2016年高考数学回归课本必备

1．区分集合中元素的形式：如：{x |y =lg x }—函数的定义域；{y |y =lg x }—函数的值域；{(x , y ) |y =lg x }—函数图象上的点集。

2．在应用条件A ∪B ＝Ｂ⇔A ∩B ＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况． 3，含n 个元素的集合的子集个数为2n , 真子集个数为2n －1; 如满足{1, 2}⊂≠M ⊆{1, 2,3, 4,5}集合M 有______个。（答：7） 4、C U (A∩B)=CU A ∪C U B; CU (A∪B)=CU A ∩C U B;card(A∪B)=? 5、A ∩B=A⇔A ∪B=B⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U 6、命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别: 命题p ⇒q 的否定是

p ⇒⌝q ；否命题是

⌝p ⇒⌝q ；命题“p 或q ”的否定是“┐P且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P或┐Q”

7、指数式、对数式：

a =m n

-m n

=，a 0=1，log a 1=0，log a a =1，lg 2+lg5=1，log e x =ln x ，m ，a n

log a N

a b =N ⇔log a N =b (a >0, a ≠1, N >0) ，a

8、二次函数

=N 。

①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0, 顶点?); 顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?) ;b=0偶函数;

③区间最值:配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数

y =

x -2x +4的定义域、值域都是闭区间[2, 2b ]，则b ＝（答：2） 2

④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

方程f (x ) =0在(k 1, k 2) 上有且只有一个实根, 与f (k 1) f (k 2)

⎧a >0

二次函数f (x ) =ax 2+bx +c >0恒成立的充要条件是 ⎨2.

⎩b -4ac

c c

(x ≠0) 平移⇒y =a +(中心为(b,a))

x -b x

0), (0，+∞) 上为增函数是奇函数, a

-a ],[a , +∞) 递增 a >0时, 在(0a ],[-a , 0) 递减在(-∞，

11．函数的单调性

(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ] 上是增函数； (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果

f '(x )

12．画函数图像应该的顺序是：定义域、奇偶性、列表等。

函数y =f (x ), y =f (x )的图像如何画？

13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．

14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 15、周期性。

(1)若y =f (x ) 图像有两条对称轴x =a , x =b (a ≠b ) ，则y =f (x ) 必是周期函数，且一周期为T =2|a -b |；

（2）函数f (x ) 满足f (x )=f (a +x )(a >0) ，则f (x ) 是周期为a 的周期函数”： ①函数f (x ) 满足-f (x )=f (a +x )，则f (x ) 是周期为2a 的周期函数； ②若f (x +a ) =

(a ≠0) 恒成立，则T =2a ； f (x )

(a ≠0) 恒成立，则T =2a . f (x )

③若f (x +a ) =-

16、函数的对称性。

(1)满足条件f (x +a )=f (b -x )的函数的图象关于直线x =

a +b

对称。 2

（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍

在图像上；

（3）反比例函数:y =(x ≠0) 平移⇒y =a +

c x c

(中心为(b,a)) x -b

17. 一平二等的的含义：

(1)函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. (2)函数y=f (mx +a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线x =

⇔f (a +mx ) =f (b -mx )

b -a

对称. 2m

题型方法总结

18判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 19求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：。 f (x ) =ax 2+bx +c ；顶点式：f (x ) =a (x -m ) 2+n ；零点式：f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2) ）如已知f (x ) 为二次函数，且 f (x -2) =f (-x -2) ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22, 求f (x ) 的解析式。（答：f (x ) =

x +2x +1） 2

（2）代换（配凑）法――已知形如f (g (x )) 的表达式，求f (x ) 的表达式。

如（1）已知f (1-cos x ) =sin 2x , 求f x 2的解析式

（答：f (x 2) =-x 4+2x 2, x ∈[）；

（2）若f (x -) =x 2+2，则函数f (x -1) =_____（答：x 2-2x +3）；

x x

()

（3）若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) =x (1+x ) ，那么当

x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =________

（答：x (1）.

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f (x ) 的定义域应是g (x ) 的值域。（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f (x ) 及另外一个函数的方程组。如（1）已知f (x ) +2f (-x ) =3x -2，求f (x ) 的解析式（答：f (x ) =-3x -（2）已知f (x ) 是奇函数，且f (x ) +g (x ) = g (x ) 是偶函数，

）； 3

x 1

, 则f (x ) 2）。 x -1x -1

20求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?; 偶次根式被开方数?; 对数真数? ，底数?; 零指数幂的底数?); 实际问题有意义;

若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；

⎡1⎤

如：若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f o g l (

2⎣⎦

（答：x |2≤x ≤4）x ) 的定义域为____

{}

（2）若函数f (x 2+1) 的定义域为[-2,1) ，则函数f (x ) 的定义域为________（答：[1,5]）．

设函数f (x ) =log m (ax 2+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b 2-4ac . 若f (x ) 的定义域为R , 则

a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要检验.

21求值域:①配方法：如：求函数y =x 2-2x +5, x ∈[-1,2]的值域（答：[4,8]）；

②逆求法（反求法）：如：y =通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，x

1+3

通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））； ③换元法：

如（1）y =2sin 2x -3cos x -1的值域为_____（答：[-4,

]）； 8

（2

）y =2x +1的值域为_____（答：[3, +∞)）

=t ，t ≥0。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：y =

2sin θ-13

的值域（答：(-∞, ]）；

1+cos θ2

不等式法

――利用基本不等式a +b ≥a , b ∈R +) 求函数的最值。

(a 1+a 2) 2

如设x , a 1, a 2, y 成等差数列，x , b 1, b 2, y 成等比数列，则的取值范围是

b 1b 2____________.（答：(-∞,0] [4,+∞) ）。

19如求y =x -(1

sin 2x 8011

（答：(0,) 、[,9]、[0, +∞)）；

-log 3(5-x )的值域为______

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点P (x , y ) 在圆x 2+y 2=1上，求

及y -2x 的取值范围 x +2

（答：[-

；、[）

（2）

求函数y =的值域（答：[10,+∞) ）； 1）求y =

x ⎡11⎤

的值域（答：）；（2）

求函数的y =-, 2⎢⎥1+x ⎣22⎦

x 2+x +11

值域（答：[0,]）如求y =的值域（答：(-∞, -3] [1,+∞) ）

2x +1

⑨导数法; 分离参数法;

―如求函数f (x ) =2x 3+4x 2-40x ，x ∈[-3,3]的最小值。（答：－48）

x 2-x +33+2x

(x ∈[-1,1])②y =, x ∈(-∞, 0) ；用2种方法求下列函数的值域：①y =

3-2x x x 2-x +3

, x ∈(-∞, 0) ③y =

x -1

22 抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？

几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f (x ) =kx (k ≠0) ---------------f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) ；

x f (x )

②幂函数型：f (x ) =x 2 --------------f (xy ) =f (x ) f (y ) ，f () =；

y f (y )

f (x )

③指数函数型：f (x ) =a x ----------f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，f (x -y ) =；

f (y )

④对数函数型：f (x ) =log a x ---f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，f () =f (x ) -f (y ) ；

f (x ) +f (y )

⑤三角函数型：f (x ) =tan x ----- f (x +y ) =。

1-f (x ) f (y ) 23、恒成立问题:分离参数法; 最值法; 化为一次或二次方程根的分布问题. a ≥f(x)恒成立⇔a ≥[f(x)]max, ; a≤f(x)恒成立⇔a ≤[f(x)]min ; 给参数范围求自变量范围常用变元思想解决

任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝g (x ) ＋h (x )

其中g （x ）＝f （x ）＋f （－x ）是偶函数，h （x ）＝f （x ）－f （－x ）是奇函数

24利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出f (0)或f (1)、令y =x 或y =-x 等）、

递推法、反证法等）进行逻辑探究。如

（1）若x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是_____（答：奇函数）；（2）若x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，

则f (x ) 的奇偶性是______（答：偶函数）；

（3）已知f (x ) 是定义在(-3,3) 上的奇函数，当0

3f (x ) 的图像如右图所示，那么不等式f (x ) cos x

, -1) (0,1) (,3) ）；

（4）设f (x ) 的定义域为R +，对任意x , y ∈R +，都有f () =f (x ) -f (y ) ，且x >1时，

f (x )

． (0,1] [4,5)）

25、导数几何物理意义:k=f/(x0) 表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率。V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度,a=v′(t)表示t 时刻加速度。 26、a n ={

S 1(n =1)

S n -S n -1(n ≥2, n ∈N *)

注意验证a 1是否包含在a n 的公式中。

｛a n ｝等差⇔a n -a n -1=d (常数) ⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2, n ∈N *中项) 27、

⇔a n =an +b (一次) ⇔s n =An 2+Bn (常数项为0的二次); a , b , A , B =?

⎧a n 2=a n-1⋅a n +1(n≥2,n ∈N) a n

｛a n }等比⇔⎨⇔=q(定);

a n -1a n ≠0⎩

⇔a n =a 1⋅q n -1⇔s n =m -m ⋅q n ; m =?

28、首项正的递减(或首项负的递增) 等差数列前n 项和最大(或最小) 问题, 转化为解不等式

⎧a n ≥0⎧a n ≤0

(或) , 或用二次函数处理;(等比前n 项积?) ，由此你能求一般数列中的⎨⎨

a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1

最大或最小项吗？

29、等差数列中a n =a1+(n-1)d;Sn =na 1+

n (n -1) n (a 1+a n )

d =na n -n (n -1) d = 222

a (1-q ) a 1-a n q 1n-1

等比数列中a n = a1 q ; 当q=1,Sn =na1 当q ≠1,S n ==

1-q 1-q

30. 常用性质：

等差数列中, an =am + (n－m)d, d =

a m -a n

; 当m+n=p+q,am +an =ap +aq ； m -n

等比数列中，a n =am q n-m ; 当m+n=p+q ，a m a n =ap a q ；

31. 等差数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、„„

仍为等差数列。

等比数列{an }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、„„仍为等比数列。

如：公比为-1时，S 4、S 8-S 4、S 12-S 8、„不成等比数列

32 求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加. 关键找通项结构. 33求通项常法:

⎧S 1 (n=1) a n =⎨

⎩S n -S n -1 (n≥2) （1）已知数列的前n 项和s n , 求通项a n ，可利用公式:

（2）先猜后证

（3）递推式为a n ＋1＝a n ＋f(n) (采用累加法) ；a n ＋1＝a n ×f(n) (采用累积法) （4）构造法形如a n =ka n -1+b 、a n =ka n -1+b n （k , b 为常数）的递推数列

如①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运

用a n ＝（a n －a n-1）+(an-1－a n-2)+„„＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝

a n a n －1a 2

⋅ a 1 a n －1a n －2a 1

（6）倒数法形如a n =

a n -1

的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka n -1+b

1a n -1

，求a n （答：a n =）；

3n -23a n -1+1

） n 2

如①已知a 1=1, a n =

②已知数列满足a 1=1

，=a n （答：a n =

34、（1）常见和：1+2+3+ +n =n (n +1) ，12+22+ +n 2=n (n +1)(2n +1) ，

n (n +1) 2

13+23+33+ +n 3=[]

（2）应用问题：单利用等差，复利用等比

ab (1+b ) n

分期付款(按揭贷款) 每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ). n

(1+b ) -135、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式：l =|α|R ，扇形面积公式：S =lR =|α|R 2，

1弧度(1rad)≈57.3 .

ω⋅x +ϕ) +b （ω36、函数y=A sin(

①五点法作图;

②振幅? 相位? 初相? 周期T=

>0, A >0）

2ππ

, 频率? φ=kπ时奇函数; φ=kπ+时偶函数.

2ω

③对称轴处y 取最值, 对称中心处值为0; 对称轴？对称中心？余弦、正切可类比. （正切图像的渐近线与轴交点也是对称中心） ④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;

ωy =sin x −−−−−→y =sin(x +Φ) −−−−−−−−→y =sin(ωx +Φ)

左或右平移|Φ|

横坐标伸缩到原来的

1倍

y =sin x ω−−−−−−−−→

横坐标伸缩到原来的

倍

y =sin ωx ω→−−−−−

左或右平移|

y =sin(ωx +Φ)

标伸缩到原来的A 倍下平移|b |

−纵坐−−−−−−−→y =A sin(ωx +Φ) −上或−−−−→y =A sin(ωx +Φ) +b

a b c b 2+c 2-a 222237、正弦定理:2R===; 余弦定理：a =b+c-2bc cos A , cos A =;

sin A sin B sin C 2bc

38、内切圆半径r=

2S ∆ABC 111

S =ab sin C =bc sin A =ca sin B

22a +b +c 2

39、诱导公式简记:奇变偶不变, 符号看象限．(注意：公式中始终视α为锐角)

40、重要公式： sin α=

1-cos 2α1+cos 2α2

；cos α=．；22

n a t

α1-s o c αn i s α1-s o c αθθ2θθ

=±==; ±sin θ=(cos±sin ) =cos ±sin 21+s o c α1+s o c αn i s α2222

ππ

（1）若x ∈(0,) ，则sin x

(0,) ，则1

(3) |sin x |+|cos x |≥1.

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan(α±β) =

tan α±tan β

1 tan αtan β

41巧变角：如α=(α+β) -β=(α-β) +β，2α=(α+β) +(α-β) ，

2α=(β+α) -(β-α) ，α+β=2⋅

α+β

，

α+β

=α-

(

)(β)等）

-2-

42、辅助角公式中辅助角的确定：

a sin x +b cos x =(x +θ)(其中tan θ=b 由点(a , b ) 的象限决定)

、-≤±≤+,

44、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ

＝

向量的平行与垂直设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，

则a ∥b(b≠0) ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0 a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

45、 e 1和e 2是平面一组基底, 则该平面任一向量a =λ1e 1+λ2e 2(λ1, λ2唯一)

特别：. ＝λ1OA +λ2OB 则λ1+λ2=1是三点P 、A 、B 共线的充要条件.

→

→→→

46、在∆ABC 中， PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心， 3

特别地PA +PB +PC =0⇔P 为∆ABC 的重心；

△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标

x +x +x y +y 2+y 3

) . 是G (123, 1

47、 PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为∆ABC 的垂心；

+)(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直48、向量λ(|AB ||AC |

线) ；|AB |PC +|BC |PA +|CA |PB =0⇔P ∆ABC 的内心；三角形四“心”向量形式的充要条件

设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则

2 2 2

（1）O 为∆ABC 的外心（中垂线）⇔OA =OB =OC .

（2）O 为∆ABC 的重心（中线）⇔OA +OB +OC =0.

（3）O 为∆ABC 的垂心（高）⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .

（4）O 为∆ABC 的内心（角平分线）⇔aOA +bOB +cOC =0.

⎛AB AC ⎫

（5）动点p 满足op =OA +λ ⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过重心 + AB sin B AC sin C ⎪⎝⎭

⎛⎫ AB AC

（6）动点p 满足op =OA +λ ⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过垂心 + AB cos B AC cos C ⎪⎝⎭

⎛⎫ OB +OC AB AC

（7）p 满足op =⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过外心 +λ + ⎪2⎝AB cos B AC cos C ⎭ ⎛AB AC ⎫

+⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过内心（8）动点p 满足op =OA +λ AB AC ⎪⎝⎭49、两个不等式相乘时, 必须注意同向同正时才能相乘, 即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒” 即ａ＞ｂ＞ｏ⇒

1111

． a b a b

50、分式不等式

f (x )

>a ,(a ? 0) 的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） g (x )

51、常用不等式：若a , b >0，

≥≥≥（当且仅当a =b 时取等号）；（1

2+（2）a 、b 、c ∈R ，a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c 时，取等号）；（3）若a >b >0, m >0，则

b b +m a +m a

（4）柯西不等式 (a 1b 1+a 2b 2) 2≤(a 12+a 2)(b 12+b 2) ，(当且仅当a i =λb i 时取“=”号) ．

52、①一正二定三相等；

②积定和最小, 和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；

y =4x -

(x >) 2-4x 2的最小值。（答：8）

53、如：①函数

②若若x +2y =1，则2x +4y 的最小值是______

（答：； ③正数x , y 满足x +2y =1，则

+的最小值为______

（答：3+； x y

54、a -b ≤a ±b ≤a +b (何时取等？) ；|a|≥a ；|a|≥－a 55、不等式证明之放缩法

Ⅰ、k +1-k =

1k +1+k

12k

；

Ⅱ、

11111111

；（程度大） =-

k 2k (k -1) k -1k k 2k (k +1) k k +1111111

Ⅲ、

已知x 2+y 2=a 2，可设x =a cos θ, y =a sin θ；已知x 2+y 2≤1，可设x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ；

x 2y 2

已知2+2=1，可设x =a cos θ, y =b sin θ；

a b

57、解绝对值不等式:

①几何法(图像法) ②定义法(零点分段法); ③两边平方 ④公式法：|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x) or f(x)

|f(x)|

58. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面; 判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α、a ∩α=A (a⊄α) 、a ⊂α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 59. 位置和符号

①空间两直线:平行、相交、异面; 判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α、a ∩α=A (a⊄α) 、a ⊂α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a 60. 常用定理:

α⊥β⎫a //b ⎫

α//β⎫⎪⎪a ⊥βb ⊂α⇒a //α⇒a //α⎬⇒a //α ⎬①线面平行; a ⊂β⎬;

⎪⎭a ⊄αa ⊄α⎪⎭⎭

a //α⎫α//β⎫

a //b ⎫⎪a ⊥α⎫⎪a ⊂β⇒a //b ⎬⎬⇒c //b ⎬⇒a //b ; α⋂γ=a ⎬⇒a //b ; ②线线平行:; a //c ⎭b ⊥α⎭⎪α⋂β=b ⎪β⋂γ=b ⎭⎭

a ⊂α, b ⊂α⎫

α//β⎫a ⊥α⎫⎪

a ⋂b =O ⇒α//β⇒α//β⎬③面面平行:; a ⊥β⎬; γ//β⎬⇒α//γ

⎭⎭a //β, b //β⎪⎭

a ⊥α⎫

④线线垂直:⎬⇒a ⊥b ; 所成角b ⊂α⎭

PO ⊥α⎫

；a ⊂α⎪⎬⇒a ⊥PA (三垂线); 逆定理? a ⊥AO ⎪⎭

a ⊂α, b ⊂α⎫α⊥β⎫

a //b ⎫α//β⎫⎪⎪⇒a ⊥βa ⋂b =O ⇒l ⊥αα⋂β=l ⇒a ⊥β⎬⇒b ⊥α ⎬⑤线面垂直:; ; ; ⎬⎬a ⊥αa ⊥α⎭⎭l ⊥a , l ⊥b ⎪a ⊂α, a ⊥l ⎪⎭⎭

⑥面面垂直：二面角900;

a ⊂β⎫

⎬⇒α⊥βa ⊥α⎭

;

a //β⎫

⎬⇒α⊥βa ⊥α⎭

61. 求空间角之异面直线所成角θ的求法：

（1）范围：θ∈(0,]；

（2）求法：平移以及补形法、向量法。

（3）直线a 、b 的方向向量为a , b , 直线a 、b 所成的角为θ, 则sin θ=sin a , b 63、求空间角之直线和平面所成的角：

（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）

（4）直线l 的方向向量为a , 直线l 与平面所成的角为θ, 平面的法向量为u ，直线l 与平面法

向量的夹角为φ, 则 cos θ=sin a , u 64求空间角之二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：

S 射＝S 原⋅cos θ、转化为法向量的夹角。

平面α, β的法向量为a , b ，平面α, β成角为φ, 则 sin φ=sin a , b ，在借助图像求角

65. 空间距离:

①异面直线间距离:找公垂线;

②平行线与面间距离(两平行面间距离) →点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、

PA ⋅n h =. 向量法

③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

66. 从点O 引射线OA 、OB 、OC, 若∠AOB=∠AOC, 则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上; 若A 到OB 与OC 距离相等, 则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；三余弦定理：cos θ=cos αcos β 67. 常用转化思想:

①构造四边形、三角形把问题化为平面问题 ②将空间图展开为平面图 ③割补法 ④等体积转化

⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行 ⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直

⑦有中点等特殊点线, 用“中位线、重心”转化.

π3

，体积为a ，对棱成角为、其距离

2312

⎧R +r =h 为 a 。内切球的半径为

r=, 外接球的半径为

R=a . ⎨

R :r =3:12124⎩常用结论：棱长为a

的正四面体的高为69. 类比结论：长方体:

对角线长l 若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱成

角分别为α, β, γ, 则有cos 2α+cos2β+cos2γ=1; 体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α, β, γ, 则cos 2α+cos2β+cos2γ=2; 正方体和长方体外接球直径=体对角线长;

三角形的面积公式s p =

(a +b +

c )，圆内接四边形面积2

s 你还知道一些什么类比结论？ 70、求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解。 71，直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)或（1，k ） 72. 两直线垂直的充要条件是 A 1A 2+B 1B 2=0，两不重合直线平行的充要条件是 A 1B 2-A 2B 1=0

|Ax 0+By 0+C |

73. 点线距d=

A 2+B 2

; 点P (x 0, y 0) 关于直线Ax +By +C =0的对称点P '(m , n ) 的坐标

2A (Ax 0+By 0+C ) ⎧

m =x -0⎪⎪A 2+B 2为⎨ 特别地当k =±1时，直接代入直线方程 ⎪n =y -2B (Ax 0+By 0+C )

⎪⎩A 2+B 2

74. 圆一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,(D 2+E 2-4F >0)

⎧x =a +r cos θ

⎨

y =b +r sin θ

参数方程:⎩; 直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

75. 把两圆x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0方程相减即得相交弦所在

直线方程:(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0; （必须是相交的）

推广:椭圆、双曲线、抛物线? 过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0

76. 圆上动点到某条直线(或某点) 的距离的最大、最小值的求法(过圆心)

77，过圆x 2+y2=r2上点P(x0,y 0) 的切线为:x0x+y0y=r2; 过圆x 2+y2=r2外点P(x0,y 0) 作切线后切

点弦方程x 0x+y0y=r2:;过圆外点作圆切线有两条. 若只求出一条, 则另一条垂直ｘ轴. 过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,(D 2+E 2-4F >0) 外点P(x0,y 0)

作切线，则切线长为

PT =⎧x =a cos θx 2y 2

⎨+2=12

a b (a>b>0);参数方程⎩y =b sin θ

78. 椭圆①方程

c b 2

=-2a a ③e=

②定义:

|P F |

d 相应

=e2c

,a 2=b2+c2④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左PF 1=a+ex,右PF 2=a-ex;左

±a 2c

焦点弦AB =2a +e (x A +x B ) , 右焦点弦AB =2a -e (x A +x B ) ⑥准线x=焦准距

b 2p=c

、通径(最短焦点弦)

2b 2

⑦

S ∆PF 1F 2

b 2tan

, 当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大, 近地a-c 远地a+c;

=e>1;||PF1|-|PF2||=2a

|P F |x 2y 2

-=122

79. 双曲线 ①方程a b (a,b>0) ②定义:d 相应

c b 2

=+2

a ③e=a

,c 2=a2+b2 ④四顶点坐标？x,y 范围? 实虚轴、渐近线交点为中心

⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同); 到焦点距离常化为到准线距离 ⑥准线x=⑧渐近线

p 2

a 2c

、通径(最短焦点弦)

2b 2a

, 焦准距p=

b 2c

⑦

S ∆PF 1F 2

b 2cot

b x 2y 2

y =±x -2=02

a a b 或

; 焦点到渐进线距离为b;

80. 抛物线①方程y 2=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围? 轴？焦点F(,0), 准线x=-, ④焦半径焦点弦AB ＝x 1+x2+p=

2p sin 2α

p 2

AF =x A +

;

p 2

;y 1y 2=－p2,x 1x 2=4⑤通径2p, 焦准距p;

81，求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.

82. 对称①点(ａ, ｂ) 关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分

别是(ａ,-ｂ),(-ａ, ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ, ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ, ｂ) 关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解

83、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射) 问题.

84. 相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后, 注意用判别式、韦达定理、弦

长公式; 注意二次项系数为0的讨论; 注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用; 注意焦点弦可用焦半径公式, 其它用弦长公式

∆y 11=(1+) AB =+k ⋅x 2-x 1=(1+k ) =+2⋅y 2-y 1

k 2|a y ||a x |k

∆x

②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.

85. 轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围) 、定义法、几何法、代入法(动点

P(x,y)依赖于动点Q(x1,y 1) 而变化,Q(x1,y 1) 在已知曲线上, 用x 、y 表示x 1、y 1, 再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程) 、参数法、交轨法等.

86，运用假设技巧以简化计算. 如:中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线) 方程可设为

b x 2y 2

y =±x -=λ(λ

a 的双曲线标准方程可设为a 2b 2Ax 2+Bx2＝1; 共渐进线为参数, λ

y 0

上点可设为(2p

≠0); 抛物线

y 2=2px,y 0); 直线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理

及圆锥曲线定义.

87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

()u =1, k u （1）给出直线的方向向量或=(m , n )；

（2）给出+与AB 相交, 等于已知+过AB 的中点;

（3）给出PM +PN =0, 等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出+=λ+, 等于已知A , B 与PQ 的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数λ, 使=λ；③若存在实数

α, β, 且α+β=1, 使OC =αOA +βOB , 等于已知A , B , C 三点共线.

)

（6）给出

OP =

+λ1+λ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即=λ

（7）给出⋅=0, 等于已知MA ⊥MB , 即∠AMB 是直角, 给出⋅=m

已知∠AMB 是钝角, 给出⋅=m >0, 等于已知∠AMB 是锐角,

⎛⎫ ⎪λ+=MP （8

）给出, 等于已知MP 是∠AMB 的平分线/

（9）在平行四边形ABCD 中，给出(+) ⋅(-) =0，等于已知ABCD 是菱形;

（10）在平行四边形ABCD 中，给出|AB +AD |=|AB -AD |，等于已知ABCD 是矩形; （11）在∆A B C 中，给出OA =OB =OC ，等于已知O 是∆ABC 的外心（三角形外接圆的

圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在∆ABC 中，给出OA +OB +OC =0，等于已知O 是∆ABC 的重心（三角形的重心

是三角形三条中线的交点）；

（13）在∆ABC 中，给出OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，等于已知O 是∆ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

AB AC +) λ(+

(λ∈R ) 等于已知通过∆ABC 的内|AB ||AC |∆ABC =+（14）在中，给出

心；

（15）在∆ABC 中，给出a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0, 等于已知O 是∆ABC 的内心（三角形内

切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

AD =AB +AC

∆ABC 2（16）在中，给出, 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线;

()

88、计数原理：分类相加；分步相乘；有序排列，无序组合

89、排列数公式:A n =n(n-1)(n-2)„(n-m＋1)=

n ! (n -m )!

(m≤n,m 、n ∈N*),

n m m m -1m m -1A A =A +mA A =nA n n +1n n n n -10!=1; =n!; n.n!=(n+1)!-n!;;

m A n n ⋅(n -1) ⋅⋅⋅(n -m -1)

C ==

m ! m ⋅(m -1) ⋅(m -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1=（m ≤n ）, 90、组合数公式：

C n 0=1; C =C

m n n -m n

; C +C

r n r -1n

r r n +1; C r

n m -1C n -11C =+C r r +1+⋅⋅⋅+C r n =C r n +; +1m ;

91、主要解题方法：①优先法②捆绑法③插空法④间接扣除法⑤隔板法⑥先选后排, 先分再排(注意等分分组问题)

0n 1n -12n -22r n -r r n n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b 92、二项式定理(a +b ) n =C n

特别地：(1+x)n =1+Cn 1x+Cn 2x 2+„+Cn r x r +„+Cn n x n

93、二项展开式通项: Tr+1= Cn r a n －r b r ;

作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数

与项的系数；

94、二项式系数性质:

①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.C n m =Cn n －m

②中间项二项式系数最大:n为偶数, 中间一项; 若n 为奇数, 中间两项(哪项?)

012n n 0213n -1

③二项式系数和C n +C n +C n +⋅⋅⋅+C n =2; C n +C n +⋅⋅⋅=C n +C n +⋅⋅⋅=2;

95、f(x)=(ax+b)n 展开各项系数和为f(1);

奇次项系数和为[f (1) -f (-1)]; 偶次项系数和为[f (1) +f (-1)];

(ax +by ) n 展开各项系数和, 令x =y =1可得.

96、随机事件A 的概率0≤P (A ) ≤1，必然事件P (A ) =1；不可能事件P(A)=0；反之不成

立。等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B) 独立事件(事件A 、B 的发生互不影响):P(A•B) ＝P(A)·P(B) 独立事件重复试验：:Pn (K)=Cn k p k (1-p)n-k 为A 在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率。 97、总体、个体、样本、样本容量; 抽样方法:①简单随机抽样(包括随机数表法, 抽签法) ②分层抽样(用于个体有明显差异时，又叫按比例抽样)(3)系统抽样（又叫等距离抽样）. 共同点：每个个体被抽到的概率都相等

。 N

11n

98、总体分布的估计样本平均数：x =(x 1+x 2+x 3+⋯+x n ) =∑x i

n n i =1

11n 222

样本方差：s =[(x 1-x ) +(x 2-x ) + +(x n -x ) ]=∑(x i -x ) 2；

n n i =1

＝

(x12+x22+ x32+„+xn 2－n x ) n

方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大。提醒：若x 1, x 2, , x n 的平均数为x ，方差为s 2，则ax 1+b , ax 2+b , , ax n +b 的平均数为ax +b ，方差为a 2s 2。

99、离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）P ,2, ) ; （2）P i ≥0(i =11+P 2+ +P n =1. 数学期望 E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n 数学期望的性质

（1）E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b .

（2）若ξ～B (n , p ) , 则E ξ=np . 若ξ～H (n , M , N ) ，则E ξ=n

M N

+ 方差D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n =E (x 2) +E (x ) 2

标准差 σξ=D ξ. 方差的性质 (1)D (a ξ+b )=a 2D ξ；

(2）若ξ～两点分布，则V (x ) =p (1-p ) 、若ξ～B (n , p ) ，则V (x ) =np (1-p ) 、

若ξ～H (n , M , N ) ，则V (x ) =n

M (N -M )(N -n )

∙ N N ∙(N -1)

100、复数的相等a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ）复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +

bi |几何意义？

2016年高考数学回归课本必备

1．区分集合中元素的形式：如：{x |y =lg x }—函数的定义域；{y |y =lg x }—函数的值域；{(x , y ) |y =lg x }—函数图象上的点集。

p ⇒⌝q ；否命题是

⌝p ⇒⌝q ；命题“p 或q ”的否定是“┐P且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P或┐Q”

7、指数式、对数式：

a =m n

-m n

=，a 0=1，log a 1=0，log a a =1，lg 2+lg5=1，log e x =ln x ，m ，a n

log a N

a b =N ⇔log a N =b (a >0, a ≠1, N >0) ，a

8、二次函数

=N 。

①三种形式:一般式f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0, 顶点?); 顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?) ;b=0偶函数;

③区间最值:配方后一看开口方向, 二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数

y =

x -2x +4的定义域、值域都是闭区间[2, 2b ]，则b ＝（答：2） 2

④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

方程f (x ) =0在(k 1, k 2) 上有且只有一个实根, 与f (k 1) f (k 2)

⎧a >0

二次函数f (x ) =ax 2+bx +c >0恒成立的充要条件是 ⎨2.

⎩b -4ac

c c

(x ≠0) 平移⇒y =a +(中心为(b,a))

x -b x

0), (0，+∞) 上为增函数是奇函数, a

-a ],[a , +∞) 递增 a >0时, 在(0a ],[-a , 0) 递减在(-∞，

11．函数的单调性

(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ] 上是增函数； (x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果

f '(x )

12．画函数图像应该的顺序是：定义域、奇偶性、列表等。

函数y =f (x ), y =f (x )的图像如何画？

13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．

(1)若y =f (x ) 图像有两条对称轴x =a , x =b (a ≠b ) ，则y =f (x ) 必是周期函数，且一周期为T =2|a -b |；

(a ≠0) 恒成立，则T =2a ； f (x )

(a ≠0) 恒成立，则T =2a . f (x )

③若f (x +a ) =-

16、函数的对称性。

(1)满足条件f (x +a )=f (b -x )的函数的图象关于直线x =

a +b

对称。 2

（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍

在图像上；

（3）反比例函数:y =(x ≠0) 平移⇒y =a +

c x c

(中心为(b,a)) x -b

17. 一平二等的的含义：

(1)函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. (2)函数y=f (mx +a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线x =

⇔f (a +mx ) =f (b -mx )

b -a

对称. 2m

题型方法总结

18判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 19求函数解析式的常用方法：

x +2x +1） 2

（2）代换（配凑）法――已知形如f (g (x )) 的表达式，求f (x ) 的表达式。

如（1）已知f (1-cos x ) =sin 2x , 求f x 2的解析式

（答：f (x 2) =-x 4+2x 2, x ∈[）；

（2）若f (x -) =x 2+2，则函数f (x -1) =_____（答：x 2-2x +3）；

x x

()

（3）若函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) =x (1+x ) ，那么当

x ∈(-∞, 0) 时，f (x ) =________

（答：x (1）.

）； 3

x 1

, 则f (x ) 2）。 x -1x -1

20求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?; 偶次根式被开方数?; 对数真数? ，底数?; 零指数幂的底数?); 实际问题有意义;

若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a ≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x ∈[a,b]时g(x)的值域；

⎡1⎤

如：若函数y =f (x ) 的定义域为⎢, 2⎥，则f o g l (

2⎣⎦

（答：x |2≤x ≤4）x ) 的定义域为____

{}

（2）若函数f (x 2+1) 的定义域为[-2,1) ，则函数f (x ) 的定义域为________（答：[1,5]）．

设函数f (x ) =log m (ax 2+bx +c )(a ≠0) , 记∆=b 2-4ac . 若f (x ) 的定义域为R , 则

a >0，且∆0，且∆≥0. 对于a =0的情形, 需要检验.

21求值域:①配方法：如：求函数y =x 2-2x +5, x ∈[-1,2]的值域（答：[4,8]）；

②逆求法（反求法）：如：y =通过反解，用y 来表示3x ，再由3x 的取值范围，x

1+3

通过解不等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））； ③换元法：

如（1）y =2sin 2x -3cos x -1的值域为_____（答：[-4,

]）； 8

（2

）y =2x +1的值域为_____（答：[3, +∞)）

=t ，t ≥0。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：y =

2sin θ-13

的值域（答：(-∞, ]）；

1+cos θ2

不等式法

――利用基本不等式a +b ≥a , b ∈R +) 求函数的最值。

(a 1+a 2) 2

如设x , a 1, a 2, y 成等差数列，x , b 1, b 2, y 成等比数列，则的取值范围是

b 1b 2____________.（答：(-∞,0] [4,+∞) ）。

19如求y =x -(1

sin 2x 8011

（答：(0,) 、[,9]、[0, +∞)）；

-log 3(5-x )的值域为______

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已知点P (x , y ) 在圆x 2+y 2=1上，求

及y -2x 的取值范围 x +2

（答：[-

；、[）

（2）

求函数y =的值域（答：[10,+∞) ）； 1）求y =

x ⎡11⎤

的值域（答：）；（2）

求函数的y =-, 2⎢⎥1+x ⎣22⎦

x 2+x +11

值域（答：[0,]）如求y =的值域（答：(-∞, -3] [1,+∞) ）

2x +1

⑨导数法; 分离参数法;

―如求函数f (x ) =2x 3+4x 2-40x ，x ∈[-3,3]的最小值。（答：－48）

x 2-x +33+2x

(x ∈[-1,1])②y =, x ∈(-∞, 0) ；用2种方法求下列函数的值域：①y =

3-2x x x 2-x +3

, x ∈(-∞, 0) ③y =

x -1

22 抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？

几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f (x ) =kx (k ≠0) ---------------f (x ±y ) =f (x ) ±f (y ) ；

x f (x )

②幂函数型：f (x ) =x 2 --------------f (xy ) =f (x ) f (y ) ，f () =；

y f (y )

f (x )

③指数函数型：f (x ) =a x ----------f (x +y ) =f (x ) f (y ) ，f (x -y ) =；

f (y )

④对数函数型：f (x ) =log a x ---f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，f () =f (x ) -f (y ) ；

f (x ) +f (y )

⑤三角函数型：f (x ) =tan x ----- f (x +y ) =。

任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝g (x ) ＋h (x )

其中g （x ）＝f （x ）＋f （－x ）是偶函数，h （x ）＝f （x ）－f （－x ）是奇函数

24利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出f (0)或f (1)、令y =x 或y =-x 等）、

递推法、反证法等）进行逻辑探究。如

（1）若x ∈R ，f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ，则f (x ) 的奇偶性是_____（答：奇函数）；（2）若x ∈R ，f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ，

则f (x ) 的奇偶性是______（答：偶函数）；

（3）已知f (x ) 是定义在(-3,3) 上的奇函数，当0

3f (x ) 的图像如右图所示，那么不等式f (x ) cos x

, -1) (0,1) (,3) ）；

（4）设f (x ) 的定义域为R +，对任意x , y ∈R +，都有f () =f (x ) -f (y ) ，且x >1时，

f (x )

． (0,1] [4,5)）

25、导数几何物理意义:k=f/(x0) 表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率。V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度,a=v′(t)表示t 时刻加速度。 26、a n ={

S 1(n =1)

S n -S n -1(n ≥2, n ∈N *)

注意验证a 1是否包含在a n 的公式中。

｛a n ｝等差⇔a n -a n -1=d (常数) ⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2, n ∈N *中项) 27、

⇔a n =an +b (一次) ⇔s n =An 2+Bn (常数项为0的二次); a , b , A , B =?

⎧a n 2=a n-1⋅a n +1(n≥2,n ∈N) a n

｛a n }等比⇔⎨⇔=q(定);

a n -1a n ≠0⎩

⇔a n =a 1⋅q n -1⇔s n =m -m ⋅q n ; m =?

28、首项正的递减(或首项负的递增) 等差数列前n 项和最大(或最小) 问题, 转化为解不等式

⎧a n ≥0⎧a n ≤0

(或) , 或用二次函数处理;(等比前n 项积?) ，由此你能求一般数列中的⎨⎨

a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1

最大或最小项吗？

29、等差数列中a n =a1+(n-1)d;Sn =na 1+

n (n -1) n (a 1+a n )

d =na n -n (n -1) d = 222

a (1-q ) a 1-a n q 1n-1

等比数列中a n = a1 q ; 当q=1,Sn =na1 当q ≠1,S n ==

1-q 1-q

30. 常用性质：

等差数列中, an =am + (n－m)d, d =

a m -a n

; 当m+n=p+q,am +an =ap +aq ； m -n

等比数列中，a n =am q n-m ; 当m+n=p+q ，a m a n =ap a q ；

31. 等差数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、„„

仍为等差数列。

等比数列{an }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、„„仍为等比数列。

如：公比为-1时，S 4、S 8-S 4、S 12-S 8、„不成等比数列

32 求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加. 关键找通项结构. 33求通项常法:

⎧S 1 (n=1) a n =⎨

⎩S n -S n -1 (n≥2) （1）已知数列的前n 项和s n , 求通项a n ，可利用公式:

（2）先猜后证

（3）递推式为a n ＋1＝a n ＋f(n) (采用累加法) ；a n ＋1＝a n ×f(n) (采用累积法) （4）构造法形如a n =ka n -1+b 、a n =ka n -1+b n （k , b 为常数）的递推数列

如①已知a 1=1, a n =3a n -1+2，求a n

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运

用a n ＝（a n －a n-1）+(an-1－a n-2)+„„＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝

a n a n －1a 2

⋅ a 1 a n －1a n －2a 1

（6）倒数法形如a n =

a n -1

的递推数列都可以用倒数法求通项。

ka n -1+b

1a n -1

，求a n （答：a n =）；

3n -23a n -1+1

） n 2

如①已知a 1=1, a n =

②已知数列满足a 1=1

，=a n （答：a n =

34、（1）常见和：1+2+3+ +n =n (n +1) ，12+22+ +n 2=n (n +1)(2n +1) ，

n (n +1) 2

13+23+33+ +n 3=[]

（2）应用问题：单利用等差，复利用等比

ab (1+b ) n

分期付款(按揭贷款) 每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为b ). n

(1+b ) -135、终边相同(β=2kπ+α); 弧长公式：l =|α|R ，扇形面积公式：S =lR =|α|R 2，

1弧度(1rad)≈57.3 .

ω⋅x +ϕ) +b （ω36、函数y=A sin(

①五点法作图;

②振幅? 相位? 初相? 周期T=

>0, A >0）

2ππ

, 频率? φ=kπ时奇函数; φ=kπ+时偶函数.

2ω

ωy =sin x −−−−−→y =sin(x +Φ) −−−−−−−−→y =sin(ωx +Φ)

左或右平移|Φ|

横坐标伸缩到原来的

1倍

y =sin x ω−−−−−−−−→

横坐标伸缩到原来的

倍

y =sin ωx ω→−−−−−

左或右平移|

y =sin(ωx +Φ)

标伸缩到原来的A 倍下平移|b |

−纵坐−−−−−−−→y =A sin(ωx +Φ) −上或−−−−→y =A sin(ωx +Φ) +b

a b c b 2+c 2-a 222237、正弦定理:2R===; 余弦定理：a =b+c-2bc cos A , cos A =;

sin A sin B sin C 2bc

38、内切圆半径r=

2S ∆ABC 111

S =ab sin C =bc sin A =ca sin B

22a +b +c 2

39、诱导公式简记:奇变偶不变, 符号看象限．(注意：公式中始终视α为锐角)

40、重要公式： sin α=

1-cos 2α1+cos 2α2

；cos α=．；22

n a t

α1-s o c αn i s α1-s o c αθθ2θθ

=±==; ±sin θ=(cos±sin ) =cos ±sin 21+s o c α1+s o c αn i s α2222

ππ

（1）若x ∈(0,) ，则sin x

(0,) ，则1

(3) |sin x |+|cos x |≥1.

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;

tan(α±β) =

tan α±tan β

1 tan αtan β

41巧变角：如α=(α+β) -β=(α-β) +β，2α=(α+β) +(α-β) ，

2α=(β+α) -(β-α) ，α+β=2⋅

α+β

，

α+β

=α-

(

)(β)等）

-2-

42、辅助角公式中辅助角的确定：

a sin x +b cos x =(x +θ)(其中tan θ=b 由点(a , b ) 的象限决定)

、-≤±≤+,

44、向量b 在方向上的投影︱b ︱cos θ

＝

向量的平行与垂直设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，

则a ∥b(b≠0) ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0 a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.

45、 e 1和e 2是平面一组基底, 则该平面任一向量a =λ1e 1+λ2e 2(λ1, λ2唯一)

特别：. ＝λ1OA +λ2OB 则λ1+λ2=1是三点P 、A 、B 共线的充要条件.

→

→→→

46、在∆ABC 中， PG =(PA +PB +PC ) ⇔G 为∆ABC 的重心， 3

特别地PA +PB +PC =0⇔P 为∆ABC 的重心；

△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标

x +x +x y +y 2+y 3

) . 是G (123, 1

47、 PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为∆ABC 的垂心；

+)(λ≠0) 所在直线过∆ABC 的内心(是∠BAC 的角平分线所在直48、向量λ(|AB ||AC |

线) ；|AB |PC +|BC |PA +|CA |PB =0⇔P ∆ABC 的内心；三角形四“心”向量形式的充要条件

设O 为∆ABC 所在平面上一点，角A , B , C 所对边长分别为a , b , c ，则

2 2 2

（1）O 为∆ABC 的外心（中垂线）⇔OA =OB =OC .

（2）O 为∆ABC 的重心（中线）⇔OA +OB +OC =0.

（3）O 为∆ABC 的垂心（高）⇔OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA .

（4）O 为∆ABC 的内心（角平分线）⇔aOA +bOB +cOC =0.

⎛AB AC ⎫

（5）动点p 满足op =OA +λ ⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过重心 + AB sin B AC sin C ⎪⎝⎭

⎛⎫ AB AC

（6）动点p 满足op =OA +λ ⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过垂心 + AB cos B AC cos C ⎪⎝⎭

⎛⎫ OB +OC AB AC

（7）p 满足op =⎪, λ∈(0, +∞), 则p 过外心 +λ + ⎪2⎝AB cos B AC cos C ⎭ ⎛AB AC ⎫

1111

． a b a b

50、分式不等式

f (x )

>a ,(a ? 0) 的一般解题思路是什么？（移项通分、零点分段） g (x )

51、常用不等式：若a , b >0，

≥≥≥（当且仅当a =b 时取等号）；（1

2+（2）a 、b 、c ∈R ，a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca （当且仅当a =b =c 时，取等号）；（3）若a >b >0, m >0，则

b b +m a +m a

（4）柯西不等式 (a 1b 1+a 2b 2) 2≤(a 12+a 2)(b 12+b 2) ，(当且仅当a i =λb i 时取“=”号) ．

52、①一正二定三相等；

②积定和最小, 和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；

y =4x -

(x >) 2-4x 2的最小值。（答：8）

53、如：①函数

②若若x +2y =1，则2x +4y 的最小值是______

（答：； ③正数x , y 满足x +2y =1，则

+的最小值为______

（答：3+； x y

54、a -b ≤a ±b ≤a +b (何时取等？) ；|a|≥a ；|a|≥－a 55、不等式证明之放缩法

Ⅰ、k +1-k =

1k +1+k

12k

；

Ⅱ、

11111111

；（程度大） =-

k 2k (k -1) k -1k k 2k (k +1) k k +1111111

Ⅲ、

已知x 2+y 2=a 2，可设x =a cos θ, y =a sin θ；已知x 2+y 2≤1，可设x =r cos θ, y =r sin θ(0≤r ≤1) ；

x 2y 2

已知2+2=1，可设x =a cos θ, y =b sin θ；

a b

57、解绝对值不等式:

①几何法(图像法) ②定义法(零点分段法); ③两边平方 ④公式法：|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x) or f(x)

|f(x)|

α⊥β⎫a //b ⎫

α//β⎫⎪⎪a ⊥βb ⊂α⇒a //α⇒a //α⎬⇒a //α ⎬①线面平行; a ⊂β⎬;

⎪⎭a ⊄αa ⊄α⎪⎭⎭

a //α⎫α//β⎫

a //b ⎫⎪a ⊥α⎫⎪a ⊂β⇒a //b ⎬⎬⇒c //b ⎬⇒a //b ; α⋂γ=a ⎬⇒a //b ; ②线线平行:; a //c ⎭b ⊥α⎭⎪α⋂β=b ⎪β⋂γ=b ⎭⎭

a ⊂α, b ⊂α⎫

α//β⎫a ⊥α⎫⎪

a ⋂b =O ⇒α//β⇒α//β⎬③面面平行:; a ⊥β⎬; γ//β⎬⇒α//γ

⎭⎭a //β, b //β⎪⎭

a ⊥α⎫

④线线垂直:⎬⇒a ⊥b ; 所成角b ⊂α⎭

PO ⊥α⎫

；a ⊂α⎪⎬⇒a ⊥PA (三垂线); 逆定理? a ⊥AO ⎪⎭

a ⊂α, b ⊂α⎫α⊥β⎫

a //b ⎫α//β⎫⎪⎪⇒a ⊥βa ⋂b =O ⇒l ⊥αα⋂β=l ⇒a ⊥β⎬⇒b ⊥α ⎬⑤线面垂直:; ; ; ⎬⎬a ⊥αa ⊥α⎭⎭l ⊥a , l ⊥b ⎪a ⊂α, a ⊥l ⎪⎭⎭

⑥面面垂直：二面角900;

a ⊂β⎫

⎬⇒α⊥βa ⊥α⎭

;

a //β⎫

⎬⇒α⊥βa ⊥α⎭

61. 求空间角之异面直线所成角θ的求法：

（1）范围：θ∈(0,]；

（2）求法：平移以及补形法、向量法。

（3）直线a 、b 的方向向量为a , b , 直线a 、b 所成的角为θ, 则sin θ=sin a , b 63、求空间角之直线和平面所成的角：

（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）

（4）直线l 的方向向量为a , 直线l 与平面所成的角为θ, 平面的法向量为u ，直线l 与平面法

向量的夹角为φ, 则 cos θ=sin a , u 64求空间角之二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：

S 射＝S 原⋅cos θ、转化为法向量的夹角。

平面α, β的法向量为a , b ，平面α, β成角为φ, 则 sin φ=sin a , b ，在借助图像求角

65. 空间距离:

①异面直线间距离:找公垂线;

②平行线与面间距离(两平行面间距离) →点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、

PA ⋅n h =. 向量法

③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

①构造四边形、三角形把问题化为平面问题 ②将空间图展开为平面图 ③割补法 ④等体积转化

⑤线线平行⇔线面平行⇔面面平行 ⑥线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直

⑦有中点等特殊点线, 用“中位线、重心”转化.

π3

，体积为a ，对棱成角为、其距离

2312

⎧R +r =h 为 a 。内切球的半径为

r=, 外接球的半径为

R=a . ⎨

R :r =3:12124⎩常用结论：棱长为a

的正四面体的高为69. 类比结论：长方体:

对角线长l 若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱成

三角形的面积公式s p =

(a +b +

c )，圆内接四边形面积2

|Ax 0+By 0+C |

73. 点线距d=

A 2+B 2

; 点P (x 0, y 0) 关于直线Ax +By +C =0的对称点P '(m , n ) 的坐标

2A (Ax 0+By 0+C ) ⎧

m =x -0⎪⎪A 2+B 2为⎨ 特别地当k =±1时，直接代入直线方程 ⎪n =y -2B (Ax 0+By 0+C )

⎪⎩A 2+B 2

74. 圆一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,(D 2+E 2-4F >0)

⎧x =a +r cos θ

⎨

y =b +r sin θ

参数方程:⎩; 直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

75. 把两圆x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0方程相减即得相交弦所在

直线方程:(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0; （必须是相交的）

推广:椭圆、双曲线、抛物线? 过曲线f 1(x,y)=0与曲线f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0

76. 圆上动点到某条直线(或某点) 的距离的最大、最小值的求法(过圆心)

77，过圆x 2+y2=r2上点P(x0,y 0) 的切线为:x0x+y0y=r2; 过圆x 2+y2=r2外点P(x0,y 0) 作切线后切

点弦方程x 0x+y0y=r2:;过圆外点作圆切线有两条. 若只求出一条, 则另一条垂直ｘ轴. 过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,(D 2+E 2-4F >0) 外点P(x0,y 0)

作切线，则切线长为

PT =⎧x =a cos θx 2y 2

⎨+2=12

a b (a>b>0);参数方程⎩y =b sin θ

78. 椭圆①方程

c b 2

=-2a a ③e=

②定义:

|P F |

d 相应

=e2c

,a 2=b2+c2④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左PF 1=a+ex,右PF 2=a-ex;左

±a 2c

焦点弦AB =2a +e (x A +x B ) , 右焦点弦AB =2a -e (x A +x B ) ⑥准线x=焦准距

b 2p=c

、通径(最短焦点弦)

2b 2

⑦

S ∆PF 1F 2

b 2tan

, 当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大, 近地a-c 远地a+c;

=e>1;||PF1|-|PF2||=2a

|P F |x 2y 2

-=122

79. 双曲线 ①方程a b (a,b>0) ②定义:d 相应

c b 2

=+2

a ③e=a

,c 2=a2+b2 ④四顶点坐标？x,y 范围? 实虚轴、渐近线交点为中心

⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右焦点不同); 到焦点距离常化为到准线距离 ⑥准线x=⑧渐近线

p 2

a 2c

、通径(最短焦点弦)

2b 2a

, 焦准距p=

b 2c

⑦

S ∆PF 1F 2

b 2cot

b x 2y 2

y =±x -2=02

a a b 或

; 焦点到渐进线距离为b;

80. 抛物线①方程y 2=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y 范围? 轴？焦点F(,0), 准线x=-, ④焦半径焦点弦AB ＝x 1+x2+p=

2p sin 2α

p 2

AF =x A +

;

p 2

;y 1y 2=－p2,x 1x 2=4⑤通径2p, 焦准距p;

81，求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.

82. 对称①点(ａ, ｂ) 关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分

别是(ａ,-ｂ),(-ａ, ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ, ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ, ｂ) 关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解

84. 相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后, 注意用判别式、韦达定理、弦

长公式; 注意二次项系数为0的讨论; 注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用; 注意焦点弦可用焦半径公式, 其它用弦长公式

∆y 11=(1+) AB =+k ⋅x 2-x 1=(1+k ) =+2⋅y 2-y 1

k 2|a y ||a x |k

∆x

②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.

85. 轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围) 、定义法、几何法、代入法(动点

P(x,y)依赖于动点Q(x1,y 1) 而变化,Q(x1,y 1) 在已知曲线上, 用x 、y 表示x 1、y 1, 再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程) 、参数法、交轨法等.

86，运用假设技巧以简化计算. 如:中心在原点, 坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线) 方程可设为

b x 2y 2

y =±x -=λ(λ

a 的双曲线标准方程可设为a 2b 2Ax 2+Bx2＝1; 共渐进线为参数, λ

y 0

上点可设为(2p

≠0); 抛物线

y 2=2px,y 0); 直线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理

及圆锥曲线定义.

87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

()u =1, k u （1）给出直线的方向向量或=(m , n )；

（2）给出+与AB 相交, 等于已知+过AB 的中点;

（3）给出PM +PN =0, 等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出+=λ+, 等于已知A , B 与PQ 的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数λ, 使=λ；③若存在实数

α, β, 且α+β=1, 使OC =αOA +βOB , 等于已知A , B , C 三点共线.

)

（6）给出

OP =

+λ1+λ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即=λ

（7）给出⋅=0, 等于已知MA ⊥MB , 即∠AMB 是直角, 给出⋅=m

已知∠AMB 是钝角, 给出⋅=m >0, 等于已知∠AMB 是锐角,

⎛⎫ ⎪λ+=MP （8

）给出, 等于已知MP 是∠AMB 的平分线/

（9）在平行四边形ABCD 中，给出(+) ⋅(-) =0，等于已知ABCD 是菱形;

（10）在平行四边形ABCD 中，给出|AB +AD |=|AB -AD |，等于已知ABCD 是矩形; （11）在∆A B C 中，给出OA =OB =OC ，等于已知O 是∆ABC 的外心（三角形外接圆的

圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在∆ABC 中，给出OA +OB +OC =0，等于已知O 是∆ABC 的重心（三角形的重心

是三角形三条中线的交点）；

（13）在∆ABC 中，给出OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，等于已知O 是∆ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

AB AC +) λ(+

(λ∈R ) 等于已知通过∆ABC 的内|AB ||AC |∆ABC =+（14）在中，给出

心；

（15）在∆ABC 中，给出a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC =0, 等于已知O 是∆ABC 的内心（三角形内

切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

AD =AB +AC

∆ABC 2（16）在中，给出, 等于已知AD 是∆ABC 中BC 边的中线;

()

88、计数原理：分类相加；分步相乘；有序排列，无序组合

89、排列数公式:A n =n(n-1)(n-2)„(n-m＋1)=

n ! (n -m )!

(m≤n,m 、n ∈N*),

n m m m -1m m -1A A =A +mA A =nA n n +1n n n n -10!=1; =n!; n.n!=(n+1)!-n!;;

m A n n ⋅(n -1) ⋅⋅⋅(n -m -1)

C ==

m ! m ⋅(m -1) ⋅(m -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1=（m ≤n ）, 90、组合数公式：

C n 0=1; C =C

m n n -m n

; C +C

r n r -1n

r r n +1; C r

n m -1C n -11C =+C r r +1+⋅⋅⋅+C r n =C r n +; +1m ;

91、主要解题方法：①优先法②捆绑法③插空法④间接扣除法⑤隔板法⑥先选后排, 先分再排(注意等分分组问题)

0n 1n -12n -22r n -r r n n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b 92、二项式定理(a +b ) n =C n

特别地：(1+x)n =1+Cn 1x+Cn 2x 2+„+Cn r x r +„+Cn n x n

93、二项展开式通项: Tr+1= Cn r a n －r b r ;

作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数

与项的系数；

94、二项式系数性质:

①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.C n m =Cn n －m

②中间项二项式系数最大:n为偶数, 中间一项; 若n 为奇数, 中间两项(哪项?)

012n n 0213n -1

③二项式系数和C n +C n +C n +⋅⋅⋅+C n =2; C n +C n +⋅⋅⋅=C n +C n +⋅⋅⋅=2;

95、f(x)=(ax+b)n 展开各项系数和为f(1);

奇次项系数和为[f (1) -f (-1)]; 偶次项系数和为[f (1) +f (-1)];

(ax +by ) n 展开各项系数和, 令x =y =1可得.

96、随机事件A 的概率0≤P (A ) ≤1，必然事件P (A ) =1；不可能事件P(A)=0；反之不成

。 N

11n

98、总体分布的估计样本平均数：x =(x 1+x 2+x 3+⋯+x n ) =∑x i

n n i =1

11n 222

样本方差：s =[(x 1-x ) +(x 2-x ) + +(x n -x ) ]=∑(x i -x ) 2；

n n i =1

＝

(x12+x22+ x32+„+xn 2－n x ) n

99、离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）P ,2, ) ; （2）P i ≥0(i =11+P 2+ +P n =1. 数学期望 E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n 数学期望的性质

（1）E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b .

（2）若ξ～B (n , p ) , 则E ξ=np . 若ξ～H (n , M , N ) ，则E ξ=n

M N

+ 方差D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n =E (x 2) +E (x ) 2

标准差 σξ=D ξ. 方差的性质 (1)D (a ξ+b )=a 2D ξ；

(2）若ξ～两点分布，则V (x ) =p (1-p ) 、若ξ～B (n , p ) ，则V (x ) =np (1-p ) 、

若ξ～H (n , M , N ) ，则V (x ) =n

M (N -M )(N -n )

∙ N N ∙(N -1)

100、复数的相等a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ）复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +

bi |几何意义？

2016年高考数学回归课本必备

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