三 角 形 常 见 辅 助 线 做 法
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
BD
C
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 应用：
（09崇文二模）以∆ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt∆ABD和等腰Rt∆ACE，
A
E
F
B
D
C
∠BAD=∠CAE=90︒,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系
及数量关系．
（1）如图① 当∆ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt∆ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ(0
︒
二、截长补短
例1、如图，∆ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC
A
例2、如图，已知在 ABC内，∠BAC=60，∠C=400，P，Q分别在BC，CA上，
∠ABC的角平分线。并且AP，BQ分别是∠BAC，
求证：A
C
B
D
应用：
B
C
三、借助角平分线造全等
例1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
A
B
D
C
例2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 应用：
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称
轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、
∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，
请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由。
M
图①
A
B
G
CF
D
D C
图②
P N
A
D
图③
四、旋转
例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
A
D
F
BCE
例2、D为等腰Rt∆ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 a) 当∠MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 b) 若AB=2，求四边形DECF的面积。
A
例3、如图，∆ABC是边长为3的等边三角形，∆BDC是等腰三角形，且
∠BDC=1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC
于点N，连接MN，则∆AMN的周长为 ；
B
C
应用：
1、已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120 ，
∠MBN=60 ，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延
长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF． 当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
M BB
D D CCFF N N N E
M
（图1） （图2） （图3）
2、（西城09年一模）已知
,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边∆ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为 ABC外一点，且∠MDN=60︒,∠BDC=120︒,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及∆AMN的周长Q与等边∆ABC的周长L的关系．
图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数
Q
量关系是 ； 此时= ；
L
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个
结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．
4、如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？
B
C B
C B C
B C B C
三 角 形 常 见 辅 助 线 做 法
一、倍长中线（线段）造全等
例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
BD
C
例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 应用：
（09崇文二模）以∆ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt∆ABD和等腰Rt∆ACE，
A
E
F
B
D
C
∠BAD=∠CAE=90︒,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系
及数量关系．
（1）如图① 当∆ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt∆ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ(0
︒
二、截长补短
例1、如图，∆ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC
A
例2、如图，已知在 ABC内，∠BAC=60，∠C=400，P，Q分别在BC，CA上，
∠ABC的角平分线。并且AP，BQ分别是∠BAC，
求证：A
C
B
D
应用：
B
C
三、借助角平分线造全等
例1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
A
B
D
C
例2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 应用：
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称
轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、
∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，
请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请说明理由。
M
图①
A
B
G
CF
D
D C
图②
P N
A
D
图③
四、旋转
例1、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
A
D
F
BCE
例2、D为等腰Rt∆ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 a) 当∠MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 b) 若AB=2，求四边形DECF的面积。
A
例3、如图，∆ABC是边长为3的等边三角形，∆BDC是等腰三角形，且
∠BDC=1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC
于点N，连接MN，则∆AMN的周长为 ；
B
C
应用：
1、已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120 ，
∠MBN=60 ，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延
长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF． 当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
M BB
D D CCFF N N N E
M
（图1） （图2） （图3）
2、（西城09年一模）已知
,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边∆ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为 ABC外一点，且∠MDN=60︒,∠BDC=120︒,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及∆AMN的周长Q与等边∆ABC的周长L的关系．
图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数
Q
量关系是 ； 此时= ；
L
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个
结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．
4、如图△ABC，请用不同的分法将△ABC的面积4等分，请你给出不同的方案？
B
C B
C B C
B C B C