利用导数判断函数的单调性
【学习目标】会利用导数研究函数的单调性, 掌握分类讨论思想的应用.
【重点、难点】利用导数研究函数的单调性.
【自主学习】
1、设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内可导. (1)如果在(a , b ) 内, f '(x ) >0 ,则f (x ) 在此区间是增函数;(2)如果在(a , b ) 内, f '(x )
2、f /(x )
A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【自测】
求下列函数的单调区间:
2(1)y =x 3-4x 2+x -1 (2)f (x ) =x + x
解：（1
）函数的单调递增区间为：(-∞+∞)
函数的单调递减区间为：(44 33
（2
）函数的单调递增区间为：(-∞, +∞)
函数的单调递减区间为：(
课内探究案
【精讲点拨】
例1、 求下列函数的单调区间:
（1）f (x ) =e x -1-x （2）f (x ) =x -ln x
解：（1）函数的单调递增区间为：(0,+∞)
函数的单调递减区间为：(-∞,0)
（2）函数的单调递增区间为：(1,+∞)
函数的单调递减区间为：(0,1)
例2、 证明：函数f (x ) =x +
16x 2-16f '(x ) =1-2=x x 2
x ∈(0,4) 16在(0,4)上是减函数 x
证明：∴x 2
∴x 2-16
∴函数在（0, 4）上是减函数.
例3、 若函数y =x 3+x 2+mx +1在(-∞, +∞)上是增函数, 求实数m 的取值范围。 解：y '=3x 2+2x +m
函数在R 上是增函数
∴y '=3x2+2x+m≥0在R 上恒成立
∴∆=4-12m ≤0
∴m ≥ 1
3
【当堂检测】 1函数y =的减区间是 (-∞, -1),(-1, ∞) x +1
利用导数判断函数的单调性教学案
课后拓展案
A 组
1、求函数f (x ) =x 3-15x 2-33x +6的增区间。
（-∞,-1),(11,+∞) 解：函数的递增区间：
2、求函数f (x ) =x 2-2ln x 的减区间。
解：函数的定义域(0,+∞)
f '(x ) =2x -2
x
2
x >0
∴函数的递减区间是：(0,1)
3、证明：函数y =3在(-∞,4)上是减函数。 x -4
证明：y '=-3
(x -4) 2
当x
∴函数在(-∞,4) 上是减函数
B 组
x f (x ) =(x -3) e , ) 。 1、函数的增区间是 (2+∞
2、求函数f (x ) =x ln x 的单调区间。
1解：（1）函数的单调递增区间为：(, +∞) e
1 函数的单调递减区间为：(0,) e
C 组 11证明函数f (x ) =x 2+在(1, +∞)上是增函数。 2x
1x 3-1f '(x ) =x -2=2x x
证明：当x >1时, x 3>1
∴f '(x ) >0
∴函数f (x ) 在(1,+∞) 上是增函数.
利用导数判断函数的单调性教学案
课后拓展案（2）
A 组
1、函数f (x ) =x 3-3x 2+1的减区间为
2、函数y =e x -ex 的增区间为。
3、函数y =x (ln x -3)的减区间为
4、求函数f (x )=
5、已知函数y =
B 组
1、函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） 2x -6的单调区间。 2x +313x +x 2+ax -5在(-∞, +∞)是单调函数，求a 的取值范围。 3
π3πA ．(, ) 22B ．(π, 2π) C ．(3π5π, ) 22D ．(2π, 3π)
2、若函数f (x ) =ax -ln x 在(0,1)上是减函数，求实数a 的取值范围。 C 组
x 2+t 设f (x )=在(2, +∞)上是增函数，求t 的取值范围。 x +1
利用导数判断函数的单调性
【学习目标】会利用导数研究函数的单调性, 掌握分类讨论思想的应用.
【重点、难点】利用导数研究函数的单调性.
【自主学习】
1、设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内可导. (1)如果在(a , b ) 内, f '(x ) >0 ,则f (x ) 在此区间是增函数;(2)如果在(a , b ) 内, f '(x )
2、f /(x )
A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【自测】
求下列函数的单调区间:
2(1)y =x 3-4x 2+x -1 (2)f (x ) =x + x
解：（1
）函数的单调递增区间为：(-∞+∞)
函数的单调递减区间为：(44 33
（2
）函数的单调递增区间为：(-∞, +∞)
函数的单调递减区间为：(
课内探究案
【精讲点拨】
例1、 求下列函数的单调区间:
（1）f (x ) =e x -1-x （2）f (x ) =x -ln x
解：（1）函数的单调递增区间为：(0,+∞)
函数的单调递减区间为：(-∞,0)
（2）函数的单调递增区间为：(1,+∞)
函数的单调递减区间为：(0,1)
例2、 证明：函数f (x ) =x +
16x 2-16f '(x ) =1-2=x x 2
x ∈(0,4) 16在(0,4)上是减函数 x
证明：∴x 2
∴x 2-16
∴函数在（0, 4）上是减函数.
例3、 若函数y =x 3+x 2+mx +1在(-∞, +∞)上是增函数, 求实数m 的取值范围。 解：y '=3x 2+2x +m
函数在R 上是增函数
∴y '=3x2+2x+m≥0在R 上恒成立
∴∆=4-12m ≤0
∴m ≥ 1
3
【当堂检测】 1函数y =的减区间是 (-∞, -1),(-1, ∞) x +1
利用导数判断函数的单调性教学案
课后拓展案
A 组
1、求函数f (x ) =x 3-15x 2-33x +6的增区间。
（-∞,-1),(11,+∞) 解：函数的递增区间：
2、求函数f (x ) =x 2-2ln x 的减区间。
解：函数的定义域(0,+∞)
f '(x ) =2x -2
x
2
x >0
∴函数的递减区间是：(0,1)
3、证明：函数y =3在(-∞,4)上是减函数。 x -4
证明：y '=-3
(x -4) 2
当x
∴函数在(-∞,4) 上是减函数
B 组
x f (x ) =(x -3) e , ) 。 1、函数的增区间是 (2+∞
2、求函数f (x ) =x ln x 的单调区间。
1解：（1）函数的单调递增区间为：(, +∞) e
1 函数的单调递减区间为：(0,) e
C 组 11证明函数f (x ) =x 2+在(1, +∞)上是增函数。 2x
1x 3-1f '(x ) =x -2=2x x
证明：当x >1时, x 3>1
∴f '(x ) >0
∴函数f (x ) 在(1,+∞) 上是增函数.
利用导数判断函数的单调性教学案
课后拓展案（2）
A 组
1、函数f (x ) =x 3-3x 2+1的减区间为
2、函数y =e x -ex 的增区间为。
3、函数y =x (ln x -3)的减区间为
4、求函数f (x )=
5、已知函数y =
B 组
1、函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） 2x -6的单调区间。 2x +313x +x 2+ax -5在(-∞, +∞)是单调函数，求a 的取值范围。 3
π3πA ．(, ) 22B ．(π, 2π) C ．(3π5π, ) 22D ．(2π, 3π)
2、若函数f (x ) =ax -ln x 在(0,1)上是减函数，求实数a 的取值范围。 C 组
x 2+t 设f (x )=在(2, +∞)上是增函数，求t 的取值范围。 x +1