反比例函数图象与性质教学设计
姓名 齐福德 学科 数学 年级 八年级
一、教学目标
1、通过对实际问题的研究，发现反比例函数与现实世界的联系，能根据问题条件，确定反比例函数的概念，掌握反比例函数的解析式。
2、通过小组分工合作，在画具体函数图象的过程中,探索反比例函数图象特征，根据图象特征，总结画法，感受数学的图像美，简洁美。培养团队合作意识。
3、从具体图象入手分析得出图象性质，感受从“特殊”到“一般”的
认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
4、经历从现实中来，又回到现实中去的过程，体会数学在认识世界，改造世界中的作用，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点
教学重点：反比例函数的概念，图象及性质。
教学难点：
1、选取适当的点画反比例函数图象。
2、反比例函数图象和性质的理解和掌握。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：以问题为主线的引导讨论法和启发式的教学方法．
教学手段：多媒体辅助教学．
四、教学过程：
（一）创设情景，导入新课。
我们知道时间一定时，路程与速度成正比，如果路程一定呢？请看下面的数据： 世界上最长的跨海大桥东海大桥全长31公里。。
① 人步行的速度约为5千米/小时，所需时间为6.2小时。
②汽车的平均速度为60千米/小时，所需时间约为0.52小时
② 上海磁悬浮列车平均时速为420千米/小时，所需时间约为0.07小时。
【师】：以上数据中那些是常量，那些是变量？变量中我们可以把谁看成自变量，谁是谁的函数？如果我们用X表示速度V，用Y表示时间X可以得到怎样的关系式？时间与速度的对应关系还是正比例关系吗？
（从实际问题入手，使学生认识数学来源于生活。）
【师】：这时变量X、Y成反比例。谁能仿照正比例函数给反比例函数下一个定义？
（二）、认识反比例函数解析式
【师】今天我们一起认识这位新朋友，小组讨论正、反比例函数概念有何异同？学生回答教师总结：两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且k≠0；不同点是自变量在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。
（这一环节设计正反比例函数进行比较，师生共同归纳）
【师】：他们同属函数范畴，研究方法有许多相似之处，下面我们一起来体会。 例题 已知变量Y与X成反比例，且当X=1时Y＝4，函数解析式是 ，当X=4时，Y＝ 。
变式⒈：已知反比例函数过点（1，4），求函数的解析式 变式⒉：已知反比例函数的图象如下图，求反比例函数解析式
（待定系数法在正比例函数的教学中已经接触，不是难点，改成填空题是为了节省时间解决难点，第二个空的设计为下面如何选点埋下伏笔。）（三）、层层深入,研究反比例函数图象特征
【师】：要想充分的认识反比例函数，我们还可以借助于图象，正比例函数图象是一条直线，反比例函数呢？
⒈小组活动画出Y=8/X 函数图象。
(取值不要给出让他们讨论能不能取0，怎样取计算方便，取整、取对称)。
(指导小组进行分工)
⒉成果展示，教师应留意学生画图时出现的折线图，过原点等错误引导学生观察，思考为什么出现以上错误？
（如果问题较大教师可以借助实物投影讲解。）
⒊教师几何画板动态演示：满足函数关系的点连接成线的过程。并讲解这样的图象叫做双曲线。
⒋小组讨论，反比例函数图象有何特征？
① 反比例函数图象是双曲线，有两个分支，向两边无限伸展，无限接近X,Y轴，确永远不能达到X,Y轴。
② 不经过原点。
③ 关于原点对称。
⒌根据以上特征，我们画反比例函数图象该如何选点和作图？
每一分支选5个点（这5个点为了计算方便可以怎么选？），画好一个分支，再画另一分支。注意是平滑曲线。
（五）、练一练
写出一个反比例函数解析式，画出你的函数图象。比比看哪一组最先完成！
（如果时间过半，练习改为教师给出解析式，学生画图。）
（六）、利用几何画板讨论、探索、发现正比例函数图象性质
问题⑴小组内讨论K>0这一类函数图象有何特点？边分析边完成上表
学生会很容易看出图象都分布一、三象限，但是函数的增减性不容易看出，教师可以在图象上提供垂线段来帮助学生思考，最后由小组派代表总结这条函数图象的特征。
（由于受正比例函数图象性质的影响，学生不会注意到“在每一象限内”这一限制条件，教师可以借此引发学生的讨论，强化重点，解决难点，回答对的同学给予奖励）
问题⑵当K
有了上题的基础，学生会很容易回答出K
问题⑶这些结论是由一条具体的反比例函数图象得出的，是否具有一般性？
教师利用几何画板动态演示，当K取一般值时是否具有以上特征
从而发现、体验、归纳出反比例函数图象的性质：
①K＞0，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一象限内，自变量X逐渐增大时，Y的值则随着逐渐减小。
②K＜0，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一象限内，自变量X逐渐增大时，Y的值也随着逐渐增大。
③ 图象的两个分支都无限接近于X轴和Y轴，但不会与X轴和Y轴相交。
（七）、练习
1、在同一直角坐标系中，函数Y=aX与Y=a/X（a≠0）图象大致是（ ）
2、已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（-4，1），那么正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 。
3、反比例函数Y=K/X(K＞0)在第一像限内的图象如下图，A,B为该图象上任意两点，AA’垂直于X轴，垂足为A’。BB’垂直于X轴，垂足为B’.设△AA’O和△BB’O的面积为S1和S2，则S1与S2的关系为
(如果有时间此题可以做如下扩展，三角形面积与比例系数K有和关系？在第三象限的图象也有相同规律吗？如果换成长方形呢？以此训练学生对函数关系式变形和应用能力。)
（八）、谈谈你的收获？
1.你学到那些知识？
2.你还有那些疑问？
反比例函数教学反思
姓名 齐福德 学科 数学 年级 八年级
一、教学设计符合学生的认知规律，以学生的实践活动作为学生思维的切入点，创建了活泼而富有活力的课堂氛围。．重视对学生能力的培养。除培养学生积极思考、主动发言的能力外，还培养了学生的审美能力、空间观念，发展了创造力，丰富了想象力以及动手操作能力，并对“割、补”有所了解。．学生在教师的引导下自主体验、建构知识，实现了知识的再创造。学生通过小组活动,在合作学习中增强与他人的合作意识。
二、本节课的学习方式主要采用探究性学习与接受性学习相结合方式，重点放在反比例函数图象的特征与性质的探究与掌握上，力求通过这一过程使学生感受从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
三、本节课知识点的传授主要采用了与正比例函数相对照的方式进行的，这是根据现代建构主义的理论，从思维的最近发展区，通过有关知识的联想激活学生原有的函数知识，巧妙的引导学生发现正，反比例函数之间的区别与联系，掌握新知。由于本章内容是学生第一次接触函数思想，是学生认知上的一个难点，所以本节课引入时引导学生观察变量之间的对应关系，为下节函数内容做好铺垫。
四、为了调动学生的积极性，整堂课采用了小组竞赛的形式，尤其关心后进生的学习状况，适时的给予鼓励，使每位学生都学到对自己有用的数学。
五、用多媒体教学解决重点难点。
数学学科的特点是逻辑严密、思维抽象。初中学生的认知发展尚未成熟，缺乏逻辑严谨性，导致思考问题不全面，从而对数学中抽象的性质定理较难理会，而多媒体教学技术可以通过其图象及数据的处理功能在教师的操作下，层层深入地引导他们运用形象思维和直觉思维来处理问题，减少学习困难。在本节课的重点难点的解决过程中我都利用了几何画板的动态演示功能，在学生讨论反比例函数性质时，学生通过观察函数图象得出：“当k>0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k
反比例函数图象与性质教学设计
姓名 齐福德 学科 数学 年级 八年级
一、教学目标
1、通过对实际问题的研究，发现反比例函数与现实世界的联系，能根据问题条件，确定反比例函数的概念，掌握反比例函数的解析式。
2、通过小组分工合作，在画具体函数图象的过程中,探索反比例函数图象特征，根据图象特征，总结画法，感受数学的图像美，简洁美。培养团队合作意识。
3、从具体图象入手分析得出图象性质，感受从“特殊”到“一般”的
认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
4、经历从现实中来，又回到现实中去的过程，体会数学在认识世界，改造世界中的作用，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点
教学重点：反比例函数的概念，图象及性质。
教学难点：
1、选取适当的点画反比例函数图象。
2、反比例函数图象和性质的理解和掌握。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：以问题为主线的引导讨论法和启发式的教学方法．
教学手段：多媒体辅助教学．
四、教学过程：
（一）创设情景，导入新课。
我们知道时间一定时，路程与速度成正比，如果路程一定呢？请看下面的数据： 世界上最长的跨海大桥东海大桥全长31公里。。
① 人步行的速度约为5千米/小时，所需时间为6.2小时。
②汽车的平均速度为60千米/小时，所需时间约为0.52小时
② 上海磁悬浮列车平均时速为420千米/小时，所需时间约为0.07小时。
【师】：以上数据中那些是常量，那些是变量？变量中我们可以把谁看成自变量，谁是谁的函数？如果我们用X表示速度V，用Y表示时间X可以得到怎样的关系式？时间与速度的对应关系还是正比例关系吗？
（从实际问题入手，使学生认识数学来源于生活。）
【师】：这时变量X、Y成反比例。谁能仿照正比例函数给反比例函数下一个定义？
（二）、认识反比例函数解析式
【师】今天我们一起认识这位新朋友，小组讨论正、反比例函数概念有何异同？学生回答教师总结：两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且k≠0；不同点是自变量在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。
（这一环节设计正反比例函数进行比较，师生共同归纳）
【师】：他们同属函数范畴，研究方法有许多相似之处，下面我们一起来体会。 例题 已知变量Y与X成反比例，且当X=1时Y＝4，函数解析式是 ，当X=4时，Y＝ 。
变式⒈：已知反比例函数过点（1，4），求函数的解析式 变式⒉：已知反比例函数的图象如下图，求反比例函数解析式
（待定系数法在正比例函数的教学中已经接触，不是难点，改成填空题是为了节省时间解决难点，第二个空的设计为下面如何选点埋下伏笔。）（三）、层层深入,研究反比例函数图象特征
【师】：要想充分的认识反比例函数，我们还可以借助于图象，正比例函数图象是一条直线，反比例函数呢？
⒈小组活动画出Y=8/X 函数图象。
(取值不要给出让他们讨论能不能取0，怎样取计算方便，取整、取对称)。
(指导小组进行分工)
⒉成果展示，教师应留意学生画图时出现的折线图，过原点等错误引导学生观察，思考为什么出现以上错误？
（如果问题较大教师可以借助实物投影讲解。）
⒊教师几何画板动态演示：满足函数关系的点连接成线的过程。并讲解这样的图象叫做双曲线。
⒋小组讨论，反比例函数图象有何特征？
① 反比例函数图象是双曲线，有两个分支，向两边无限伸展，无限接近X,Y轴，确永远不能达到X,Y轴。
② 不经过原点。
③ 关于原点对称。
⒌根据以上特征，我们画反比例函数图象该如何选点和作图？
每一分支选5个点（这5个点为了计算方便可以怎么选？），画好一个分支，再画另一分支。注意是平滑曲线。
（五）、练一练
写出一个反比例函数解析式，画出你的函数图象。比比看哪一组最先完成！
（如果时间过半，练习改为教师给出解析式，学生画图。）
（六）、利用几何画板讨论、探索、发现正比例函数图象性质
问题⑴小组内讨论K>0这一类函数图象有何特点？边分析边完成上表
学生会很容易看出图象都分布一、三象限，但是函数的增减性不容易看出，教师可以在图象上提供垂线段来帮助学生思考，最后由小组派代表总结这条函数图象的特征。
（由于受正比例函数图象性质的影响，学生不会注意到“在每一象限内”这一限制条件，教师可以借此引发学生的讨论，强化重点，解决难点，回答对的同学给予奖励）
问题⑵当K
有了上题的基础，学生会很容易回答出K
问题⑶这些结论是由一条具体的反比例函数图象得出的，是否具有一般性？
教师利用几何画板动态演示，当K取一般值时是否具有以上特征
从而发现、体验、归纳出反比例函数图象的性质：
①K＞0，图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一象限内，自变量X逐渐增大时，Y的值则随着逐渐减小。
②K＜0，图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一象限内，自变量X逐渐增大时，Y的值也随着逐渐增大。
③ 图象的两个分支都无限接近于X轴和Y轴，但不会与X轴和Y轴相交。
（七）、练习
1、在同一直角坐标系中，函数Y=aX与Y=a/X（a≠0）图象大致是（ ）
2、已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（-4，1），那么正比例函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 。
3、反比例函数Y=K/X(K＞0)在第一像限内的图象如下图，A,B为该图象上任意两点，AA’垂直于X轴，垂足为A’。BB’垂直于X轴，垂足为B’.设△AA’O和△BB’O的面积为S1和S2，则S1与S2的关系为
(如果有时间此题可以做如下扩展，三角形面积与比例系数K有和关系？在第三象限的图象也有相同规律吗？如果换成长方形呢？以此训练学生对函数关系式变形和应用能力。)
（八）、谈谈你的收获？
1.你学到那些知识？
2.你还有那些疑问？
反比例函数教学反思
姓名 齐福德 学科 数学 年级 八年级
一、教学设计符合学生的认知规律，以学生的实践活动作为学生思维的切入点，创建了活泼而富有活力的课堂氛围。．重视对学生能力的培养。除培养学生积极思考、主动发言的能力外，还培养了学生的审美能力、空间观念，发展了创造力，丰富了想象力以及动手操作能力，并对“割、补”有所了解。．学生在教师的引导下自主体验、建构知识，实现了知识的再创造。学生通过小组活动,在合作学习中增强与他人的合作意识。
二、本节课的学习方式主要采用探究性学习与接受性学习相结合方式，重点放在反比例函数图象的特征与性质的探究与掌握上，力求通过这一过程使学生感受从“特殊”到“一般”的认知过程，感悟数形结合、分类、归纳、运动与变化的数学思想。
三、本节课知识点的传授主要采用了与正比例函数相对照的方式进行的，这是根据现代建构主义的理论，从思维的最近发展区，通过有关知识的联想激活学生原有的函数知识，巧妙的引导学生发现正，反比例函数之间的区别与联系，掌握新知。由于本章内容是学生第一次接触函数思想，是学生认知上的一个难点，所以本节课引入时引导学生观察变量之间的对应关系，为下节函数内容做好铺垫。
四、为了调动学生的积极性，整堂课采用了小组竞赛的形式，尤其关心后进生的学习状况，适时的给予鼓励，使每位学生都学到对自己有用的数学。
五、用多媒体教学解决重点难点。
数学学科的特点是逻辑严密、思维抽象。初中学生的认知发展尚未成熟，缺乏逻辑严谨性，导致思考问题不全面，从而对数学中抽象的性质定理较难理会，而多媒体教学技术可以通过其图象及数据的处理功能在教师的操作下，层层深入地引导他们运用形象思维和直觉思维来处理问题，减少学习困难。在本节课的重点难点的解决过程中我都利用了几何画板的动态演示功能，在学生讨论反比例函数性质时，学生通过观察函数图象得出：“当k>0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k0时，Y值随自变量X的增大而减小；当k