五、极限法
方法简介
极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的
推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲
例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立
弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，
小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有
12
2
mg =kx ① 图5—1
kx ②
2
2
由机械能守恒有 mg (h +x ) =E k +
联立①②式解得 E k
1m g
=m g h -⋅
2k
例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至
斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点 的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。
图5—2
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，
求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 a =g cos β
该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则
12at
2
=OP
所以t =
2OP g cos β
①
由图可知，在△OPC 中有
OP sin(90-α)
=
OC
sin(90+α-β)
所以OP =
OC cos αcos(α-β)
②
将②式代入①式得 t =
2OC cos αg cos βcos(α-β)
=
4OC cos α[cosα+cos(α-2β)]g
显然，当cos(α-2β) =1, 即β=所以当β=
α
2
α
2
时，上式有最小值.
时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
此题也可以用作图法求解。
例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度υ0水平抛出一小球，不计
空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后， 离开斜面的最大距离H 为多少？
解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，
则由：v y =v 0tan θ=gt ，解得运动时间为t =
2
图5—3
v 0g
tan θ
该点的坐标为 x =v 0t =
v 0g
tan θy =
12
gt
2
=
v 0
2
2g
tan θ
2
由几何关系得：H /cos θ+y =x tan θ
v 0
2
解得小球离开斜面的最大距离为 H =
2g
tan θ⋅sin θ。
这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。
例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m
的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m 。 若不计空气阻力，取
g =10m /s ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。
2
解析：水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的 图5—4
直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A （d 、h ）的最小初速度和发射仰角。
⎧x =v 0cos α⋅t ⎪
根据平抛运动的规律，水流的运动方程为⎨1
y =v sin α⋅t -gt 0⎪
2⎩
2
把A 点坐标（d 、h ）代入以上两式，消去t ，得： v 0=-gd
=gd =gd
2
2
2
/2cos α⋅(h -d tan α)
2
/[d sin 2α-h (cos2α+1)]/d
2
2
+h [
d
2
d
2
+h
2
⋅sin 2α-
d
h
2
2
⋅cos 2α]-h
+h
2
令 h /d =tan θ, 则d /v 0=gd
2
2
d
2
+h
2
=cos θ, h /d +h
2
=sin θ, 上式可变为
/d
2
+h sin(2α-θ) -h , 显然, 当sin(2α-θ) =1, 即2α-θ=90
2
亦即发射角α=45+
θ2
2
=45+
12
arctan
h d
=45+arctan
43
=71. 6时, v 0最小,
且最小初速v 0=
g (d +h
2
+h ) =3m /s =9. 5m /s .
例5：如图5—5所示，一质量为m 的人，从长为l 、质量为
M 的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为μ，人和铁板间摩擦因数为
μ'，且μ'>>μ。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动 的最大距离L 是多少？
图5—5
解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对
载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f ，其加速度a 1
v '
2
=
f M +m
=
μ(M +m ) g
M +m
=μg
。
由于铁板移动的距离L =
2a 1
, 故v '越大，L 越大。v '是人与铁板一起开始地运动
的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。
人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ(M +m ) g ，根据系统的牛顿第二定律得：
F =ma 2+M ⋅0
所以 a 2=
F m
=μ
M +m m
g ①哈
设v 、v '分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度
因为 mv =(M +m ) v ' ② 且v 2=2a 2l , v '2=2a 1L
并将a 1、a 2代入②式解得铁板移动的最大距离
L =
m M +m
l
例6：设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0，人造卫星环绕地球
做圆周运动的半径为r 。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度
v =
6
R 0g (2-
R 0r
) ，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R 0=6.4
×10m ），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g ）
解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地
面发射的速度为v 发，卫星发射时具有的机械能为
E 1=
12
mv 发-G
2
Mm R 0
①
12
Mm r
进入轨道后卫星的机械能为E 2=由E 1=E2，并代入v 轨=
GM r
mv 轨-G
2
②
GM R 0
R 0r
, 解得发射速度为 v 发=
(2-) ③
又因为在地面上万有引力等于重力，即：G
Mm R 0
2
=mg 所以
GM R 0
=R 0g ④
把④式代入③式即得：v 发=R 0g (2-
R 0r
)
（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小
为v min =
gR 0=7. 9⨯10m /s .
3
（2）如果r →∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为 v max =
2R 0g =11. 2⨯10m /s
3
例7：如图5—6所示，半径为R 的匀质半球体，其重心在球心
O 点正下方C 点处，OC=3R/8， 半球重为G ，半球放在 水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半
球平在间的动摩擦因数μ=0. 2， 求无滑动时物体离球心 图5—6 O 点最大距离是多少？
解析：物体离O 点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度θ越大，但物体在球
体斜面上保持相对静止时，θ有限度。
设物体距球心为x 时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平
衡条件有：G ⋅
3R 8sin θ=
G 8
x cos θ
θ 得 x =3R t a n
可见，x 随θ增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：
tan θm =
f m N
=μ=0. 2, 所以, x =3μR =0. 6R .
例8：有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间
静摩擦因数μ=0. 3，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳 与杆的夹角θ=30 ，如图5—7所示。
图5—7
（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5(L 为杆长），要
使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？
（2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？
解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小
还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。 杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得
F -T sin θ-f =0
N -T cos θ-mg =0
F (L -h ) -fL =0
图5—7—甲
另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f =μN
mgL tan θ(L -h ) tan θ/μ-h
解得：F mas =
由上式又可知，当(L -h ) tan θ/μ-h →∞, 即当h 0=0. 66L 时对F 就没有限制了。 （1）当h 1=
25
L
F max =385N
（2）当h 2=
45
L >h 0, 无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。
例9：放在光滑水平面上的木板质量为M ，如图5—8所示，板上有
质量为m 的小狗以与木板成θ角的初速度v 0（相对于地面）
由A 点跳到B 点，已知AB 间距离为s 。求初速度的最小值。 图5—8
解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左
运动。小狗落到板上的B 点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。
由于水平方向动量守恒，有mv 0cos θ=Mv
2v 0sin θ
g
即v =
mv 0sin θM
①
小狗在空中做斜抛运动的时间为 t = ②
又s +v 0cos θ⋅t =vt ③
Mgs (M +m ) sin 2θ
将①、②代入③式得 v 0=
当sin 2θ=1, 即θ=
π
4
时, v 0有最小值，v 0min =
Mgs M +m
。
例10：一小物块以速度v 0=10m /s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑
曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9 所示， 当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最 大？这个距离是多少？（g 取10m/s2）
图5—9
解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，
由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。
设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律，
12
mv 0=
2
12
mv
2
+m g h ①
12
gt ②
2
小物块做平抛运动的水平距离s 和高度h 分别为：h =
s =vt ③
以上三式联立解得：s =
2
v -2gh
20
2h g
=2(
v 0
2
4g v 0
2
) -(h -
2
v 0
22)
4g
当h =
v 0
4g
=2. 5m 时，飞行距离最大，为s max =
2g
=5m 。
例11：军训中，战士距墙s ，以速度v 0起跳，如图5—10所示，
再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续 升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ。求能使人体
重心有最大总升高的起跳角θ。 图5—10
解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部
分是人蹬墙所能上升的高度。
如图5—10—甲，人做斜抛运动v x =v 0cos θ，
v y =v 0sin θ-gt
图5—10—甲
重心升高为 H 1=s 0tan θ-
12g (
s v 0cos θ
)
2
脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即 ∆(mv y ) =m ∆v y =
∑
f (t ) =
∑μN (t ) ∆t =μ∑N (t ) ∆t , 而∑N (t ) ∆t =mv
x
,
∴∆v y =μv x ，所以人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为
v 'y =v y +∆v y =v y +μv x ，继续升高H
2
2
=
v 'y
2
2g
，人的重心总升高
H=H1+H2=
v 0
2g
(μcos θ+sin θ) -μs 0, 当θ=tan
2-1
1
μ
时，重心升高最大。
例12：如图5—11所示，一质量为M 的平顶小车，以速度v 0沿水
平的光滑轨道做匀速直线运动。现将一质量为m 的小物块无 初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的滑动摩擦因 数为μ。
图5—11
（1）若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？
（2）若车顶长度符合（1）问中的要求，整个过程中摩擦力共做多少功？
解析：当两物体具有共同速度时，相对位移最大，这个相对位移的大小即为车顶的最小
长度。
设车长至少为l ，则根据动量守恒 Mv 0=(M +m ) v 根据功能关系 mg μl =
Mv 0
2
12
Mv 0-
2
12
(M +m ) v
2
解得 l =
2(M +m ) g μ
，摩擦力共做功
20
W =-mg μl =-
Mmv
2(M +m )
例13：一质量m=200kg，高2.00m 的薄底大金属桶倒扣在宽广的 水池底部，如图5—12所示。桶的内横截面积S=0.500m2，
桶壁加桶底的体积为V 0=2.50×10m 。桶内封有高度为 l =0.200m的空气。池深H 0=20.0m，大气压强p 0=10.00m水
－2
3
图5—
12
柱高，水的密度ρ=1. 000⨯103kg /m 3，重力加速度取g=10.00m/s2。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需何等的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）。不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响。并设水温上下均匀且保持不变。
解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力。在绳子的作用下 桶被缓慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加，排开水的 体积也逐步增加，桶受到的浮力也逐渐增加，绳子的拉力
逐渐减小，当桶受到的浮力等于重力时，即绳子拉力恰好
减为零时，桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动
使桶略有上升，则浮力大于重力，无需绳的拉力，桶就会 图5—12—甲 自动浮起，而不需再拉绳。因此绳对桶的拉力所需做的最
小功等于将桶从池底缓慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功。 设浮力等于重力的不稳定平衡位置到池底的距离为H ，桶内气体的厚度为l ', 如图5—12—甲所示。因为总的浮力等于桶的重力mg ，因而有 ρ(l 'S +V 0) g =mg
有l '=0.350m ①
在桶由池底上升高度H 到达不稳定平衡位置的过程中，桶内气体做等温变化，由玻意耳定律得
[p 0+H 0-H -(l 0-l ')]l 'S =[p 0+H 0-(l 0-l )]lS ② 由①、②两式可得
H=12.240m
由③式可知H
浸在水中。
由上分析可知，绳子的拉力在整个过程中是一个变力。对于变力做功，可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求解：先求出桶内池底缓慢地提高了H 高度后的总机械能量△E ·△E 由三部分组成：
（1）桶的重力势能增量
∆E 1=mgH ④
（2）由于桶本身体积在不同高度处排开水的势能不同所产生的机械能的改变量
△E 2，可认为在H 高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占
有的空间，这时水的重力势能减少了。
所以∆E 2=-ρV 0gH ⑤
（3）由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变
△E 3，由于桶内气体体积膨胀，因而桶在H 高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间，体积为lS 的水，这部分水增加的重力势能为
∆E 31=-l ρSgH ⑥
另一部分体积为(l '-l ) S 的水上升到水池表面，这部分水上升的平均高度为
[H 0-H -l 0+l +(l '-l ) /2]，
增加的重力势能为
∆E 32=ρ(l '-l ) Sg [H 0-H -l 0+l +(l '-l ) /2] ⑦
由整个系统的功能关系得，绳子拉力所需做的最小功为 W T =△E ⑧ 将④、⑤、⑥、⑦式代入⑧式得
W T =ρSg [(l '-l )(H -l 0) +(l '-l ) /2] ⑨
2
2
将有关数据代入⑨式计算，并取三位有效数字，可得
W T =1.37×104J
例14：如图5—13所示，劲度系数为k 的水平轻质弹簧，左端固定，
右端系一质量为m 的物体，物体可在有摩擦的水平桌面上滑
动，弹簧为原长时位于O 点，现把物体拉到距O 为A 0的P 点按住，放手后弹簧把物体拉动，设物体在第二次经过O 点前， 在O 点左方停住，求：
（1）物体与桌面间的动摩擦因数μ的大小应在什么范围内？
图5—13
（2）物体停住点离O 点的距离的最大值，并回答这是不是物体在运动过程中所
能达到的左方最远值？为什么？（认为动摩擦因数与静摩擦因数相等）
解析：要想物体在第二次经过O 点前，在O 点左方停住，则需克服摩擦力做功消耗掉全
部弹性势能，同时还需合外力为零即满足平衡条件。 （1）物体在距离O 点为l 处停住不动的条件是：
a ．物体的速度为零，弹性势能的减小等于物体克服滑动摩擦力所做的功。 b ．弹簧弹力≤最大静摩擦力 对物体运动做如下分析：
①物体向左运动并正好停在O 点的条件是：
12mg 12mg
12
kA 0=μmgA 0
2
得：μ=
kA 0
②若μ
kA 0，则物体将滑过O 点，设它到O 点左方B 处（设OB=L1）时
速度为零，则有：
12kA 0-
2
12
kL 1=μmg (A 0+L 1) ②
2
若物体能停住，则kL 1≤μmg , 故得μ≥
13mg
kA 0 ③
③如果②能满足，但μ
13mg
kA 0，则物体不会停在B 处而要向右运动。μ值越
12
2
小，则往右滑动的距离越远。设物体正好停在O 处，则有：
14mg
kL 1=μmgL 1
得：μ=
kA 0。要求物体停在O 点左方，则相应地要求μ>
14mg
kA 0。
综合以上分析结果，物体停在O 点左方而不是第二次经过O 点时，μ的取值范围为
14mg
kA 0
12mg
kA 0
（2）当μ在
13mg
kA 0≤μ
12mg
物体向左滑动直至停止而不返回，kA 0范围内时，
由②式可求出最远停住点（设为B 1点）到O 点的距离为
L =A 0-
2μmg k
=A 0-(
2mg k
)(kA 03mg
) =
A 03.
当μ
13mg
kA 0时，物体在B 1点（OB 1=
A 03
）的速度大于零，因此物体将继续
向左运动，但它不可能停在B 1点的左方。因为与B 1点相对应的μ=
13mg
kA 0，
L 1=A0/3，如果停留在B 1点的左方，则物体在B 1点的弹力大于
kA 03
，而摩擦力
umg
kA 03
，小于弹力大于摩
擦力，所以物体不可能停住而一定返回，最后停留在O 与B 1之间。
所以无论μ值如何，物体停住与O 点的最大距离为
A 03
，但这不是物体在运
动过程中所能达到的左方最远值。
例15：使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q 的导体大球接触，分开之后，小球获
得电量q 。今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q 。求小球可能获得的最大电量。
解析：两球接触后电荷的分配比例是由两球的半径决定的，这个比例是恒定的。
根据两球带电比例恒定，第一次接触，电荷量之比为
Q -q q
Qq Q -q
最后接触电荷之比为
Q q m
, 有
Q -q q
=
Q q m
∴q m =
此题也可以用递推法求解。
例16：一系列相同的电阻R ，如图5—14所示连接，求AB 间
的等效电阻R A B 。
图5—14 图5—14
解得R AB =(3+1) R
解析：无穷网络，增加或减小网络的格数，其等效电阻不变， 所以R A B 跟从CD 往右看的电阻是相等的。因此，有 R AB =2R +
R AB R R AB +R
例17：如图5—15所示，一个U 形导体框架，宽度L=1m，
其所在平面与水平面的夹角α=30，其电阻可以忽 略不计，设匀强磁场为U 形框架的平面垂直，磁感 应强度B=1T，质量0.2kg 的导体棒电阻R=0.1Ω，跨
11
图5—15
放在U 形框上，并且能无摩擦地滑动。求：
（1）导体棒ab 下滑的最大速度v m ；
（2）在最大速度v m 时，ab 上释放出来的电功率。
解析：导体棒做变加速下滑，当合力为零时速度最大，以后保持匀速运动
（1）棒ab 匀速下滑时，有mg sin α=BIl , 而I =
mg sin α⋅R
B l
2
2
Blv R
解得最大速度 v m =
=0. 1m /s
（2）速度最大时，ab 释放的电功率P =mg sin α⋅v m =0. 1W
针对训练
1．如图5—16所示，原长L 0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑 的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，
这一装置可以从水平位置开始绕O 点缓缓地转到竖直位置。设
弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a ）、（b ）两种情 况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点 转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h 0。（a ）在转动过程 中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值h m 为40厘米，（b ）在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度 不断增大。
2．如图5—17所示，一滑雪运动员自H 为50米高处滑至O 点，由
于运动员的技巧（阻力不计），运动员在O 点保持速率v 0不变，
图5—16
并以仰角θ起跳，落至B 点，令OB 为L ，试问α为30°时，L 的最大值是多大？当L 取极值时，θ角为多大？
3．如图5—18所示，质量为M 的长滑块静止放在光滑水平面上，左
侧固定一劲度系数为K 且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可 伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细线所能承受的最大拉力为T 。 使一质量为m ，初速度为v 0的小物体，在滑块上无摩擦地向左运 动，而后压缩弹簧。
图5—
17
图5—18
（1）求出细线被拉断的条件；
（2）滑块在细线拉断后被加速的过程中，所能获得的最大的左向加速度为多大？ （3）物体最后离开滑块时相对于地面速度恰为零的条件是什么？
4．质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB 的A 端，导轨及支架ABCD 形状及尺寸
如图5—19所示，它只能绕通过支架D 点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图
12
中的O 点，质量M=4.0kg，现用一细线沿轨拉铁块，拉力F=12N，铁块和导轨之间的摩擦系数μ=0. 50，重力加速度g=10m/s2，从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间t 是多少？
图5—19 图5—20 图5—
21
5．如图5—20所示，在水平桌面上放一质量为M 、截面为直角三角形的物体ABC 。AB
与AC 间的夹角为θ，B 点到桌面的高度为h 。在斜面AB 上的底部A 处放一质量为m 的小物体。开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面AB 方向的初速度v 0，如果小物体与斜面间以及ABC 与水平桌面间的摩擦都不考虑，则v 0至少要大于何值才能使小物体经B 点滑出？
6．如图5—21所示，长为L 的光滑平台固定在地面上，平台中央放有一小物体A 和B ，
两者彼此接触。物体A 的上表面是半径为R （R
（1）物体A 和B 刚分离时，物体B 的速度；
（2）物体A 和B 分离后，物体C 所能达到距台面的最大高度；
（3）判断物体A 从平台的左边还是右边落地，并粗略估算物体A 从B 分离后到离开台面所经历的时间。
7．电容器C 1、C 2和可变电阻器R 1、R 2以及电源ε连
接成如图5—22所示的电路。当R 1的滑动触头在
图示位置时，C 1、C 2的电量相等。要使C 1的电量
13
大于C 2的电量，应 （ ） A ．增大R 2 B ．减小R 2 C ．将R 1的滑动触头向A 端移动 D ．将R 1的滑动触头向B 端滑动 A ．增大R 1
B ．减小R 2
C ．增大R 2
图5—
22
8．如图5—23所示的电路中，电源的电动势恒定，要想使灯泡变亮，可以 （ ）
D ．减小R 2
图5—23 图5—24 图5—25
9．电路如图5—24所示，求当R ′为何值时，R A B 的阻值与“网格”的数目无关？此时
R A B 的阻值等于什么？
10．如图5—25所示，A 、B 两块不带电的金属板，长为5d ，相距为d ，水平放置，B
板接地，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场，现有宽度为d 的电子束从两板左侧水平方向入射，每个电子的质量为m ，电量为e ，速度为v ，要使电子不会从两板间射出，求两板间的磁感应强度应为多大？
11．图5—26中 abcd 是一个固定的U 形金属框架， ad 和cd 边
都很长， bc 边长为L ，框架的电阻可不计， ef 是放置在框 架上与 bc 平行的导体杆，它可在框架上自由滑动（摩擦可 忽略），它的电阻R ， 现沿垂直于框架的方向加一恒定的匀 强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里，已知当以
图5—
26
恒定力F 向右拉导体杆ef 时，导体杆最后匀速滑动，求匀速滑动，求匀速滑动时的速度？
12．如图5—27所示，导线框abcd 固定在竖直平面内，bc 段的电
阻为R ，其他电阻均可忽略。ef 是一电阻可忽略的水平放置 的导体杆，杆长为L ，质量为m ，杆的两端分别与ab 和cd 保 持良好接触，又能沿它们无摩擦地滑动。整个装置放在磁感应 强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与框面垂直。现用一恒力F
竖直向上拉ef ，当ef 匀速上升时，其速度的大小为多大？ 图5—27 13．在倾角为 的足够长的两光滑平行金属导轨上，放一质量为
m ，电阻为R 的金属棒ab ，所在空间有磁感应强度为B 的
匀强磁场，方向垂直轨道平面向上，导轨宽度为L ，如图 5—28所示，电源电动势为ε，电源内阻和导轨电阻均不计， 电容器的电容为C 。求：
（1）当开关S 接1时，棒ab 的稳定速度是多大？
（2）当开关S 接2时，达到稳定状态时，棒ab 将做何运动？ 14．如图5—29所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间
距是L ，上层导轨上搁置一根质量为m 、电阻是R 的金属杆
图5—28
ST ，下层导轨末端紧接着两根竖直在竖直平面内的半径为R
图5—29
的光滑绝缘半圆形轨道，在靠近半圆形轨道处搁置一根质量
也是m 、电阻也是R 的金属杆AB 。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下的匀强磁场。当闭合开关S 后，有电量q 通过金属杆AB ，杆AB 滑过下层导轨后进入半圆形轨道并且刚好能通过轨道最高点D ′F ′后滑上上层导轨。设上下两层导轨都足够长，电阻不计。 （1）求磁场的磁感应强度。
（2）求金属杆AB 刚滑到上层导轨瞬间，上层导轨和金属杆组成的回路里的电流。 （3）求两金属杆在上层导轨滑动的最终速度。 （4）问从AB 滑到上层导轨到具有最终速度这段时间里上层导轨回路中有多少能量
14
转变为内能？
15．位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd ，ab 长为l 1, 是
水平的，bc 长l 2, 线框的质量为m ， 电阻为R ， 其下
方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP ′和QQ ′ 均与ab 平行，两边界间的距离为H ，H>l 2，磁场的磁感 强度为B ，方向与线框平面垂直，如图5—30所示，令
Q ′ a d P ′
l 1
b l 2
h c P
Q 线框的dc 边从离磁场区域上边界PP ′的距离为h 处自由 图5—30
下落，已知在线框的dc 边进入磁场以后，ab 边到达边界 PP ′之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到dc 边刚刚到达磁场区域下边界QQ ′的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？
答案：
1．(a)37.5cm (b)50cm
T mK
, a =
1M
m m +M
(KMv
20
θ=30︒
T (m -M ) K
14
+T )
2
v 0=
4．1.41s 5．
2(M +m ) gh M +mL θ
2
6．（1）
gh 3
（2）h -R （3）
3L gh
7．D 8．B 、C 9．(5-1) R 10．
mv 13de
≤B ≤
2mv
(5+1) R
13．（1）
de
BI ε-mgR sin α
B L
2
2
11．
FR B L
2
2
12．
(F -mg ) R B L mg sin α
2
2
2
2
14
（2）加速度BL
gR
m +CB L
14．（1）
m qL
3
5gR （2）
2R
（3）
gR 2R
（4）mgR
15．W =
m g R 2B l
4
4
22
-mg (l 2+h )
15
五、极限法
方法简介
极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的
推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲
例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立
弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，
小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有
12
2
mg =kx ① 图5—1
kx ②
2
2
由机械能守恒有 mg (h +x ) =E k +
联立①②式解得 E k
1m g
=m g h -⋅
2k
例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至
斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点 的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角β。
图5—2
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，
求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 a =g cos β
该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则
12at
2
=OP
所以t =
2OP g cos β
①
由图可知，在△OPC 中有
OP sin(90-α)
=
OC
sin(90+α-β)
所以OP =
OC cos αcos(α-β)
②
将②式代入①式得 t =
2OC cos αg cos βcos(α-β)
=
4OC cos α[cosα+cos(α-2β)]g
显然，当cos(α-2β) =1, 即β=所以当β=
α
2
α
2
时，上式有最小值.
时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
此题也可以用作图法求解。
例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度υ0水平抛出一小球，不计
空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后， 离开斜面的最大距离H 为多少？
解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，
则由：v y =v 0tan θ=gt ，解得运动时间为t =
2
图5—3
v 0g
tan θ
该点的坐标为 x =v 0t =
v 0g
tan θy =
12
gt
2
=
v 0
2
2g
tan θ
2
由几何关系得：H /cos θ+y =x tan θ
v 0
2
解得小球离开斜面的最大距离为 H =
2g
tan θ⋅sin θ。
这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。
例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m
的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m 。 若不计空气阻力，取
g =10m /s ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。
2
解析：水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的 图5—4
直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A （d 、h ）的最小初速度和发射仰角。
⎧x =v 0cos α⋅t ⎪
根据平抛运动的规律，水流的运动方程为⎨1
y =v sin α⋅t -gt 0⎪
2⎩
2
把A 点坐标（d 、h ）代入以上两式，消去t ，得： v 0=-gd
=gd =gd
2
2
2
/2cos α⋅(h -d tan α)
2
/[d sin 2α-h (cos2α+1)]/d
2
2
+h [
d
2
d
2
+h
2
⋅sin 2α-
d
h
2
2
⋅cos 2α]-h
+h
2
令 h /d =tan θ, 则d /v 0=gd
2
2
d
2
+h
2
=cos θ, h /d +h
2
=sin θ, 上式可变为
/d
2
+h sin(2α-θ) -h , 显然, 当sin(2α-θ) =1, 即2α-θ=90
2
亦即发射角α=45+
θ2
2
=45+
12
arctan
h d
=45+arctan
43
=71. 6时, v 0最小,
且最小初速v 0=
g (d +h
2
+h ) =3m /s =9. 5m /s .
例5：如图5—5所示，一质量为m 的人，从长为l 、质量为
M 的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为μ，人和铁板间摩擦因数为
μ'，且μ'>>μ。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动 的最大距离L 是多少？
图5—5
解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对
载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f ，其加速度a 1
v '
2
=
f M +m
=
μ(M +m ) g
M +m
=μg
。
由于铁板移动的距离L =
2a 1
, 故v '越大，L 越大。v '是人与铁板一起开始地运动
的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。
人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ(M +m ) g ，根据系统的牛顿第二定律得：
F =ma 2+M ⋅0
所以 a 2=
F m
=μ
M +m m
g ①哈
设v 、v '分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度
因为 mv =(M +m ) v ' ② 且v 2=2a 2l , v '2=2a 1L
并将a 1、a 2代入②式解得铁板移动的最大距离
L =
m M +m
l
例6：设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0，人造卫星环绕地球
做圆周运动的半径为r 。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度
v =
6
R 0g (2-
R 0r
) ，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R 0=6.4
×10m ），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g ）
解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地
面发射的速度为v 发，卫星发射时具有的机械能为
E 1=
12
mv 发-G
2
Mm R 0
①
12
Mm r
进入轨道后卫星的机械能为E 2=由E 1=E2，并代入v 轨=
GM r
mv 轨-G
2
②
GM R 0
R 0r
, 解得发射速度为 v 发=
(2-) ③
又因为在地面上万有引力等于重力，即：G
Mm R 0
2
=mg 所以
GM R 0
=R 0g ④
把④式代入③式即得：v 发=R 0g (2-
R 0r
)
（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小
为v min =
gR 0=7. 9⨯10m /s .
3
（2）如果r →∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为 v max =
2R 0g =11. 2⨯10m /s
3
例7：如图5—6所示，半径为R 的匀质半球体，其重心在球心
O 点正下方C 点处，OC=3R/8， 半球重为G ，半球放在 水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半
球平在间的动摩擦因数μ=0. 2， 求无滑动时物体离球心 图5—6 O 点最大距离是多少？
解析：物体离O 点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度θ越大，但物体在球
体斜面上保持相对静止时，θ有限度。
设物体距球心为x 时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平
衡条件有：G ⋅
3R 8sin θ=
G 8
x cos θ
θ 得 x =3R t a n
可见，x 随θ增大而增大。临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：
tan θm =
f m N
=μ=0. 2, 所以, x =3μR =0. 6R .
例8：有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间
静摩擦因数μ=0. 3，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳 与杆的夹角θ=30 ，如图5—7所示。
图5—7
（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5(L 为杆长），要
使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？
（2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？
解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小
还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。 杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得
F -T sin θ-f =0
N -T cos θ-mg =0
F (L -h ) -fL =0
图5—7—甲
另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f =μN
mgL tan θ(L -h ) tan θ/μ-h
解得：F mas =
由上式又可知，当(L -h ) tan θ/μ-h →∞, 即当h 0=0. 66L 时对F 就没有限制了。 （1）当h 1=
25
L
F max =385N
（2）当h 2=
45
L >h 0, 无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。
例9：放在光滑水平面上的木板质量为M ，如图5—8所示，板上有
质量为m 的小狗以与木板成θ角的初速度v 0（相对于地面）
由A 点跳到B 点，已知AB 间距离为s 。求初速度的最小值。 图5—8
解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左
运动。小狗落到板上的B 点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。
由于水平方向动量守恒，有mv 0cos θ=Mv
2v 0sin θ
g
即v =
mv 0sin θM
①
小狗在空中做斜抛运动的时间为 t = ②
又s +v 0cos θ⋅t =vt ③
Mgs (M +m ) sin 2θ
将①、②代入③式得 v 0=
当sin 2θ=1, 即θ=
π
4
时, v 0有最小值，v 0min =
Mgs M +m
。
例10：一小物块以速度v 0=10m /s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑
曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9 所示， 当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最 大？这个距离是多少？（g 取10m/s2）
图5—9
解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，
由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。
设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律，
12
mv 0=
2
12
mv
2
+m g h ①
12
gt ②
2
小物块做平抛运动的水平距离s 和高度h 分别为：h =
s =vt ③
以上三式联立解得：s =
2
v -2gh
20
2h g
=2(
v 0
2
4g v 0
2
) -(h -
2
v 0
22)
4g
当h =
v 0
4g
=2. 5m 时，飞行距离最大，为s max =
2g
=5m 。
例11：军训中，战士距墙s ，以速度v 0起跳，如图5—10所示，
再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续 升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ。求能使人体
重心有最大总升高的起跳角θ。 图5—10
解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部
分是人蹬墙所能上升的高度。
如图5—10—甲，人做斜抛运动v x =v 0cos θ，
v y =v 0sin θ-gt
图5—10—甲
重心升高为 H 1=s 0tan θ-
12g (
s v 0cos θ
)
2
脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即 ∆(mv y ) =m ∆v y =
∑
f (t ) =
∑μN (t ) ∆t =μ∑N (t ) ∆t , 而∑N (t ) ∆t =mv
x
,
∴∆v y =μv x ，所以人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为
v 'y =v y +∆v y =v y +μv x ，继续升高H
2
2
=
v 'y
2
2g
，人的重心总升高
H=H1+H2=
v 0
2g
(μcos θ+sin θ) -μs 0, 当θ=tan
2-1
1
μ
时，重心升高最大。
例12：如图5—11所示，一质量为M 的平顶小车，以速度v 0沿水
平的光滑轨道做匀速直线运动。现将一质量为m 的小物块无 初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的滑动摩擦因 数为μ。
图5—11
（1）若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？
（2）若车顶长度符合（1）问中的要求，整个过程中摩擦力共做多少功？
解析：当两物体具有共同速度时，相对位移最大，这个相对位移的大小即为车顶的最小
长度。
设车长至少为l ，则根据动量守恒 Mv 0=(M +m ) v 根据功能关系 mg μl =
Mv 0
2
12
Mv 0-
2
12
(M +m ) v
2
解得 l =
2(M +m ) g μ
，摩擦力共做功
20
W =-mg μl =-
Mmv
2(M +m )
例13：一质量m=200kg，高2.00m 的薄底大金属桶倒扣在宽广的 水池底部，如图5—12所示。桶的内横截面积S=0.500m2，
桶壁加桶底的体积为V 0=2.50×10m 。桶内封有高度为 l =0.200m的空气。池深H 0=20.0m，大气压强p 0=10.00m水
－2
3
图5—
12
柱高，水的密度ρ=1. 000⨯103kg /m 3，重力加速度取g=10.00m/s2。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需何等的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）。不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响。并设水温上下均匀且保持不变。
解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力。在绳子的作用下 桶被缓慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加，排开水的 体积也逐步增加，桶受到的浮力也逐渐增加，绳子的拉力
逐渐减小，当桶受到的浮力等于重力时，即绳子拉力恰好
减为零时，桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动
使桶略有上升，则浮力大于重力，无需绳的拉力，桶就会 图5—12—甲 自动浮起，而不需再拉绳。因此绳对桶的拉力所需做的最
小功等于将桶从池底缓慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功。 设浮力等于重力的不稳定平衡位置到池底的距离为H ，桶内气体的厚度为l ', 如图5—12—甲所示。因为总的浮力等于桶的重力mg ，因而有 ρ(l 'S +V 0) g =mg
有l '=0.350m ①
在桶由池底上升高度H 到达不稳定平衡位置的过程中，桶内气体做等温变化，由玻意耳定律得
[p 0+H 0-H -(l 0-l ')]l 'S =[p 0+H 0-(l 0-l )]lS ② 由①、②两式可得
H=12.240m
由③式可知H
浸在水中。
由上分析可知，绳子的拉力在整个过程中是一个变力。对于变力做功，可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求解：先求出桶内池底缓慢地提高了H 高度后的总机械能量△E ·△E 由三部分组成：
（1）桶的重力势能增量
∆E 1=mgH ④
（2）由于桶本身体积在不同高度处排开水的势能不同所产生的机械能的改变量
△E 2，可认为在H 高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占
有的空间，这时水的重力势能减少了。
所以∆E 2=-ρV 0gH ⑤
（3）由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变
△E 3，由于桶内气体体积膨胀，因而桶在H 高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间，体积为lS 的水，这部分水增加的重力势能为
∆E 31=-l ρSgH ⑥
另一部分体积为(l '-l ) S 的水上升到水池表面，这部分水上升的平均高度为
[H 0-H -l 0+l +(l '-l ) /2]，
增加的重力势能为
∆E 32=ρ(l '-l ) Sg [H 0-H -l 0+l +(l '-l ) /2] ⑦
由整个系统的功能关系得，绳子拉力所需做的最小功为 W T =△E ⑧ 将④、⑤、⑥、⑦式代入⑧式得
W T =ρSg [(l '-l )(H -l 0) +(l '-l ) /2] ⑨
2
2
将有关数据代入⑨式计算，并取三位有效数字，可得
W T =1.37×104J
例14：如图5—13所示，劲度系数为k 的水平轻质弹簧，左端固定，
右端系一质量为m 的物体，物体可在有摩擦的水平桌面上滑
动，弹簧为原长时位于O 点，现把物体拉到距O 为A 0的P 点按住，放手后弹簧把物体拉动，设物体在第二次经过O 点前， 在O 点左方停住，求：
（1）物体与桌面间的动摩擦因数μ的大小应在什么范围内？
图5—13
（2）物体停住点离O 点的距离的最大值，并回答这是不是物体在运动过程中所
能达到的左方最远值？为什么？（认为动摩擦因数与静摩擦因数相等）
解析：要想物体在第二次经过O 点前，在O 点左方停住，则需克服摩擦力做功消耗掉全
部弹性势能，同时还需合外力为零即满足平衡条件。 （1）物体在距离O 点为l 处停住不动的条件是：
a ．物体的速度为零，弹性势能的减小等于物体克服滑动摩擦力所做的功。 b ．弹簧弹力≤最大静摩擦力 对物体运动做如下分析：
①物体向左运动并正好停在O 点的条件是：
12mg 12mg
12
kA 0=μmgA 0
2
得：μ=
kA 0
②若μ
kA 0，则物体将滑过O 点，设它到O 点左方B 处（设OB=L1）时
速度为零，则有：
12kA 0-
2
12
kL 1=μmg (A 0+L 1) ②
2
若物体能停住，则kL 1≤μmg , 故得μ≥
13mg
kA 0 ③
③如果②能满足，但μ
13mg
kA 0，则物体不会停在B 处而要向右运动。μ值越
12
2
小，则往右滑动的距离越远。设物体正好停在O 处，则有：
14mg
kL 1=μmgL 1
得：μ=
kA 0。要求物体停在O 点左方，则相应地要求μ>
14mg
kA 0。
综合以上分析结果，物体停在O 点左方而不是第二次经过O 点时，μ的取值范围为
14mg
kA 0
12mg
kA 0
（2）当μ在
13mg
kA 0≤μ
12mg
物体向左滑动直至停止而不返回，kA 0范围内时，
由②式可求出最远停住点（设为B 1点）到O 点的距离为
L =A 0-
2μmg k
=A 0-(
2mg k
)(kA 03mg
) =
A 03.
当μ
13mg
kA 0时，物体在B 1点（OB 1=
A 03
）的速度大于零，因此物体将继续
向左运动，但它不可能停在B 1点的左方。因为与B 1点相对应的μ=
13mg
kA 0，
L 1=A0/3，如果停留在B 1点的左方，则物体在B 1点的弹力大于
kA 03
，而摩擦力
umg
kA 03
，小于弹力大于摩
擦力，所以物体不可能停住而一定返回，最后停留在O 与B 1之间。
所以无论μ值如何，物体停住与O 点的最大距离为
A 03
，但这不是物体在运
动过程中所能达到的左方最远值。
例15：使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q 的导体大球接触，分开之后，小球获
得电量q 。今让小球与大球反复接触，在每次分开后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q 。求小球可能获得的最大电量。
解析：两球接触后电荷的分配比例是由两球的半径决定的，这个比例是恒定的。
根据两球带电比例恒定，第一次接触，电荷量之比为
Q -q q
Qq Q -q
最后接触电荷之比为
Q q m
, 有
Q -q q
=
Q q m
∴q m =
此题也可以用递推法求解。
例16：一系列相同的电阻R ，如图5—14所示连接，求AB 间
的等效电阻R A B 。
图5—14 图5—14
解得R AB =(3+1) R
解析：无穷网络，增加或减小网络的格数，其等效电阻不变， 所以R A B 跟从CD 往右看的电阻是相等的。因此，有 R AB =2R +
R AB R R AB +R
例17：如图5—15所示，一个U 形导体框架，宽度L=1m，
其所在平面与水平面的夹角α=30，其电阻可以忽 略不计，设匀强磁场为U 形框架的平面垂直，磁感 应强度B=1T，质量0.2kg 的导体棒电阻R=0.1Ω，跨
11
图5—15
放在U 形框上，并且能无摩擦地滑动。求：
（1）导体棒ab 下滑的最大速度v m ；
（2）在最大速度v m 时，ab 上释放出来的电功率。
解析：导体棒做变加速下滑，当合力为零时速度最大，以后保持匀速运动
（1）棒ab 匀速下滑时，有mg sin α=BIl , 而I =
mg sin α⋅R
B l
2
2
Blv R
解得最大速度 v m =
=0. 1m /s
（2）速度最大时，ab 释放的电功率P =mg sin α⋅v m =0. 1W
针对训练
1．如图5—16所示，原长L 0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑 的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球，
这一装置可以从水平位置开始绕O 点缓缓地转到竖直位置。设
弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a ）、（b ）两种情 况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点 转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h 0。（a ）在转动过程 中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值h m 为40厘米，（b ）在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度 不断增大。
2．如图5—17所示，一滑雪运动员自H 为50米高处滑至O 点，由
于运动员的技巧（阻力不计），运动员在O 点保持速率v 0不变，
图5—16
并以仰角θ起跳，落至B 点，令OB 为L ，试问α为30°时，L 的最大值是多大？当L 取极值时，θ角为多大？
3．如图5—18所示，质量为M 的长滑块静止放在光滑水平面上，左
侧固定一劲度系数为K 且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一不可 伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细线所能承受的最大拉力为T 。 使一质量为m ，初速度为v 0的小物体，在滑块上无摩擦地向左运 动，而后压缩弹簧。
图5—
17
图5—18
（1）求出细线被拉断的条件；
（2）滑块在细线拉断后被加速的过程中，所能获得的最大的左向加速度为多大？ （3）物体最后离开滑块时相对于地面速度恰为零的条件是什么？
4．质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB 的A 端，导轨及支架ABCD 形状及尺寸
如图5—19所示，它只能绕通过支架D 点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图
12
中的O 点，质量M=4.0kg，现用一细线沿轨拉铁块，拉力F=12N，铁块和导轨之间的摩擦系数μ=0. 50，重力加速度g=10m/s2，从铁块运动时起，导轨（及支架）能保持静止的最长时间t 是多少？
图5—19 图5—20 图5—
21
5．如图5—20所示，在水平桌面上放一质量为M 、截面为直角三角形的物体ABC 。AB
与AC 间的夹角为θ，B 点到桌面的高度为h 。在斜面AB 上的底部A 处放一质量为m 的小物体。开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面AB 方向的初速度v 0，如果小物体与斜面间以及ABC 与水平桌面间的摩擦都不考虑，则v 0至少要大于何值才能使小物体经B 点滑出？
6．如图5—21所示，长为L 的光滑平台固定在地面上，平台中央放有一小物体A 和B ，
两者彼此接触。物体A 的上表面是半径为R （R
（1）物体A 和B 刚分离时，物体B 的速度；
（2）物体A 和B 分离后，物体C 所能达到距台面的最大高度；
（3）判断物体A 从平台的左边还是右边落地，并粗略估算物体A 从B 分离后到离开台面所经历的时间。
7．电容器C 1、C 2和可变电阻器R 1、R 2以及电源ε连
接成如图5—22所示的电路。当R 1的滑动触头在
图示位置时，C 1、C 2的电量相等。要使C 1的电量
13
大于C 2的电量，应 （ ） A ．增大R 2 B ．减小R 2 C ．将R 1的滑动触头向A 端移动 D ．将R 1的滑动触头向B 端滑动 A ．增大R 1
B ．减小R 2
C ．增大R 2
图5—
22
8．如图5—23所示的电路中，电源的电动势恒定，要想使灯泡变亮，可以 （ ）
D ．减小R 2
图5—23 图5—24 图5—25
9．电路如图5—24所示，求当R ′为何值时，R A B 的阻值与“网格”的数目无关？此时
R A B 的阻值等于什么？
10．如图5—25所示，A 、B 两块不带电的金属板，长为5d ，相距为d ，水平放置，B
板接地，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场，现有宽度为d 的电子束从两板左侧水平方向入射，每个电子的质量为m ，电量为e ，速度为v ，要使电子不会从两板间射出，求两板间的磁感应强度应为多大？
11．图5—26中 abcd 是一个固定的U 形金属框架， ad 和cd 边
都很长， bc 边长为L ，框架的电阻可不计， ef 是放置在框 架上与 bc 平行的导体杆，它可在框架上自由滑动（摩擦可 忽略），它的电阻R ， 现沿垂直于框架的方向加一恒定的匀 强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里，已知当以
图5—
26
恒定力F 向右拉导体杆ef 时，导体杆最后匀速滑动，求匀速滑动，求匀速滑动时的速度？
12．如图5—27所示，导线框abcd 固定在竖直平面内，bc 段的电
阻为R ，其他电阻均可忽略。ef 是一电阻可忽略的水平放置 的导体杆，杆长为L ，质量为m ，杆的两端分别与ab 和cd 保 持良好接触，又能沿它们无摩擦地滑动。整个装置放在磁感应 强度为B 的匀强磁场中，磁场方向与框面垂直。现用一恒力F
竖直向上拉ef ，当ef 匀速上升时，其速度的大小为多大？ 图5—27 13．在倾角为 的足够长的两光滑平行金属导轨上，放一质量为
m ，电阻为R 的金属棒ab ，所在空间有磁感应强度为B 的
匀强磁场，方向垂直轨道平面向上，导轨宽度为L ，如图 5—28所示，电源电动势为ε，电源内阻和导轨电阻均不计， 电容器的电容为C 。求：
（1）当开关S 接1时，棒ab 的稳定速度是多大？
（2）当开关S 接2时，达到稳定状态时，棒ab 将做何运动？ 14．如图5—29所示，有上下两层水平放置的平行光滑导轨，间
距是L ，上层导轨上搁置一根质量为m 、电阻是R 的金属杆
图5—28
ST ，下层导轨末端紧接着两根竖直在竖直平面内的半径为R
图5—29
的光滑绝缘半圆形轨道，在靠近半圆形轨道处搁置一根质量
也是m 、电阻也是R 的金属杆AB 。上下两层平行导轨所在区域里有一个竖直向下的匀强磁场。当闭合开关S 后，有电量q 通过金属杆AB ，杆AB 滑过下层导轨后进入半圆形轨道并且刚好能通过轨道最高点D ′F ′后滑上上层导轨。设上下两层导轨都足够长，电阻不计。 （1）求磁场的磁感应强度。
（2）求金属杆AB 刚滑到上层导轨瞬间，上层导轨和金属杆组成的回路里的电流。 （3）求两金属杆在上层导轨滑动的最终速度。 （4）问从AB 滑到上层导轨到具有最终速度这段时间里上层导轨回路中有多少能量
14
转变为内能？
15．位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd ，ab 长为l 1, 是
水平的，bc 长l 2, 线框的质量为m ， 电阻为R ， 其下
方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP ′和QQ ′ 均与ab 平行，两边界间的距离为H ，H>l 2，磁场的磁感 强度为B ，方向与线框平面垂直，如图5—30所示，令
Q ′ a d P ′
l 1
b l 2
h c P
Q 线框的dc 边从离磁场区域上边界PP ′的距离为h 处自由 图5—30
下落，已知在线框的dc 边进入磁场以后，ab 边到达边界 PP ′之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值。问从线框开始下落到dc 边刚刚到达磁场区域下边界QQ ′的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？
答案：
1．(a)37.5cm (b)50cm
T mK
, a =
1M
m m +M
(KMv
20
θ=30︒
T (m -M ) K
14
+T )
2
v 0=
4．1.41s 5．
2(M +m ) gh M +mL θ
2
6．（1）
gh 3
（2）h -R （3）
3L gh
7．D 8．B 、C 9．(5-1) R 10．
mv 13de
≤B ≤
2mv
(5+1) R
13．（1）
de
BI ε-mgR sin α
B L
2
2
11．
FR B L
2
2
12．
(F -mg ) R B L mg sin α
2
2
2
2
14
（2）加速度BL
gR
m +CB L
14．（1）
m qL
3
5gR （2）
2R
（3）
gR 2R
（4）mgR
15．W =
m g R 2B l
4
4
22
-mg (l 2+h )
15