三角形中常见辅助线的作法
解答有关三角形的问题时，常常需要添加适当的辅助线．本文介绍三角形中五种常见辅助线的添加方法．
一、延长中线构造全等三角形 例1 如图1，已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD 至A ＇，使A ＇D ＝AD ，连结BA ＇．根据“SAS ”易证△A ＇BD ≌△ACD ，得AC ＝A ＇B ．这样将AC 转移到△A ＇BA 中，根据三角形三边关系定理可解．
二、引平行线构造全等三角形 例2 如图2，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 与BC 交于点F ． 求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG ∥AE 交BC 于G ；
②作EH ∥BA 交BC 的延长线于H ；
再通过证三角形全等得DF ＝EF ．
三、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE ⊥AB ，垂足为D ，交BC 于E ．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC ，证△ECD 是等腰三角形．
四、利用翻折，构造全等三角形． 例4 如图4，已知△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．求证：AC ＝AB+BD．
提示：将△ADB 沿AD 翻折，使B 点落在AC 上点B ＇处，再证BD=B＇D ＝B ＇C ，易得△ADB ≌△ADB ＇，△B ＇DC 是等腰三角形，于是结论可证．
五、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线交EF 的延长线于点M 、N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．
提示：连结AC 并取中点O ，再连结OE 、OF ．
则OE ∥AB ，OF ∥CD ，
故∠1＝∠BME ，∠2＝∠CNE ．
扩展法巧解题
在解题时，同学们会看到，有的习题所给的图形只是某一完整图形的一部分，这样就使问题隐藏了一个必要的条件，从而使解题难度增加．如果我们能
根据所给图形把它扩展成完整图形，那么就会思路开朗，很快寻得证题方法．
一、扩成等腰三角形
等腰三角形具有许多特殊性质．在题设中若有角中分线的垂线的条件，可考虑扩成等腰三角形，利用特珠性质进行证题．
例1 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 平分线，CD ⊥AD 于D ，G 是BC 中点．求证：∠DGC=∠B ．
分析： 这里有角平分线AD 的垂线CD 的条件，由此可扩形出等腰三角形． 证明： 延长CD 交AB 于E ，∵AD 平分∠A ，CD ⊥AD 于D ，
∴△ADC ≌△ADE ．
∴AC=AE．
D 是CE 中点，G 是BC 中点． ∴DG ∥BE ．∴∠DGC=∠B ．
二、扩为等边三角形
等边三角形比等腰三角形更特殊，只要有60°，均可考虑扩为等边三角形．
例2 如图，△ABC 中，∠A=60°，∠C ＝20°，E 是BC 中点，D 是AC 上一点，∠CED ＝80°， AC=1．
求：S △ABC +2S△CDE =？
分析；若按常规程序分别求S △ABC 和S △CDE ，实在是繁难至极．这里有一内角
∠CED=80°，若作∠BCF 的平分线交BF 于G ，则△CDE ∽△CBG ．∵E 是
BC
三、扩为直角三角形
直角三角形也有特殊性质，如果题没中有直角、互为余角等，均可考虑扩形为直角三角形，以便利用直角三角形的特殊性质．
例3 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，AD 中点M ，
分析：这里∠B+∠C=90°隐含AB ⊥CD ，可分别延长BA 、CD 交于E ，则△BCE 就是Rt △．同样．△ADE 也是Rt △．NE 、ME 分别是斜边中线，只要
＝BC ．
四、扩为正方形或矩形
正方形是特殊四边形，在有等腰直角三角形时，适当扩为正方形常使问题易证；矩形也是特殊四边形，在有直角三角形时，也可扩为矩形．
例4 如图，在△ABC 中，∠
BAC=90°，AB=AC，D 是AC 中点，AE ⊥BD 于E ，AE 延长钱交BC 于F ．求证：∠ADB=∠FDC ．
分析：此题初看无头绪，但从等腰直角三角形是半个正方形这一条件出发，扩形出正方形，就可以找到证法．
翻转△ABC 得正方形ABA ＇C ，则A 、 A ＇关于BC 对称，D 、D ＇关于BC 对称．∴∠FDC ＝∠FD ＇C ．D ＇是A ＇C 的中点，∵正方形绕中心旋转90°后可重合∴A 、F 、D ＇共线．△BAD ≌△ACD ＇． ∴∠AD ＇C ＝∠ADB ．结论得证
三角形中常见辅助线的作法
解答有关三角形的问题时，常常需要添加适当的辅助线．本文介绍三角形中五种常见辅助线的添加方法．
一、延长中线构造全等三角形 例1 如图1，已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD 至A ＇，使A ＇D ＝AD ，连结BA ＇．根据“SAS ”易证△A ＇BD ≌△ACD ，得AC ＝A ＇B ．这样将AC 转移到△A ＇BA 中，根据三角形三边关系定理可解．
二、引平行线构造全等三角形 例2 如图2，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，且BD ＝CE ，DE 与BC 交于点F ． 求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如： ①作DG ∥AE 交BC 于G ；
②作EH ∥BA 交BC 的延长线于H ；
再通过证三角形全等得DF ＝EF ．
三、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE ⊥AB ，垂足为D ，交BC 于E ．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC ，证△ECD 是等腰三角形．
四、利用翻折，构造全等三角形． 例4 如图4，已知△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．求证：AC ＝AB+BD．
提示：将△ADB 沿AD 翻折，使B 点落在AC 上点B ＇处，再证BD=B＇D ＝B ＇C ，易得△ADB ≌△ADB ＇，△B ＇DC 是等腰三角形，于是结论可证．
五、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延长线交EF 的延长线于点M 、N ．求证：∠BME ＝∠CNE ．
提示：连结AC 并取中点O ，再连结OE 、OF ．
则OE ∥AB ，OF ∥CD ，
故∠1＝∠BME ，∠2＝∠CNE ．
扩展法巧解题
在解题时，同学们会看到，有的习题所给的图形只是某一完整图形的一部分，这样就使问题隐藏了一个必要的条件，从而使解题难度增加．如果我们能
根据所给图形把它扩展成完整图形，那么就会思路开朗，很快寻得证题方法．
一、扩成等腰三角形
等腰三角形具有许多特殊性质．在题设中若有角中分线的垂线的条件，可考虑扩成等腰三角形，利用特珠性质进行证题．
例1 如图，在△ABC 中，AD 是∠A 平分线，CD ⊥AD 于D ，G 是BC 中点．求证：∠DGC=∠B ．
分析： 这里有角平分线AD 的垂线CD 的条件，由此可扩形出等腰三角形． 证明： 延长CD 交AB 于E ，∵AD 平分∠A ，CD ⊥AD 于D ，
∴△ADC ≌△ADE ．
∴AC=AE．
D 是CE 中点，G 是BC 中点． ∴DG ∥BE ．∴∠DGC=∠B ．
二、扩为等边三角形
等边三角形比等腰三角形更特殊，只要有60°，均可考虑扩为等边三角形．
例2 如图，△ABC 中，∠A=60°，∠C ＝20°，E 是BC 中点，D 是AC 上一点，∠CED ＝80°， AC=1．
求：S △ABC +2S△CDE =？
分析；若按常规程序分别求S △ABC 和S △CDE ，实在是繁难至极．这里有一内角
∠CED=80°，若作∠BCF 的平分线交BF 于G ，则△CDE ∽△CBG ．∵E 是
BC
三、扩为直角三角形
直角三角形也有特殊性质，如果题没中有直角、互为余角等，均可考虑扩形为直角三角形，以便利用直角三角形的特殊性质．
例3 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B+∠C=90°，AD 中点M ，
分析：这里∠B+∠C=90°隐含AB ⊥CD ，可分别延长BA 、CD 交于E ，则△BCE 就是Rt △．同样．△ADE 也是Rt △．NE 、ME 分别是斜边中线，只要
＝BC ．
四、扩为正方形或矩形
正方形是特殊四边形，在有等腰直角三角形时，适当扩为正方形常使问题易证；矩形也是特殊四边形，在有直角三角形时，也可扩为矩形．
例4 如图，在△ABC 中，∠
BAC=90°，AB=AC，D 是AC 中点，AE ⊥BD 于E ，AE 延长钱交BC 于F ．求证：∠ADB=∠FDC ．
分析：此题初看无头绪，但从等腰直角三角形是半个正方形这一条件出发，扩形出正方形，就可以找到证法．
翻转△ABC 得正方形ABA ＇C ，则A 、 A ＇关于BC 对称，D 、D ＇关于BC 对称．∴∠FDC ＝∠FD ＇C ．D ＇是A ＇C 的中点，∵正方形绕中心旋转90°后可重合∴A 、F 、D ＇共线．△BAD ≌△ACD ＇． ∴∠AD ＇C ＝∠ADB ．结论得证