高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系
x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . 2. 德摩根公式
C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B . 3. 包含关系
A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R
2．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.
3. 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) .
4. 充要条件
（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
5. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象. 6. 分数指数幂
(1)a
m n
n
n
n
n
=
1
m n
a >0, m , n ∈N ，且n >1）.
*
(2)a
-
m n
=（a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
7．根式的性质（1
）n =a ；（2）当n
=a ；
当n
=|a |=⎨8．有理指数幂的运算性质
(1) a ⋅a =a
r s
rs
r
s
r +s ⎧a , a ≥0
.
⎩-a , a
(a >0, r , s ∈Q ) .
(2) (a ) =a (a >0, r , s ∈Q ) . (3)(ab ) =a b (a >0, b >0, r ∈Q ) .
r
r r
9. 指数式与对数式的互化式 log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) . 10. 对数的换底公式
log a N =
log m N
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a
n
推论 log a m b =
n
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0). m
11．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log a (MN ) =log a M +log a N ; (2) log a
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) . 12. 数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨
s -s , n ≥2⎩n n -1
13. 等差数列的通项公式 a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
其前n 项和公式为s n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
n -1
14. 等比数列的通项公式 a n =a 1q
=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
s =其前n 项的和公式为n ⎨1-q 或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
15. 同角三角函数的基本关系式 sin θ+cos θ=1；tan θ=16. 和角与差角公式
2
2
sin θ
。 cos θ
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β；
tan(α±β) =
tan α±tan β
。
1 tan αtan β
b
). a
a sin α+
b cos αα+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=
17. 二倍角公式
sin 2α=sin αcos α；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；
tan 2α=
2tan α
. 2
1-tan α
18. 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期
T =
2π
ω
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π. ω
19. 正弦定理 20. 余弦定理
a b c
===2R . sin A sin B sin C
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ca cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
21. 三角形面积定理
111
ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222111
（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .
222
（1）S =
22. 三角形内角和定理
在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )
⇔
C πA +B =-⇔2C =2π-2(A +B ) 。 222
23. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 24. 向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a·（λb ）; (3)（a +b）·c= a ·c +b·c. 25．向量平行的坐标表示
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则a b(b≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 26. a与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cosθ． 27. 平面向量的坐标运算
(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2) . (2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2) .
(3)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .
(4)设a =(x , y ), λ∈R ，则λa=(λx , λy ) .
(5)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a ·b=(x 1x 2+y 1y 2) . 28. 两向量的夹角公式
cos θ=
(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).
29. 平面两点间的距离公式
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
30. 向量的平行与垂直
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 31. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈
R +⇒
2
2
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
2
2
2
2
2
（3）柯西不等式 (a +b )(c +d ) ≥(ac +bd ) , a , b , c , d ∈R . （4）a +b ≤a +b . 32. 最值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值33. 斜率公式 k =34. 直线的五种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
12
s . 4
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
（3）两点式
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1
(4)截距式
x y
+=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0) a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0). 35. 两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①l 1||l 2⇔
A 1B 1C 1
； ②l 1⊥l 2⇔A ； =≠1A 2+B 1B 2=0
A 2B 2C 2
36. 点到直线的距离
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
37. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0). （3）圆的参数方程 ⎨
2
2
⎧x =a +r cos θ
.
⎩y =b +r sin θ
A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是
⎧x =a cos θx 2y 2
38. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b ⎩y =b sin θ
39．椭圆的的内外部
22
x 0y 0x 2y 2
（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔2+2
a b a b 22
x 0y 0x 2y 2
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔2+2>1.
a b a b
40. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2|A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，
由方程⎨
⎧y =kx +b 2
消去y 得到ax +bx +c =0，∆>0, α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.
⎩F (x , y ) =0
x 2y 2
41. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式
a b
a 2a 2
PF 1=|e (x +) |，PF 2=|e (-x ) |.
c c
42. 双曲线的内外部
x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔
a b x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔
a b
43. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
22x 0y 0
->1. a 2b 222x 0y 0
-2
a b
x y x 2y 2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .
a a b a b
x 2y 2x 2y 2
(2)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，λ
a b a b
在y 轴上）.
44. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．
(2)加法结合律：(a ＋b ) ＋c =a ＋(b ＋c ) ． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 45. 共线向量定理
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ． 46. 共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对x , y , 使p ＝x a ＋y b ．
47. 空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．
48. 向量的直角坐标运算
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) 则 (1)a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； (2)a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； (3)λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ； (4)a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；
22
49. 设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB =OB -OA = (x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) 。
50．空间的线线平行或垂直
⎧x 1=λx 2
r r r r r r r r ⎪
设a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2) ，则a P b ⇔a =λb (b ≠0) ⇔⎨y 1=λy 2；
⎪z =λz
2⎩1
r r r r
a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.
51. 空间两点间的距离公式
若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
d
A , B =|AB |==.
52. 球的半径是R ，则
4
πR 3, 3
2
其表面积S =4πR ．
其体积V =
53．柱体、锥体的体积 柱体的体积V=S h
1
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
54. 分类计数原理（加法原理） N =m 1+m 2+ +m n . 55. 分步计数原理（乘法原理） N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n . 56. 排列数公式
m
=n (n -1) (n -m +1) =A n
n ！*
.(n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
注:规定0! =1. 57. 组合数公式
C
m n =
n ！A n m n (n -1) (n -m +1) *
==(n ∈N ，m ∈N ，且m ≤n ). m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
58. 组合数的两个性质
m m n -m m -1m
(1)C n =C n ；(2) C n +C n =C n +1。 0注:规定C n =1.
0n 1n -12n -22r n -r r n n 59. 二项式定理 (a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ；
r n -r r
1，2 ，n ) . 二项展开式的通项公式 T r +1=C n a b (r =0，
60. 等可能性事件的概率 P (A ) =
m
. n
59. 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 60. n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ． 61. 独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
k k n -k
62.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率 P . n (k ) =C n P (1-P )
63. 离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）P （2）P ,2, ) ；i ≥0(i =11+P 2+ =1. 64. 数学期望 E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n + 65. 数学期望的性质 E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b .
66. 方差 D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n + 67. 方差的性质 D (a ξ+b )=a D ξ；
2
2
2
2
68. 标准差 σξ=D ξ.
69. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) . 70. 几种常见函数的导数
(1) C '=0（C 为常数）。(2) (x n ) ' =nx n -1(n ∈Q ) 。(3) (sinx ) '=cos x 。 (4) (cosx ) '=-sin x 。(5) (lnx ) '=(6) (e x ) '=e x ; (a x ) '=a x ln a . 71. 导数的运算法则
11e x
；(loga ) '=log a 。 x x
u ' u ' v -uv '
(v ≠0) . （1）(u ±v ) =u ±v . （2）(uv ) =u v +uv . （3）() =
v v 2
'
'
'
'
'
'
72. 判别f (x 0) 是极大（小）值的方法
当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
（1）如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) 0，则f (x 0) 是极小值. 73. 复数的相等 a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ） 74. 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +
bi |75. 复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; (2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =
ac +bd bc -ad
+2i (c +di ≠0) . 222
c +d c +d
76．几个统计常量
（1）样本均值
. ;
（2）样本方差
.
;
高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系
x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . 2. 德摩根公式
C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B . 3. 包含关系
A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R
2．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.
3. 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; (3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) .
4. 充要条件
（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
5. 若将函数y =f (x ) 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数y =f (x -a ) +b 的图象；若将曲线f (x , y ) =0的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线f (x -a , y -b ) =0的图象. 6. 分数指数幂
(1)a
m n
n
n
n
n
=
1
m n
a >0, m , n ∈N ，且n >1）.
*
(2)a
-
m n
=（a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a
7．根式的性质（1
）n =a ；（2）当n
=a ；
当n
=|a |=⎨8．有理指数幂的运算性质
(1) a ⋅a =a
r s
rs
r
s
r +s ⎧a , a ≥0
.
⎩-a , a
(a >0, r , s ∈Q ) .
(2) (a ) =a (a >0, r , s ∈Q ) . (3)(ab ) =a b (a >0, b >0, r ∈Q ) .
r
r r
9. 指数式与对数式的互化式 log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) . 10. 对数的换底公式
log a N =
log m N
(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0).
log m a
n
推论 log a m b =
n
log a b (a >0, 且a >1, m , n >0, 且m ≠1, n ≠1, N >0). m
11．对数的四则运算法则
若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log a (MN ) =log a M +log a N ; (2) log a
M
=log a M -log a N ; N
(3)log a M n =n log a M (n ∈R ) . 12. 数列的同项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ). a n =⎨
s -s , n ≥2⎩n n -1
13. 等差数列的通项公式 a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
其前n 项和公式为s n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
n -1
14. 等比数列的通项公式 a n =a 1q
=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
s =其前n 项的和公式为n ⎨1-q 或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
15. 同角三角函数的基本关系式 sin θ+cos θ=1；tan θ=16. 和角与差角公式
2
2
sin θ
。 cos θ
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β；
tan(α±β) =
tan α±tan β
。
1 tan αtan β
b
). a
a sin α+
b cos αα+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=
17. 二倍角公式
sin 2α=sin αcos α；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；
tan 2α=
2tan α
. 2
1-tan α
18. 三角函数的周期公式
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期
T =
2π
ω
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π. ω
19. 正弦定理 20. 余弦定理
a b c
===2R . sin A sin B sin C
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ca cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
21. 三角形面积定理
111
ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）. 222111
（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .
222
（1）S =
22. 三角形内角和定理
在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )
⇔
C πA +B =-⇔2C =2π-2(A +B ) 。 222
23. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;
(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 24. 向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a·（λb ）; (3)（a +b）·c= a ·c +b·c. 25．向量平行的坐标表示
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则a b(b≠0) ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. 26. a与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cosθ． 27. 平面向量的坐标运算
(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2) . (2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2) .
(3)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .
(4)设a =(x , y ), λ∈R ，则λa=(λx , λy ) .
(5)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a ·b=(x 1x 2+y 1y 2) . 28. 两向量的夹角公式
cos θ=
(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).
29. 平面两点间的距离公式
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
30. 向量的平行与垂直
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 31. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈
R +⇒
2
2
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2
2
2
2
2
2
（3）柯西不等式 (a +b )(c +d ) ≥(ac +bd ) , a , b , c , d ∈R . （4）a +b ≤a +b . 32. 最值定理
已知x , y 都是正数，则有
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ； （2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值33. 斜率公式 k =34. 直线的五种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
12
s . 4
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.
x 2-x 1
（3）两点式
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1
(4)截距式
x y
+=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0) a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0). 35. 两条直线的平行和垂直
(1)若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2 ①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①l 1||l 2⇔
A 1B 1C 1
； ②l 1⊥l 2⇔A ； =≠1A 2+B 1B 2=0
A 2B 2C 2
36. 点到直线的距离
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
37. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2.
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0). （3）圆的参数方程 ⎨
2
2
⎧x =a +r cos θ
.
⎩y =b +r sin θ
A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
（4）圆的直径式方程 (x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(圆的直径的端点是
⎧x =a cos θx 2y 2
38. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b ⎩y =b sin θ
39．椭圆的的内外部
22
x 0y 0x 2y 2
（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔2+2
a b a b 22
x 0y 0x 2y 2
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔2+2>1.
a b a b
40. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2|A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，
由方程⎨
⎧y =kx +b 2
消去y 得到ax +bx +c =0，∆>0, α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.
⎩F (x , y ) =0
x 2y 2
41. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式
a b
a 2a 2
PF 1=|e (x +) |，PF 2=|e (-x ) |.
c c
42. 双曲线的内外部
x 2y 2
(1)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔
a b x 2y 2
(2)点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔
a b
43. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
22x 0y 0
->1. a 2b 222x 0y 0
-2
a b
x y x 2y 2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .
a a b a b
x 2y 2x 2y 2
(2)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在x 轴上，λ
a b a b
在y 轴上）.
44. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．
(2)加法结合律：(a ＋b ) ＋c =a ＋(b ＋c ) ． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 45. 共线向量定理
对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ． 46. 共面向量定理
向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对x , y , 使p ＝x a ＋y b ．
47. 空间向量基本定理
如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．
48. 向量的直角坐标运算
设a ＝(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) 则 (1)a ＋b ＝(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ； (2)a －b ＝(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ； (3)λa ＝(λa 1, λa 2, λa 3) (λ∈R) ； (4)a ·b ＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3；
22
49. 设A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB =OB -OA = (x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) 。
50．空间的线线平行或垂直
⎧x 1=λx 2
r r r r r r r r ⎪
设a =(x 1, y 1, z 1) ，b =(x 2, y 2, z 2) ，则a P b ⇔a =λb (b ≠0) ⇔⎨y 1=λy 2；
⎪z =λz
2⎩1
r r r r
a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.
51. 空间两点间的距离公式
若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
d
A , B =|AB |==.
52. 球的半径是R ，则
4
πR 3, 3
2
其表面积S =4πR ．
其体积V =
53．柱体、锥体的体积 柱体的体积V=S h
1
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
54. 分类计数原理（加法原理） N =m 1+m 2+ +m n . 55. 分步计数原理（乘法原理） N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n . 56. 排列数公式
m
=n (n -1) (n -m +1) =A n
n ！*
.(n ，m ∈N ，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
注:规定0! =1. 57. 组合数公式
C
m n =
n ！A n m n (n -1) (n -m +1) *
==(n ∈N ，m ∈N ，且m ≤n ). m
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
58. 组合数的两个性质
m m n -m m -1m
(1)C n =C n ；(2) C n +C n =C n +1。 0注:规定C n =1.
0n 1n -12n -22r n -r r n n 59. 二项式定理 (a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ；
r n -r r
1，2 ，n ) . 二项展开式的通项公式 T r +1=C n a b (r =0，
60. 等可能性事件的概率 P (A ) =
m
. n
59. 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 60. n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ． 61. 独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
k k n -k
62.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率 P . n (k ) =C n P (1-P )
63. 离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）P （2）P ,2, ) ；i ≥0(i =11+P 2+ =1. 64. 数学期望 E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n + 65. 数学期望的性质 E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b .
66. 方差 D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n + 67. 方差的性质 D (a ξ+b )=a D ξ；
2
2
2
2
68. 标准差 σξ=D ξ.
69. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) . 70. 几种常见函数的导数
(1) C '=0（C 为常数）。(2) (x n ) ' =nx n -1(n ∈Q ) 。(3) (sinx ) '=cos x 。 (4) (cosx ) '=-sin x 。(5) (lnx ) '=(6) (e x ) '=e x ; (a x ) '=a x ln a . 71. 导数的运算法则
11e x
；(loga ) '=log a 。 x x
u ' u ' v -uv '
(v ≠0) . （1）(u ±v ) =u ±v . （2）(uv ) =u v +uv . （3）() =
v v 2
'
'
'
'
'
'
72. 判别f (x 0) 是极大（小）值的方法
当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
（1）如果在x 0附近的左侧f '(x ) >0，右侧f '(x ) 0，则f (x 0) 是极小值. 73. 复数的相等 a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ） 74. 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +
bi |75. 复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ; (2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ; (3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =
ac +bd bc -ad
+2i (c +di ≠0) . 222
c +d c +d
76．几个统计常量
（1）样本均值
. ;
（2）样本方差
.
;