圆与方程
考纲要求：
①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
圆的方程 重难点：
1、会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；
2、了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．
经典例题：
求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标解：设所求的圆的方程为：
∵
方程，可以得到关于 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的的三元一次方程组， 即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）. 或将出圆的半径
左边配方化为圆的标准方程，，圆心坐标为(4,-3) , 从而求
当堂练习：
1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a 的取值范围是（ A ）
A ．-11 D ．a=1
2．点P （m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（ B ）
A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．不确定
3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（ B ）
A ．点（a,b ） B ．点（-a,-b ） C ．以（a,b ）为圆心的圆 D ．以（-a,-b ）为圆心的圆
4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是（ A ）
A ．(x-2)2+(y+3)2=13 B ．(x+2)2+(y-3)2=13
C ．(x-2)2+(y+3)2=52 D ．(x+2)2+(y-3)2=52
5．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（ C ）
A ．a=b=r B ．|a|=|b|=r C ．|a|=|b|=|r|0 D ．以上皆对
6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（ A ）
A ．(x+7)2+(y+1)2=1 B ．(x+7)2+(y+2)2=1
C ．(x+6)2+(y+1)2=1 D ．(x+6)2+(y+2)2=1
7．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ D ）
A ．（-1，1） B ．（1，-1） C ．（-1，0） D ．（0，-1）
8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（ B ）
A ． 圆心在直线y=x上 B ．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切
C ． 圆心在直线y=-x上 D ．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切
9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，则（ C ）
A ．D=0，E=0，F 0 B ．E=0，F=0，D 0
C ．D=0，F=0，E 0 D ．F=0，D 0，E 0
10．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有
（A ）
A ．D=E B ．D=F C ．E=F D ．D=E=F
11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（ ）
A ．一个圆 B ．两条平行直线
C ．两条平行直线和一个圆 D ．两条相交直线和一个圆
12．若a 0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（ D ）
A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于直线x-y=0对称 D ．关于直线x+y=0对称
13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（ A ）
A ．x2+y2-4x+2y+4=0
C ．x2+y2-4x+2y-4=0 B ．x2+y2-4x-2y-4=0 D ．x2+y2+4x+2y+4=0
14．过点P （12，0）且与y 轴切于原点的圆的方程为 ．
15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P （3，0），则过P 点的最短弦的弦长为
直线方程为____ x+y-3=0_______．
16．过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k 的取值范围是
_，最短弦所在．
17．已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是
，距离最远的点的坐标是
．
18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．
解：设所求圆圆心为Q （a,b ），则直线PQ 与直线3x+4y-2=0垂直，即
且圆半径
r=|PQ|=
由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -
19．已知圆C ：x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．
解：圆C 的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为=1或y=kx， ,(2) (舍) ， ,(1) 当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.
由x+y-a=0，d=.
由kx-y=0，d=.
综上，圆的切线方程为
x+y-5
=0或(2)x-y=0.
20．已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9＝0表示一个圆，
（1）求t 的取值范围；
（2）求该圆半径r 的取值范围．
解：
（1）方程表示一个圆的充要条件是-4F ＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0, 即：
7t2-6t-1
)2+, （2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-
21．已知曲线C ：x2+y2-4mx+2my+20m-20＝0
(1)求证不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；
(2)证明当m≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上；
(3)若曲线C 与y 轴相切，求m 的值．
解：（1）曲线C 的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0, 由, ∴不论m 取何值时，x ＝4, y＝-2总适合曲线C 的方程，即曲线C 恒过定点(4, -2).
（2）D ＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2 ∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴
D2+E2-4F>0,
∴曲线C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由
消去m 得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.
（3）若曲线C 与y 轴相切，则m≠2，曲线C 为圆，其半径r=,
又圆心为(2m, -m),则
=|2m|, .
圆与方程
考纲要求：
①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
②能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
圆的方程 重难点：
1、会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；
2、了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．
经典例题：
求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标解：设所求的圆的方程为：
∵
方程，可以得到关于 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的的三元一次方程组， 即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）. 或将出圆的半径
左边配方化为圆的标准方程，，圆心坐标为(4,-3) , 从而求
当堂练习：
1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a 的取值范围是（ A ）
A ．-11 D ．a=1
2．点P （m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（ B ）
A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．不确定
3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（ B ）
A ．点（a,b ） B ．点（-a,-b ） C ．以（a,b ）为圆心的圆 D ．以（-a,-b ）为圆心的圆
4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是（ A ）
A ．(x-2)2+(y+3)2=13 B ．(x+2)2+(y-3)2=13
C ．(x-2)2+(y+3)2=52 D ．(x+2)2+(y-3)2=52
5．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（ C ）
A ．a=b=r B ．|a|=|b|=r C ．|a|=|b|=|r|0 D ．以上皆对
6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（ A ）
A ．(x+7)2+(y+1)2=1 B ．(x+7)2+(y+2)2=1
C ．(x+6)2+(y+1)2=1 D ．(x+6)2+(y+2)2=1
7．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（ D ）
A ．（-1，1） B ．（1，-1） C ．（-1，0） D ．（0，-1）
8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（ B ）
A ． 圆心在直线y=x上 B ．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切
C ． 圆心在直线y=-x上 D ．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切
9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，则（ C ）
A ．D=0，E=0，F 0 B ．E=0，F=0，D 0
C ．D=0，F=0，E 0 D ．F=0，D 0，E 0
10．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有
（A ）
A ．D=E B ．D=F C ．E=F D ．D=E=F
11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（ ）
A ．一个圆 B ．两条平行直线
C ．两条平行直线和一个圆 D ．两条相交直线和一个圆
12．若a 0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（ D ）
A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称
C ．关于直线x-y=0对称 D ．关于直线x+y=0对称
13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（ A ）
A ．x2+y2-4x+2y+4=0
C ．x2+y2-4x+2y-4=0 B ．x2+y2-4x-2y-4=0 D ．x2+y2+4x+2y+4=0
14．过点P （12，0）且与y 轴切于原点的圆的方程为 ．
15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P （3，0），则过P 点的最短弦的弦长为
直线方程为____ x+y-3=0_______．
16．过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k 的取值范围是
_，最短弦所在．
17．已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是
，距离最远的点的坐标是
．
18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P （2，-1），且截x 轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．
解：设所求圆圆心为Q （a,b ），则直线PQ 与直线3x+4y-2=0垂直，即
且圆半径
r=|PQ|=
由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -
19．已知圆C ：x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．
解：圆C 的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为=1或y=kx， ,(2) (舍) ， ,(1) 当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.
由x+y-a=0，d=.
由kx-y=0，d=.
综上，圆的切线方程为
x+y-5
=0或(2)x-y=0.
20．已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9＝0表示一个圆，
（1）求t 的取值范围；
（2）求该圆半径r 的取值范围．
解：
（1）方程表示一个圆的充要条件是-4F ＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0, 即：
7t2-6t-1
)2+, （2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-
21．已知曲线C ：x2+y2-4mx+2my+20m-20＝0
(1)求证不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；
(2)证明当m≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上；
(3)若曲线C 与y 轴相切，求m 的值．
解：（1）曲线C 的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0, 由, ∴不论m 取何值时，x ＝4, y＝-2总适合曲线C 的方程，即曲线C 恒过定点(4, -2).
（2）D ＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2 ∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴
D2+E2-4F>0,
∴曲线C 是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由
消去m 得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.
（3）若曲线C 与y 轴相切，则m≠2，曲线C 为圆，其半径r=,
又圆心为(2m, -m),则
=|2m|, .