黑龙江大学
硕士学位论文
不同维数空间的线性保持问题
姓名：皇甫明
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：曹重光
20050604
中文摘要
中文摘要
设Ｆ为特征不为２或３的域，Ｇ是复数域．设Ｍ。（Ｆ）（或％；（Ｇ））是Ｆ（或ｃ）上ｎ阶全矩阵空间，＆（Ｆ）（或Ｒ（Ｇ））是Ｆ（或ｃ）上ｎ阶对称矩阵空间．
本文刻画了从＆（Ｆ）到Ｍ。（Ｆ）上和从晶（Ｆ）到ｓ。（Ｆ）上的保矩阵逆的线性映射．又刻画了从尬。（ｃ）到＾‰（Ｇ）上和从＆（Ｇ）到蝎，。（Ｇ）上的保矩阵ｋ次幂的线性映射．
关键词：域；复数域；保逆；保幂；线性映射
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Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＬｅｔＦｂｅａｆｉｅｌｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｎｏｔ，２ｏｒ３．Ｃｂｅａｅｏｌｎｐｌｅｘ盎ｅｌｄＬｅｔＭｎ（Ｆ）（ｏｒＭ。（ｃ））ｂｅｔｈｅ
ｅ），Ｓ（Ｆ）（ｏｒ＆（Ｇ））ｂｅ
ｏｖｅｒｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｏｆａｌｌ＂×ｎｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒＦｆｏｒｔｈｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｏｆ％×７／ｓｙｍｎｉｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｅｅｓＦ（ｏｒ
Ｗｅｅ１．ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｌｉｎｅａｒｍａｐｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅｆｉ－ｏｍＳ垆）ｔｏ＾‰（Ｆ）ｇｉｌｄｆｒｏｍ．岛（Ｆ）ｔｏ｜ｓｋ（Ｆ）．Ｗｅ
ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｋ－ｐｏｗｅｒａｌｓｏｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｌｉｎｅａｒｍａＤｓａｎｄｆｒｏｍ瞄。（ｅ）ｔｏ矗‰（ｅｊｆｒｏｍ。％（Ｇ）ｔｏ＾‰（ｃ）．
ｐｏｗｅｒ；Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｅｌｄ；ｃｏｍｐｌｅｘｆｉｅｌｄ；ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅ；ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ
ＩｍｅａｒｍａｐＩＴ
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一些符号和术语
设Ｆ为特征不为２或３的域，Ｇ是复数域，ｎ和ｍ是正整数．ｋ是固定的自然数，且≈２
阶全矩阵空间，２．设尬。（Ｆ）（或坛（Ｇ））是Ｆ（或ｅ）上ｎ岛（Ｆ）（或Ｓｎ（ｅ））是Ｆ（或ｅ）上ｌ＂ｔ阶对称矩阵空间，ＧＬ。（Ｆ）（或ＧＬ。（ｃ））是Ｆ（或ｃ）上”阶一般线性群．
我们定义，。（ｃ）为Ｍ。（ｃ）中所有的幂等矩阵集合，日，为（０，１）位置为１，其余位置为０的７７，阶矩阵，Ｄ。记毋，＋Ｅｍ厶记¨阶单位矩阵，置，记厶一既～马ｊ，Ｏｊ记Ｊ阶零矩阵．用Ａ＠Ｂ记矩阵Ａ与Ｂ的ｋｒｏｎｅｃｋｏｒ积，ＡｏＢ记矩阵Ａ与Ｂ的直和．设ｄ１，６２为非负整数，且６ｌ＜５２，用【６ｌ，ｄ２］记集｛６Ｌ，ｄ１＋１，…，ｄ２）．用ｚ记整数集，表示矩阵Ａ的秩．矩阵．４与Ｂ称正交，即ＡＢ＝ＢＡ＝０．ｒａｎｋＡ
ＩＶ
第１章绪论
第ｌ章绪论
１．１“线性保持问题”的研究
设Ｓ是一个代数结构（域，环，半环等），弘ｔ，Ⅳ。记代数结构ｓ上的矩阵空间或加法群，如果一个映射Ｌ：“Ｌ—÷“２满足
（１）Ｌ（ｓｚＡ＋８２Ｂ）＝ｓ１Ｌ（Ａ）＋，ｓ２Ｌ（Ｂ），ＶＡ，Ｂ∈弘ｌ，ｓ￡，ｓ２∈Ｓ
则称Ｌ是线性映射或线性算子．特别地，当肛ｌ＝ｐｚ＝肛时，也称Ｌ为线性变换．刻划从ｐ，到芦２的保持某些函数，子集，关系，变换等不变量的线性映射的结构的问题称为线性保持问题，简记为ＬＰＰ（ＬｉｎｅａｒＰｒｅｓｅｒｖｅｒＰｒｏｂｌｅｍ）．当ｓ１＝８２＝ｌ时，称三是加法保持问题，
由于线性保持问题在众多领域有广泛的应用背景，他已成为矩阵论研究中一个十分活跃的领域。这方面最早文章是１８９７年Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ的
【１４】和Ｋａｎｔｏｒ的［１５］，之后产生了大量关于线性保持问题的文献，参见
【１６，１７，１８，１９，２０］＿在国内，１９８９年曹重光文【３２】，引发了线性保持问题的研究，十几年来出现了一大批成果，参见ｆ１，２１，２２，２４，２５，２９，３０，３４］．
１９９２年，Ｌｉ在【１９］中将线性保持问题（ｐｌ＝ｐ２＝ｐ）概括为以下四个主要类型．
１）保持函数
设Ｆ是ｐ上的函数，ｐ上的线性算子Ｌ满足
Ｆ（Ｌ（１４））＝Ｆ（Ａ），ＶＡ∈肛
当Ｆ（Ａ）＝ｄｅｔ（Ａ）时，Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ［１４】分别解决了ｐ＝％（Ｇ），ｐ＝＆∽）及ｐ＝｛Ａ∈Ｍ。（Ｏ）ｌｔｒＡ＝ｏ’的情形，其中Ｃ是复数域，ｄｅｔＡ记矩阵Ａ的行列式，ｔｒＡ记矩阵Ａ的迹．Ｄｏｌｉｎａｒ，Ｓｅｍｒｌ在（３３Ｊ中去掉了线性条件，将行列式保持变为ｄｅｔ（Ａ＋ＡＢ）＝ｄｅｔ（多（Ａ））＋Ａ烈Ｂ），ＶＡ，Ｂ∈
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＾霸（ｃ），Ａ∈Ｃ，其中≯是满射．ＶｉｃｔｏｒＴａｎ和ＦｅｒＷａｎｇ在ｆ３３］的基础上去掉咖是满射，仍然得到相同的结论【１３】．
２）保持子集
设瓣Ｃｐ，ｐ上的线性算子Ｌ满足Ｌ（Ｎ）∈腑．
对加法保持问题，如蹰＝（Ａ∈肛ＩｒａｎｋＡ＝１）时，Ｂｅｌｌ和Ｓｏｕｒｏｕｒ［２８】中解决了任意域上上三角矩阵空间中的满射情形；曹重光和张显【２３】中分析了在特征不为２和３的域上对称矩阵空问中的情形；唐孝敏『２７１中分析了ｈｅｒｍｉｎｔ矩阵空间中的情形．
３）保持关系
例如，Ｂ是Ａ的｛１）一逆，即ＡＢＡ＝Ａ．如果Ｌ（Ａ）Ｌ（Ｂ）Ｌ（Ａ）＝Ｌ（Ａ），这就是保持（１）一逆关系．张显和曹重光【３１】中刻画了特征不为２的域上矩阵｛１）一逆和｛１，２｝－逆的加法保持．
４）保持变换
例如，唐孝敏【１１］中研究了域上不同维空间的保矩阵伴随的情形．１．２关于“矩阵逆、幂的线性保持问题”
人们对保持问题的不断深入研究，得到了各种不变量的保持问题的结果．矩阵逆的保持问题早在１９９６年文ｆ２】中就刻画了特征不为２和３的域上全矩阵空间上的保逆加法映射．之后，曹重光和冯立新等在【６，７］文中刻画了特征不为２和３的域上对称矩阵空间和上三角矩阵空间上的保逆加法映射．郝立丽在它的硕士论文中刻画了特征不为２（和为２）的主理想整环上的保矩阵逆的线性映射．最近，曹重光，张显在文ｆ８】８中刻画了含单位元１的连通交换环上保矩阵逆的线性映射．
矩阵幂的保持问题早在１９９２年Ｇｉｎ—ＨｏｒＣｈａｎ等在文［９】中作者通过保秩１的方法，刻画了特征是０或特征大于ｋ的域Ｆ上Ａ矗（Ｆ）和Ｓ（Ｆ）上的保ｋ幂的线性映射．随后ＭａｔｅｊＢｒｅｓａｒ在文【ｌｏ】中刻画了复数域上全矩阵空间上的保ｋ幂的线性映射，曹重光，张显在文ｆ３】３中刻
第１章绪论
画了特征是０或特征大于ｋ的域Ｆ上＾靠（Ｆ）和＆（Ｆ）上的保ｋ幂的加法映射．这里当ｋ取２或３时，矩阵幂的保持问题就转化为幂等和立方幂等的保持问题，这类问题已有许多成果，见ｆ２，５，８，１２】
近十年来，从不同维矩阵空间之间的映射的刻画引起了一些学者兴趣．而不同维矩阵空间之间的映射，还可分为从高维到低维矩阵空间之间的映射和从低维到高维矩阵空间之间的映射．前者的刻画已有了许多成果，见ｆ２２，３７，３８１和其中的参考文献；后者的刻画，近年来才有些结果．１９９９年，曹重光在黑龙江大学自然科学学报『４１中确定了（设兄是有１的连通交换环，且兄上每个幂等阵都相似于对角阵，当２为Ｒ中的单位时）从低维到高维的保幂等线性映射．Ｃｈｉ．ｋｗａｎｇＬｉ等在ｆ２６１中研究了各种秩的线性保持问题．Ｗ．Ｓ．Ｃｈｅｕｎｇ等在『３６１中研究了复数域上酉矩阵的线性保持问题．唐孝敏在【１１ｊ，［２７］中分别研究了伴随线性保持和ｈｅｒｍｉｔｉａｎ矩阵空间中的秩１加法保持问题．
曹重光，陈涛在文【１２］中考虑了（设Ｆ是域，ｃｈＦ≠２，３时）从低维到高维的保立方幂等的线性映射．佟鑫，曹重光在［５１中刻画了特征不为２，３，５的域Ｆ上从对称矩阵空间ｓｎ（Ｆ）到全矩阵空间ｎ甜Ｆ）的保幂等的线性算子（ｎ≤ｍ）．郝立丽，曹重光在【３５】中研究了特征不为２的域上保矩阵逆的线性映射．曹重光，张显在文ｆ８｝中考虑了含单位元１的连通交换环上矩阵幂等，立方幂等，逆，群逆，Ｄｒａｚｉｎ逆，｛１＇．逆，＜２｝。逆和｛ｌ，２｝一逆的线性保持问题．ｂ长江在文【２１Ｉ中研究了至少含五个元素的域上Ｄｒａｚｉｎ逆的线性保持问题．
本文一方面刻画了从低维到高维的特征不为２或３的域Ｆ上对称矩阵空间品（Ｆ）到全矩阵空间』ｌ‰（Ｆ）上的保矩阵逆的线性映射．另一方面，刻画了复数域ｅ上瞄，（ｅ）到Ａ‰（Ｇ）和晶（Ｇ）到Ｍ。（ｅ）上的保矩阵ｋ次幂的线性映射．
１．３本章小结３
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在本章中，我们给出了线性保持问题的简要概况，及逆和幂保持问题的简单介绍，４
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射２．１引言
定义１设，是从ｓｎ（Ｆ）到＾‰（Ｆ）上的线性映射，若，满足ｙ（ｘ）。＝ｆ（ｘ。），Ｖｘ∈晶（Ｆ）ＮＧＬ。（Ｆ），则称，为保逆线性映射，并将所有这样的映射集合记为｜Ⅳ一・（又（Ｆ），尬。（Ｆ））．同样，将，是从品（Ｆ）到ｓ。（Ｆ）上的保逆的线性映射集合记为Ⅳ一ｉ（＆（Ｆ），ｓ。（Ｆ））．
关于阶数相同的矩阵空间中的保逆问题早已有过研究，如文献［１，２，６７，３５】．在【ｌ】中刻画了特征不为２及３的域上从晶（Ｆ）到Ｍ。（Ｆ）保逆加法映射．作为［１］的补充，我们在这里考虑ｎ冬ｍ的保逆情形．
２．２域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
引理２．２．１设ｆ∈Ｍ１（ｓ竹（Ｆ），尬。（Ｆ）），ｉ，Ｊ∈［１，ｎ】，且ｉ≠Ｊ，则下列等式成立
（２），（厶），（Ｅ；）＝，（Ｅｉｉ），（厶）＝，（Ｅ，）２；
（３），（毋ｉ），（马Ｊ）＝，（易Ｊ），（毋ｉ）＝ｏ；
（４）ｆ（Ｅｉｉ）２＋，（Ｅ易）２：ｆ（Ｄｉｊ）２；
（５）ｆ（Ｄｉｊ）ｆ（Ｘｉｊ）＝ｆ（Ｘｉｊ）ｆ（Ｄ，ｊ）＝ｏ；
（６）ｆ（Ｅｉｉ）ｆ（Ｄｉｊ）＝ｆ（Ｄｉｊ）ｆ（Ｅｉｉ）．
证明过程类似于［１】中引理５．１．４的证明．
引理２．２．２，∈Ｎ—ｌ（＆（Ｆ），Ｍｍ（Ｆ）），则对任意的ｉ∈【１，７Ｌ］，ｆ（Ｅ｛＿ｉ）≠０成立．
证明用反证法．假设存在ｉｏ满足，（Ｅ。）＝０，并代入引理２．２．１（４），（６）中得
，（马Ｊ）２＝，（皿谢）２，ｆ（Ｄｉ。ｊ），（马Ｊ）＝ｏ，ｖｊ∈【１，ｎｌ，一５一
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于是ｆ（Ｅｊｊ）３＝０，应用引理２．２．１（１）和（２）得ｆ（Ｅｊｊ）２＝ｏ，进而，（岛ｊ）＝ｎ
０．故，‰）＝∑ｆ（Ｅｋｋ）＝０．这与引理２２．１（１）矛盾．
ｋ＝１
引理２．２．３１１ｊ设ｃｈＦ≠２且Ａ３＝Ａ，Ａ∈％。（Ｆ），则存在一个可逆矩阵Ｐ∈螈（Ｆ），使
Ａ＝Ｐ［（Ｉｖｏ—Ｉｏ）ｏｏｄＰ～１
其中Ｐ，ｑ∈Ｚ且ｒａｎｋＡ＝Ｐ＋ｑ，ｎ＝Ｐ＋ｑ＋ｆ
引理２．２．４ｆ∈Ａ乙ｌ（＆（Ｆ），＾‰（Ｆ）），则存在一个可逆矩阵Ｐ∈
Ｅｊ１％（Ｆ），对任意的ｉｍｎ］有
ｆ（Ｅｉｉ）＝Ｐｆ西ｔｏｄｉａｇ（１ｐ，，一毛）Ｊ尸。
ｎ
其中ｍ＝∑（乳十曲．
扛：Ｉ
证明由引理２．２．１（２）可得ｆ（Ｅｉｉ）３＝ｆ（Ｅｉｌ），再由引理２．２．１，引理２．２３和类似于［２】中定理３．１的证明，可得
，（蜀。）＝尸ｌ蜀。圆ｄｉａｇ（Ｉｐ。，一％）ｏ００Ｐ。
ｎ
其中－３＝ｍ一∑（ｐ。＋吼），再经引理２．２，１（１）可得到引理２．２．４的结论．
ｆ＝１
定理１，∈Ⅳ二１（＆（Ｆ），Ｍｍ（Ｆ））当且仅当存在一个可逆矩阵Ｐ∈‰（用，使
ｆ（ｘ）＝ＰｉＸｏｄｉａｇ（‘，－ｓ．）ｌｅ－１ＶＸ∈＆（Ｆ）
其中ｍ＝ｎ（ｐ＋ｑ），Ｐ，ｑ为非负整数．
证明充分性显然，下证必要性．
由引理２．２．４知，存在一个可逆矩阵Ｐｏ∈蝎。（Ｆ），使得
，（噩，）＝ＰｏｌＥ．ｏｄｉ．ｇ（Ｚ．，，一毛）】胃１，Ｖｉ∈［１，礼】
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
再由引理２．２１（５）得
０
０
Ａ。０
Ｏ０００Ａｉｊ０
昂１ｆ（Ｄｉｊ）Ｐｏ＝
０
Ａｉｉ０００００Ａｊ：
０
０
其中Ａ；ｉ，Ａｑ，Ａｊｉ和Ａｊｊ分别是渤＋ｑｉ）×（Ｐｉ＋ｇｔ），慨＋ｇ；）ｘ（Ｐｊ＋胁），（功＋Ｐｊ）×（Ｐｊ＋聊）和（Ｐｊ＋翰）×（ｐ｛＋ｇｉ）阶阵．
由引理２．２．１（６）得
Ａ“＝Ｏ，Ａｉｊ＝Ｂ≈。ｏＢｚ｛，
Ａ｜｛＝０、Ａｊｉ＝ＢｋＩｏＢ【ｊ．
其中Ｂ即Ｂｉ。，且ｂ和Ｂｆ，分别是Ｐｉｘｐｊ，ｑｌ×劬，功ｘＰｉ和劬×ｑｉ阶阵・由引理２．２．１（４）得
Ｂｋ、Ｂｌ。＝Ｉ眦、Ｂｋｊ日ｋ。＝Ｉｐｉ，
Ｂｌ。Ｂｌ｜＝ｌｑ，，ＢＩ｜Ｂｉ。＝Ｉｑｊ．
因此Ｐ；＝Ｐｊ，ｑｉ＝劬，不妨设Ｐ＝Ｐｉ，ｑ＝毋，Ｐｌ＝ｄｉａｇ（Ｉ，．，Ｂｋｔ，～Ｂｌ¨＿一，口‰一Ｂｈ）．令Ｐ＝Ｐ０Ｐｌ，其中ｒ＝Ｐ＋ｑ．这样我们得到
，（Ｅ。）＝ＰＩＥ．ｏ威ａ９（‘，一‘）】Ｐ一１，
，（ＤｌＪ）＝Ｐ［Ｄ玎ｏｄｉｏｇ（‘，一厶）］Ｐ一１．一７一
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再由Ｘ∈Ｓ。（Ｆ）可得到定理结论．
推论Ｓ∈Ｎ１（Ｓ“Ｆ），ｓ。（Ｆ）），则ｆ有定理１的形式，且ＰＦＰ＝（ｋ＠Ｖ）ｏ（厶ｏｗ），Ｖ和Ｗ是ｐ×Ｐ和ｑｘｑ阶可逆阵．
证明因Ｒ（Ｆ）≤Ｍ。（Ｆ）由对任意的ｆ∈＾Ｌ１（Ｒ（Ｆ），品。（Ｆ））都满足ｆ∈Ｎ１（＆（Ｆ），Ｍ。（Ｆ）），所以由定理１知，存在一个矩阵Ｐｌ∈ＧＬ。（Ｆ），使
ｆ（ｘ）＝Ｐｉ［ｘ圆ｄｉａｇ（Ｉｐ，一厶）ＪＰｉｌ，ＶＸ∈品（Ｆ），
其中ｍ＝扎◇＋ｇ）。显然存在一个矩阵尸∈ＧＬ。（Ｆ），使
，ｃ．ｘ，＝ＰＩＸ＠‘一ｘ０。厶１
３
一Ｐ～，Ｖｘ∈＆ｃＦ，，由，ＥＮ—ｚ（ｓｎ（Ｆ），５ｋ（Ｆ））得Ｓ（ｘ）∈ｓｋ（Ｆ）．这样，我们可得到ＰＴＰｌｘ。０‘一Ｘ：ｌｑＪｌｘ。０‘一Ｘ：‘Ｊ【圆Ｐ丁ＰＪｌ一＠‘ｊ
因此，存在ｎｐ×ｎｐ和ｎｑ×ｎｑ阶可逆阵仉和巩，使得
即＝［蚓．
所以有以（ｘｏ厶）＝（Ｘ＠，ｐ）仉和仉（一Ｘｏ‘）＝（一Ｘｏ如）巩成立．这样，我们可得
巩＝
眠
其中，对任意的ｉ∈［１，叫，Ｋ和眦分别是Ｐｘｐ和ｑ×ｑ阶可逆阵．由Ｘ的任意性得，Ｋ＝Ｋ＇．・＝Ｋ和ｍ＝％一・＝％．令Ｖ＝Ｋ和Ⅳ＝吼，则有Ｕａ＝厶ｏＶ和巩＝厶ｏＷ．因此本推论成立．
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
２．３本章小结
在本章中，我们刻画了特征不为２及３的域上从＆（Ｆ）到＾‰（Ｆ）和从Ｒ（Ｆ）到＾‰（Ｆ）保逆线性映射．
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第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
３．１引言
定义２设．，是从幅。（Ｃｒ）到Ａ‰（ｃ）上的线性映射，ｋ是任意固定正整数（ｋ≥２）．若，满足，（ｘ）‘＝ｆ（ｘ‘），Ｖｘ∈Ｍｎ（Ｇ），则称，为保ｋ次幂的，并将所有这样的映射集合记为Ｌ（尬；（Ｇ），Ｍｍ（ｃ））．同样，将，是从Ｓ；（Ｇ）到埘。（Ｇ）（或Ｓｍ（Ｇ））上的保ｋ次幂的线性映射集合记为Ｌ（＆（ａ），Ｍｍ（ｃ））（或Ｌ（Ｓｎ（Ｇ），ｓｋ（ｅ）））．
对选类问题的研究已有结果［１，３，９，ｌｏ］，但均讨论ｍ＝礼的情形．在文ｆ３】中刻画了域Ｆ（ＣｈＦ＞％或ＣｈＦ＝０）上螈（Ｆ）和品（Ｆ）的保幂加法映射．本文参考［３］Ｉ对任意选取的正整数ｍ，ｎ，考虑Ｌ（Ｍ；（ｅ），Ｍｍ（ａ））和三（＆（Ｇ），Ｍ。∽））中元素的形式．
３．２全矩阵空间之间的保幂线性映射
弓ｌ理３．２．１设ｆ∈Ｌ（』‰（Ｇ），Ｍｍ（Ｇ）），Ａ，Ｂ∈＾靠（Ｃ｜），贝０
（ｉ）∑ｆ（Ａ）Ｐｆ（Ｂ）ｆ（Ａ）ｂ卜９＝∑／（Ａ９ＢＡｋ－ｌ－ｖ），
口＝０ｐ＝Ｏ
（ｉｉ）当Ａ与Ｂ正交，且Ａ。＝Ａ时，有ｆ（Ａ）与Ｉ（Ｂ）也正交．
证明易见，，（（Ａ十ｔＢ）‘）＝【ｆ（Ａ＋ｔＢ）］‘＝（ｆ（Ａ）＋ｔ，（Ｂ））。，展开两端对比ｔ的系数得（ｉ）．
若ＡＢ＝ＢＡ＝０，则（ｉ）之右端为Ｏ，从而左端为０，于是
ｆ（Ａ）ｆ（Ｂ）＝，（Ａ）‘ｆ（Ｂ）＝，（Ａ）【，（Ａ）‘一‘，（Ｂ）】
：，（Ａ）（ｋ∑－１，（ＡＰｆ（Ｂ）ｆ（Ａ）ｋ－一－一一一ｋ∑－２，（Ａ），，（Ｂ），（Ａ）ｋ－ｌ－ｐ）
ｐ＝Ｏｐ＝Ｏ
＝一ｋ∑－Ｉ，（ＡＰ，（Ｂ），（Ａ）‘一ｐ＝．，（Ｂ），（Ａ）‘＝，（Ｂ），（Ａ）．
ｐ＝ｌ—１０
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
将ｆ（Ａ）ｆ（Ｂ）＝，（日），（Ａ）代入（ｉ）之左端，易见∑，（Ａ）ｋ－１ｆ（Ｂ）＝０：这意味着（％一１），（Ａ）ｋ－１ｆ（Ｂ）＝０，故ｆ（Ａ）ｆ（Ｂ）＝，∽）．厂（Ａ）“１ｆ（Ｆ）＝０，（ｉｉ）得证．
引理３．２．２设ｆ∈Ｌ（Ｍｎ（Ｃ），Ａ‰（ｅ））．则，（Ｅｉｉ）＝ｏ（对某个ｉ∈
【１，叫）当且仅当ｆ＝０．
证明充分性显然，下证必要性．
在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝Ｅｉｉ，Ｂ＝Ｅｉｊ，Ⅵ∈【１，叫且ｉ≠ｊ得
ｋ一】ｋ一１
０＝∑ｆ（Ｅｉｉ）一ｆ（Ｅｉｊ）ｆ（Ｅｉｉ）¨１。，＝∑，（瑶％磷。呻），
ｐ＝Ｏｐ＝Ｏ
于是
ｆ（Ｅ＿ｉｊ），（磁一勖＋岛磁一＋∑瑶％磁－－ｌ－ｐ）
ｐ＝１
ｋ一１．．
∑，（瑶最ｊ磁。１）＝０
类似有，（马；）＝０，从而ｆ（Ｄｑ）＝０．
（ａ）当ｋ为偶数时，易见
ｆ（Ｅｊｊ）＝ｆ（Ｅｉｉ＋％）＝，（Ｄ鲁）＝ｆ（Ｄｉｊ）Ｌ０，
（ｂ）当七为奇数时，在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝上ｂ，Ｂ＝昂，注意ｆ（Ｄ０１＝０得
ｋ一１
∑ｆ（Ｄ帮）一ｆ（Ｅｔｉ）ｆ（Ｄｉｊ）ｂ。’＝０
ｐ＝Ｏ
于是有
＝学ｆ（Ｅｉｉ）＋等，（砀）
＝∑，（Ｄ３毋ｔＤ争。’）：ｋ∑－１，（Ｄ０既Ｄ争１一，）
２二：
＝∑ｆ（Ｄｉｊ）Ｐｆ（Ｅｉｉ）ｆ（Ｄｏ）¨卜９
ｐ＝Ｏ＝０．
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由☆≥２得，（易Ｊ）＝０．
综合（ｏ），（６）和Ｊ的任意性，类似于如上证明，可知对任意的，。，ｆ∈１，ｎ］都有，（玩＾）＝０和ｆ（Ｅｈｌ）＝０成立．引理得证．
引理３．２．３【３】若Ａ∈厶（ｅ），则存在Ｐ∈ＧＬ。（ｅ），使得
Ａ＝Ｐ（‘ｏｏ）Ｐ～，
其中ｒ＝ｒａｎｋＡ．
引理３．２．４【４】设Ｔ为丑靠（ｅ）到％。（Ｇ）的保幂等线性映射协≤ｍ）当且仅当丁有如下形式之一
（ａ）Ｔ＝０，
（ｂ）存在可逆阵Ｐ及正整数ｒ，使得ｍ—ｎｒ＝ｓ＞０，且
Ｔ（ｘ）＝Ｐ［（Ｘ＠ｄｉａｇ（Ｉｄ，Ｏｒ－５）＋ｘ‘＠ｄｉａｇ（０６，‘一６））ｅｏ。ＩＦ～，ＶＸ∈＾矗（ａ）
引理３．２．５…Ａｌ，…，Ａｃ∈‰（Ｇ）彼此正交，且越＝Ａｉ（ｉ＝１，…，ｑ若ｔ＞ｍ，则存在Ｊ∈ｆ１，ｔ１使得山＝０
引理３．２．６设，∈Ｌ（尬。（Ｇ），＾‰（Ｇ）），且，≠０，则存在Ｐ∈ＧＬ。（Ｇ）使
，（Ｅ。）＝ＰＩＥ．ｏＤｏｏ。ＩＦ～，Ｖｉ∈【１…，ｎ】
其中Ｄ＝∈ｌ‘。ｏ…ｏ“一１ｋ。Ｖｉ∈【１，ｎ】，￡¨一，“一ｌ为互不相同的＾一１次单位根，且约定ｒｈ＝０时，相应项不出现．
证明由，（且ｆ）‘＝，（既）知，口（Ａ）＝＾‘一Ａ是，（风）的化零多项式．困，（玩）的最小多项式整除口（Ａ），且ｇＤ）无重根知，，（最｛）相似于对角阵．设５ｈ…，“一１为☆一１次单位根，则存在一个Ｐｏ∈ＧＬ。（Ｆ），使
，（蜀Ｉ）＝蜀ｆ蜀ｊ９（￡ｊ五，ｏ…ｏ靠一ｚ厶＿ＩＩ）ｏ％）］豸１，
１２（１）
第３章矩阵空间之问的保幂线性映射
由引理３．２．１（ｉｉ）和Ｅｌｉ，Ｅ１１（ｉ≠１）彼此正交得．厂（置ｉ）和ｆ（Ｅ１１）正交（ｉ≠１）．于是，由，（蜀ｉ）取值出发不难证得
，（置ｚ）＝Ｐ［Ｅｌｉ圆（Ｃｌ／ｌ。ｏ・・・ｏＥｋ一１＾一ｌ，）ｏｏ。］尸一１，（２）
其中，Ｐ∈ＧＬｍ（Ｆ），对任意的ｉ∈［１，ｎ］，记五。的阶为如，ｆ∈［１，ｋ—１］，约定厶＝０时该项不出现，记矗＝∑矗且ｍ＝∑魂＋ｓ．
在引理３．２ｌ（ｉ）中，选取Ａ＝蜀。，Ｂ＝Ｄｔｉ得
¨∑删八巴尸，Ｄ，，墨户ｐｆｆ
¨∑删，醪Ｄ磁一呻
在引理３．２．１（ｉ）中选取Ａ＝马，，Ｂ＝Ｄｌｊ得
八岛力ＶＤＨ∑脚八弓扣呻｛｜
“∑唧八％Ｄ略
应用（２），并将（３），（４）两式经过分块计算可得
，（Ｄｕ）＝ｐ［（Ｉ％ｏＡ，Ｊ＋易；ｏＡｊ，）ｏｏ。】Ｐ～，
其中Ａ巧为８ｉ×ｓｊ阶阵，Ａ一为ｓｊ×ｓｉ阶阵．（５）
设ｎ为正整数，则Ｈ＝—ｎ２Ｌ－｝－ｉｎ。＋篙了弓Ｊ＋稿了Ｄ玎为幂等阵，所以Ｈ。＝Ｈ．因此，有，（卅。＝ｆ（Ｈ）成立，故
，（最ｉ）＋ｎ２，（马Ｊ）＋ｈｉ（Ｄ，ｊ）】。
（ｎ２＋１）‘一１，（最ｉ）＋（ｎ２＋１）‘一１ｎ２，（弓Ｊ）＋（礼２＋１）６—１ｎｆ（Ｄｆｊ）
对比两端扎２卜２项的系数，并注意，（岛），（三０）＝０有
∑
ｏ！ｐ＋口ｓ‘一２’，（马Ｊ）９，（Ｄ玎）－厂（弓ｊ）ａ，（Ｄ。，），（弓，）ｈ２一ｐ—ａ（６）
＝＠一１）ｆ（Ｅｚ）＋，（忍：）．
不妨令Ｄｉ＝￡１，１。ｏ…ｏＥｋ一１ｈ吐．将（２）和（５）代入（６）可得
如谚ｑ如；＝职，
一１冀一
２０
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即
ＡｌｊＤｊｉＡｊｉ＝Ｄｔ（７ｊ
又因圩ｌ＝籍置ｉ＋南局，＋赤Ｄ巧为幂等阵，同理可得ＡｊｉＤｉｌＡ０＝功．因此ＡⅢＡＪ。可逆．
（＆）若ｋ为偶数，则
，（现Ｊ）‘＝，（磁）＝，（题；）＋，（局Ｊ）．
将（５）代入上式得
（Ａ叼４小）江Ｄｉ，（ＡｊｉＡ。Ｊ）§＝功，
由（７）及（８）前式可得
（ＡｊｊＡｉｊ）一１＝Ｄｆｌ，（８）
结合（８）的后一式，可得四一Ａ豇４“．同理Ａ，ｊＡ”＝Ｄ？，这样我们可得到
Ａｉ３琏＝Ｄ｛Ａ扭国１
设Ａｊｉ且础２’为Ｉ：阶阵，ｆ∈Ｃ１，％一１］．由Ａ业可逆及（９）式对比两端，可推出碟‘）＝ｏ，Ｖｌ≠ｈ，并且ｆ。：ｌｊ，Ｖｌ∈ｆ１，％一ｌ】．因此Ｄ？＝碍，又因％一１为奇数，故Ｄ。：Ｄ，．
（６）当％为奇数时，在引理３．２．１（ｊ）中选取Ａ＝％，且：层ｉ得
。Ｅ：。ｆ（Ｄｉｓ）”，（风），（Ｄ巧）。一却＝字，（Ｂ）＋字，（易Ｊ）
＝！±１（毋；ｏｎ）ｏ叽＋８≠（易，圆Ｄ，）ｏ、。｜ｔｊｏ“ｌｊｕ”５］—下。＼“，３ｗｕｌ｝Ⅷ８。
将（２）和（５）代入得
∑
ｐ＝２１＋ｌ，ｚ∈ｆｏ，１尹】（如Ａｉｊ）…。ＡｊｉＤｉ（Ａ０冯；）与Ｐ如：譬｝Ｂ，。（１０）
一Ｔ４一
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
舻∑忡字∽ｍＤ４山宁｜｜字Ｄ
在（１０）式左边分别乘Ａ“，（１１）右边分别乘Ａ“，两式相减得
Ｄｉ（～Ａｊｉ）下ｋ－ｉ如：半叫旷旱ＡｉｊＤｊ．
又因＿厂（ｑ，）‘＝ｆ（Ｄｉｊ）知∽。１４”）孚＝Ｉ，因此ＤｉＡｉｊ＝ＡｉｊＤｊ．此时，与ｋ为偶数时的证明类似，我们同样可得Ｄｔ＝Ｄ，．
Ｃｋ一１ｋ川Ｖｉ∈［１，竹］，ｒｈ＝ｈｉ，Ｖｈ∈【１，ｋ一１】此时可令８０～Ｓ１
基础上有综合（ｏ），（ｂ）我们令Ｄ＝Ｄｉ，Ｖｉ∈【１，ｎ］，因此Ｄ＝ｇｌＩｒ，ｏ…ｏ・－＝％２引理３．２．７设ｆ∈Ｌ（尬：（ｃ｜），Ｍｍ（Ｇ）），且，≠０，则在引理３６的
，（Ｅｊｆ）＝Ｐ［（易ｔｏＡｊｔ＋毋ＪｏＡ坷）ｏＯｓ】Ｐ一１
ｅＯＵ
其中Ａ，￡＝Ａ玎＝
Ｂ扭¨
ｓ＝仇一２ｓｏ，Ｂ。（ｊ。ｔ），Ｃｈ（Ｊｔ）为“阶阵．
证明在引理３．２．１（ｉ）中，选取Ａ＝Ｅｊｊ，Ｂ＝Ｅｊｆ得
Ｈ∑删八％Ⅳ旧Ⅲ晦１＝
Ｈ∑唧“吩目爵’）＝，（马ｃ）．（１２）
在引理３２．１（ｉ）中选取Ａ＝Ｅ∽Ｂ＝ｓｔｔ得
¨∑脚八酲Ｖ马“堍ｐ｜｜
¨∑删八日Ｂｐ螗日≈雌９）＝，（易ｔ）（１３）
应用引理３．２．６并将（１２），（１３）两式经过分块计算可得
，（马ｔ）＝Ｐ［（易ｔｏＡ计＋ＥｔｊｏＡｔｊ）ｏｏ。］Ｐ一１，
一１５一（１４）
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其中Ａｆｔ，Ａ坷均为ｓｏ阶阵．
考虑坼为互不相同的ｋ次单位根，且碾≠１（ｉ∈ｆｌ，ｋ—１］）．因（碾弓，＋Ｅ“＋ｚ易ｔ）６＝局，＋Ｅｔ￡，其中。为任意复数，故
ｈ，（易Ｊ）＋，（日ｃ）＋ｘｆ（易ｃ））。＝，（易，）＋ｆ（Ｅｕ）．
比较ｚ的系数，可得
ｋ一１
∑（，ｌｉｆ（Ｆ，ｉｊ）＋ｆ（Ｅｔ。））’ｆ（Ｅｊｔ）‰，（勘）＋，（玩））ｎ１。９＝０
∞＝０
将引理３２．６及（１４）式代入上式可得
ＤｐＡｋｐ
¨∑舢考察方程组礴Ｄ｜｜０（１５）
ｚ１＋叼ｌｚ２＋卵｝ｚ３＂４－・
ｘｌ＋讯一ｌｘ２＋耀一１黝
ｋ—Ｉ＋卵｝１ｚ女＝０＋・・・＋％ｋ一－１１ｚｋ＝０注意∑培＝０，易见其全部解满足Ｘｌ～ｘ２
口＝０一Ｘｋ（因系数阵秩为
。☆一ｉ，基础解系为（Ｉ，１，…，１）），从而（１５）式中鸟￡，Ｄ冯ｔＤ扛２，ＤＡｊ｛Ｄ卜３，山ｔ彼此相等，则有
ＤＡｊｔ＝ＡｊｔＤ．（１６）
一Ｂｌ（ＪＩＯ—１
设Ａｊｒ＝Ｂ。Ｕｔ）为“阶阵
硝；咝．Ｂ，々（Ｊ—ｔ）ｌ女一１
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
日∽
由（１６）对比两端可推出口艇‘’＝０，Ｖｌ≠ｈ，即ＡＪ￡＝
碟。
同理Ａ玎＝
定理２设ｍ，％为正整数，Ｉ厂∈Ｌ（Ｍｎ（Ｃ），ｉｒａ（Ｃ））当且仅当下述
之一成立
（ｉ）ｆ＝Ｏ；
（ｉｉ）ｎ曼ｍ，且存在Ｒ∈ＧＬ。（Ｃ．）使
ｔ一１
，（ｘ）＝Ｒ｛［ｏ（ｘｏ如０９（旬如，Ｏｐ。一曲）＋ｘ２圆ｄｉａｇ（Ｏｄ。，矗‘，一６。））ｌｅｏ。）Ｒ～，Ｖｘ∈螈（ｅ）
ｉ＝ｌ
ｋ—ｌ
其中ｍ＝礼∑鼽＋ｓ，ｐｉ为非负整数，文∈［０，Ｐｉ
ｉ＝ｌ
证明充分性显然，下证必要性．
１）ｎ＞ｍ时，由引理３．２．５知，（玩）＝ｏ（对某个ｉ∈【１，ｎ］）．再由
引理３．２．２知ｆ＝０．
２）若礼≤ｍ，且对某个ｉ∈［１，礼】，ｆ（Ｅｉｉ）＝０．由引理３．２．２知ｆ＝０．
３）若对某个ｉ∈［１，ｎ］，，（Ｅｆ）≠０，由引理３．２．２知．厂≠０．因此
７Ｌ≤帆对任意ｘ＝（ａｉｊ）∈Ａ靠＠），由引理３．２．６，３．２。７知
ｐ－１ｆ（Ｘ）Ｐ＝Ｐ一１（∑ｏ玎，（％））Ｐ妇＝ｌ
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Ｏ？ｌｎ碰豫。
ｏｎｎＥｌ‘，
ＯＬｎｌ磁瑞一。‘’。。’一“ｎｎＣｋ一１ｌｒ≈
其中磁”１’＝磷“’＋露”，砖１’碟”’＋砖”．令
‰越㈨１
ｋ（Ｘ）…ｌ，ｖｉ∈［１，女一１］．
Ｑ谢砖１）ＯＬｎｎＣｉ』ｒ。Ｉ
则ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｆｌ（Ｘ）ｏ，２∽）ｏ…ｏ＾一ｉ（Ｘ）ｏｏ。）Ｐ～，且因，保％次幂
知，，｛也保女次幂，Ｖｉ∈［１，☆一１】．
下证士＾为保幂等的线性映射．
对任意Ｍ∈厶（ｃ），由引理３．２．３，存在Ｑ∈ＧＬ。（ｅ），使
Ｍ＝Ｑ～ｄｉａｇ（Ｉ，．，Ｏ）Ｑ，
其中ｒ为Ｍ的秩．
令Ｌ。（ｙ）＝Ｅｆｌ＾（Ｑ～ＹＱ），ＶＹ
ｋ次幂．
类似引理３２ＥＭ。（Ｇ），Ｖｉ∈［１，ｋ一１］．易见诸丑也保６，并应用，｛的定义可推出
ｄｉａｇ（ＯｏｅｉＩ，．ｊｏ厶（易，）＝÷，｛（ＱＥＪｊＱ）＝÷Ｐｌ［马』ｏｏ）】斤１
因此当＾（Ｍ）＝Ｌｉ（ｄｉａｇ（Ｉｒ，ｏ））为幂等阵．故击＾为保幂等的．
应用引理３．２．４得
兰＾（ｘ）＝只瞵。ｄｉ叼（％，％。一最）＋ｘ‘＠ｄｉａｇ（％，厶。一丑）】彳ｌ（Ｂｏｒａ－ｎｐｉ，ＶｉＥ［１，ｋ－１］一１８
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
其中只为ｒｚｐ。阶可逆阵．
再由ｆ（Ｘ）＝Ｐ（，１（Ｘ）ｏｆｄｘ）ｏ…ｏＡ一１伍）ｏＯｓ）Ｐ＿１可得结论
３．３对称矩阵空间之间的保幂线性映射
引理３．３．１１５】，是从又（Ｇ）到Ｍ。（ｃ）上的保幂等线性映射，当且
仅当，有下述之一成立
（ｉ）ｆ＝Ｏ；
（ｉｉ）ｆ（ｘ）＝尸（Ⅳ＠‘ｏｏ。）Ｐ～，矿ｘ∈ｓｉ（Ｃ，），Ｐ∈ＧＬ。（ｅ），ｍ＝
ｎｒ＋８．
引理３．３．２设ｆ∈Ｌ（＆（ｅ），Ａ‰（Ｇ１））．则，（蜀ｉ）＝ｏ（对某个ｉ∈
［１，ｎ】）当且仅当ｆ＝０．
证明充分性显然，下证必要性．
在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝局ｉ，Ｂ＝Ｄｉｊ，Ⅵ∈［１，ｎ】且ｉ≠Ｊ得
０：莹，（既），ｆ（Ｄｏ）ｆ（Ｅｉ；）¨一一：ｋ∑－１，（瑶巩磁＋，），
ｐ＝Ｏｐ＝Ｏ
于是
ｆ（Ｄｉｊ）＝●
脚∑叫酲％磁
擘酗‰印加库
（ａ）当≈为偶数时，易见砖１｜｜
ｆ（ＥＪｊ）＝，（最ｉ＋Ｅｊｊ）＝ｆ（Ｄｋ）＝，（％）‘＝０，
（ｂ）当ｋ为奇数时，在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝Ｄｉｊ，Ｂ＝Ｅｌｉ，注意
ｆ（Ｄｉｊ）＝０得
女一
一”Ｈ∑脚，Ｄ一Ｖ尸，毋，ＤＰ｜１Ｏ
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于是有
＝丁ｋ＋ｌ，（毋１）＋字，（马，）
＝∑，（Ｄ０‰Ｄ扩：ｋ∑－１，（Ｄ０日，Ｄ争ｌ－ｐ）
ｐ＝Ｕ
＝∑ｆ（Ｄｉｊ）９ｆ（Ｅｉｉ）ｆ（Ｄｉｊ）卜１＿ｐ
由女三２得，（马Ｊ）＝０．
综合（ｎ），（ｂ）和Ｊ的任意性，类似于如上证明，可知对任意的ｈ，ｚ∈
【１，叫都有ｆ（Ｅｈｈ）＝０和ｆ（Ｄｈｆ）＝０成立．引理得证．
引理３．３．３设ｆ∈Ｌ（晶（Ｇ），尬。（ａ）），且ｆ≠０，则存在Ｐ∈ＧＬ。（ｃ）
使
ｆ（Ｅｉｉ）＝Ｐｆ（风圆Ｄ）ｏｏ。ＩＦ～，
ｆ（Ｄｑ）＝Ｐ［（Ｅｉｊ圆Ａ巧＋Ｅ，ｉｏＡｊｉ）ｏＯｓ］Ｐ一１，
其中Ｄ＝Ｅｌ‘。ｏ…ｏ“一１ｋ。Ｖｉ∈ｆ１，ｎ】，Ｅ１，…，％一１为互不相同的ｋ－１
次单位根．Ａ订＝ｄｉｎ９（Ｂ鲁’，…，～Ｂ女（ｉ—ｉ）ｌ＾一１），Ａｊ；＝ｄｉｎ９（ｄ｛“，…，。Ｃｋｋ（Ｊ—ｉ）ｌ＆一１），～ＢＭ（ｉｊ’，Ｇ螺’为％阶阵，Ｖｉ，Ｊ∈【１，州，ｈ∈【１，ｋ一１］
证明证明过程与引理３．２．６的相同，我们都可得到
１）Ｄｉ＝Ｄ３；
２）当ｋ为偶数时，有山ｉＤ；＝巧Ａｊｉ，Ａｉｊ四＝Ｄ？Ａ玎；
３）当ｋ为奇数时，有Ａ３ｉＤｉ＝ＤｊＡｊｉ，Ａｉｊ功＝ＤｉＡｉｊ．
由１）可令Ｄ＝Ｄｊ，ｖｊ∈【１，ｎ］－因此Ｄ＝ｅｌｉ，。ｏ・・・ｏ“一１屯。Ｖｉ∈
ｆｌ，ｎ】，“＝ｈｉ，Ｖｈ∈［１，☆一ｌ】．当％为偶数时，由２）中两个式子就可推得
Ａ。，：ｄｉａｇ（Ｂ鼽一，雌Ｌ），Ａｊ一出ｏｇ（碟“，…，础‘’），础’，嗽’
为“阶阵，Ｖｈ∈ｆ１，ｋ一１】．同理当ｋ为奇数时，４玎，Ａｊｉ亦为对角块
阵．２０—
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
定理３设ｍ，ｎ为正整数，ｆＥ三（岛（ｅ），Ｍｍ（ａ））当且仅当下述之一成立
（ｉ）ｆ＝０，
（ｉｉ）ｎＳｍ，且存在ＲＥ＂ＧＬ。（Ｇ）使
‘
，（ｘ）＝Ｒ（［ｏ（ｘ。如‘．）ＪＧＯ。｝兄－－１１ＶＸ∈＆（ｃ），
ｉ＝Ｌ
七一ｌ
其中ｍ＝ｎ∑Ｐｉ＋８，ｐ｛为非负整数．
证明充分性显然，下证必要性，
１）ｎ＞ｍ时，由引理３．２．５知，（毋。）＝ｏ（对某个ｉ∈［１，，１］）．再由引理３．３，２知ｆ＝０．
２）若ｎｓｍ，且对某个ｉ∈［１，翻，，（蜀｛）＝ｏ。由引理３，３．２知ｆ＝ｏ．３）若对某个ｉＥ［１，叫，／（Ｅｌｉ）≠０，由引理３．３．２知ｆ≠０．因此礼≤ｍ．由引理３．３．３，对任意的Ｘ＝（ａｉｊ）∈品（Ｇ），我们有
Ｐ。ｆｔＸ、Ｐ＝
‰Ｂ∥
‰Ｂ：芄一，
ｎｎｎＥｌ‘ｌ
Ⅱ。。雄‰一，
０。
令
ｄｌｌ矗‘。…ａｌｎＢ：：“’
＾（ｘ）＝Ｖｉ∈【１，七一１】％；堙¨…ＯＥｎｎ８ｉ‘：
一２ｌ一
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易见
ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｆｌ（Ｘ）ｏ，２（ｘ）ｏ．．ｏ＾一ｌ（ｘ）ｏｏ。）Ｐ。（ｓ＝ｍ一礼ｓ｛）（１７）五是保≈次幂的，且Ｅｉｌｙ，（ｔｏ）＝厶。
下证士＾为保幂等的线性映射．
事实上，对任意的幂等矩阵Ｂ＝Ｂ２，有Ｂ＝Ｂ２一・＝Ｂ２，对任意的Ｔ∈Ｃ，我们有
＾（（』＋ｚＢ）‘）＝
馔ｚ２＾（Ｂ）＋研ｚ‘一１＾（Ｂ）＋・・・＋磷一２２２＾（＿Ｂ）＋罐一１口五（Ｂ）＋ｃ窖五（，）另一方面有
（＾（，＋。Ｂ））‘＝（＾（』）＋ｘｆｉ（Ｂ））‘＝（￡。ｆ＋￡，ｉ（Ｂ））‘＝Ｇ２茁‘，｛（Ｂ）‘＋矗醭ｚ“一１，ｆ（Ｂ）‘一１＋・・・＋￡：一２罐一２。２＾（Ｂ）２＋Ｅ：一１磷一１ｘｋ（Ｂ）＋ｅｆＣ０ｋ（Ｉ）又因＾（（，＋ｚＢ）‘）＝（＾（，＋∞启））。，对比。２的系数得（＾（Ｂ））２＝矗，ｌ（Ｂ），这样一来对每个士＾均可引用引理３．３．１，然后应用（１７）式不难推得本定理结论．
定理４设ｍ，礼为正整数，ｆ∈Ｌ（＆（Ｇ），Ｓｋ（Ｇ）），则ｆ有定理３的形式，其中ＲＴＲ＝０（，ｏＫ）ｏＶｏ，且Ｋ，Ｋ，ｔ一，Ｋ均对称可逆．
ｉ＝１
ｔｔ
证明由ｆ（ｘ）对称知有Ｒｒ科［ｏ（Ｘｏｓｉｌｐ。１．ｏ。）＝｛【ｏ∽固矗‘。】ｏ０。ｌ兄ＴＲ成立，因此可推得定理的结论．
３．４本章小结
在本章中，我们通过将映射归结为保幂等的线性映射，再分别利用
【４，５］中保幂等的结论，将Ｌ（Ｍｎ（Ｃ），＾‰（Ｃｆ）），三（Ｒ（ｅ），尬ｎ（ｅ））和Ｌ（晶（ａ）Ｓ名（Ｇ））中元素的形式刻画出来．
结论
结论
本文研究了线性保持问题的两方面的内容．一方面刻画了Ⅳ一－（＆（ｅ）．Ｍｍ（ｃ））和Ｊｖ一１（ｓｎ（Ｃ｜），Ｍ。（Ｇ））中元素的形式，另一方面刻画了Ｌ（Ａ‰（Ｇ）Ｍｍ（ｃ）），Ｌ（Ｓｎ哆），Ｍｍ（ｃ））及Ｌ（艮（Ｇ），ｓ。（Ｇ））中元素的形式．本文不同于【ｌ，２，３，９，１０】中映射的刻画．他们均讨论ｍ＝佗的情形，而我们在此考虑不同维矩阵空间的映射，我们的结论包含了ｍ＝礼的情形．
由于我们考虑的映射是线性的，所以我们只需刻画映射，在既，Ｄ：，和Ｅｉ下的像就可以了．在保逆映射的刻画中，我们得到了，（Ｅｉｉ），ｆ（Ｄｉｊ）非常具体的像．因此通过线性性质，就可刻画出映射形式．而在保幂映射中，我们构造了三个保ｋ次幂的特殊矩阵嘉ｌ＿岛＋禹马Ｊ＋元％Ｄｍ百岛最ｉ＋矗马ｊ十最了Ｄｄ和哺毋Ｊ＋最ｔ＋。易￡．这三个矩阵对刻画ｆ（Ｄ；ｊ）和，（±『；ｆＪ）的像起ＮＴ至关重要的作用，但由于得到的ｆ（Ｄｉｊ）和，（最ｉ）的像不够具体，我们通过直和运算将映射归结为保幂等的线性映射．再分别利用［４，５］中保幂等的结论将它们刻画出来．
从矩阵保幂的证明过程中，我们可以看出幂等保持的重要性．而且在很多不变量保持的映射的刻画中，也可以看出它的重要地位，如［２，８，２ｌ，２６］等．因此除了秩１保持这一核心问题之外，幂等保持的重要性也日渐突出．
在本文中，构造特殊矩阵和利用ｋｒｏｎｅｃｈｅｒ积非常简明地刻画结论的方法，对线性保持问题的进一步研究有一定的借鉴意义．而且在保幂问题中还有很多ｏｐｅｎ问题．如，不同维上三角矩阵代数之间的线性保幂和不同维矩阵代数之间的加法保幂还没有结论，是仍待解决的课题．
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致谢
三年的研究生生活即将结束。回望三年，得失参半。失去的就让它远去，得到的就让我永远珍藏吧！
曾经是如此的企盼着今天的到来，而今越发感觉恋恋不舍．不舍青草依依的校园，不舍关怀和帮助过我的老师，不舍如此坦诚相见的同窗、好友，不舍・…・・
在这里，我不仅学到了知识，还学到了做人的道理．我要感谢我的导师曹重光教授，他给予了我多方面的关怀和帮助．导师学问渊博、治学严谨、平易近人，在他身上永远散发着老骥伏枥，志在千里的精神风貌。这些永远值得我学习，将永远激励我前进．
我还要由衷地感谢数学科学学院的所有教授，帮助和指导过我的老师，是他们用爱心和无私的奉献给予了我知识，教会我做人．感谢我的父母，正是由于他们默默无闻的奉献和鼓励，才使我能够很好地完成学业。感谢同窗、好友在学习上的切磋和指点，使我在学习上有了长足的进步。
我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关心，帮助和支持我的领导、老师、同学和朋友。一２４
参考文献
参考文献
１张显，曹重光，保不变量的矩阵加群同态．哈尔滨出版社【Ｍ］，
２００１．
ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇａｎｄＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｏｐｅｒａｔｏｒｓ
ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒ２ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｆｉｅｌｄｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ２４８；３２７—３３８（１９９６）．
３曹重光，张显．幂保持加法映射．数学进展【Ｊ】｛３３：１０４—１０９（２００４）４曹重光．某些环上矩阵模的保幂等线性映射．黑龙江大学自
然科学学报【Ｊ］７１６（３）：１—４（１９９９）．
５佟鑫，曹重光．域上从对称矩阵空间到全矩阵空间的保幂等
的线性映射．黑龙江大学自然科学学报【Ｊ］）２００３，２０（３）：２５—２８６曹重光．域上对称矩阵保逆的加法映射．高等教育科研文萃
【Ｊ］）９—１０（ｉ９９６）．
７冯立新，曹重光．保逆矩阵的加法算子．黑龙江大学自然科
学学报【Ｊ］，１５（３）：３—６（１９９８）．
８ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇａｎｄＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｂｅｔｗｅｅｎｍａ，－
ｔｒｉｘｍｏｄｕｌｅｓｏｖｅｒｃｏｎｎｅｃｔｅｄｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅｒｉｎｇｓ．Ｌｉｎ，Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ】，３９７：３５５—３６６（２００５）．
９Ｇｉｎ—ＨｅｒＣｈａｎ，Ｍｉｎｇ－ＨｕａｔＬｉｍ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｎｐｏｗｅｒｏｆｍａｔｒｉ—
ｃｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ１６２—１６４：６１５・６２６（１９９２）．
１０ＭａｔｅｊＢｒｅｓａｒ，ＰｅｔｅｒＳｅｍｒｌ．Ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｐｏｔｅｎｔ
ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．［Ｊ】Ｉ１１９：８１—８６（１９９３）．
１１ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎ．Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ
ｍａｔｒｉｘａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘｂｅｔｗｅｅｎｓｐａｃｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ】，３７２：１８７—２９３（２００３）．一２五一
黑龙江大学硕士学位论文
１２曹重光，陈涛．保域上立方幂等矩阵的线性映射．数学研究
［Ｊ】｛３７：２９９—３０３（２００４）．
１３ＶｉｃｔｏｒＴａｎ，ＦｅｉＷａｎｇＯｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｌｉｎ．Ａｌｇ
Ａｐｐｌ，３６９：３１１－３１７（２００３）
１４Ｇ．Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ．Ｕｂｅｒｄｉｅｄａｒｓｔｅｌｌｕｎｇｄｅｒｅｎｄｌｉｃｈｅｎｇｒｕｐｐｅｎｄｕｒｃｈｌｉｎ—
ｅａｒｅｓｕｂｓｔｕｔｉｏｎｅｎ．Ｓｉｔｚｕｎｇｓｂｅｒ．Ｄｅｕｔｓｄｌ．Ｓｋａｄ．Ｗｉｓｓ，Ｂｅｒｌｉｎ［Ｊ］，９９４，１０１５（１８９７）
１５Ｓ．ＫａｎｔｏｒＴｈｅｒｉｅｄｅｒａｑｕｉｖａｌｅｎｚｖｏｎｌｉｎｅａｒｅｎ∞ｓｃｈａｒｅｎｂｉｌｉｎｅａｒｅｒ
ｆｏｒｍｅｎ．Ｓｉｔｚｕｎｇｓｂｅｒ．Ｍｕｎｃｈｅｎｅｒ．Ａｋａｄ．【ＪＪｊ３６７－３８１（１８９７）．
１６Ｒ．Ｇｒｏｎｅ．Ｉｓｏｍｅｔｒｉｃｓｏｆｍａｔｒｉｘａｌｇｅｂｒａｓ．Ｐｈ．Ｄ．ｔｈｅｓｉｓ，Ｕｕｉｖ．ｏｆＣａｌｌ—
ｆｏｒｎｉａ，Ｓａｎｔａ
１７Ｂａｒｂａｒａ［Ｍ］，１９９６．ｏｎＭ．Ｍａｒｃｕｓ－Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｍａｔｒｉｃｅｓ．Ａｍｅｒ．Ｍｏｎｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ［Ｊ］．
６９：８３７－８４７（１９６２）．
１８Ｍ，Ｍａｒｃｕｓ．Ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｏｎｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｊ．Ｒｅｓ．Ｎａｔ．Ｂｕｒ．Ｓｔａｎｄ
ａｒｄｓ［Ｊ］，７５Ｂ：１０７－１１３（１９７１）．
１９Ｃ．Ｋ．ＬｉａｎｄＮ．Ｋ．Ｔｓｉｎｇ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ：ａｂｒｉｅｆｉｎｔｒｏｄｕｃ—
ｔｉｏｎａｎｄｓｏｍｅｓｐｅｃｉａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ］）１６２—１６４：２１７＂－２３５（１９９２），
２０Ｄ．Ｚ．ＤｏｋｏｖｉｃａｎｄＣ．Ｋ．Ｌｉ．Ｏｖｅｒｇｒｏｕｐｓｏｆｓｏｍｅｃｌａｓｓｉｃａｌｌｉｎｅａｒｇｒｏｕｐｓ
ｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ］，１９７—１９８：３１—６１（１９９４）．
２１Ｃｈａｎ由ｉａｎｇＢｕ．ＬｉｎｅａｒｍａｐｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｓｏｆｍａｔｒｉｃｅｓ
ｏｖｅｒｆｉｅｌｄｓＬｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ３９６：１５９－１７３（２００５）．
Ｄｏｎｇｂｉｎ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｈａｒｂｉｎ：２２ＬｉｕＳｈａｏｗｕ，ＺＭｏ
ＨａｒｂｉｎＰｒｅｓｓ［Ｍ］，１９９７．一２６—
参考文献
２３ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇａｎｄＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｒａｎｋ—ｏｎｅｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ
ｓｕｒｊｅｃｔｉｏｎｓｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘｓｐａｃｅｓＬｉｎＡｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ】，３６２：１４５—１５１（２００３）．
２４ＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｌｉｎｅａｒ／ａｄｄｉｔｉｖｅ
ｓｐａｃｅｓｏｖｅｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｆｒａｎｋ２ａｎｄ４ｏｎａｌｔｅｒｎａｔｅｍａｔｒｉｘｆｉｅｌｄｓＬｉｎ，Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊｌ，３９２：２５—３８（２００４）．
２５ＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｃｅ—ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍａｐｓｗｉｔｈｏｕｔｔｈｅｌｉｎｅａｒｉｔｙａｎｄ
ｓｎｒｊｅｃｔｉｖｉｔｙａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ１，３８７：１６７－１８２（２００４）．
２６Ｃ．Ｋ．Ｌｉ．ＬｅｉｂａＲｏｄｍａｎ，ＰｅｔｅｒＳｅｍｒｌ．Ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｂｅｔｅｅｎ
ｍａｔｒｉｘｓｐａｃｅｓｔｈａｔｍａｐｏｎｒａｎｋｓｐｅｃｉｆｉｃｓｅｔｉｎｔｏａｎｏｔｈｅｒＬｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ［Ｊ］｛３５７：１９７－２０８（２００２）．
２７ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｒａｎｋ一１ｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｂｅｔｗｅｅｎｈｅｒｍｉｔｉａｎｍａｔｒｉｘ
ｓｐａｃｅｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｔ．［Ｊ］】３９５：３３３—３４２（２００５）．
ｏｎ２８Ｊ．Ｂｅｌｌ．Ａ．Ｒ．Ｓｏｕｒｏｕｒ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｒａｎｋ－ｏｎｅｍａｐｐｉｎｇｓｔｒｉａｎｇｕｌａｒａｌｇｅ－
ｂｒａｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ】，３１２：１３—３２（２０００）．
２９ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎ，ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇ，ＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｍｏｄｕｌａｒａｕｔｏｍｏｒ—
ｔｒｉ—ｐｈｉｓｍｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｉｄｅｍｐｏｔｅｎｃｅａｎｄＪｏｒｄａｎｉｓｏｍｏａｐｈｉｓｍｓｏｆ
ａｎｇｕｌａｒｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒｃｏｍｕｔａｔｉｖｅｒｉｎｇｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ３３８：１４５—１５２（２００１）．
３０ＨｏｎｇＹｏｕ，ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎａｄｄｉｔｉｖｅｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｆｒａｎｋ—ａｄｄｉｔｉｖｉｔｙｏｎ
ｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｎｄａｌｔｅｒｎａｔｅｍｔｒｉｃｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ］）３８０：１８５—１９８（２００４）．
３１张显，曹重光．关于域上矩阵广义逆的加法映射．数学学报
ｍ４７：１０１３—１０１８（２００４）．
３２曹重光．局部环上矩阵模的保幂等自同态，黑龙江大学自然
科学学报【Ｊ］）２：１—３（１９８９）．一２７—
黑龙江大学硕士学位论文
３３Ｇ，Ｄｏｌｉｎａｒ．Ｐ．ＳｅｍｒｌＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍａｐｓｏｎｍａｔｒｉｘａｌｇｅｂｒａｓ
Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ］）３４８：１８９—１９２（２００２）
３４ＺｈａｎｇＸｉａｎＬｉｎｅａｒ／ａｄｄｉ“ｖｅｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｆｒａｎｋ２ｏｎｓｐａｃｅｓｏｆａｌｔｅｒ—
ｎａｔｅｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒｆｉｅｌｄｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ】，３９６：９１一１０２（２００５）．
３５郝立丽，曹重光．保矩阵逆的线性映射．黑龙江大学自然科
学学报［Ｊ］２１：２８—２９（２００４）．
３６Ｗ．Ｓ．Ｃｈｅｕｎｇ．Ｃ．ＫＬｉ．Ｌｉｎｅａｒｍａｐｓｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇｔｈｅｕｎｉｔａｒｙｇｒｏｕｐ
Ｃａｎａｄ．Ｍａｔｈ．Ｂｕｌｌ［Ｊ］，４６：５４—５８（２００３）．
３７Ｃ．ＫＬｉ，ｓ．Ｐｉｅｒｃｅ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ［Ｊ］，
１０８：５９１—６０５（２００１）．
３８Ｘ．Ｚｈａｎｇ．Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓｔｈａｔｐｒｅｓｅｒｖｅｐａｉｒｓｏｆｍａｔｒｉｃｅｓｗｈｉｃｈｓａｔ—
ｉｓｆｙｅｘｔｒｅｍｅｒａｎｋｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ—ａｓｓｕｍｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｖｅｒｓｉｏｎ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ
【ｔＩ］，３７５：２８３—２９０（２００３）．２８—
攻读学位期间发表的论文
攻读学位期间发表的论文
１皇甫明，曹重光．域上对称矩阵空间上的保逆线性映射．黑
龙江大学自然科学学报，２００５年第６期．
２曹重光，皇甫明．矩阵空间之间的保幂线性映射．已投《数学研究与评论》
黑龙江大学硕士学位论文
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除了文中特别加以标注和致ｉ射的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我～同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意．
学位论文作者签名：皇南嗍
牛日签字日期：如ｓ年／月
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅．本人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文．（保密的学位论文在解密后适用本授权书）
学位论文作者签名：重席讯
签字日期：跏绰
日导师签名：啕｝易毛６月争日签字日期：嘶‘月乒
电话邮编学位论文作者毕业后去向工作单位：通讯地址：
黑龙江大学
硕士学位论文
不同维数空间的线性保持问题
姓名：皇甫明
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：曹重光
20050604
中文摘要
中文摘要
设Ｆ为特征不为２或３的域，Ｇ是复数域．设Ｍ。（Ｆ）（或％；（Ｇ））是Ｆ（或ｃ）上ｎ阶全矩阵空间，＆（Ｆ）（或Ｒ（Ｇ））是Ｆ（或ｃ）上ｎ阶对称矩阵空间．
本文刻画了从＆（Ｆ）到Ｍ。（Ｆ）上和从晶（Ｆ）到ｓ。（Ｆ）上的保矩阵逆的线性映射．又刻画了从尬。（ｃ）到＾‰（Ｇ）上和从＆（Ｇ）到蝎，。（Ｇ）上的保矩阵ｋ次幂的线性映射．
关键词：域；复数域；保逆；保幂；线性映射
黑龙江大学硕士学位论文
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＬｅｔＦｂｅａｆｉｅｌｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｎｏｔ，２ｏｒ３．Ｃｂｅａｅｏｌｎｐｌｅｘ盎ｅｌｄＬｅｔＭｎ（Ｆ）（ｏｒＭ。（ｃ））ｂｅｔｈｅ
ｅ），Ｓ（Ｆ）（ｏｒ＆（Ｇ））ｂｅ
ｏｖｅｒｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｏｆａｌｌ＂×ｎｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒＦｆｏｒｔｈｅｖｅｃｔｏｒｓｐａｃｅｏｆ％×７／ｓｙｍｎｉｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｅｅｓＦ（ｏｒ
Ｗｅｅ１．ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｌｉｎｅａｒｍａｐｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅｆｉ－ｏｍＳ垆）ｔｏ＾‰（Ｆ）ｇｉｌｄｆｒｏｍ．岛（Ｆ）ｔｏ｜ｓｋ（Ｆ）．Ｗｅ
ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｋ－ｐｏｗｅｒａｌｓｏｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｌｉｎｅａｒｍａＤｓａｎｄｆｒｏｍ瞄。（ｅ）ｔｏ矗‰（ｅｊｆｒｏｍ。％（Ｇ）ｔｏ＾‰（ｃ）．
ｐｏｗｅｒ；Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｉｅｌｄ；ｃｏｍｐｌｅｘｆｉｅｌｄ；ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｉｎｖｅｒｓｅ；ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ
ＩｍｅａｒｍａｐＩＴ
黑龙江大学硕士学位论文
一些符号和术语
设Ｆ为特征不为２或３的域，Ｇ是复数域，ｎ和ｍ是正整数．ｋ是固定的自然数，且≈２
阶全矩阵空间，２．设尬。（Ｆ）（或坛（Ｇ））是Ｆ（或ｅ）上ｎ岛（Ｆ）（或Ｓｎ（ｅ））是Ｆ（或ｅ）上ｌ＂ｔ阶对称矩阵空间，ＧＬ。（Ｆ）（或ＧＬ。（ｃ））是Ｆ（或ｃ）上”阶一般线性群．
我们定义，。（ｃ）为Ｍ。（ｃ）中所有的幂等矩阵集合，日，为（０，１）位置为１，其余位置为０的７７，阶矩阵，Ｄ。记毋，＋Ｅｍ厶记¨阶单位矩阵，置，记厶一既～马ｊ，Ｏｊ记Ｊ阶零矩阵．用Ａ＠Ｂ记矩阵Ａ与Ｂ的ｋｒｏｎｅｃｋｏｒ积，ＡｏＢ记矩阵Ａ与Ｂ的直和．设ｄ１，６２为非负整数，且６ｌ＜５２，用【６ｌ，ｄ２］记集｛６Ｌ，ｄ１＋１，…，ｄ２）．用ｚ记整数集，表示矩阵Ａ的秩．矩阵．４与Ｂ称正交，即ＡＢ＝ＢＡ＝０．ｒａｎｋＡ
ＩＶ
第１章绪论
第ｌ章绪论
１．１“线性保持问题”的研究
设Ｓ是一个代数结构（域，环，半环等），弘ｔ，Ⅳ。记代数结构ｓ上的矩阵空间或加法群，如果一个映射Ｌ：“Ｌ—÷“２满足
（１）Ｌ（ｓｚＡ＋８２Ｂ）＝ｓ１Ｌ（Ａ）＋，ｓ２Ｌ（Ｂ），ＶＡ，Ｂ∈弘ｌ，ｓ￡，ｓ２∈Ｓ
则称Ｌ是线性映射或线性算子．特别地，当肛ｌ＝ｐｚ＝肛时，也称Ｌ为线性变换．刻划从ｐ，到芦２的保持某些函数，子集，关系，变换等不变量的线性映射的结构的问题称为线性保持问题，简记为ＬＰＰ（ＬｉｎｅａｒＰｒｅｓｅｒｖｅｒＰｒｏｂｌｅｍ）．当ｓ１＝８２＝ｌ时，称三是加法保持问题，
由于线性保持问题在众多领域有广泛的应用背景，他已成为矩阵论研究中一个十分活跃的领域。这方面最早文章是１８９７年Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ的
【１４】和Ｋａｎｔｏｒ的［１５］，之后产生了大量关于线性保持问题的文献，参见
【１６，１７，１８，１９，２０］＿在国内，１９８９年曹重光文【３２】，引发了线性保持问题的研究，十几年来出现了一大批成果，参见ｆ１，２１，２２，２４，２５，２９，３０，３４］．
１９９２年，Ｌｉ在【１９］中将线性保持问题（ｐｌ＝ｐ２＝ｐ）概括为以下四个主要类型．
１）保持函数
设Ｆ是ｐ上的函数，ｐ上的线性算子Ｌ满足
Ｆ（Ｌ（１４））＝Ｆ（Ａ），ＶＡ∈肛
当Ｆ（Ａ）＝ｄｅｔ（Ａ）时，Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ［１４】分别解决了ｐ＝％（Ｇ），ｐ＝＆∽）及ｐ＝｛Ａ∈Ｍ。（Ｏ）ｌｔｒＡ＝ｏ’的情形，其中Ｃ是复数域，ｄｅｔＡ记矩阵Ａ的行列式，ｔｒＡ记矩阵Ａ的迹．Ｄｏｌｉｎａｒ，Ｓｅｍｒｌ在（３３Ｊ中去掉了线性条件，将行列式保持变为ｄｅｔ（Ａ＋ＡＢ）＝ｄｅｔ（多（Ａ））＋Ａ烈Ｂ），ＶＡ，Ｂ∈
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＾霸（ｃ），Ａ∈Ｃ，其中≯是满射．ＶｉｃｔｏｒＴａｎ和ＦｅｒＷａｎｇ在ｆ３３］的基础上去掉咖是满射，仍然得到相同的结论【１３】．
２）保持子集
设瓣Ｃｐ，ｐ上的线性算子Ｌ满足Ｌ（Ｎ）∈腑．
对加法保持问题，如蹰＝（Ａ∈肛ＩｒａｎｋＡ＝１）时，Ｂｅｌｌ和Ｓｏｕｒｏｕｒ［２８】中解决了任意域上上三角矩阵空间中的满射情形；曹重光和张显【２３】中分析了在特征不为２和３的域上对称矩阵空问中的情形；唐孝敏『２７１中分析了ｈｅｒｍｉｎｔ矩阵空间中的情形．
３）保持关系
例如，Ｂ是Ａ的｛１）一逆，即ＡＢＡ＝Ａ．如果Ｌ（Ａ）Ｌ（Ｂ）Ｌ（Ａ）＝Ｌ（Ａ），这就是保持（１）一逆关系．张显和曹重光【３１】中刻画了特征不为２的域上矩阵｛１）一逆和｛１，２｝－逆的加法保持．
４）保持变换
例如，唐孝敏【１１］中研究了域上不同维空间的保矩阵伴随的情形．１．２关于“矩阵逆、幂的线性保持问题”
人们对保持问题的不断深入研究，得到了各种不变量的保持问题的结果．矩阵逆的保持问题早在１９９６年文ｆ２】中就刻画了特征不为２和３的域上全矩阵空间上的保逆加法映射．之后，曹重光和冯立新等在【６，７］文中刻画了特征不为２和３的域上对称矩阵空间和上三角矩阵空间上的保逆加法映射．郝立丽在它的硕士论文中刻画了特征不为２（和为２）的主理想整环上的保矩阵逆的线性映射．最近，曹重光，张显在文ｆ８】８中刻画了含单位元１的连通交换环上保矩阵逆的线性映射．
矩阵幂的保持问题早在１９９２年Ｇｉｎ—ＨｏｒＣｈａｎ等在文［９】中作者通过保秩１的方法，刻画了特征是０或特征大于ｋ的域Ｆ上Ａ矗（Ｆ）和Ｓ（Ｆ）上的保ｋ幂的线性映射．随后ＭａｔｅｊＢｒｅｓａｒ在文【ｌｏ】中刻画了复数域上全矩阵空间上的保ｋ幂的线性映射，曹重光，张显在文ｆ３】３中刻
第１章绪论
画了特征是０或特征大于ｋ的域Ｆ上＾靠（Ｆ）和＆（Ｆ）上的保ｋ幂的加法映射．这里当ｋ取２或３时，矩阵幂的保持问题就转化为幂等和立方幂等的保持问题，这类问题已有许多成果，见ｆ２，５，８，１２】
近十年来，从不同维矩阵空间之间的映射的刻画引起了一些学者兴趣．而不同维矩阵空间之间的映射，还可分为从高维到低维矩阵空间之间的映射和从低维到高维矩阵空间之间的映射．前者的刻画已有了许多成果，见ｆ２２，３７，３８１和其中的参考文献；后者的刻画，近年来才有些结果．１９９９年，曹重光在黑龙江大学自然科学学报『４１中确定了（设兄是有１的连通交换环，且兄上每个幂等阵都相似于对角阵，当２为Ｒ中的单位时）从低维到高维的保幂等线性映射．Ｃｈｉ．ｋｗａｎｇＬｉ等在ｆ２６１中研究了各种秩的线性保持问题．Ｗ．Ｓ．Ｃｈｅｕｎｇ等在『３６１中研究了复数域上酉矩阵的线性保持问题．唐孝敏在【１１ｊ，［２７］中分别研究了伴随线性保持和ｈｅｒｍｉｔｉａｎ矩阵空间中的秩１加法保持问题．
曹重光，陈涛在文【１２］中考虑了（设Ｆ是域，ｃｈＦ≠２，３时）从低维到高维的保立方幂等的线性映射．佟鑫，曹重光在［５１中刻画了特征不为２，３，５的域Ｆ上从对称矩阵空间ｓｎ（Ｆ）到全矩阵空间ｎ甜Ｆ）的保幂等的线性算子（ｎ≤ｍ）．郝立丽，曹重光在【３５】中研究了特征不为２的域上保矩阵逆的线性映射．曹重光，张显在文ｆ８｝中考虑了含单位元１的连通交换环上矩阵幂等，立方幂等，逆，群逆，Ｄｒａｚｉｎ逆，｛１＇．逆，＜２｝。逆和｛ｌ，２｝一逆的线性保持问题．ｂ长江在文【２１Ｉ中研究了至少含五个元素的域上Ｄｒａｚｉｎ逆的线性保持问题．
本文一方面刻画了从低维到高维的特征不为２或３的域Ｆ上对称矩阵空间品（Ｆ）到全矩阵空间』ｌ‰（Ｆ）上的保矩阵逆的线性映射．另一方面，刻画了复数域ｅ上瞄，（ｅ）到Ａ‰（Ｇ）和晶（Ｇ）到Ｍ。（ｅ）上的保矩阵ｋ次幂的线性映射．
１．３本章小结３
黑龙江大学硕士学位论文
在本章中，我们给出了线性保持问题的简要概况，及逆和幂保持问题的简单介绍，４
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射２．１引言
定义１设，是从ｓｎ（Ｆ）到＾‰（Ｆ）上的线性映射，若，满足ｙ（ｘ）。＝ｆ（ｘ。），Ｖｘ∈晶（Ｆ）ＮＧＬ。（Ｆ），则称，为保逆线性映射，并将所有这样的映射集合记为｜Ⅳ一・（又（Ｆ），尬。（Ｆ））．同样，将，是从品（Ｆ）到ｓ。（Ｆ）上的保逆的线性映射集合记为Ⅳ一ｉ（＆（Ｆ），ｓ。（Ｆ））．
关于阶数相同的矩阵空间中的保逆问题早已有过研究，如文献［１，２，６７，３５】．在【ｌ】中刻画了特征不为２及３的域上从晶（Ｆ）到Ｍ。（Ｆ）保逆加法映射．作为［１］的补充，我们在这里考虑ｎ冬ｍ的保逆情形．
２．２域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
引理２．２．１设ｆ∈Ｍ１（ｓ竹（Ｆ），尬。（Ｆ）），ｉ，Ｊ∈［１，ｎ】，且ｉ≠Ｊ，则下列等式成立
（２），（厶），（Ｅ；）＝，（Ｅｉｉ），（厶）＝，（Ｅ，）２；
（３），（毋ｉ），（马Ｊ）＝，（易Ｊ），（毋ｉ）＝ｏ；
（４）ｆ（Ｅｉｉ）２＋，（Ｅ易）２：ｆ（Ｄｉｊ）２；
（５）ｆ（Ｄｉｊ）ｆ（Ｘｉｊ）＝ｆ（Ｘｉｊ）ｆ（Ｄ，ｊ）＝ｏ；
（６）ｆ（Ｅｉｉ）ｆ（Ｄｉｊ）＝ｆ（Ｄｉｊ）ｆ（Ｅｉｉ）．
证明过程类似于［１】中引理５．１．４的证明．
引理２．２．２，∈Ｎ—ｌ（＆（Ｆ），Ｍｍ（Ｆ）），则对任意的ｉ∈【１，７Ｌ］，ｆ（Ｅ｛＿ｉ）≠０成立．
证明用反证法．假设存在ｉｏ满足，（Ｅ。）＝０，并代入引理２．２．１（４），（６）中得
，（马Ｊ）２＝，（皿谢）２，ｆ（Ｄｉ。ｊ），（马Ｊ）＝ｏ，ｖｊ∈【１，ｎｌ，一５一
黑龙江大学硕士学位论文
于是ｆ（Ｅｊｊ）３＝０，应用引理２．２．１（１）和（２）得ｆ（Ｅｊｊ）２＝ｏ，进而，（岛ｊ）＝ｎ
０．故，‰）＝∑ｆ（Ｅｋｋ）＝０．这与引理２２．１（１）矛盾．
ｋ＝１
引理２．２．３１１ｊ设ｃｈＦ≠２且Ａ３＝Ａ，Ａ∈％。（Ｆ），则存在一个可逆矩阵Ｐ∈螈（Ｆ），使
Ａ＝Ｐ［（Ｉｖｏ—Ｉｏ）ｏｏｄＰ～１
其中Ｐ，ｑ∈Ｚ且ｒａｎｋＡ＝Ｐ＋ｑ，ｎ＝Ｐ＋ｑ＋ｆ
引理２．２．４ｆ∈Ａ乙ｌ（＆（Ｆ），＾‰（Ｆ）），则存在一个可逆矩阵Ｐ∈
Ｅｊ１％（Ｆ），对任意的ｉｍｎ］有
ｆ（Ｅｉｉ）＝Ｐｆ西ｔｏｄｉａｇ（１ｐ，，一毛）Ｊ尸。
ｎ
其中ｍ＝∑（乳十曲．
扛：Ｉ
证明由引理２．２．１（２）可得ｆ（Ｅｉｉ）３＝ｆ（Ｅｉｌ），再由引理２．２．１，引理２．２３和类似于［２】中定理３．１的证明，可得
，（蜀。）＝尸ｌ蜀。圆ｄｉａｇ（Ｉｐ。，一％）ｏ００Ｐ。
ｎ
其中－３＝ｍ一∑（ｐ。＋吼），再经引理２．２，１（１）可得到引理２．２．４的结论．
ｆ＝１
定理１，∈Ⅳ二１（＆（Ｆ），Ｍｍ（Ｆ））当且仅当存在一个可逆矩阵Ｐ∈‰（用，使
ｆ（ｘ）＝ＰｉＸｏｄｉａｇ（‘，－ｓ．）ｌｅ－１ＶＸ∈＆（Ｆ）
其中ｍ＝ｎ（ｐ＋ｑ），Ｐ，ｑ为非负整数．
证明充分性显然，下证必要性．
由引理２．２．４知，存在一个可逆矩阵Ｐｏ∈蝎。（Ｆ），使得
，（噩，）＝ＰｏｌＥ．ｏｄｉ．ｇ（Ｚ．，，一毛）】胃１，Ｖｉ∈［１，礼】
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
再由引理２．２１（５）得
０
０
Ａ。０
Ｏ０００Ａｉｊ０
昂１ｆ（Ｄｉｊ）Ｐｏ＝
０
Ａｉｉ０００００Ａｊ：
０
０
其中Ａ；ｉ，Ａｑ，Ａｊｉ和Ａｊｊ分别是渤＋ｑｉ）×（Ｐｉ＋ｇｔ），慨＋ｇ；）ｘ（Ｐｊ＋胁），（功＋Ｐｊ）×（Ｐｊ＋聊）和（Ｐｊ＋翰）×（ｐ｛＋ｇｉ）阶阵．
由引理２．２．１（６）得
Ａ“＝Ｏ，Ａｉｊ＝Ｂ≈。ｏＢｚ｛，
Ａ｜｛＝０、Ａｊｉ＝ＢｋＩｏＢ【ｊ．
其中Ｂ即Ｂｉ。，且ｂ和Ｂｆ，分别是Ｐｉｘｐｊ，ｑｌ×劬，功ｘＰｉ和劬×ｑｉ阶阵・由引理２．２．１（４）得
Ｂｋ、Ｂｌ。＝Ｉ眦、Ｂｋｊ日ｋ。＝Ｉｐｉ，
Ｂｌ。Ｂｌ｜＝ｌｑ，，ＢＩ｜Ｂｉ。＝Ｉｑｊ．
因此Ｐ；＝Ｐｊ，ｑｉ＝劬，不妨设Ｐ＝Ｐｉ，ｑ＝毋，Ｐｌ＝ｄｉａｇ（Ｉ，．，Ｂｋｔ，～Ｂｌ¨＿一，口‰一Ｂｈ）．令Ｐ＝Ｐ０Ｐｌ，其中ｒ＝Ｐ＋ｑ．这样我们得到
，（Ｅ。）＝ＰＩＥ．ｏ威ａ９（‘，一‘）】Ｐ一１，
，（ＤｌＪ）＝Ｐ［Ｄ玎ｏｄｉｏｇ（‘，一厶）］Ｐ一１．一７一
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再由Ｘ∈Ｓ。（Ｆ）可得到定理结论．
推论Ｓ∈Ｎ１（Ｓ“Ｆ），ｓ。（Ｆ）），则ｆ有定理１的形式，且ＰＦＰ＝（ｋ＠Ｖ）ｏ（厶ｏｗ），Ｖ和Ｗ是ｐ×Ｐ和ｑｘｑ阶可逆阵．
证明因Ｒ（Ｆ）≤Ｍ。（Ｆ）由对任意的ｆ∈＾Ｌ１（Ｒ（Ｆ），品。（Ｆ））都满足ｆ∈Ｎ１（＆（Ｆ），Ｍ。（Ｆ）），所以由定理１知，存在一个矩阵Ｐｌ∈ＧＬ。（Ｆ），使
ｆ（ｘ）＝Ｐｉ［ｘ圆ｄｉａｇ（Ｉｐ，一厶）ＪＰｉｌ，ＶＸ∈品（Ｆ），
其中ｍ＝扎◇＋ｇ）。显然存在一个矩阵尸∈ＧＬ。（Ｆ），使
，ｃ．ｘ，＝ＰＩＸ＠‘一ｘ０。厶１
３
一Ｐ～，Ｖｘ∈＆ｃＦ，，由，ＥＮ—ｚ（ｓｎ（Ｆ），５ｋ（Ｆ））得Ｓ（ｘ）∈ｓｋ（Ｆ）．这样，我们可得到ＰＴＰｌｘ。０‘一Ｘ：ｌｑＪｌｘ。０‘一Ｘ：‘Ｊ【圆Ｐ丁ＰＪｌ一＠‘ｊ
因此，存在ｎｐ×ｎｐ和ｎｑ×ｎｑ阶可逆阵仉和巩，使得
即＝［蚓．
所以有以（ｘｏ厶）＝（Ｘ＠，ｐ）仉和仉（一Ｘｏ‘）＝（一Ｘｏ如）巩成立．这样，我们可得
巩＝
眠
其中，对任意的ｉ∈［１，叫，Ｋ和眦分别是Ｐｘｐ和ｑ×ｑ阶可逆阵．由Ｘ的任意性得，Ｋ＝Ｋ＇．・＝Ｋ和ｍ＝％一・＝％．令Ｖ＝Ｋ和Ⅳ＝吼，则有Ｕａ＝厶ｏＶ和巩＝厶ｏＷ．因此本推论成立．
第２章域上对称矩阵空间上的保逆线性映射
２．３本章小结
在本章中，我们刻画了特征不为２及３的域上从＆（Ｆ）到＾‰（Ｆ）和从Ｒ（Ｆ）到＾‰（Ｆ）保逆线性映射．
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第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
３．１引言
定义２设．，是从幅。（Ｃｒ）到Ａ‰（ｃ）上的线性映射，ｋ是任意固定正整数（ｋ≥２）．若，满足，（ｘ）‘＝ｆ（ｘ‘），Ｖｘ∈Ｍｎ（Ｇ），则称，为保ｋ次幂的，并将所有这样的映射集合记为Ｌ（尬；（Ｇ），Ｍｍ（ｃ））．同样，将，是从Ｓ；（Ｇ）到埘。（Ｇ）（或Ｓｍ（Ｇ））上的保ｋ次幂的线性映射集合记为Ｌ（＆（ａ），Ｍｍ（ｃ））（或Ｌ（Ｓｎ（Ｇ），ｓｋ（ｅ）））．
对选类问题的研究已有结果［１，３，９，ｌｏ］，但均讨论ｍ＝礼的情形．在文ｆ３】中刻画了域Ｆ（ＣｈＦ＞％或ＣｈＦ＝０）上螈（Ｆ）和品（Ｆ）的保幂加法映射．本文参考［３］Ｉ对任意选取的正整数ｍ，ｎ，考虑Ｌ（Ｍ；（ｅ），Ｍｍ（ａ））和三（＆（Ｇ），Ｍ。∽））中元素的形式．
３．２全矩阵空间之间的保幂线性映射
弓ｌ理３．２．１设ｆ∈Ｌ（』‰（Ｇ），Ｍｍ（Ｇ）），Ａ，Ｂ∈＾靠（Ｃ｜），贝０
（ｉ）∑ｆ（Ａ）Ｐｆ（Ｂ）ｆ（Ａ）ｂ卜９＝∑／（Ａ９ＢＡｋ－ｌ－ｖ），
口＝０ｐ＝Ｏ
（ｉｉ）当Ａ与Ｂ正交，且Ａ。＝Ａ时，有ｆ（Ａ）与Ｉ（Ｂ）也正交．
证明易见，，（（Ａ十ｔＢ）‘）＝【ｆ（Ａ＋ｔＢ）］‘＝（ｆ（Ａ）＋ｔ，（Ｂ））。，展开两端对比ｔ的系数得（ｉ）．
若ＡＢ＝ＢＡ＝０，则（ｉ）之右端为Ｏ，从而左端为０，于是
ｆ（Ａ）ｆ（Ｂ）＝，（Ａ）‘ｆ（Ｂ）＝，（Ａ）【，（Ａ）‘一‘，（Ｂ）】
：，（Ａ）（ｋ∑－１，（ＡＰｆ（Ｂ）ｆ（Ａ）ｋ－一－一一一ｋ∑－２，（Ａ），，（Ｂ），（Ａ）ｋ－ｌ－ｐ）
ｐ＝Ｏｐ＝Ｏ
＝一ｋ∑－Ｉ，（ＡＰ，（Ｂ），（Ａ）‘一ｐ＝．，（Ｂ），（Ａ）‘＝，（Ｂ），（Ａ）．
ｐ＝ｌ—１０
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
将ｆ（Ａ）ｆ（Ｂ）＝，（日），（Ａ）代入（ｉ）之左端，易见∑，（Ａ）ｋ－１ｆ（Ｂ）＝０：这意味着（％一１），（Ａ）ｋ－１ｆ（Ｂ）＝０，故ｆ（Ａ）ｆ（Ｂ）＝，∽）．厂（Ａ）“１ｆ（Ｆ）＝０，（ｉｉ）得证．
引理３．２．２设ｆ∈Ｌ（Ｍｎ（Ｃ），Ａ‰（ｅ））．则，（Ｅｉｉ）＝ｏ（对某个ｉ∈
【１，叫）当且仅当ｆ＝０．
证明充分性显然，下证必要性．
在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝Ｅｉｉ，Ｂ＝Ｅｉｊ，Ⅵ∈【１，叫且ｉ≠ｊ得
ｋ一】ｋ一１
０＝∑ｆ（Ｅｉｉ）一ｆ（Ｅｉｊ）ｆ（Ｅｉｉ）¨１。，＝∑，（瑶％磷。呻），
ｐ＝Ｏｐ＝Ｏ
于是
ｆ（Ｅ＿ｉｊ），（磁一勖＋岛磁一＋∑瑶％磁－－ｌ－ｐ）
ｐ＝１
ｋ一１．．
∑，（瑶最ｊ磁。１）＝０
类似有，（马；）＝０，从而ｆ（Ｄｑ）＝０．
（ａ）当ｋ为偶数时，易见
ｆ（Ｅｊｊ）＝ｆ（Ｅｉｉ＋％）＝，（Ｄ鲁）＝ｆ（Ｄｉｊ）Ｌ０，
（ｂ）当七为奇数时，在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝上ｂ，Ｂ＝昂，注意ｆ（Ｄ０１＝０得
ｋ一１
∑ｆ（Ｄ帮）一ｆ（Ｅｔｉ）ｆ（Ｄｉｊ）ｂ。’＝０
ｐ＝Ｏ
于是有
＝学ｆ（Ｅｉｉ）＋等，（砀）
＝∑，（Ｄ３毋ｔＤ争。’）：ｋ∑－１，（Ｄ０既Ｄ争１一，）
２二：
＝∑ｆ（Ｄｉｊ）Ｐｆ（Ｅｉｉ）ｆ（Ｄｏ）¨卜９
ｐ＝Ｏ＝０．
黑龙江大学硕士学位论文
由☆≥２得，（易Ｊ）＝０．
综合（ｏ），（６）和Ｊ的任意性，类似于如上证明，可知对任意的，。，ｆ∈１，ｎ］都有，（玩＾）＝０和ｆ（Ｅｈｌ）＝０成立．引理得证．
引理３．２．３【３】若Ａ∈厶（ｅ），则存在Ｐ∈ＧＬ。（ｅ），使得
Ａ＝Ｐ（‘ｏｏ）Ｐ～，
其中ｒ＝ｒａｎｋＡ．
引理３．２．４【４】设Ｔ为丑靠（ｅ）到％。（Ｇ）的保幂等线性映射协≤ｍ）当且仅当丁有如下形式之一
（ａ）Ｔ＝０，
（ｂ）存在可逆阵Ｐ及正整数ｒ，使得ｍ—ｎｒ＝ｓ＞０，且
Ｔ（ｘ）＝Ｐ［（Ｘ＠ｄｉａｇ（Ｉｄ，Ｏｒ－５）＋ｘ‘＠ｄｉａｇ（０６，‘一６））ｅｏ。ＩＦ～，ＶＸ∈＾矗（ａ）
引理３．２．５…Ａｌ，…，Ａｃ∈‰（Ｇ）彼此正交，且越＝Ａｉ（ｉ＝１，…，ｑ若ｔ＞ｍ，则存在Ｊ∈ｆ１，ｔ１使得山＝０
引理３．２．６设，∈Ｌ（尬。（Ｇ），＾‰（Ｇ）），且，≠０，则存在Ｐ∈ＧＬ。（Ｇ）使
，（Ｅ。）＝ＰＩＥ．ｏＤｏｏ。ＩＦ～，Ｖｉ∈【１…，ｎ】
其中Ｄ＝∈ｌ‘。ｏ…ｏ“一１ｋ。Ｖｉ∈【１，ｎ】，￡¨一，“一ｌ为互不相同的＾一１次单位根，且约定ｒｈ＝０时，相应项不出现．
证明由，（且ｆ）‘＝，（既）知，口（Ａ）＝＾‘一Ａ是，（风）的化零多项式．困，（玩）的最小多项式整除口（Ａ），且ｇＤ）无重根知，，（最｛）相似于对角阵．设５ｈ…，“一１为☆一１次单位根，则存在一个Ｐｏ∈ＧＬ。（Ｆ），使
，（蜀Ｉ）＝蜀ｆ蜀ｊ９（￡ｊ五，ｏ…ｏ靠一ｚ厶＿ＩＩ）ｏ％）］豸１，
１２（１）
第３章矩阵空间之问的保幂线性映射
由引理３．２．１（ｉｉ）和Ｅｌｉ，Ｅ１１（ｉ≠１）彼此正交得．厂（置ｉ）和ｆ（Ｅ１１）正交（ｉ≠１）．于是，由，（蜀ｉ）取值出发不难证得
，（置ｚ）＝Ｐ［Ｅｌｉ圆（Ｃｌ／ｌ。ｏ・・・ｏＥｋ一１＾一ｌ，）ｏｏ。］尸一１，（２）
其中，Ｐ∈ＧＬｍ（Ｆ），对任意的ｉ∈［１，ｎ］，记五。的阶为如，ｆ∈［１，ｋ—１］，约定厶＝０时该项不出现，记矗＝∑矗且ｍ＝∑魂＋ｓ．
在引理３．２ｌ（ｉ）中，选取Ａ＝蜀。，Ｂ＝Ｄｔｉ得
¨∑删八巴尸，Ｄ，，墨户ｐｆｆ
¨∑删，醪Ｄ磁一呻
在引理３．２．１（ｉ）中选取Ａ＝马，，Ｂ＝Ｄｌｊ得
八岛力ＶＤＨ∑脚八弓扣呻｛｜
“∑唧八％Ｄ略
应用（２），并将（３），（４）两式经过分块计算可得
，（Ｄｕ）＝ｐ［（Ｉ％ｏＡ，Ｊ＋易；ｏＡｊ，）ｏｏ。】Ｐ～，
其中Ａ巧为８ｉ×ｓｊ阶阵，Ａ一为ｓｊ×ｓｉ阶阵．（５）
设ｎ为正整数，则Ｈ＝—ｎ２Ｌ－｝－ｉｎ。＋篙了弓Ｊ＋稿了Ｄ玎为幂等阵，所以Ｈ。＝Ｈ．因此，有，（卅。＝ｆ（Ｈ）成立，故
，（最ｉ）＋ｎ２，（马Ｊ）＋ｈｉ（Ｄ，ｊ）】。
（ｎ２＋１）‘一１，（最ｉ）＋（ｎ２＋１）‘一１ｎ２，（弓Ｊ）＋（礼２＋１）６—１ｎｆ（Ｄｆｊ）
对比两端扎２卜２项的系数，并注意，（岛），（三０）＝０有
∑
ｏ！ｐ＋口ｓ‘一２’，（马Ｊ）９，（Ｄ玎）－厂（弓ｊ）ａ，（Ｄ。，），（弓，）ｈ２一ｐ—ａ（６）
＝＠一１）ｆ（Ｅｚ）＋，（忍：）．
不妨令Ｄｉ＝￡１，１。ｏ…ｏＥｋ一１ｈ吐．将（２）和（５）代入（６）可得
如谚ｑ如；＝职，
一１冀一
２０
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即
ＡｌｊＤｊｉＡｊｉ＝Ｄｔ（７ｊ
又因圩ｌ＝籍置ｉ＋南局，＋赤Ｄ巧为幂等阵，同理可得ＡｊｉＤｉｌＡ０＝功．因此ＡⅢＡＪ。可逆．
（＆）若ｋ为偶数，则
，（现Ｊ）‘＝，（磁）＝，（题；）＋，（局Ｊ）．
将（５）代入上式得
（Ａ叼４小）江Ｄｉ，（ＡｊｉＡ。Ｊ）§＝功，
由（７）及（８）前式可得
（ＡｊｊＡｉｊ）一１＝Ｄｆｌ，（８）
结合（８）的后一式，可得四一Ａ豇４“．同理Ａ，ｊＡ”＝Ｄ？，这样我们可得到
Ａｉ３琏＝Ｄ｛Ａ扭国１
设Ａｊｉ且础２’为Ｉ：阶阵，ｆ∈Ｃ１，％一１］．由Ａ业可逆及（９）式对比两端，可推出碟‘）＝ｏ，Ｖｌ≠ｈ，并且ｆ。：ｌｊ，Ｖｌ∈ｆ１，％一ｌ】．因此Ｄ？＝碍，又因％一１为奇数，故Ｄ。：Ｄ，．
（６）当％为奇数时，在引理３．２．１（ｊ）中选取Ａ＝％，且：层ｉ得
。Ｅ：。ｆ（Ｄｉｓ）”，（风），（Ｄ巧）。一却＝字，（Ｂ）＋字，（易Ｊ）
＝！±１（毋；ｏｎ）ｏ叽＋８≠（易，圆Ｄ，）ｏ、。｜ｔｊｏ“ｌｊｕ”５］—下。＼“，３ｗｕｌ｝Ⅷ８。
将（２）和（５）代入得
∑
ｐ＝２１＋ｌ，ｚ∈ｆｏ，１尹】（如Ａｉｊ）…。ＡｊｉＤｉ（Ａ０冯；）与Ｐ如：譬｝Ｂ，。（１０）
一Ｔ４一
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
舻∑忡字∽ｍＤ４山宁｜｜字Ｄ
在（１０）式左边分别乘Ａ“，（１１）右边分别乘Ａ“，两式相减得
Ｄｉ（～Ａｊｉ）下ｋ－ｉ如：半叫旷旱ＡｉｊＤｊ．
又因＿厂（ｑ，）‘＝ｆ（Ｄｉｊ）知∽。１４”）孚＝Ｉ，因此ＤｉＡｉｊ＝ＡｉｊＤｊ．此时，与ｋ为偶数时的证明类似，我们同样可得Ｄｔ＝Ｄ，．
Ｃｋ一１ｋ川Ｖｉ∈［１，竹］，ｒｈ＝ｈｉ，Ｖｈ∈【１，ｋ一１】此时可令８０～Ｓ１
基础上有综合（ｏ），（ｂ）我们令Ｄ＝Ｄｉ，Ｖｉ∈【１，ｎ］，因此Ｄ＝ｇｌＩｒ，ｏ…ｏ・－＝％２引理３．２．７设ｆ∈Ｌ（尬：（ｃ｜），Ｍｍ（Ｇ）），且，≠０，则在引理３６的
，（Ｅｊｆ）＝Ｐ［（易ｔｏＡｊｔ＋毋ＪｏＡ坷）ｏＯｓ】Ｐ一１
ｅＯＵ
其中Ａ，￡＝Ａ玎＝
Ｂ扭¨
ｓ＝仇一２ｓｏ，Ｂ。（ｊ。ｔ），Ｃｈ（Ｊｔ）为“阶阵．
证明在引理３．２．１（ｉ）中，选取Ａ＝Ｅｊｊ，Ｂ＝Ｅｊｆ得
Ｈ∑删八％Ⅳ旧Ⅲ晦１＝
Ｈ∑唧“吩目爵’）＝，（马ｃ）．（１２）
在引理３２．１（ｉ）中选取Ａ＝Ｅ∽Ｂ＝ｓｔｔ得
¨∑脚八酲Ｖ马“堍ｐ｜｜
¨∑删八日Ｂｐ螗日≈雌９）＝，（易ｔ）（１３）
应用引理３．２．６并将（１２），（１３）两式经过分块计算可得
，（马ｔ）＝Ｐ［（易ｔｏＡ计＋ＥｔｊｏＡｔｊ）ｏｏ。］Ｐ一１，
一１５一（１４）
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其中Ａｆｔ，Ａ坷均为ｓｏ阶阵．
考虑坼为互不相同的ｋ次单位根，且碾≠１（ｉ∈ｆｌ，ｋ—１］）．因（碾弓，＋Ｅ“＋ｚ易ｔ）６＝局，＋Ｅｔ￡，其中。为任意复数，故
ｈ，（易Ｊ）＋，（日ｃ）＋ｘｆ（易ｃ））。＝，（易，）＋ｆ（Ｅｕ）．
比较ｚ的系数，可得
ｋ一１
∑（，ｌｉｆ（Ｆ，ｉｊ）＋ｆ（Ｅｔ。））’ｆ（Ｅｊｔ）‰，（勘）＋，（玩））ｎ１。９＝０
∞＝０
将引理３２．６及（１４）式代入上式可得
ＤｐＡｋｐ
¨∑舢考察方程组礴Ｄ｜｜０（１５）
ｚ１＋叼ｌｚ２＋卵｝ｚ３＂４－・
ｘｌ＋讯一ｌｘ２＋耀一１黝
ｋ—Ｉ＋卵｝１ｚ女＝０＋・・・＋％ｋ一－１１ｚｋ＝０注意∑培＝０，易见其全部解满足Ｘｌ～ｘ２
口＝０一Ｘｋ（因系数阵秩为
。☆一ｉ，基础解系为（Ｉ，１，…，１）），从而（１５）式中鸟￡，Ｄ冯ｔＤ扛２，ＤＡｊ｛Ｄ卜３，山ｔ彼此相等，则有
ＤＡｊｔ＝ＡｊｔＤ．（１６）
一Ｂｌ（ＪＩＯ—１
设Ａｊｒ＝Ｂ。Ｕｔ）为“阶阵
硝；咝．Ｂ，々（Ｊ—ｔ）ｌ女一１
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
日∽
由（１６）对比两端可推出口艇‘’＝０，Ｖｌ≠ｈ，即ＡＪ￡＝
碟。
同理Ａ玎＝
定理２设ｍ，％为正整数，Ｉ厂∈Ｌ（Ｍｎ（Ｃ），ｉｒａ（Ｃ））当且仅当下述
之一成立
（ｉ）ｆ＝Ｏ；
（ｉｉ）ｎ曼ｍ，且存在Ｒ∈ＧＬ。（Ｃ．）使
ｔ一１
，（ｘ）＝Ｒ｛［ｏ（ｘｏ如０９（旬如，Ｏｐ。一曲）＋ｘ２圆ｄｉａｇ（Ｏｄ。，矗‘，一６。））ｌｅｏ。）Ｒ～，Ｖｘ∈螈（ｅ）
ｉ＝ｌ
ｋ—ｌ
其中ｍ＝礼∑鼽＋ｓ，ｐｉ为非负整数，文∈［０，Ｐｉ
ｉ＝ｌ
证明充分性显然，下证必要性．
１）ｎ＞ｍ时，由引理３．２．５知，（玩）＝ｏ（对某个ｉ∈【１，ｎ］）．再由
引理３．２．２知ｆ＝０．
２）若礼≤ｍ，且对某个ｉ∈［１，礼】，ｆ（Ｅｉｉ）＝０．由引理３．２．２知ｆ＝０．
３）若对某个ｉ∈［１，ｎ］，，（Ｅｆ）≠０，由引理３．２．２知．厂≠０．因此
７Ｌ≤帆对任意ｘ＝（ａｉｊ）∈Ａ靠＠），由引理３．２．６，３．２。７知
ｐ－１ｆ（Ｘ）Ｐ＝Ｐ一１（∑ｏ玎，（％））Ｐ妇＝ｌ
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Ｏ？ｌｎ碰豫。
ｏｎｎＥｌ‘，
ＯＬｎｌ磁瑞一。‘’。。’一“ｎｎＣｋ一１ｌｒ≈
其中磁”１’＝磷“’＋露”，砖１’碟”’＋砖”．令
‰越㈨１
ｋ（Ｘ）…ｌ，ｖｉ∈［１，女一１］．
Ｑ谢砖１）ＯＬｎｎＣｉ』ｒ。Ｉ
则ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｆｌ（Ｘ）ｏ，２∽）ｏ…ｏ＾一ｉ（Ｘ）ｏｏ。）Ｐ～，且因，保％次幂
知，，｛也保女次幂，Ｖｉ∈［１，☆一１】．
下证士＾为保幂等的线性映射．
对任意Ｍ∈厶（ｃ），由引理３．２．３，存在Ｑ∈ＧＬ。（ｅ），使
Ｍ＝Ｑ～ｄｉａｇ（Ｉ，．，Ｏ）Ｑ，
其中ｒ为Ｍ的秩．
令Ｌ。（ｙ）＝Ｅｆｌ＾（Ｑ～ＹＱ），ＶＹ
ｋ次幂．
类似引理３２ＥＭ。（Ｇ），Ｖｉ∈［１，ｋ一１］．易见诸丑也保６，并应用，｛的定义可推出
ｄｉａｇ（ＯｏｅｉＩ，．ｊｏ厶（易，）＝÷，｛（ＱＥＪｊＱ）＝÷Ｐｌ［马』ｏｏ）】斤１
因此当＾（Ｍ）＝Ｌｉ（ｄｉａｇ（Ｉｒ，ｏ））为幂等阵．故击＾为保幂等的．
应用引理３．２．４得
兰＾（ｘ）＝只瞵。ｄｉ叼（％，％。一最）＋ｘ‘＠ｄｉａｇ（％，厶。一丑）】彳ｌ（Ｂｏｒａ－ｎｐｉ，ＶｉＥ［１，ｋ－１］一１８
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
其中只为ｒｚｐ。阶可逆阵．
再由ｆ（Ｘ）＝Ｐ（，１（Ｘ）ｏｆｄｘ）ｏ…ｏＡ一１伍）ｏＯｓ）Ｐ＿１可得结论
３．３对称矩阵空间之间的保幂线性映射
引理３．３．１１５】，是从又（Ｇ）到Ｍ。（ｃ）上的保幂等线性映射，当且
仅当，有下述之一成立
（ｉ）ｆ＝Ｏ；
（ｉｉ）ｆ（ｘ）＝尸（Ⅳ＠‘ｏｏ。）Ｐ～，矿ｘ∈ｓｉ（Ｃ，），Ｐ∈ＧＬ。（ｅ），ｍ＝
ｎｒ＋８．
引理３．３．２设ｆ∈Ｌ（＆（ｅ），Ａ‰（Ｇ１））．则，（蜀ｉ）＝ｏ（对某个ｉ∈
［１，ｎ】）当且仅当ｆ＝０．
证明充分性显然，下证必要性．
在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝局ｉ，Ｂ＝Ｄｉｊ，Ⅵ∈［１，ｎ】且ｉ≠Ｊ得
０：莹，（既），ｆ（Ｄｏ）ｆ（Ｅｉ；）¨一一：ｋ∑－１，（瑶巩磁＋，），
ｐ＝Ｏｐ＝Ｏ
于是
ｆ（Ｄｉｊ）＝●
脚∑叫酲％磁
擘酗‰印加库
（ａ）当≈为偶数时，易见砖１｜｜
ｆ（ＥＪｊ）＝，（最ｉ＋Ｅｊｊ）＝ｆ（Ｄｋ）＝，（％）‘＝０，
（ｂ）当ｋ为奇数时，在引理３．２．１（ｉ）中选择Ａ＝Ｄｉｊ，Ｂ＝Ｅｌｉ，注意
ｆ（Ｄｉｊ）＝０得
女一
一”Ｈ∑脚，Ｄ一Ｖ尸，毋，ＤＰ｜１Ｏ
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于是有
＝丁ｋ＋ｌ，（毋１）＋字，（马，）
＝∑，（Ｄ０‰Ｄ扩：ｋ∑－１，（Ｄ０日，Ｄ争ｌ－ｐ）
ｐ＝Ｕ
＝∑ｆ（Ｄｉｊ）９ｆ（Ｅｉｉ）ｆ（Ｄｉｊ）卜１＿ｐ
由女三２得，（马Ｊ）＝０．
综合（ｎ），（ｂ）和Ｊ的任意性，类似于如上证明，可知对任意的ｈ，ｚ∈
【１，叫都有ｆ（Ｅｈｈ）＝０和ｆ（Ｄｈｆ）＝０成立．引理得证．
引理３．３．３设ｆ∈Ｌ（晶（Ｇ），尬。（ａ）），且ｆ≠０，则存在Ｐ∈ＧＬ。（ｃ）
使
ｆ（Ｅｉｉ）＝Ｐｆ（风圆Ｄ）ｏｏ。ＩＦ～，
ｆ（Ｄｑ）＝Ｐ［（Ｅｉｊ圆Ａ巧＋Ｅ，ｉｏＡｊｉ）ｏＯｓ］Ｐ一１，
其中Ｄ＝Ｅｌ‘。ｏ…ｏ“一１ｋ。Ｖｉ∈ｆ１，ｎ】，Ｅ１，…，％一１为互不相同的ｋ－１
次单位根．Ａ订＝ｄｉｎ９（Ｂ鲁’，…，～Ｂ女（ｉ—ｉ）ｌ＾一１），Ａｊ；＝ｄｉｎ９（ｄ｛“，…，。Ｃｋｋ（Ｊ—ｉ）ｌ＆一１），～ＢＭ（ｉｊ’，Ｇ螺’为％阶阵，Ｖｉ，Ｊ∈【１，州，ｈ∈【１，ｋ一１］
证明证明过程与引理３．２．６的相同，我们都可得到
１）Ｄｉ＝Ｄ３；
２）当ｋ为偶数时，有山ｉＤ；＝巧Ａｊｉ，Ａｉｊ四＝Ｄ？Ａ玎；
３）当ｋ为奇数时，有Ａ３ｉＤｉ＝ＤｊＡｊｉ，Ａｉｊ功＝ＤｉＡｉｊ．
由１）可令Ｄ＝Ｄｊ，ｖｊ∈【１，ｎ］－因此Ｄ＝ｅｌｉ，。ｏ・・・ｏ“一１屯。Ｖｉ∈
ｆｌ，ｎ】，“＝ｈｉ，Ｖｈ∈［１，☆一ｌ】．当％为偶数时，由２）中两个式子就可推得
Ａ。，：ｄｉａｇ（Ｂ鼽一，雌Ｌ），Ａｊ一出ｏｇ（碟“，…，础‘’），础’，嗽’
为“阶阵，Ｖｈ∈ｆ１，ｋ一１】．同理当ｋ为奇数时，４玎，Ａｊｉ亦为对角块
阵．２０—
第３章矩阵空间之间的保幂线性映射
定理３设ｍ，ｎ为正整数，ｆＥ三（岛（ｅ），Ｍｍ（ａ））当且仅当下述之一成立
（ｉ）ｆ＝０，
（ｉｉ）ｎＳｍ，且存在ＲＥ＂ＧＬ。（Ｇ）使
‘
，（ｘ）＝Ｒ（［ｏ（ｘ。如‘．）ＪＧＯ。｝兄－－１１ＶＸ∈＆（ｃ），
ｉ＝Ｌ
七一ｌ
其中ｍ＝ｎ∑Ｐｉ＋８，ｐ｛为非负整数．
证明充分性显然，下证必要性，
１）ｎ＞ｍ时，由引理３．２．５知，（毋。）＝ｏ（对某个ｉ∈［１，，１］）．再由引理３．３，２知ｆ＝０．
２）若ｎｓｍ，且对某个ｉ∈［１，翻，，（蜀｛）＝ｏ。由引理３，３．２知ｆ＝ｏ．３）若对某个ｉＥ［１，叫，／（Ｅｌｉ）≠０，由引理３．３．２知ｆ≠０．因此礼≤ｍ．由引理３．３．３，对任意的Ｘ＝（ａｉｊ）∈品（Ｇ），我们有
Ｐ。ｆｔＸ、Ｐ＝
‰Ｂ∥
‰Ｂ：芄一，
ｎｎｎＥｌ‘ｌ
Ⅱ。。雄‰一，
０。
令
ｄｌｌ矗‘。…ａｌｎＢ：：“’
＾（ｘ）＝Ｖｉ∈【１，七一１】％；堙¨…ＯＥｎｎ８ｉ‘：
一２ｌ一
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易见
ｆ（ｘ）＝Ｐ（ｆｌ（Ｘ）ｏ，２（ｘ）ｏ．．ｏ＾一ｌ（ｘ）ｏｏ。）Ｐ。（ｓ＝ｍ一礼ｓ｛）（１７）五是保≈次幂的，且Ｅｉｌｙ，（ｔｏ）＝厶。
下证士＾为保幂等的线性映射．
事实上，对任意的幂等矩阵Ｂ＝Ｂ２，有Ｂ＝Ｂ２一・＝Ｂ２，对任意的Ｔ∈Ｃ，我们有
＾（（』＋ｚＢ）‘）＝
馔ｚ２＾（Ｂ）＋研ｚ‘一１＾（Ｂ）＋・・・＋磷一２２２＾（＿Ｂ）＋罐一１口五（Ｂ）＋ｃ窖五（，）另一方面有
（＾（，＋。Ｂ））‘＝（＾（』）＋ｘｆｉ（Ｂ））‘＝（￡。ｆ＋￡，ｉ（Ｂ））‘＝Ｇ２茁‘，｛（Ｂ）‘＋矗醭ｚ“一１，ｆ（Ｂ）‘一１＋・・・＋￡：一２罐一２。２＾（Ｂ）２＋Ｅ：一１磷一１ｘｋ（Ｂ）＋ｅｆＣ０ｋ（Ｉ）又因＾（（，＋ｚＢ）‘）＝（＾（，＋∞启））。，对比。２的系数得（＾（Ｂ））２＝矗，ｌ（Ｂ），这样一来对每个士＾均可引用引理３．３．１，然后应用（１７）式不难推得本定理结论．
定理４设ｍ，礼为正整数，ｆ∈Ｌ（＆（Ｇ），Ｓｋ（Ｇ）），则ｆ有定理３的形式，其中ＲＴＲ＝０（，ｏＫ）ｏＶｏ，且Ｋ，Ｋ，ｔ一，Ｋ均对称可逆．
ｉ＝１
ｔｔ
证明由ｆ（ｘ）对称知有Ｒｒ科［ｏ（Ｘｏｓｉｌｐ。１．ｏ。）＝｛【ｏ∽固矗‘。】ｏ０。ｌ兄ＴＲ成立，因此可推得定理的结论．
３．４本章小结
在本章中，我们通过将映射归结为保幂等的线性映射，再分别利用
【４，５］中保幂等的结论，将Ｌ（Ｍｎ（Ｃ），＾‰（Ｃｆ）），三（Ｒ（ｅ），尬ｎ（ｅ））和Ｌ（晶（ａ）Ｓ名（Ｇ））中元素的形式刻画出来．
结论
结论
本文研究了线性保持问题的两方面的内容．一方面刻画了Ⅳ一－（＆（ｅ）．Ｍｍ（ｃ））和Ｊｖ一１（ｓｎ（Ｃ｜），Ｍ。（Ｇ））中元素的形式，另一方面刻画了Ｌ（Ａ‰（Ｇ）Ｍｍ（ｃ）），Ｌ（Ｓｎ哆），Ｍｍ（ｃ））及Ｌ（艮（Ｇ），ｓ。（Ｇ））中元素的形式．本文不同于【ｌ，２，３，９，１０】中映射的刻画．他们均讨论ｍ＝佗的情形，而我们在此考虑不同维矩阵空间的映射，我们的结论包含了ｍ＝礼的情形．
由于我们考虑的映射是线性的，所以我们只需刻画映射，在既，Ｄ：，和Ｅｉ下的像就可以了．在保逆映射的刻画中，我们得到了，（Ｅｉｉ），ｆ（Ｄｉｊ）非常具体的像．因此通过线性性质，就可刻画出映射形式．而在保幂映射中，我们构造了三个保ｋ次幂的特殊矩阵嘉ｌ＿岛＋禹马Ｊ＋元％Ｄｍ百岛最ｉ＋矗马ｊ十最了Ｄｄ和哺毋Ｊ＋最ｔ＋。易￡．这三个矩阵对刻画ｆ（Ｄ；ｊ）和，（±『；ｆＪ）的像起ＮＴ至关重要的作用，但由于得到的ｆ（Ｄｉｊ）和，（最ｉ）的像不够具体，我们通过直和运算将映射归结为保幂等的线性映射．再分别利用［４，５］中保幂等的结论将它们刻画出来．
从矩阵保幂的证明过程中，我们可以看出幂等保持的重要性．而且在很多不变量保持的映射的刻画中，也可以看出它的重要地位，如［２，８，２ｌ，２６］等．因此除了秩１保持这一核心问题之外，幂等保持的重要性也日渐突出．
在本文中，构造特殊矩阵和利用ｋｒｏｎｅｃｈｅｒ积非常简明地刻画结论的方法，对线性保持问题的进一步研究有一定的借鉴意义．而且在保幂问题中还有很多ｏｐｅｎ问题．如，不同维上三角矩阵代数之间的线性保幂和不同维矩阵代数之间的加法保幂还没有结论，是仍待解决的课题．
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致谢
三年的研究生生活即将结束。回望三年，得失参半。失去的就让它远去，得到的就让我永远珍藏吧！
曾经是如此的企盼着今天的到来，而今越发感觉恋恋不舍．不舍青草依依的校园，不舍关怀和帮助过我的老师，不舍如此坦诚相见的同窗、好友，不舍・…・・
在这里，我不仅学到了知识，还学到了做人的道理．我要感谢我的导师曹重光教授，他给予了我多方面的关怀和帮助．导师学问渊博、治学严谨、平易近人，在他身上永远散发着老骥伏枥，志在千里的精神风貌。这些永远值得我学习，将永远激励我前进．
我还要由衷地感谢数学科学学院的所有教授，帮助和指导过我的老师，是他们用爱心和无私的奉献给予了我知识，教会我做人．感谢我的父母，正是由于他们默默无闻的奉献和鼓励，才使我能够很好地完成学业。感谢同窗、好友在学习上的切磋和指点，使我在学习上有了长足的进步。
我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关心，帮助和支持我的领导、老师、同学和朋友。一２４
参考文献
参考文献
１张显，曹重光，保不变量的矩阵加群同态．哈尔滨出版社【Ｍ］，
２００１．
ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇａｎｄＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｏｐｅｒａｔｏｒｓ
ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｔｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒ２ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｆｉｅｌｄｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ２４８；３２７—３３８（１９９６）．
３曹重光，张显．幂保持加法映射．数学进展【Ｊ】｛３３：１０４—１０９（２００４）４曹重光．某些环上矩阵模的保幂等线性映射．黑龙江大学自
然科学学报【Ｊ］７１６（３）：１—４（１９９９）．
５佟鑫，曹重光．域上从对称矩阵空间到全矩阵空间的保幂等
的线性映射．黑龙江大学自然科学学报【Ｊ］）２００３，２０（３）：２５—２８６曹重光．域上对称矩阵保逆的加法映射．高等教育科研文萃
【Ｊ］）９—１０（ｉ９９６）．
７冯立新，曹重光．保逆矩阵的加法算子．黑龙江大学自然科
学学报【Ｊ］，１５（３）：３—６（１９９８）．
８ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇａｎｄＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｂｅｔｗｅｅｎｍａ，－
ｔｒｉｘｍｏｄｕｌｅｓｏｖｅｒｃｏｎｎｅｃｔｅｄｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅｒｉｎｇｓ．Ｌｉｎ，Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ】，３９７：３５５—３６６（２００５）．
９Ｇｉｎ—ＨｅｒＣｈａｎ，Ｍｉｎｇ－ＨｕａｔＬｉｍ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｎｐｏｗｅｒｏｆｍａｔｒｉ—
ｃｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ１６２—１６４：６１５・６２６（１９９２）．
１０ＭａｔｅｊＢｒｅｓａｒ，ＰｅｔｅｒＳｅｍｒｌ．Ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｐｏｔｅｎｔ
ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．［Ｊ】Ｉ１１９：８１—８６（１９９３）．
１１ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎ．Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ
ｍａｔｒｉｘａｄｊｏｉｎｔｍａｔｒｉｘｂｅｔｗｅｅｎｓｐａｃｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ】，３７２：１８７—２９３（２００３）．一２五一
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１２曹重光，陈涛．保域上立方幂等矩阵的线性映射．数学研究
［Ｊ】｛３７：２９９—３０３（２００４）．
１３ＶｉｃｔｏｒＴａｎ，ＦｅｉＷａｎｇＯｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．Ｌｉｎ．Ａｌｇ
Ａｐｐｌ，３６９：３１１－３１７（２００３）
１４Ｇ．Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ．Ｕｂｅｒｄｉｅｄａｒｓｔｅｌｌｕｎｇｄｅｒｅｎｄｌｉｃｈｅｎｇｒｕｐｐｅｎｄｕｒｃｈｌｉｎ—
ｅａｒｅｓｕｂｓｔｕｔｉｏｎｅｎ．Ｓｉｔｚｕｎｇｓｂｅｒ．Ｄｅｕｔｓｄｌ．Ｓｋａｄ．Ｗｉｓｓ，Ｂｅｒｌｉｎ［Ｊ］，９９４，１０１５（１８９７）
１５Ｓ．ＫａｎｔｏｒＴｈｅｒｉｅｄｅｒａｑｕｉｖａｌｅｎｚｖｏｎｌｉｎｅａｒｅｎ∞ｓｃｈａｒｅｎｂｉｌｉｎｅａｒｅｒ
ｆｏｒｍｅｎ．Ｓｉｔｚｕｎｇｓｂｅｒ．Ｍｕｎｃｈｅｎｅｒ．Ａｋａｄ．【ＪＪｊ３６７－３８１（１８９７）．
１６Ｒ．Ｇｒｏｎｅ．Ｉｓｏｍｅｔｒｉｃｓｏｆｍａｔｒｉｘａｌｇｅｂｒａｓ．Ｐｈ．Ｄ．ｔｈｅｓｉｓ，Ｕｕｉｖ．ｏｆＣａｌｌ—
ｆｏｒｎｉａ，Ｓａｎｔａ
１７Ｂａｒｂａｒａ［Ｍ］，１９９６．ｏｎＭ．Ｍａｒｃｕｓ－Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｉｏｎｓｍａｔｒｉｃｅｓ．Ａｍｅｒ．Ｍｏｎｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ［Ｊ］．
６９：８３７－８４７（１９６２）．
１８Ｍ，Ｍａｒｃｕｓ．Ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｏｎｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｊ．Ｒｅｓ．Ｎａｔ．Ｂｕｒ．Ｓｔａｎｄ
ａｒｄｓ［Ｊ］，７５Ｂ：１０７－１１３（１９７１）．
１９Ｃ．Ｋ．ＬｉａｎｄＮ．Ｋ．Ｔｓｉｎｇ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ：ａｂｒｉｅｆｉｎｔｒｏｄｕｃ—
ｔｉｏｎａｎｄｓｏｍｅｓｐｅｃｉａｌｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ］）１６２—１６４：２１７＂－２３５（１９９２），
２０Ｄ．Ｚ．ＤｏｋｏｖｉｃａｎｄＣ．Ｋ．Ｌｉ．Ｏｖｅｒｇｒｏｕｐｓｏｆｓｏｍｅｃｌａｓｓｉｃａｌｌｉｎｅａｒｇｒｏｕｐｓ
ｗｉｔｈａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｔｏｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ］，１９７—１９８：３１—６１（１９９４）．
２１Ｃｈａｎ由ｉａｎｇＢｕ．ＬｉｎｅａｒｍａｐｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇＤｒａｚｉｎｉｎｖｅｒｓｅｓｏｆｍａｔｒｉｃｅｓ
ｏｖｅｒｆｉｅｌｄｓＬｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ３９６：１５９－１７３（２００５）．
Ｄｏｎｇｂｉｎ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｌｉｎｅａｒｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｈａｒｂｉｎ：２２ＬｉｕＳｈａｏｗｕ，ＺＭｏ
ＨａｒｂｉｎＰｒｅｓｓ［Ｍ］，１９９７．一２６—
参考文献
２３ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇａｎｄＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｒａｎｋ—ｏｎｅｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇ
ｓｕｒｊｅｃｔｉｏｎｓｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃｍａｔｒｉｘｓｐａｃｅｓＬｉｎＡｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ】，３６２：１４５—１５１（２００３）．
２４ＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｌｉｎｅａｒ／ａｄｄｉｔｉｖｅ
ｓｐａｃｅｓｏｖｅｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｆｒａｎｋ２ａｎｄ４ｏｎａｌｔｅｒｎａｔｅｍａｔｒｉｘｆｉｅｌｄｓＬｉｎ，Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊｌ，３９２：２５—３８（２００４）．
２５ＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｉｄｅｍｐｏｔｅｎｃｅ—ｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍａｐｓｗｉｔｈｏｕｔｔｈｅｌｉｎｅａｒｉｔｙａｎｄ
ｓｎｒｊｅｃｔｉｖｉｔｙａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ１，３８７：１６７－１８２（２００４）．
２６Ｃ．Ｋ．Ｌｉ．ＬｅｉｂａＲｏｄｍａｎ，ＰｅｔｅｒＳｅｍｒｌ．Ｌｉｎｅａｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｂｅｔｅｅｎ
ｍａｔｒｉｘｓｐａｃｅｓｔｈａｔｍａｐｏｎｒａｎｋｓｐｅｃｉｆｉｃｓｅｔｉｎｔｏａｎｏｔｈｅｒＬｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ［Ｊ］｛３５７：１９７－２０８（２００２）．
２７ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｒａｎｋ一１ｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｂｅｔｗｅｅｎｈｅｒｍｉｔｉａｎｍａｔｒｉｘ
ｓｐａｃｅｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｔ．［Ｊ］】３９５：３３３—３４２（２００５）．
ｏｎ２８Ｊ．Ｂｅｌｌ．Ａ．Ｒ．Ｓｏｕｒｏｕｒ．Ａｄｄｉｔｉｖｅｒａｎｋ－ｏｎｅｍａｐｐｉｎｇｓｔｒｉａｎｇｕｌａｒａｌｇｅ－
ｂｒａｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ】，３１２：１３—３２（２０００）．
２９ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎ，ＣａｏＣｈｏｎｇｇｕａｎｇ，ＺｈａｎｇＸｉａｎ．Ｍｏｄｕｌａｒａｕｔｏｍｏｒ—
ｔｒｉ—ｐｈｉｓｍｓｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｉｄｅｍｐｏｔｅｎｃｅａｎｄＪｏｒｄａｎｉｓｏｍｏａｐｈｉｓｍｓｏｆ
ａｎｇｕｌａｒｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒｃｏｍｕｔａｔｉｖｅｒｉｎｇｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．ｍ３３８：１４５—１５２（２００１）．
３０ＨｏｎｇＹｏｕ，ＴａｎｇＸｉａｏｍｉｎａｄｄｉｔｉｖｅｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｆｒａｎｋ—ａｄｄｉｔｉｖｉｔｙｏｎ
ｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｎｄａｌｔｅｒｎａｔｅｍｔｒｉｃｅｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．【Ｊ］）３８０：１８５—１９８（２００４）．
３１张显，曹重光．关于域上矩阵广义逆的加法映射．数学学报
ｍ４７：１０１３—１０１８（２００４）．
３２曹重光．局部环上矩阵模的保幂等自同态，黑龙江大学自然
科学学报【Ｊ］）２：１—３（１９８９）．一２７—
黑龙江大学硕士学位论文
３３Ｇ，Ｄｏｌｉｎａｒ．Ｐ．ＳｅｍｒｌＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔｐｒｅｓｅｒｖｉｎｇｍａｐｓｏｎｍａｔｒｉｘａｌｇｅｂｒａｓ
Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ］）３４８：１８９—１９２（２００２）
３４ＺｈａｎｇＸｉａｎＬｉｎｅａｒ／ａｄｄｉ“ｖｅｐｒｅｓｅｒｖｅｒｓｏｆｒａｎｋ２ｏｎｓｐａｃｅｓｏｆａｌｔｅｒ—
ｎａｔｅｍａｔｒｉｃｅｓｏｖｅｒｆｉｅｌｄｓ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ．［Ｊ】，３９６：９１一１０２（２００５）．
３５郝立丽，曹重光．保矩阵逆的线性映射．黑龙江大学自然科
学学报［Ｊ］２１：２８—２９（２００４）．
３６Ｗ．Ｓ．Ｃｈｅｕｎｇ．Ｃ．ＫＬｉ．Ｌｉｎｅａｒｍａｐｓｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇｔｈｅｕｎｉｔａｒｙｇｒｏｕｐ
Ｃａｎａｄ．Ｍａｔｈ．Ｂｕｌｌ［Ｊ］，４６：５４—５８（２００３）．
３７Ｃ．ＫＬｉ，ｓ．Ｐｉｅｒｃｅ．Ｌｉｎｅａｒｐｒｅｓｅｒｖｅｒｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌｙ［Ｊ］，
１０８：５９１—６０５（２００１）．
３８Ｘ．Ｚｈａｎｇ．Ｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓｔｈａｔｐｒｅｓｅｒｖｅｐａｉｒｓｏｆｍａｔｒｉｃｅｓｗｈｉｃｈｓａｔ—
ｉｓｆｙｅｘｔｒｅｍｅｒａｎｋｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ—ａｓｓｕｍｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｖｅｒｓｉｏｎ．Ｌｉｎ．Ａｌｇ．Ａｐｐｌ
【ｔＩ］，３７５：２８３—２９０（２００３）．２８—
攻读学位期间发表的论文
攻读学位期间发表的论文
１皇甫明，曹重光．域上对称矩阵空间上的保逆线性映射．黑
龙江大学自然科学学报，２００５年第６期．
２曹重光，皇甫明．矩阵空间之间的保幂线性映射．已投《数学研究与评论》
黑龙江大学硕士学位论文
独创性声明
本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除了文中特别加以标注和致ｉ射的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我～同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意．
学位论文作者签名：皇南嗍
牛日签字日期：如ｓ年／月
学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅．本人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文．（保密的学位论文在解密后适用本授权书）
学位论文作者签名：重席讯
签字日期：跏绰
日导师签名：啕｝易毛６月争日签字日期：嘶‘月乒
电话邮编学位论文作者毕业后去向工作单位：通讯地址：