）求BD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
D （3）当四边形ABEP 的面积是ΔPED 面积的5倍时，连接PB ，判断ΔPAB 与ΔPDC 是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由。
6．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，FE ⊥EC 交AB 于F ，连接FC （AB ＞AE ）。
（1）ΔAEF 与ΔEFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请
D 说明理由。
（2）设AB BC =k ，是否存在这样的k 值，使得ΔAEF ∽ΔBCF ？若存在，
证明你的结论并求出k 值；若不存在，请说明理由。
7．如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 内一点，且PB=3，BF ⊥BP ，垂足是B 。请在射线BF 上找一点M ，使以点B 、M 、C 为顶点的三角形与∆ABP 相似（请注意：全等三角形是相似图形的特例）。
8．如图，在∆ABC 中，点E 、F 在BC 边上，点D 、G 分别在AB 、AC 上，四边形DEFG 是矩形，若矩形DEFG 的面积与∆ADG 的面积相等，设∆ABC 的BC 边上的高AH 与DG 相交于点K 。求DG
BC 的值。
E
9．如图，正∆ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP=PE； （2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 10．如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为E ， AD=BD，过点E 作EF ∥AB 交AD 于F 。 求证：（1）AF=BE； （2）AF 2=AE ∙EC
B