第7卷第5期
北华大学学报(自然科学版)
()
Vol.7No.5文章编号:100924822(2006)0520385203
块对角占优矩阵及应用
李新海1,2
(1.白城师范学院数学系,吉林白城 137000;2.,132033)
摘要:M2,给出了矩阵非奇异的判定条件,.关键词:;M2;块对角占优矩阵中图分类号:O151.21 文献标识码:A
在矩阵理论的研究与应用中,判定一个矩阵是否可逆是十分有意义的一个课题.本文利用矩阵分块理论对此问题进行了进一步研究,给出了矩阵可逆的判定条件.
设Zn×n={A=(aij)
n×n
aij∈R,aij≤0,i≠j},Cn×n={A=(aij)
n×n
aij∈C}是n阶复矩阵
集合,R和C分别表示实数域和复数域.
定义1 设A=(aij)∈Cn×n.若存在正向量d=(d1,d2,…,dn)T,对1≤i≤n,有aiidi>
j≠i
a
ij
dj,则称A为行广义严格对角占优矩阵,记为A∈D.
3
定义2 设A=(aij)∈Zn×n且aii>0(1≤i≤n).若存在正向量d=(d1,d2,…,dn)T,对1≤i≤n,有aiidi>
j≠i
a
ij
dj,则称A是非奇异M2矩阵,记为A∈M.
由定义1和定义2知,若A∈Zn×n且aii>0,i=1,2,…,n,则
A∈D3ΖA∈M.
(1)
设A=(aij)∈Cn×n.把A
分块为
A11
A=
A21
A12A22
…A1t…A2t
……
A,
(2)
…
At1
…
At2
t
这里Aii(1≤i≤t)为ni阶方阵,且
n
i=1
∑n
ij
i
=n.,Pi(A)=
设‖A‖=‖A‖∞=max定义3 设A=(aij)∈C若每一Aii皆非奇异,且满足
1≤i≤nj=1
a
j≠i
∑‖A
ij
‖,Ri(A)=
j≠i
∑‖A
ji
‖.
t
n×n
分块如式(2),其中对角子阵Aii为ni阶方阵,1≤i≤t,
i=1
∑n
i
=n.
(‖A-ii1‖)
-1
>
j≠i
∑‖A
ij
‖, 1≤i≤t,(3)
则称A为关于分块形式(2)的块严格对角占优矩阵,记作A∈BD.定义4 设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若Aii(1≤
i≤t)非奇异,且存在正向量d=(d1,d2,T有
收稿日期:2006204227
作者简介:李新海(1964-),男,副教授,主要从事矩阵代数研究.
386
北华大学学报(自然科学版)第7卷
(‖A-ii1‖)
-1
di>
3
j≠i
∑‖A
ij
‖dj,(4)
则称A为块广义严格对角占优矩阵,记作A∈BD.
引理1[1] 设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若A∈BD,则detA≠0.应用引理1容易证明引理2.
引理2 设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若A∈BD3,则detA≠0.设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若Aii(1≤i≤t)非奇异,做矩阵
-1
‖A11‖-1
-‖A12‖
-1
‖A22‖-1
…-‖A1t…-‖A2t…
-‖-(6)
,
(5)
B=
-‖A21‖
…
At1‖
t23
易见B∈Znn,A∈BD>α(
ΖB∈M.
定义5 设A=(aij)∈Cn×n.若存在α∈(0,1),使对Πi∈{1,2,…,n}有
aii
j≠i
a
ij
)+(1-α)(
j≠i
a
ji
),
).则称A为块严格α对角占优矩阵,记作A∈D
第7卷第5期
北华大学学报(自然科学版)
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Vol.7No.5文章编号:100924822(2006)0520385203
块对角占优矩阵及应用
李新海1,2
(1.白城师范学院数学系,吉林白城 137000;2.,132033)
摘要:M2,给出了矩阵非奇异的判定条件,.关键词:;M2;块对角占优矩阵中图分类号:O151.21 文献标识码:A
在矩阵理论的研究与应用中,判定一个矩阵是否可逆是十分有意义的一个课题.本文利用矩阵分块理论对此问题进行了进一步研究,给出了矩阵可逆的判定条件.
设Zn×n={A=(aij)
n×n
aij∈R,aij≤0,i≠j},Cn×n={A=(aij)
n×n
aij∈C}是n阶复矩阵
集合,R和C分别表示实数域和复数域.
定义1 设A=(aij)∈Cn×n.若存在正向量d=(d1,d2,…,dn)T,对1≤i≤n,有aiidi>
j≠i
a
ij
dj,则称A为行广义严格对角占优矩阵,记为A∈D.
3
定义2 设A=(aij)∈Zn×n且aii>0(1≤i≤n).若存在正向量d=(d1,d2,…,dn)T,对1≤i≤n,有aiidi>
j≠i
a
ij
dj,则称A是非奇异M2矩阵,记为A∈M.
由定义1和定义2知,若A∈Zn×n且aii>0,i=1,2,…,n,则
A∈D3ΖA∈M.
(1)
设A=(aij)∈Cn×n.把A
分块为
A11
A=
A21
A12A22
…A1t…A2t
……
A,
(2)
…
At1
…
At2
t
这里Aii(1≤i≤t)为ni阶方阵,且
n
i=1
∑n
ij
i
=n.,Pi(A)=
设‖A‖=‖A‖∞=max定义3 设A=(aij)∈C若每一Aii皆非奇异,且满足
1≤i≤nj=1
a
j≠i
∑‖A
ij
‖,Ri(A)=
j≠i
∑‖A
ji
‖.
t
n×n
分块如式(2),其中对角子阵Aii为ni阶方阵,1≤i≤t,
i=1
∑n
i
=n.
(‖A-ii1‖)
-1
>
j≠i
∑‖A
ij
‖, 1≤i≤t,(3)
则称A为关于分块形式(2)的块严格对角占优矩阵,记作A∈BD.定义4 设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若Aii(1≤
i≤t)非奇异,且存在正向量d=(d1,d2,T有
收稿日期:2006204227
作者简介:李新海(1964-),男,副教授,主要从事矩阵代数研究.
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北华大学学报(自然科学版)第7卷
(‖A-ii1‖)
-1
di>
3
j≠i
∑‖A
ij
‖dj,(4)
则称A为块广义严格对角占优矩阵,记作A∈BD.
引理1[1] 设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若A∈BD,则detA≠0.应用引理1容易证明引理2.
引理2 设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若A∈BD3,则detA≠0.设A=(aij)∈Cn×n分块如式(2).若Aii(1≤i≤t)非奇异,做矩阵
-1
‖A11‖-1
-‖A12‖
-1
‖A22‖-1
…-‖A1t…-‖A2t…
-‖-(6)
,
(5)
B=
-‖A21‖
…
At1‖
t23
易见B∈Znn,A∈BD>α(
ΖB∈M.
定义5 设A=(aij)∈Cn×n.若存在α∈(0,1),使对Πi∈{1,2,…,n}有
aii
j≠i
a
ij
)+(1-α)(
j≠i
a
ji
),
).则称A为块严格α对角占优矩阵,记作A∈D