《方程的意义》是京版教材第九册方程单元的起始课,是学生从算术走向代数的一次飞跃过程,是学习列方程解应用题的基础。在说课、上课的过程中,我进行了深入的反思。
一、故事回放:是学生的难点吗?
第一次说课,我设计的第一个大环节是先让学生把从天平情景中列出的算式按照天平左右两端相等或不等进行分类后,揭示等式和不等式及方程概念。接着让学生辨析:100+x70 8+x 50÷2=25 x+4
由此,我在思考,方程的本质是什么?方程的意义这节课的重点又是什么?学生认识了方程就会用方程了吗?
二、提出的问题
1、教学“方程的意义”到底要把什么作为重点?
在整个备课中,这节课作为起始课,教学“方程的意义”是把列方程作为重点,还是把教学方程概念、处理等式与方程的关系作为重点?
2、如何建立方程模型?
在查阅资料的过程中,总是看到“建模”这样的词,那么方程模型是什么?怎样在我的教学中让学生经历建立方程模型的过程?
3、教材中方程的定义是否反映了方程的本质?
含有未知数的等式是方程。这一定义有其不足。如:当学生列出方程28+130=x时,如果按其定义说就是一个方程,但它其实就是算术法;又如:a+b=b+a,也是含有字母的等式,函数s=vt也是含有未知数的等式,这些都与方程概念混淆。在教学中是否要淡化方程的定义?
三、问题的诠释
1、在天平情境和其他生活情境中根据等量关系列方程是建模过程 《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)指出:“方程是刻画现世界的有效模型。”① 这是因为,现实世界的许多数量关系,都可以
归结为一种特别的“式”的相等关系,成为一种抽象的模型。例如,行程问题,工程问题,折扣问题,百分比问题等许多不同领域中的数量关系,最后都可以归结为关于x 的一元一次方程ax=b(一般地也有a 。这样的方程,是这类问题的共同数学模型。
和一般的建立数学模型过程一样,方程模型也是首先在某种情景中发现关系,然后用自然语言描述等量关系,再用数学语言描述相应的关系,并引入未知数表达这个等量关系。
2、根据等量关系列方程是教学方程意义的重点
方程的本质是建立了有未知数x 参与的“式”的运算,建立了等式关系。因此在教学中,应该把根据等量关系列方程作为重点,而教学方程概念和处理方程与等式的关系为次之。
3、要淡化方程定义,才能突显方程的本质
方程的本质是:要“求”未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。西南大学的代数学博士导师陈重穆教授曾经指出:“含有未知数的等式叫方程”这一定义中没有体现方程的本质,这样的定义要淡化,不要记,无需背,更不要考。关键是要理解方程思想的本质,它的价值和意义。②
因此这一定义可有可无,没有人会因为不记住这一定义就不会解方程。一个对象的定义,最好能够帮助人们进行理解。正如认识一个人,光
靠一张照片是不够的,至少需要一份简历。好的定义相当于一份简历。在张奠宙撰写的《小学数学研究》这本书第111页里,还有对方程的重新定义,“方程是为了寻求未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”③这样定义把方程的核心价值提出来了,即为了寻求未知数,接着告诉我们,方程乃是一种关系,其特征是“等式”关系,这种等式关系,把未知数和已知数联系起来了,于是,人们借助这层关系,找到了我们需要的未知数。
因此要淡化方程定义,才能突显方程本质。
四、进一步的行为跟进
这节课重点要建立方程模型,也就是找出等量关系列方程。当时,我感受这节课把处理方程与等式的关系花费的时间太多,而找相等关系列方程花费的时间较少。经过再次思考与设计,我在第一次讲课中又进行了很大的修改。
1. 淡化定义,初步辨认方程
在第一大环节中,我利用课件让学生参与用天平称桔子、草莓、苹果的活动,然后学生观察天平的平衡与不平衡,从而根据天平左右两端的质量关系列出不等式、等式、方程。当所有的算式得到之后,我让学生思考:哪些是描述天平左右两边不相等关系的算式?哪些是描述天平左右两边相等关系的算式?学生们思考后,将算式分成两类,一类是不等式,一类是等式。紧接着让学生观察得到的方程,引导思考:
你们觉得方程什么样?学生思考后说:方程是等式 方程中含有未知数。学生自己归纳出:方程是含有未知数的等式。最后让学生说说方程与等式的关系。有的学生说:方程是等式。等式包括方程。是等式的不一定是方程。接着出示两个圈让学生填一填方程和等式。当时处理方程与等式的关系大约用了6分钟。
2. 经历建模过程,学会列方程
在第二大环节列方程中,我精心选取了5道生活情景题。第一题是我和班中一个学生比身高。当时,我告诉学生老师的身高你们不知道用未知数x 表示,随后我把他叫到讲台上和我比身高,并悄悄问这个学生身高,然后告诉下面的学生:老师比他高28厘米。这时,我把他和我比身高图片用电脑课件出示。再由这个学生告诉大家他的身高是130厘米,并标在图片上。让学生看图列方程。当时所有学生的注意力集中,兴趣很高,也很认真列方程。汇报时,学生列的方程有:x-28=130 x-130=28 28+130=x 当时,我追问学生:你根据什么相等关系列的方程?张卓凡说:“我根据 老师身高–身高差=黄森身高。” 李丽说:“我根据 老师身高–黄森身高=身高差。”张强说:“我根据 身高差+黄森身高=老师身高。”接着,我总结说:“你们都能找到各自的相等关系列方程。真棒。”紧接着我引导学生观察第三个方程,老师把x 捂上,你发现什么了?”马上就有一个孩子把手举得高高的说:“这就是我们以前的计算方法。”接着我补充:“对,说的很好。一个x 在一边,就是我们以前学过的算术方法。那x 其实就是多少?”
生说“158”。师追问:“对比看前面两个方程的x, 他们有什么特点?”学生说:“他们的x 在方程的左边。”我追问:“除了x 在算式的左边,还发现了什么?”静静等了等,有一个学生说:“未知数x 和已知条件28做减法。”我继续补充:观察得真细致。未知数x 与已知条件参与计算了,这两个方程的未知数x 可以求出来。以后我们不列一个x 在一边的方程,因为那是算术方法。”
随后,我又出示了
图1 图2
图3 图4
四道生活情境题让学生列方程。绝大多数学生能列出正确的方程,也能说出根据的相等关系。
3. 回归情境,凸显“方程模型”的价值
当学生经历了列方程后,最后环节我设计了让学生根据同一个方程编不同情境的应用题。记得我出示图1和图4,说:“这两道题都能列出方程4x=400,你还能编出其他的应用题也能列出方程4x=400吗?”这时,又激起了学生的思考,静静地等了一会儿,很多学生都举起手编题。有的学生说:“我有4块同样的巧克力,每块巧克力是x 元,4块巧克力是400元。” 有的学生说:“一辆汽车平均每小时行x 千米,4小时共行400千米。”还有的说:“平均每个人分4个本,x
个人共分400个本。”……当学生说完后,我又出示了两道题“每条船坐4人,x 条船一共坐400人。”“ ”。等到下课时,学生谈自己的收获,有的说:“我会列方程了。”有的说:“只要找到相等关系就能列出正确的方程。”
经过这次磨课,使我真正理解了方程的本质。也初步知道了如何教学方程的意义,如何让学生经历方程的建模过程。
《方程的意义》是京版教材第九册方程单元的起始课,是学生从算术走向代数的一次飞跃过程,是学习列方程解应用题的基础。在说课、上课的过程中,我进行了深入的反思。
一、故事回放:是学生的难点吗?
第一次说课,我设计的第一个大环节是先让学生把从天平情景中列出的算式按照天平左右两端相等或不等进行分类后,揭示等式和不等式及方程概念。接着让学生辨析:100+x70 8+x 50÷2=25 x+4
由此,我在思考,方程的本质是什么?方程的意义这节课的重点又是什么?学生认识了方程就会用方程了吗?
二、提出的问题
1、教学“方程的意义”到底要把什么作为重点?
在整个备课中,这节课作为起始课,教学“方程的意义”是把列方程作为重点,还是把教学方程概念、处理等式与方程的关系作为重点?
2、如何建立方程模型?
在查阅资料的过程中,总是看到“建模”这样的词,那么方程模型是什么?怎样在我的教学中让学生经历建立方程模型的过程?
3、教材中方程的定义是否反映了方程的本质?
含有未知数的等式是方程。这一定义有其不足。如:当学生列出方程28+130=x时,如果按其定义说就是一个方程,但它其实就是算术法;又如:a+b=b+a,也是含有字母的等式,函数s=vt也是含有未知数的等式,这些都与方程概念混淆。在教学中是否要淡化方程的定义?
三、问题的诠释
1、在天平情境和其他生活情境中根据等量关系列方程是建模过程 《全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)指出:“方程是刻画现世界的有效模型。”① 这是因为,现实世界的许多数量关系,都可以
归结为一种特别的“式”的相等关系,成为一种抽象的模型。例如,行程问题,工程问题,折扣问题,百分比问题等许多不同领域中的数量关系,最后都可以归结为关于x 的一元一次方程ax=b(一般地也有a 。这样的方程,是这类问题的共同数学模型。
和一般的建立数学模型过程一样,方程模型也是首先在某种情景中发现关系,然后用自然语言描述等量关系,再用数学语言描述相应的关系,并引入未知数表达这个等量关系。
2、根据等量关系列方程是教学方程意义的重点
方程的本质是建立了有未知数x 参与的“式”的运算,建立了等式关系。因此在教学中,应该把根据等量关系列方程作为重点,而教学方程概念和处理方程与等式的关系为次之。
3、要淡化方程定义,才能突显方程的本质
方程的本质是:要“求”未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。西南大学的代数学博士导师陈重穆教授曾经指出:“含有未知数的等式叫方程”这一定义中没有体现方程的本质,这样的定义要淡化,不要记,无需背,更不要考。关键是要理解方程思想的本质,它的价值和意义。②
因此这一定义可有可无,没有人会因为不记住这一定义就不会解方程。一个对象的定义,最好能够帮助人们进行理解。正如认识一个人,光
靠一张照片是不够的,至少需要一份简历。好的定义相当于一份简历。在张奠宙撰写的《小学数学研究》这本书第111页里,还有对方程的重新定义,“方程是为了寻求未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。”③这样定义把方程的核心价值提出来了,即为了寻求未知数,接着告诉我们,方程乃是一种关系,其特征是“等式”关系,这种等式关系,把未知数和已知数联系起来了,于是,人们借助这层关系,找到了我们需要的未知数。
因此要淡化方程定义,才能突显方程本质。
四、进一步的行为跟进
这节课重点要建立方程模型,也就是找出等量关系列方程。当时,我感受这节课把处理方程与等式的关系花费的时间太多,而找相等关系列方程花费的时间较少。经过再次思考与设计,我在第一次讲课中又进行了很大的修改。
1. 淡化定义,初步辨认方程
在第一大环节中,我利用课件让学生参与用天平称桔子、草莓、苹果的活动,然后学生观察天平的平衡与不平衡,从而根据天平左右两端的质量关系列出不等式、等式、方程。当所有的算式得到之后,我让学生思考:哪些是描述天平左右两边不相等关系的算式?哪些是描述天平左右两边相等关系的算式?学生们思考后,将算式分成两类,一类是不等式,一类是等式。紧接着让学生观察得到的方程,引导思考:
你们觉得方程什么样?学生思考后说:方程是等式 方程中含有未知数。学生自己归纳出:方程是含有未知数的等式。最后让学生说说方程与等式的关系。有的学生说:方程是等式。等式包括方程。是等式的不一定是方程。接着出示两个圈让学生填一填方程和等式。当时处理方程与等式的关系大约用了6分钟。
2. 经历建模过程,学会列方程
在第二大环节列方程中,我精心选取了5道生活情景题。第一题是我和班中一个学生比身高。当时,我告诉学生老师的身高你们不知道用未知数x 表示,随后我把他叫到讲台上和我比身高,并悄悄问这个学生身高,然后告诉下面的学生:老师比他高28厘米。这时,我把他和我比身高图片用电脑课件出示。再由这个学生告诉大家他的身高是130厘米,并标在图片上。让学生看图列方程。当时所有学生的注意力集中,兴趣很高,也很认真列方程。汇报时,学生列的方程有:x-28=130 x-130=28 28+130=x 当时,我追问学生:你根据什么相等关系列的方程?张卓凡说:“我根据 老师身高–身高差=黄森身高。” 李丽说:“我根据 老师身高–黄森身高=身高差。”张强说:“我根据 身高差+黄森身高=老师身高。”接着,我总结说:“你们都能找到各自的相等关系列方程。真棒。”紧接着我引导学生观察第三个方程,老师把x 捂上,你发现什么了?”马上就有一个孩子把手举得高高的说:“这就是我们以前的计算方法。”接着我补充:“对,说的很好。一个x 在一边,就是我们以前学过的算术方法。那x 其实就是多少?”
生说“158”。师追问:“对比看前面两个方程的x, 他们有什么特点?”学生说:“他们的x 在方程的左边。”我追问:“除了x 在算式的左边,还发现了什么?”静静等了等,有一个学生说:“未知数x 和已知条件28做减法。”我继续补充:观察得真细致。未知数x 与已知条件参与计算了,这两个方程的未知数x 可以求出来。以后我们不列一个x 在一边的方程,因为那是算术方法。”
随后,我又出示了
图1 图2
图3 图4
四道生活情境题让学生列方程。绝大多数学生能列出正确的方程,也能说出根据的相等关系。
3. 回归情境,凸显“方程模型”的价值
当学生经历了列方程后,最后环节我设计了让学生根据同一个方程编不同情境的应用题。记得我出示图1和图4,说:“这两道题都能列出方程4x=400,你还能编出其他的应用题也能列出方程4x=400吗?”这时,又激起了学生的思考,静静地等了一会儿,很多学生都举起手编题。有的学生说:“我有4块同样的巧克力,每块巧克力是x 元,4块巧克力是400元。” 有的学生说:“一辆汽车平均每小时行x 千米,4小时共行400千米。”还有的说:“平均每个人分4个本,x
个人共分400个本。”……当学生说完后,我又出示了两道题“每条船坐4人,x 条船一共坐400人。”“ ”。等到下课时,学生谈自己的收获,有的说:“我会列方程了。”有的说:“只要找到相等关系就能列出正确的方程。”
经过这次磨课,使我真正理解了方程的本质。也初步知道了如何教学方程的意义,如何让学生经历方程的建模过程。